北师大版九年级数学上册(新)《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课件(共21张PPT)
【解析】(x+5)(x-5)=0
∴x+5=0,或x-5=0 ∴x1= -5,x2=5.
1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键是什么？
2、在应用分解因式法时应注意什么问题？ 3、分解因式法体现了怎样的数学思想?
忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的． ——卢梭
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
学习 目
1、会用因式分解法解一些一元二次方程；
标
2、能根据一元二次方程的特点，灵活选择解法．
回顾与复习
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 (x+m)2=n（n≥0） 的形式； ___________________ 2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为 一般形式 ； ___________ 3、 解方程:(1)x2 2 x 2 0
2
【解析】 2 x 2
7x 4 0
a=2,b=7,c=-4 b2 4ac 7 2 4 2 (4) 81＞0 7 81 7 9 x 2 2 4 1 x1 , x2 4 2
知识讲 解
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这 个数是几？你是怎样求出来的？
2
b2 4ac (3) 2 4 1 0 9 0 3 9 33 x 2 1 2 x1 3, x2 0
解方程：x2 － 3x=0．
小亮是这样想的 :
小亮是这样解的 :
【解析】 x
2
如果a b 0,
那么a 0或b 0
即, 如果两个因式的积 等于0, 那么这两个数 至少有一个为0.
一般地,要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),
只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o)
的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就 可以了.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0
解方程 : x 2 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1);
3 3 3 3 2 解方程： 4x 12x 9 0得x1 , x 2 ; 而4 x 12 x 9 4( x )( x ); 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程： 3x 7x 4 0得x1 ,x 2 1; 而3x 7 x 4 3( x )( x 1); 3 3
【规律方法】用分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1. 方程的右边为0，左边可分解因式； 2. 把左边分解因式； 3. 根据“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个 因式等于零.”转化为两个一元一次方程； 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的 根.
跟踪训练
1.你能用分解因式法解下列方程吗？ (1)x2-4=0; (2)(x+1)2-25=0.
7 x1 0, x2 . 2
2.用分解因式法解下列方程 1. x 2
参考答案：
1.x1 5; x2 2.
(5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0
2.x1
5; x2 3.
3.x 2 (3 2 ) x 18 0
个因式等于零.”
例
题
1、用分解因式法解方程:(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2).
【解析】 1.5x 2 4x 0,
2 .( x 2) x x 2 0,
x5x 4 0.
x 0, 或5x 4 2)2 x 2 7 x 4
解方程:(1)x 2 x 2 0
2
【解析】 x
2
2x 2
x2 2 x 1 2 1 ( x 1) 2 3 x 1 3 x 3 1 x1 3 1, x2 3 1
(2)2 x 7 x 4
【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
【解析】(x+2)(x-2)=0,
∴x+2=0或x-2=0.
∴x1=-2, x2=2.
随堂练 习
1.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 【解析】设这个数为x,根据题意,得
2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0或2x-7=0.
3x 0.
xx 3 0.
x 0, 或x 3 0.
x1 0, x2 3.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次 因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用 分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法. 提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握分解因式的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一
x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0.
x1 2; x2 1.
(3) (x+1)2-25=0
【解析】原方程可变形为
[(x+1)+5][(x+1)-5]=0 ∴ (x+6)(x-4)=0 ∴ ∴ x+6=0或x-4=0 x1=-6， x2=4
2
看出了点什么? 有没有规律 ?
【解析】通过观察上述的式子，可得以下两个结论：
（1）对于一元二次方程（x-p）（x-q）=0，那么它的两个 实数根分别为p、q； （2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p、q，那么这 个一元二次方程可以写成（x-p）(x-q)=0的形式.
归纳
二次三项式ax2+bx+c的因式分解
4. (4 x 2) 2 x(2 x 1)
3.x1 3; x2
4.x1
2.
5.3x( x 2) 5( x 2)
1 4 ; x2 . 2 7 5 5.x1 2; x2 . 3
3.观察下列各式,也许你能发现些什么?
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
【解析】设这个数为x，根据题意，
可列方程
x2=3x
∴ x2-3x=0 你能自己解方程吗？
配方法
公式法
【解析】x 3 x 0 9 9 2 x 3x 4 4 3 3 x 2 2 3 3 x 2 2 x1 3, x2 0
2
【解析】x 3 x 0 a=1,b=-3,c=0
2.4 用因式分解法求解一元二次方程(课件)2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
较适当的方法为( A )
A. ①直接开平方法, ②因式分解法, ③公式法
B. ①因式分解法, ②公式法, ③配方法
C. ①公式法, ②配方法,③因式分解法
D. ①直接开平方法, ②公式法, ③因式分解法
练习&巩固
2. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0;
解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
解：原方程可变形为
(x + 2)(x - 2) = 0
(x+1+5)(x+1-5)=0
x + 2 = 0 或 x - 2 = 0
(x + 6)(x - 4) = 0
x1 = -2，x2 = 2.
x + 6 = 0 或 x - 4 = 0
x1 = -6，x2 = 4.
例题欣赏
例题&解析
☞
例2.用适当的方法解方程：
第二章
一元二次方程
4. 用因式分解法求解一元二次方程
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境&导入
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，
看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，
不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较
北师大九年级数学上册《一元二次方程》课件(共17张PPT)
(×1)4x25y22 (×5)y2 1 80
y
×23x429 ×62x3y0
3y2 1 y√
3
4x2 0 √
×7 x2 3 x 4x2 7 8 ×a2x b xc0
(a、b、c为常数 )
考点1、一元二次方程的概念及相关问题。
1、一元二次方程定义： 把握住：①整式方程②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2 2、一元二次方程一般形式：
3x24x10
49x2212 0 1
强调：在选择解方程的方法时， 应先考虑直接开平方法和因式分解法； 再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
考点3、一元二次方程根的判别式。
3.根的判别式△=___b_2－__4_a_c_： （1）△＞0时 __原__方__程__有__两__个__不__相__等__的__实__数根 （2）△＝0时 __原__方__程__有__两__个__相__等__的__实__数__根 （3）△＜0时 __原__方__程__无__实__数__根__________
谢谢观赏
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我们，还在路上……
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
北师大版九年级上册数学 2 4 用因式分解法求解一元二次方程2 4 用因式分解法求解一元二次方程教案2
2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。
解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x （2x+1）=0 （2）3x （x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x 1=0，x 2=-12． （2）3x=0或x+2=0，所以x 1=0，x 2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）(2)20x x x -+-=；（2）221352244x x x x --=-+； （3）3(21)42x x x +=+；（4）22(4)(52)x x -=-．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题． 对于方程（1），若把（x －2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x ＋1）＝0；方程（2）经过整理得到2410x -=，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3(21)2(21)x x x +=+，然后整体移项得到3(21)2(21)0x x x +-+=，把（2x －1）看作一个整体提公因式分解即可；方程（4）把方程右边移到左边22(4)(52)0x x ---=，利用平方差公式分解即可．教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m ）为210 4.9x x-．你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P47随堂练习第1、2题补充练习解下列方程．1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.四、拓展提高例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a∴所求不等式的解集为x<-3 a【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
2022九年级数学上册 第2章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程习题课件北师大版
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第2章 一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
提示：点击 进入习题
1
(1)0 (2)两个一次因 式 (3)一元一次方程
2 17
6D 7A
3C
8B
4D
9A
5A
10 B
答案显示
11 见习题
16 见习题
12 (1)① (2)②③ (3) 17 见习题 ④⑤ (4)⑥
13 D
18 见习题
14 C
15 见习题
(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为x1＝－3，A )
A．甲错误，乙正确
B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
8．(2020·金昌)已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0 的一个根，则m的值为( B )
A．－2或2 B．－1 C．2 D．0
(2)若一个三角形的一条边的长为 2 6，另外两条边的长是关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解，试判断该三角形的形状，并说明 理由．
解：当 a＝－4 3，b＝12 时，关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 即为 x2－4 3x＋12＝0，解得 x1＝x2＝2 3. ∵(2 3)2＋(2 3)2＝(2 6)2， ∴以 2 3，2 3，2 6为三边长的三角形是等腰直角三角形．
14．方程9(x＋1)2－4(x－1)2＝0的正确解法是( C ) A．直接开平方得3(x＋1)＝2(x－1) B．化成一般形式为13x2＋5＝0 C．分解因式得[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0 D．直接得x＋1＝0或x－1＝0
15．解下列方程： (1)(2020·南京)x2－2x－3＝0；
初中数学北师大版九年级上册《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课件
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
新知讲解
探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
（x +1+5）（x +1-5）=0．
x + 2 = 0，或 x - 2 = 0．
x +1+5 = 0，或 x +1-5 = 0．
∴ x1 = -2， x2 = 2
∴ x1 = -6， x2 = 4
注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想
课堂练习
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A )
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.
课堂总结
1、什么是因式分解法？
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因
式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二
次方程的方法称为因式分解法．
2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？
(1)整理方程，使其右边为0；
于分解成两个一次因式的乘积的
形式，再进行求解．
如果a·b＝0，那么a=0或b=0.
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．
新知讲解
x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
于是x=0，或x-3=0
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优质课课件(共19张PPT)
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
北师大版初中九年级上册数学课件-《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件精选全文
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函 数转化成了两个一 元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
《用因式分解法求解一元二次方程》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (2)
相信你行：
一个数的平方与这个数的3倍有可能 相等吗？如果能，这个数是几？你是 怎样求出来的？
解：设这个数为x，根据题意，可列方程
x2=3x
∴ x2-3x=0
即 x(x-3)=0
∴ x=0或x-3=0
∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3。
归纳总结：
1、当一元二次方程的一边为0，而另一 边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门 就采用分解因式法来解一元二次方程。
小试牛刀：
1、解下列方程： （1） (X+2)(X-4)=0 （2） X2-4=0 （3） 4X(2X+1)=3(2X+1) 2、一 个数平方的两倍等于这个数的7倍， 求这个数.
拓展延伸：
1、一个小球以15m/s的初速度竖直向 上弹出，它在空中的速度h(m)与时间 t(s)满足关系：h=15t-5t2 小球何时 能落回地面？
4时15分呢？ 2时48分呢？
钟表上的数学
确定相应钟表上时针与分针所成的
角度
4：00
钟表上有12大格， 每小时时针走1大
格，时针转 30°.
钟表上有60小格， 每分钟分针走1小
格，分针转 6°.
120°
(2) X-2=X(X-2)
解：原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0
∴ (X-2)(1-X)=0 ∴ X-2=0或1-X=0
∴ X1=2 ， X2=1
(3) (X+1)2-25=0
解：原方程可变形为 [(X+1)+5][(X+1)-5]=0
∴ (X+6)(X-4)=0 ∴ X+6=0或X-4=0 ∴ X1=-6 ， X2=4
第二章 一元二次方程
北师版九年级上册 2.4因式分解法解一元二次方程
(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明 地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
(6)(x 4)2 (5 2x)2
解 : x 4 (5 2x). x1 3, x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5) 2r
2 2
2
r
10 2
200
.
例3 解下列方程: 1 3 2 2 (2)5 x 2 x x 2 x , 4 4
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0 x 2 0或2 x 3 0
3 x1 2, x2 . 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为因式分解法. 提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零.”
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 4用因式分解法求解一元二次方程习题课件 (新版)北师大版
x33241135，
2
2Байду номын сангаас
x1325,x2
3 5. 2
(2)开平方,得x-1=± ,3∴x1=1+ ,x3 2=1- . 3
(3)移项,得x2-3x=0,
因式分解,得x(x-3)=0,
于是得x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3. (4)配方,得(x-1)2=5,∴x-1=± ,5∴x1=1+ ,x52=1- . 5
2
提示:不正确,因为方程两边若同时除以x,结果就把x=0这个根 遗漏了,所以不正确.
【备选例题】用因式分解法解方程(3x-1)2=16.
【解析】移项,得(3x-1)2-16=0,
∴(3x-1+4)(3x-1-4)=0,
∴3x-1+4=0,或3x-1-4=0,
∴x1=-1,
x2
5. 3
【方法一点通】 因式分解法解一元二次方程的“四个步骤” 1.转化:把方程化为右边为0的形式. 2.分解:将方程的左边分解成两个一次因式乘积的形式. 3.降次:令每个因式分别等于0,得到两个一元一次方程. 4.求解:解这两个一元一次方程,得到原方程的解.
4 用因式分解法求解一元二次方程
1.因式分解法的定义: 将一元二次方程因式分解化为两个_一__次__因__式__的乘积等于_0_的 形式,再使这两个一次因式分别等于_0_,从而求出方程的解的 方法.
2.因式分解法的理论依据: 如果a·b=0,那么a=__0或b=__0. 3.因式分解法的数学思想: 体现了_转__化__的思想,即将二次方程利用因式分解转化为一次 方程.
【微点拨】 (1)解方程若没有具体的要求,我们通常选择较简便的方法求解. (2)一般解方程最后的选择是公式法和配方法,因为它适合任意 的一元二次方程.