合比等比性质及习题
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍1.1 教学目标：了解合比性质的概念。
学会运用合比性质进行比例计算。
1.2 教学内容：合比性质的表示方法：a:b = c:d = e:f 表示a/b = c/d = e/f。
1.3 教学步骤：1. 引入合比性质的概念，引导学生理解合比性质的意义。
2. 通过示例讲解合比性质的应用，让学生学会如何运用合比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质的练习题，巩固所学知识。
章节二：等比性质介绍2.1 教学目标：了解等比性质的概念。
学会运用等比性质进行比例计算。
2.2 教学内容：等比性质定义：如果有两个比例相等，它们可以组成一个新的比例。
等比性质的表示方法：a:b = c:d 表示a/b = c/d。
2.3 教学步骤：1. 引入等比性质的概念，引导学生理解等比性质的意义。
2. 通过示例讲解等比性质的应用，让学生学会如何运用等比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些等比性质的练习题，巩固所学知识。
章节三：合比性质和等比性质的应用3.1 教学目标：学会运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3.2 教学内容：合比性质和等比性质的应用场景：如商业、工程等领域中的比例计算问题。
3.3 教学步骤：1. 引入合比性质和等比性质的应用场景，让学生了解合比性质和等比性质在实际问题中的应用。
2. 通过示例讲解合比性质和等比性质在实际问题中的应用，让学生学会如何运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质和等比性质的应用题，巩固所学知识。
章节四：比例计算练习4.1 教学目标：巩固比例计算的知识。
4.2 教学内容：比例计算的方法和技巧。
4.3 教学步骤：1. 复习比例计算的基本概念和公式。
2. 通过示例讲解比例计算的方法和技巧，让学生学会如何进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些比例计算的练习题，巩固所学知识。
章节五：比例应用题5.1 教学目标：学会解决实际问题中的比例应用题。
中考复习 等比、合比性质综合应用--练习(含答案详解)
等比、合比性质综合应用--经典练习（含答案详解）3y ==C ．2018D ．00<=-=-=abc cxz b z y ，则a ，b ，c 中负数的个数有（ ） B ．2个 C ．3个 D ．4个7.已知三角形的三边长分别为4cm ，5cm ，6cm ，则这三边上的高的比为（ ）A ．4：5：6B ．5：4：6C ．6：5：4D ．15：12：10t bac a c b =+=+=，那么直线t tx x f +=)(一定通过第 象限．t ba ca cb =+=+=则一次函数2)(t tx x f +=的图象必定经过的象限是 ．，则一次函数y=(2-k )x+1一定不经过（ ） C ．第三象限 D ．第四象限2+16=8n ，则关于x 的一次95===f e d c ，++++fd be c aa cb =+=D．y+z=3x为（）A．A＞B＞C B．A＜B＜C C．C＞A＞B D．A＜C＜BD．第一、四象限A．12 B．6 D．3C．（1，2）D．（1，-1）33.(1)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．(2)已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段 a和b的比例中项．求线段c的长．(3)已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，x=2时，y=5．求：①y与x之间的函数关系式；②当x=4时，求y的值．35.已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=1，P 、Q 分别为AD 、BC 上两点，且AP=CQ ，连接AQ 、BP 交于点E ，E F 平行BC 交PQ 于F ，AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根． （1）求m 的值；（2）试用AP 、BQ 表示EF ； （3）若S △PQE =81，求n 的值．参考答案3y ==29421694241263222222222=++++=++++k k k k k k z y x zx yz xyz k c b y k b a x =-=-=,,0=-+-+-=++ka c k cb k b a zy x 故选D ．3.【解析】设k y x B A )2(+=+，则k y x B A )(-=-，联立两式解关于A 、B 的方程，可4.【解析】设甲、乙、丙单独工作分别需x 天、y 天、z 天．由①得， z x y x m +=，11++=+z x y x m ，zx y x m =++=+1111yzxy xz xz ++=yzxy xz xy ++=6.【解析】A 、相似三角形的对应边不相等，故是假命题，故本选项正确；B 、全等三角形也是相似三角形是真命题，故本选项错误；当t=0.5时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、三象限， 当t=-1时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、四象限，∴图象必定经过的象限是一、二象限．故答案为：一、二象限10.【解析】根据已知条件，得出a+b=ck ①，b+c=ak ②，c+a=bk ③，①+②+③，得 2(a+b+c )=k (a+b+c )．(1)当a+b+c≠0，则k=2；(2)当a+b+c=0，则a+b=-c ，b+c=-a ，a+c=-b ， ∴k=-1；∵y=(2-k)x+1为一次函数，所以2-k≠0，即k≠2，∴k=-1；∴y=3x+1经过一、二、三象限，一定不过第四象限．故选D∴m=5，n=3，②③ ===f e d c f e d c b 959595===，，95)(95959595=++++=++++=++++f d b f d b f d b f d b f d b e ca1-==abcabc故答案是8或-1．17.【解析】利用排除法解题，A 选项，根据合比性指可知正确；9-=yx19.【解析】由0≠xyz 可得到z y x ，，均不为0，由等比性质d c b a n d b m c a n d b n m d c b a ====±±±±±≠+++=== ，由有)0(① 当0≠++z y x 时，2)(2)()()(=++++=+++++++==+=+=+xy z z y x x y z z y x z y x k x z y y x z z y x ② 当0=++z y x 时，可推出z y x -=+，x z y -=+，y x z -=+所以1-=-=-=-==+=+=+xxy y z z k x z y y x z z y x 所以k 的值为2或-121442-=-=k k k3452=-+=-+k k k b c aD 选项，x z z z z y z x z y 3712757475==+=+==，，，D选项正确 189241332==++++-=++k k k k z y x ，所以10712====z y x k ，，，加可得，bk ak ck c a c b b a ++=+++++即，k c b a c b a )()(2++=++① 当0≠++c b a② 当0=++c b a 时，可推出c b a -=+，a c b -=+，b c a -=+，所以1-=k27.【解析】分情况讨论：直线一定经过一、二、三象限；当a+b+c=0时，即a+b=-c ，则k=-1，此时直线为y=-x-1，即直线必过二、三、四象限． 故直线必过第二、三象限．故选B ．积是4121121=⨯⨯=S 当a+b+c=0，则 b+c=-a ，1-=-=+=aa cb a k ，一次函数为y=-x-1，则函数 y=-x-1的图象与坐标轴围成的面积是211121=⨯⨯=S32.【解析】 ∵k c b a b c a a c b =+=+=+，∴ak=b+c ①；bk=a+c ②，ck=a+b ③，∴①+②+③得，2(a+b+c )=k (a+b+c )，（1）∵k≠0，∴a+b+c=0，∴a+b=-c ，∵1-=-=+=cc c b a k ，∴直线为y=-x-1； （2）当a+b+c≠0时，则k=2，∴直线为y=2x+2，∴直线y=-x-1和y=2x+2必经过点（-1，0）．故答案为：（-1，0）．33.【解析】（1）∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a:b=c:d,∵a=3，b=2，c=6，代入得：d=4，（2）∵线段c 是线段 a 和b 的比例中项，∴c 2=ab ，∵a=4，b=9，代入得：c=6，（3）∵y 1与x 成正比例，设y 1=ax ，（a≠0），∵y 2与x 成反比例，)0(2≠=b x b y )0(≠+=b x b ax y ,把x=1，y=4和x=2，y=5代入得：a=2，b=2,x x y 22+=当x=4时，217=y 34.【解析】首先根据条件k b a c c a b c b a =+=+=+，根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得到直线y=kx+b 中的k 值，再根据经过点（4，0）可求出b 的值，从而得到函数关系式，然后画出函数图象即可求出与两坐标轴所围成的三角形的面积，面积为4或835.【解析】（1）∵AP=QC ，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，又∵AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根， 所以有AP+BQ=m ，AP•BQ=n ，∴AP+BQ=m=1．即m=1．（2）∵EF ∥AP ，∴AQEQ AP EF =， 又∵AP ∥BQ ，∴APBQ AE EQ =，∴BQ AP BQ EQ AE EQ +=+即BQ AP BQ AQ EQ +=，∴BQ AP BQ AP EF +=即：BQAP BQ AP EF +•=． ∵AP+BQ=1，∴EF=AP•BQ ．（3）连接QD ，则EP ∥QD得：S △AQD =21，且S △AEP ：S △AQD =AP 2：AD 2=AP 2：1=AP 2， ∴S △AEP =AP 2•S △AQD =21AP 2，∴S △PQE ：S △AEP =EQ ：AE ，即81：21AP 2=EQ ：AE=BQ ：AP ，学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
合比等比性质及习题
比例的合比性质：如果d c b a =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ 【基础练习2】1、把mn=pq 写成比例式写错的是()3若3=y x，求yy x +的值。
（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.则a ∶b ∶c.= 9、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3.平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. 专题二、定理及推论与中点有关的问题d kdc b kb a ±=±dc cb a a ±=±【例3】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+的值为（）A.52B.1C.32D.2【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想. 【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
八年级数学：第四册合比性质和等比性质例
初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案编订：XX文讯教育机构第四册合比性质和等比性质例教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
教研课教案设计教者：龙秀明教学课题：合比性质和等比性质教学目标：1、掌握合比性质的等比性质，并会用它们进行简单的比例变形2、会将合比性质、等比性质用于比例线段。
3、提高学生类比联想、推广命题的能力。
教学重、难点：熟练地、灵活地运用合比性质与等比性质。
课前准备：小黑板、幻灯机及幻灯片。
教学过程：一、复习引入：我们在前边学习了线段的比，比例的有关概念及性质，那么请同学们回忆1、什么叫线段的比？2、什么叫成比例线段？我们还学习了比例的基本性质，那么，除此之外，比例还有一些什么性质呢？这就是本节课我们将要研究的比例的合比性质与等比性质。
（出示课题：合比性质与等比性质）那么，通过本节课的学习我们要达到一个什么样的要求呢？（出示小黑板）看学习目标1、2，（全班同学齐读）下边请同学们再回忆，我们在上一章学习的平等线等分线段定理是如何叙述的？（抽同学回答）请看幻灯（投影显示）二、（用特殊化方法）探索合比性质。
1、复习，已知：一组平行线在直线l上截得的线段AB=BC=CD=DE=EF则由平行线等分线段定理可得一个结论:即A´B´=B´C´=C´D´=D´E´=E´F´。
2、将上述结论改写成比例式，由此猜想得出结论，引导学生思考：如果设在l上截得的每一份为k，问AD=？DF=？？又设在l1上截得的一等份为m，问A´D´=？D´F´=？？观察以上分析，可得出一个什么样的结论？又观察与有什么关系？对于一般的比例式都有这一个关系吗？请猜一猜。
合比性质和等比性质合比性质课件
通过这个课程，学习者可以掌握合比 性质和等比性质的基本概念、性质和 应用。
此外，该课程还注重培养学习者的逻 辑思维和数学素养，为进一步学习其 他数学课程打下坚实的基础。
展望
随着数学理论和应用的不断发 展，合比性质和等比性质的相 关知识也将不断更新和完善。
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定义
合比性质和等比性质的定义不同，合 比性质是指两个比值的和或差与另一 个比值之间存在一定的关系，而等比 性质则是两个比值相等。
性质
应用
合比性质在数学、物理等领域有广泛 应用，如几何、代数等，而等比性质 则主要应用于比例、百分数等问题。
合比性质涉及到两个比值的和或差与 另一个比值之间的关系，而等比性质 则是两个比值相等。
应用场景
等比性质在几何学中有着广泛的应用，如相似三角形、相似多边形的判定和性质等 。
等比性质在函数和数列中也经常出现，如等差数列和等比数列的判定和性质等。
等比性质在解决实际问题中也有应用，如测量、工程设计等领域中经常需要用到等 比性质来计算比例和比例关系。
03 合比性质和等比性质的比 较和联系
比较
练习题
设计一系列与合比性质和等比性 质相关的练习题，难度适中，覆
盖面广。
练习题应包括选择题、填空题、 计算题等多种题型，以便全面考 查学生对合比性质和等比性质的
理解和掌握程度。
对于难度较大的题目，可以给出 提示或解题思路，帮助学生更好 地理解和掌握合比性质和等比性
质。
06 总结和展望
总结
合比性质和等比性质合比性质课件是 一个全面、深入的课程，涵盖了合比 性质和等比性质的相关知识。
19.1(2) 合比性质 等比性质
19.1* 合比性质 等比性质**********************************教学目标*************************************1. 知道合比性质、等比性质2. 掌握合比性质、等比性质的证明方法3. 能应用合比性质、等比性质进行计算和证明4. 渗透方程思想，分类讨论思想**********************************教学重点************************************* 合比性质、等比性质的证明与应用**********************************教学难点************************************* 合比性质、等比性质的应用**********************************板书设计************************************* 合比性质、等比性质合比性质 等比性质证明：_______________ 证明：____________________________________ __________________________________________ _____________________练习：_______________ 练习：____________________________________ __________________________________________ _____________________**********************************教学内容*************************************一、复习检测1. Rt △ABC 的斜边长为c ，斜边上中线长为m ，则m ：c=___________2. 已知：菱形ABCD 中，∠A=60°，AC 、BD 使对角线，则AC BD=_________ 3. 若a=b ，b=216，a ：x=x ：b ，那么x=______二、新课(一) 合比性质 做一做：(1)已知3a c b d ==，求a b b+和c d d +的值. (2)已知15a c b d ==，求a b b +和c d d +的值. 你还有什么发现？ 提出问题：a b b+与c d d +之间的相等是偶然的吗？你能证明吗？(学生讨论) 引导学生证明：a b b +与c d d +相等关系成立的前提是a c b d = 即：我的写成已知、求证的形式则为 已知：a cb d= 求证：a b b+=c d d + 证明：(方法一)∵a c b d =∴1a b +=1c d+利用等式基本性质(符理要学生说) ∴a b b b +=c d d d+ 即a b b+=c d d + 证明：(方法二)设a c k b d ==(见比设k) 则a=bk ，c=dk (方程思想) ∴1a b bk b k b b ++==+ 1c d d k d k d d++==+ ∴a b b+=c d d + 得出结论：如果a c b d =，那么a b b +=c d d +，这就是合比性质 练习：1.已知5x=7y ，且xy ≠0，则x ：y=______，y ：x=_______，x y y +=_______，x y y -=________，x y x y+-=_______。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
比例的性质及其应用
x x 3、若3 x = 2 y , 则 = _____ 4、若mx = ny , 则 = _____ y y
5、若2 x = 5 y , 则下列比例式成立的是 （
x y A) = 2 5 x y B) = 5 2
x 2 应用举例
x− y 2 6、若 = , 则 x : y = ________ x+ y 3 x −1 y −1 7、若 , 则 x : y = ________ = x y
a+b a+c b+c 5、若a + b + c ≠ 0, 设 = = = k , 则k = _______ c b a a b c 6、若 = = = k , 则k = _______ b+c a+c a+b
（其中 b + d + f ≠ 0, b + 2d + 3 f ≠ 0)
等比性质的应用举例
a c e 2 3、若 = = = , 且a + c + e = 4，则 b + d + f = ____ b d f 3 （其中 b + d + f ≠ 0)
a b c 4、已知△ ABC的三边分别为 a、b、c，且满足 = = 已知△ b c a 则△ ABC的形状是 _______
x + 2y + z 5、已知 x : y : z = 1 : 2 : 3, 则 = ______ z− x
x y z 6、已知 = = , 且2 x + y − z = 4, 则 x + y + z = ______ 2 3 5
x+z 7、若2 x = 3 y = 4 z , 则 x : y : z = ______; = ____ x− y
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比例的合比性质：如果d c
b
a =
,那么d
d c b b a ±=
±； 比例的等比性质：
如果
d c b a ==…=n m
（b +d +…+n ≠0）,那么
b
a n d
b m
c a =++++++ΛΛ
4、若
753z
y x ==,则z y x z y x -++-=________.
5、若65
432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 6、若
f e
d c b a ===2，则
=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 7、若
z y x y z x x z y +=+=+，求z
y x
+的值。
8、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么
c b a h h h ::等于（ ）
A 、4：5：6
B 、6：5：4
C 、15：12：10
D 、10：12：15
平行线分线段成比例定理及其推论
一. 平行线分线段成比例定理
如下图（1），如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
.
_______
,341=+=b
b a b a 、则已知______;,9172==+y x y y x 、则若____,3,2
13=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±l 3
l 2l 1F
E D C
B A A
B
C
D
E
E
D
C B A
图（1） 图（2）
二. 平行线分线段成比例定理的推论：如图（2），在三角形中，如果DE BC ∥，则
AD AE DE
AB AC BC
==
三. 平行的判定定理：如上图（2），如果有
BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥ BC 。
9、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c
a
b
=+.
F
E D
C
B
A
10、如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. F
E
D
C
B
A
11、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.
F
E D
C
B
A
12、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
O
F
E
D C
B
A
13、（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =，
连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.3
2
D.2
（3）
14、如上图（3），ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P 。
若2AD DE =，求证:3AP AB =
15、在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
16、已知：如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC ＝1：2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，求证：BF ：FC ＝1：3。
证明：
(1)
M E
D C B A
(2)F E
D C A P E
D
C B
A M
H G F E C B A
A B
D E
F
C
17、如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；
（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． 解：
N。