黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高二上学期期中数学理试题
黑龙江省双鸭山一中高二数学上学期期中考试(理)
高二 数学（理科）（时间：120分钟 总分：150分 Ⅰ卷交答题卡，Ⅱ卷交答题纸） 第Ⅰ卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1、某地区高中分三类，A 类学校共有学生4000人，B 类学校共有学生2000人，C 类学校共有学生3000人，现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A 类学校抽取的试卷份数应为 （ ） A 、450 B 、400 C 、300 D 、2002、先后抛掷三次一枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率为 （ ）3、把“二进制”数(2)1011001化为“五进制”数是 （ ）A.(5)224 B.(5)234 C.(5)324 D.(5)4234、用秦九韶方法求多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++在4x =-的值时，4v 的值为 （ ）A.57-B.220C.845-D. 3392 5、由一组样本数据11(,)x y ，22(,)x y ， ．．． ，(,)n n x y 得到回归直线方程y bx a =+，那么下面说法不正确的是 （ ） Ａ、直线y bx a =+必经过(,)x y Ｂ、直线y bx a =+至少经过11(,)x y ，22(,)x y ， ．．． ，(,)n n x y 中的一个点Ｃ、直线y bx a =+的斜率为1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑Ｄ、直线y bx a =+和各点11(,)x y ，22(,)x y ， ．．． ，(,)n n x y 的偏差21[()]niii y bx a =-+∑是该坐标平面上与这些点的偏差最小的直线6、用辗转相除法求1855与1120的最大公约数是（ ） A.35 B. 45 C. 40 D. 557. 如图，给出的是计算111124620++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) A. 20?i > B. 20?i ≤4．┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆○订┆┆┆┆┆┆┆线┆┆┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆┆○┆┆┆C. 10?i ≤D. 10?i >8. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩（单位：分） 统计的茎叶图如图所示，若甲乙两人的平均成绩分别 为x 甲、x 乙，则下列结论正确的是 ( )A. x <x 乙甲，乙比甲成绩稳定 B. x >x 乙甲，甲比乙成绩稳定 C. x >x 乙甲，乙比甲成绩稳定D.x <x 乙甲，甲比乙成绩稳定（第7题图）（第8题图） 9、 下边程序运行后输出的结果为（ ） A. 50 B. 5 C. 25 D. 0 10、如图大正方形的面积为13，四个全等的直角三角形 围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率（ ）A.413B. 213C. 113D. 31311、如图是求1231000n ++++<成立的n 的最大整数值的程序框图，则○1处应该填的内容和最后输出的结果分别是（ ）甲 乙 78 9 2 62 8 7 82 1 85A. 输出n ， 44B. 输出n-1 ， 44C. 输出n-1 ， 43D. 输出n-2 ， 4412、设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是，现有直径等于 2cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后 与格线没有公共点的概率A.14B. 25C. 34D. 23第Ⅱ卷（共10题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分） 13、数据1,28,,x x x 平均数为6，标准差为2，则数据12826,26,,26x x x ---的平均数为_________.14、沿田字格的路线从A 往N 走；且只能向右或向下走， 随机地选一种走法，则经过点C 的概率是_________. 15、将各面涂有颜色的正方体锯成3n 个同样大小的 小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中至少 有一面涂色的概率是______________.16、随机地向半圆0y << （a 为正常数）内抛掷一点，点落在半圆内的任意区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴夹角小于4π的概率是____.三、解答题（包括6小题，共70分） 17、（本小题满分10分）甲盒中有红、黑、白皮笔记本各3本，乙盒中有黄、黑皮笔记本各2本，从两盒中各取一本。
黑龙江省双鸭山市高二上学期期中数学试卷(理科)
黑龙江省双鸭山市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A（3，2）和B（a，﹣1），且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x+by+1=0，且直线l2与直线l1平行，则a+b等于（）A . ﹣4B . ﹣2C . 0D . 22. （2分）下列四个命题中，真命题是（）A . 和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B . 和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线C . 和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线D . 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线3. （2分）两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是（）A . 相切B . 内含C . 相交D . 相离4. （2分）(2017·吕梁模拟) E为正四面体D﹣ABC棱AD的中点，平面α过点A，且α∥平面ECB，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m、n所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·房山模拟) 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系中的坐标O﹣xyz分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），画出该三棱锥三视图中的俯视图时，以xoy平面为投影面，得到的俯视图为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·南昌期中) 直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A . x+y﹣2=0B . x﹣y=0C . x﹣1=0或y﹣1=0D . x+y﹣2=0或x﹣y=08. （2分）(2017·莱芜模拟) 已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2019高一下·上海月考) 若角和角的终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（）A .B .C .D . .10. （2分） (2016高一上·南山期末) 已知直线l1：3x+2y+1=0，l2：x﹣2y﹣5=0，设直线l1 ， l2的交点为A，则点A到直线的距离为（）A . 1B . 3C .D .11. （2分）圆关于直线对称的圆的方程是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·成都月考) 已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若面，，且，，则球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知直线l过点P（3，4）且与直线2x﹣y﹣5=0垂直，则直线l的方程为________．14. （1分） (2016高一上·珠海期末) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的表面积为________．15. （1分）若动点P在直线l1：x﹣y﹣2=0上，动点Q在直线l2：x﹣y﹣6=0上，设线段PQ的中点为M（x1 ，y1），且（x1﹣2）2+（y1+2）2≤8，则x12+y12的取值范围是________16. （1分） (2018高一上·长安期末) 已知向量满足的夹角为，则=________.三、解答题 (共6题；共75分)17. （10分）已知三角形的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），（1）、求BC边上中线所在直线的方程；（2）、已知B、C到直线ax+y+1=0的距离相等，求a的值．18. （10分）(2016·花垣模拟) 已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），（0，0），（1，2）．（1）求f（x）的解析式；（2）若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=f（n），求{an}的通项公式．19. （15分）(2018·天津模拟) 如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4.（1）求证：DF∥平面BCE；（2）求二面角C—BF—A的正弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．20. （15分） (2015高二上·朝阳期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，且，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，△PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设（M与C不重合）．（1）求证：CD⊥DP；（2）若PA∥平面BME，求k的值；（3）若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°，求k的值．21. （15分）(2016·大连模拟) 四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2 ，SB=SC= ．（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；（2）求证：SA⊥BC；（3）求直线SD与面SAB所成角的正弦值．22. （10分） (2016高二下·重庆期中) 如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（1）证明：∠CBD=∠DBA；（2）若AD=3DC，BC= ，求⊙O的直径．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
黑龙江省双鸭山市高二上学期期中数学试卷(理科)
黑龙江省双鸭山市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分）设,则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）平面向量与的夹角为，=（2,0），||=1 则|+2|=（）A .B .C . 4D . 124. （2分） (2017高二上·南阳月考) 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（）A . 2B .C .D .5. （2分） (2015高二下·赣州期中) 己知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+ ≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣1，3）C . （﹣3，+∞）D . （﹣3，1）6. （2分）与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·大连模拟) 已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若 =3 ，则直线l的方程为（）A . x﹣2y﹣1=0B . 2x﹣y﹣2=0C . x﹣ y﹣1=0D . x﹣y﹣ =09. （2分）已知点P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·成都开学考) 已知F是双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，若以点B （0，b）为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点P，且∥ ，则该双曲线的离心率为（）A . +1B .C . 2D .11. （2分）在△OAB中， =4 ， =2 ，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点，若=λ ，=μ ，（λ，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）己知命题p：“∃x0＞0，3 =2”，则￢p是________．14. （2分）(2014·北京理) 设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．15. （1分） (2015高三上·潍坊期末) 已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则p=________．16. （1分） (2016高二上·长春期中) 已知| |=3 ，| |=4， = + ， = +λ ，＜，＞=135°，若⊥ ，则λ=________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．（1）求证：与互相垂直；（2）若k 与﹣k 的长度相等，求β﹣α的值（k为非零的常数）．18. （10分）(2017·河南模拟) 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m的方程．19. （10分） (2018高一下·山西期中) 已知 .（1）若，且，求角的值；（2）若，求的值．20. （5分） (2017高二上·大连期末) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．21. （5分） (2017高三上·荆州期末) 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A，B两点，E的准线与x轴交于点C，△CAB的面积为4，以点D（3，0）为圆心的圆D过点A，B．（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；（Ⅱ）若斜率为k（|k|≥1）的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M，N两点，求的取值范围．22. （10分）已知抛物线C顶点在坐标原点，准线垂直于x轴，且过点M（2，2），A，B是抛物线C上两点，满足MA⊥MB，（1）求抛物线C方程；（2）证明直线AB过定点．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1、答案：略2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10、答案：略11-1、12、答案：略二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19、答案：略20-1、21-1、22-1、22-2、。
黑龙江省双鸭山市数学高二上学期理数期中考试试卷
黑龙江省双鸭山市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，②x，y∈R，“若xy=0，则x2+y2=0的否命题是真命题”；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （1分）“”是“”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （1分） (2019高二上·余姚期中) 已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于（）A . 2B . 4C . 6D . 84. （1分） (2016高一下·衡阳期中) 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A . 1B . ﹣C .D . ﹣5. （1分）已知平面内两定点A（﹣5，0），B（5，0），动点M满足|MA|﹣|MB|=10，则点M的轨迹是（）A . 两条射线B . 双曲线C . 一条射线D . 双曲线的一支6. （1分） (2018高二上·抚顺期末) 已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线上的一点，且，则等于（）A .B .C .7. （1分） (2015高二上·黄石期末) 设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A （a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线 1的公共点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （1分） (2016高二下·卢龙期末) 已知双曲线的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N 是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于（）A . 4B . 2C . 1D .9. （1分） (2017高二上·牡丹江月考) 设直线与抛物线相交于、两点，抛物线的焦点为，若，则的值为（）A .B .C .D .10. （1分）已知抛物线的准线与双曲线交于，两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则的值为（）B .C .D .11. （1分）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A .B .C .D .12. （1分） (2019高二下·成都月考) 已知，则等于（）A . -2B . 0C . 2D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·浦城期中) 已知a、b是两个命题，如果a是b的充分条件，那么¬a是¬b的________条件．（填“充分条件”、或“必要条件”、或“充要条件”）14. （1分）从双曲线x2﹣y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为________15. （1分） (2016高二上·昌吉期中) 椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为 m，则m=________．16. （1分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）=xsinx，则f（x）在x= 处的导数为________．三、解答题 (共6题；共11分)17. （1分） (2016高一下·揭阳期中) f（x）=（ax2+x﹣1）ex（1）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（2）若a=﹣1，f（x）的图象与g（x）= x3+ x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的范围．18. （1分） (2017高二下·深圳月考) 已知函数，其中．（Ⅰ）求函数的零点；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性；（Ⅲ）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．19. （3分）点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．20. （2分）给定双曲线，过A（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于B、C两点，且A为线段BC中点？这样的直线若存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．21. （2分）判断“函数有三个零点”是否为命题.若是命题，是真命题还是假命题?说明理由.22. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。
黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期期中试题 数学(理
高二上学期数学期中试题（120分钟 150分）第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题1．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2) 2.方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D.3. 已知直线的倾斜角为，且，则直线的斜率的取值范围是( )4.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）5．圆221:26260C x y x y ++--=与圆222:4240C x y x y +-++=的位置关系是（）A 、内切B 、外切C 、相交D 、相离6.设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 2－4y 2＝1 B ．4y 2－x 2＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 2＝17．若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为( )A.-1或B.1或3C.-2或6D.0或4 8．正方体-中，与平面所成角的余弦值为( ) A ． B ． C ． D ．9.设21,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为 （ ） A ． B ．C ．D ．10.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若=a =b ， =c ，则下列向量中与相等的向量是 ( )A .－a +b +cB . a +b +cC . a －b +cD .－a －b +c11．方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( )12.如图所示，圆与轴的两个交点分别为A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在轴上方的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 周长最大时，双曲线的方程为 （ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题13.点关于直线的对称点的坐标为14． 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1⊥2.若△PF 1F 2的面积为16，则b ＝________15. 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．16．P 为双曲线右支上一点，M, N 分别是圆和圆上的动点，则的最大值为_______.三、解答题17．已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－34，(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．18．（1）已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8 ，求该椭圆的标准方程； （2）求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程.19．已知圆C 的圆心在直线y=x+1上，半径为，且圆C 经过点P （5，4） （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点A （1，0）且与圆C 相切的切线方程．20.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点． （1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，点M 在线段PC 上，且PM=3MC ， 求三棱锥P ﹣QBM 的体积．21.（本小题12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ， DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°. (1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F -BE -D 的余弦值．22. 已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（，）． （1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l ：y=kx+m （k ≠0），与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足4k=k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案一．选择题 (本大题共10小题, 每小题4分, 共40分）二．填空题（本大题有4小题, 每小题5分, 共20分） 13．（-5，-2） 14. 4 15. 16. 5 三、解答题（本大题共4题，共44分）17．[解析] (1)直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整理得3x ＋4y －14＝0.---------------------------------4 (2)设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0， d ＝|3×(－2)＋4×5＋n |32＋42＝3， 解得n ＝1或－29.∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.-----------------------------10 18.(1) 或 ------6分 (2) ----6分19．解：（1）设圆：()()222x a y b -+-=，点在直线上，则有圆经过点即：()()22542a b -+-=，解得：，圆：()()22452x y -+-=．---------------------6 （2）设直线斜率为，则直线方程为，即． 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径， 即： ，解得或．所求切线方程是，或．------------------------1220、解答：解：（1）∵PA=PD ， ∴PQ ⊥AD ，又∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，∴BQ ⊥AD ，PQ ∩BQ=Q ， ∴AD ⊥平面PQB 又AD 平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ；————————————————— 4分 （2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PQ ⊥AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PQ ⊥BC ， 又BC ⊥BQ ，QB ∩QP=Q ，∴BC ⊥平面PQB ， 又PM=3MC ， ∴V P ﹣QBM =V M ﹣PQB =——————————12分21．解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又BD ，DE 相交且都在平面BDE 内，从而AC ⊥平面BDE . ----------4(2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz ，如图所示．因为DE ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角就是∠DBE .已知BE 与平面ABCD 所成角为60°，所以∠DBE ＝60°，所以DEDB＝ 3. -------------------6 由AD ＝3可知DE ＝36，AF ＝ 6.由A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)， 得＝(0，－3，6)，＝(3，0，－26)．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0，令z ＝6，则n ＝ (4，2，6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以为平面BDE 的法向量，＝(3，－3，0)，----------10 所以cos 〈n ，〉＝＝632×26＝1313.因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为1313.------------------12 22答：解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1所以椭圆C的方程是…（4分）（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…（6分）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）…（7分）∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…（9分）将（•）代入得：m2=，…（11分）经检验满足△＞0．…（12分）。
2014-2015年黑龙江省齐齐哈尔中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤12．（5分）已知条件p：log2x＜0，条件，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，2≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件4．（5分）方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞15．（5分）若θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则曲线x2sinθ+y2cosθ=1是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α7．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣19．（5分）已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面角B﹣AC﹣P的正切值为（）A．2 B．3 C．D．10．（5分）已知点A（﹣4，0）和B（2，2）M是椭圆+=1上一动点，则|MA|+|MB|的最大值（）A．10+2B．+5 C．9+D．9+211．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5 B．+ C．7+D．612．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交与A，B两点，若=2，则k=（）A．2 B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上13．（5分）已知圆和圆，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为．14．（5分）已知点P是双曲线双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．I为△PF1F2内心，若S=S+S，则双曲线的离心率为．15．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为．16．（5分）圆x2+y2=2按向量=（2，1）平移后与直线x+y+m=0相切，则m=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．19．（12分）已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0和圆外一点M（4，﹣8）．（1）过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．20．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点．（1）求的取值范围；（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1【解答】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选：C．2．（5分）已知条件p：log2x＜0，条件，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵条件p：log2x＜0，∴0＜x＜1，∵条件，∴x﹣1＜0，∴x＜1，∴p⇒q，反之则不能，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，2≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件【解答】解：对于A，∀x0∈R，2＞0，故A错误；对于B，由于24=42=16，故∀x∈R，2x＞x2错，即B错误；对于C，当b≠0时，a+b=0的充要条件是=﹣1，故C错误；对于D，a＞2，b＞2⇒ab＞4，充分性成立，反之，若ab＞4，如（﹣2）（﹣3）=6＞4，但不满足a＞2，b＞2，即必要性不成立，故a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件，故D正确．故选：D．4．（5分）方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞1【解答】解：由（4m）2+4﹣4×5m＞0知m＜或m＞1．故选：B．5．（5分）若θ为三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则曲线x2sinθ+y2cosθ=1是（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆【解答】解：因为θ∈（0，π），且s inθ+cosθ=，所以θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，从而sinθ＞0，cosθ＜0，从而x2sinθ+y2cosθ=1表示焦点在x轴上的双曲线．故选：A．6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．7．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．8．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1【解答】解：由题可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1，点（0，﹣2）到直线x﹣2y+1=0的距离为=；由图可知：|PQ|min=﹣1，故选：A．9．（5分）已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面角B﹣AC﹣P的正切值为（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，又因为CA=CB，所以OA=OB．而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．从而BO⊥PQ．又α⊥β，α∩β=PQ，BO⊂α，所以BO⊥β．过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．故∠BHO是二面角B﹣AC﹣P的平面角．因为CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO=30°，不妨设AC=2，则AO=，OH=AOsin30°=．在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=，于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=2．故选：A．10．（5分）已知点A（﹣4，0）和B（2，2）M是椭圆+=1上一动点，则|MA|+|MB|的最大值（）A．10+2B．+5 C．9+D．9+2【解答】解：A为椭圆左焦点，设右焦点为F（4，0），则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，于是MA+MB=10+|MB|﹣|MF|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|﹣|MF|＜|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第三象限交点时有|MB|﹣|MF|=﹣|BF|，在第一象限交点时有|MB|﹣|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|﹣|MF|=10+|BF|=10+2．故选：A．11．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A．5 B．+ C．7+D．6【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交与A，B两点，若=2，则k=（）A．2 B．C．D．【解答】解：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE⊥AA1于E，根据椭圆的第二定义，得|AA1|=，|BB1|=，∵=2，∴cos∠BAE====，∴tan∠BAE=．∴k=．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上13．（5分）已知圆和圆，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为．【解答】解：动圆C1的圆心为C1（﹣3，0），动圆C2的圆心为C2（3，0）∵动圆M同时与圆C1及圆C2外切，∴动圆M的半径=|MC1|﹣1=|MC2|﹣3，即|MC2|﹣|MC1|=2∴M的轨迹为到定点C1，C2距离差为常数2的点的集合，即双曲线的左支∴M的轨迹方程为故答案为：14．（5分）已知点P是双曲线双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．I为△PF1F2内心，若S=S+S，则双曲线的离心率为2．【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴=×|PF 1|×|IF|=|PF1|，|×|IG|=|PF2|=×|PF=×|F 1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵∴|PF1|=|PF2|+|F1F2|两边约去得：|PF1|=|PF2|+|F1F2|∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=c⇒离心率为e==2故答案为：2．15．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A作AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．故答案为：．16．（5分）圆x2+y2=2按向量=（2，1）平移后与直线x+y+m=0相切，则m=﹣1或﹣5．【解答】解：圆x2+y2=2按向量=（2，1）平移后变为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2，即表示以C（2，1）为圆心、半径等于的圆．再根据直线和圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即=，解得m=﹣1或m=﹣5，故答案为：﹣1或﹣5．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）得1﹣m≤x≤1+m故￢q：A={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}由，得﹣2≤x≤10故￢p：B={x|x＜﹣2或x＞10}∵￢p是￢q的充分而不必要条件∴解得0＜m≤3∴实数m的取值范围0＜m≤318．（12分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，∴DF=，AF==，∴CF==，又FE∥CD，∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ=|cos＜，＞|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：19．（12分）已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0和圆外一点M（4，﹣8）．（1）过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程；（2）过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．【解答】解：x2+y2﹣4x+2y﹣3=0可化为：（x﹣2）2+（y+1）2=8，所以圆心O为（2，﹣1），半径r=2；（1）由题意设割线方程为y+8=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣8=0 ①，因为半径r=2，|AB|=4，所以圆心到割线距离d==2，∴，=2，解得k=，代入①得直线方程为45x+28y+44=0；经验证，x=4也符合题意．所以直线AB方程为45x+28y+44=0或x=4．（2）易知|MO|==，∴切线长l==3；设切点坐标为（x，y），则由题意得，即两式相减得CD方程为2x﹣7y﹣19=0．20．（12分）设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点．（1）求的取值范围；（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆+y2=1易知a=2，b=1，∴c==，所以，设P（x，y），则==x2+y2﹣3=﹣3=由椭圆的性质可知，﹣2≤x≤2∴故﹣2≤≤1（6分）（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线L：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2）则消去y，整理得：由△=16k2﹣12（）＞0得：或…①（9分）又∵，又0°＜∠MON＜90°∴cos∠MON＞0∴＞0∴＞0（11分）∵y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4==∴＞0，即k2＜4∴﹣2＜k＜2…②（13分）故由①②得或（15分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD．（2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM∴PM⊥BC，∵∠BPC=90°，PB=，PC=2，∴BC=，PM===，BM==，设AB=x，∴OM=x∴PO=，=×x××==，∴V P﹣ABCD=，当，即x=，V P﹣ABCD建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示，则P（0，0，），D（﹣，0，0），C（﹣，，0），M（0，，0），B（，，0）面PBC的法向量为=（0，1，1），面DPC的法向量为=（1，0，﹣2）∴cosθ==﹣=﹣．由图可知二面角为锐角，即cos22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由条件知F1（﹣2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）（Ⅰ）设M（x，y），则，，，由，得，即，于是AB的中点坐标为，当AB不与x轴垂直时，，即，又因为A，B两点在双曲线上，所以x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），即（x1﹣x2）（x﹣4）=（y1﹣y2）y，将代入上式，化简得（x﹣6）2﹣y2=4，当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，0），也满足上述方程，所以点M的轨迹方程是（x﹣6）2﹣y2=4．（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（m，0），使为常数，当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x﹣2）（k≠±1），代入x2﹣y2=2有（1﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+2）=0则x1，x2是上述方程的两个实根，所以，，于是=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2===．因为是与k无关的常数，所以4﹣4m=0，即m=1，此时=﹣1，当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为，，此时，故在x轴上存在定点C（1，0），使为常数．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2014-2015年黑龙江省哈尔滨一中高二上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b2．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥05．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=．15．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b【解答】解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，故选：D．2．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故选：D．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线=1（a＞0）的实轴长2a、虚轴长：2、焦距长2，成等差数列，所以：4=2a+2，解得a=．双曲线=1的渐近线方程为：y=±x．故选：D．4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥0【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数，对称轴x=a∴a≥2，根据充分必要条件的定义可判断：a≥0是必要不充分条件，故选：D．5．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对【解答】解：根据抛物线的方程可知准线方程为x=，由抛物线的性质有|FA|=|MA|，∴∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，∵AM∥x轴∥BN，∴∠MFO=∠AMF∴∠AFO=∠MFO，同理可知∠BFN=∠NFO∴∠MFN=∠MFO+∠NF0=90°故选：C．6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据倒数的定义，可得“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy=1”是真命题，①正确；“面积相等的三角形全等”的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，②正确；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵方程x2﹣2x+m=0有实根⇔△=4﹣4m≥0⇔m≤1，∴原命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”是假命题，∴③错误；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵命题“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，∴④错误．∴真命题的个数是2，故选：B．7．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．【解答】解：方程mx+ny2=0 即y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选：A．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选：B．9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F 1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选：D．10．（5分）已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：依题意可知焦点F（0，），准线y=﹣，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH||PM|=|PH|﹣=|PF|﹣|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（﹣，舍去．当P重合于P0时，①可取得最小值，可得|FA|=10．则所求为|PM|+|PA|=故选：B．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．【解答】解：不妨设P为双曲线右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，解得PF1=2+，PF2=2﹣，F1F2=2，由于（2）2+（2﹣）2=（2）2，则三角形PF1F2为直角三角形，则面积为：=1，故选：C．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．【解答】解：由题意设F（），过F的弦中垂直于x轴的弦最短；∴x=时，y=；∴最短弦长为．故答案为：．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=24．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=﹣12x，∵2p=12，p=6，∵|AB|=x A+x B+p=x A+x B+6，∵若线段AB的中点M的横坐标为﹣9，∴（x A+x B）=﹣9，∴x A+x B=﹣18，∴|AB|=18+6=24．故答案为：2415．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．【解答】解：根据已知条件知P点在y轴右侧；由得，；∵|PF1|+|PF2|=2a，∴由|PF1|=3|PF2|得，；∴，F2（c，0）；∴，整理得：a=2，或a=（舍去）；∴a2=8b2=8a2﹣8c2；∴7a2=8c2；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z），∵圆C与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，∴圆心，到直线4x+3y﹣29=0的距离d=r，即=5，即|4m﹣29|=25，∵m为整数，∴m=1，则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25；（2）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5，代入圆的方程，消去y整理得：（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，∵直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，∴△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得：a＜0或a＞，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x=ty+1代入y2=4x消去x得y2﹣4ty﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=﹣4∴•=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2=t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2=﹣4t2+4t2+1﹣4=﹣3．（Ⅱ）设P（x，y），则|PQ|===，∴x=3时，P到Q（5，0）的距离最小，此时，，|PQ|min=4．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设，解得a2=3．故所求椭圆的方程为．（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由得4x2+6mx+3m2﹣3=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，解得：﹣2＜m＜2．由韦达定理可知：，从而．∴，又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则，即m=2，因为：﹣2＜m＜2．所以不存在实数m使|AM|=|AN|．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．【解答】证明：（1）证明取SC的中点R，连QR，DR．由题意知：PD∥BC且PD=BC；QR∥BC且QP=BC，∴QR∥PD且QR=PD．∴PQ∥DR，又PQ⊄面SCD，∴PQ∥面SCD．（6分）（2）解：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（0，0，a），B（0，a，0），C（﹣a，a，0），Q（0，a）．面PBC的法向量为=（0，0，a），设为面PQC的一个法向量，由，cos＜，∴二面角B﹣PC﹣Q的大小为arccos．（12分）21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．【解答】解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，∴Q（﹣x，y），设A（a，0），B（0，b），∵O为坐标原点，∴=（x，y﹣b），=（a﹣x，﹣y），=（﹣x，y），，∵且，∴，解得点P的轨迹M的方程为．（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx﹣2k，联立，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（1+k2）（x1﹣2）（x2﹣2）=（1+k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=（1+k2）（﹣+4）==+，∴当k2→∞，•的最小值→；当k=0时，•的最大值为1．∴•的取值范围是（，1]．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，所以因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．即恒成立．x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1==．又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，解得a＞或a＜（舍去），即a＞，综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理
高二数学〔理科〕期中试题〔时间：120分钟 总分：150分，交答题纸〕 第1卷〔12题：共60分〕选择题〔包括12小题，每一小题5分，共60分〕1.命题“假设21x <，如此11x -<<〞的逆否命题是 〔 〕 A.假设21x ≥，如此1x ≥或1x ≤-； B.假设11x -<<，如此21x <； C.假设1x >或1x <-，如此21x >； D.假设1x ≥或1x ≤-，如此21x ≥。
2.方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是 〔 〕 A.114m << B.14m <或1m > C.14m <D.1m > 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，如下各式运算结果为向量1BD 的是 〔 〕①111()A D A A AB --②111()BC BB D C +- ③1()AD AB DD --④1111()B D A A DD -+A.①②B.②③C.③④D.①④4.向量(1,0,1)a =-，如此如下向量中与a 成60夹角的是 〔 〕 A.(1,1,0)- B.(1,1,0)- C.(0,1,1)- D.(1,0,1)-5.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点为(,0),(0,)A a B b ，且左焦点为F ，FAB 是以角B 为直角的直角三角形，如此椭圆的离心率e 为 〔 〕A.B.C.D.6.过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，如此直线AB 的方程为〔 〕A.230x y +-=B.230x y --=C.430x y --=D.430x y +-=7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为111,A D CC 的中点，P 为11A B 上的一动点，如此PF 与AE 所成的角为 〔 〕A.45B.60C.90D.不确定8.过抛物线x y 102=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，如此这样的直线〔 〕A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在9.直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M 、N两点，假设||MN ≥k 的取值范围 〔 〕A.2[,0]3-B.3(,][0,)4-∞-+∞C.[,]33-D.3[0]4-，10.与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的方程 是 〔 〕A.22551()()222x y -+-= B.22(3)(3)8x y -+-= C.22(2)(2)2x y -+-= D.22(2)(2)2x y -+-= 11.(0,7),(0,7),(12,2)A B C -,以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一焦点F 的 轨迹方程为 〔 〕A.221(1)48x y y -=≤- B.22148x y -= C.22148x y -=- D.22148y x -=12.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率2]e ∈，令双曲线两条渐近线构成的角 中，以实轴为角分线的角为θ，如此θ的取值范围是 〔 〕A.[,]62ππB.[,]32ππC.2[,]23ππD.2[,]3ππ第2卷〔10题：共90分〕二、填空题〔包括4小题，每一小题5分，共20分〕13.假设向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，满足条件()(2)2c a b -⋅=-，如此x = 。
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黑龙江省双鸭山一中2014-2015学年高二上学期期中数学理试题（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）第Ⅰ卷（12题：共60分）一、 选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1.命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是 （ ）A.若21x ≥，则1x ≥或1x ≤-；B.若11x -<<，则21x <；C.若1x >或1x <-，则21x >； D.若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥。
2.方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是 （ ） A.114m << B.14m <或1m > C.14m < D.1m > 3.在正方体1111ABCD A BC D -中，下列各式运算结果为向量1BD uuu r 的是 （ ）①111()A D A A AB --uuuu r uuu r uu u r ②111()BC BB D C +-uu u r uuu r uuuu r③1()AD AB DD --uuu r uu u r uuur ④1111()B D A A DD -+uuuu r uuu r uuur A.①② B.②③ C.③④ D.①④4.已知向量(1,0,1)a =-r ，则下列向量中与a r 成60o夹角的是 （ ）A.(1,1,0)-B.(1,1,0)-C.(0,1,1)-D.(1,0,1)-5.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点为(,0),(0,)A a B b ，且左焦点为F ，FAB V 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 （ ）B. D. 6.过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为（ ） A.230x y +-= B.230x y --= C.430x y --= D.430x y +-=7.在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为111,A D CC 的中点，P 为11A B 上的一动点，则 PF 与AE 所成的角为 （ ）A.45oB.60oC.90oD.不确定8.过抛物线x y 102=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5， 则这样的直线 （ ） A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在9.直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M 、N 两点，若||MN ≥k 的取 值范围 （ ）A.2[,0]3-B.3(,][0,)4-∞-+∞UC.[,]33D.3[0]4-， 10.与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的方程是 （ ）A.22551()()222x y -+-=B.22(3)(3)8x y -+-=C.22(2)(2)2x y -+-=D.22(2)(2)2x y -+-=11.已知(0,7),(0,7),(12,2)A B C -,以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一焦点F 的 轨迹方程为 （ ）A.221(1)48x y y -=≤- B.22148x y -= C.22148x y -=- D.22148y x -=12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e ∈，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角分线的角为θ，则θ的取值范围是 （ ） A.[,]62ππB.[,]32ππC.2[,]23ππD.2[,]3ππ第Ⅱ卷（10题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13.若向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===r r r ，满足条件()(2)2c a b -⋅=-r r r，则x = 。
14.双曲线224936x y -=上一点P ，与两焦点12,F F 构成12PF F V ，则12PF F V 的内切圆与边12F F 的切点N 的坐标为 。
15.设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=o，则0x 的取值范围是 。
16. 22143x y +=上有一动点P ，圆22:(1)1E x y -+=，过圆心E 任意作一条直线与圆E 交 于两点A 和B ，圆22:(1)1F x y ++=,过圆心F 任意作一条直线与圆F 交于两点C 和D ,则PA PB PC PD ⋅+⋅u u r u u r u u u r u u u r的最小值为 。
三、解答题（包括6小题，共70分）17.（本题10分）设命题:|43|1p x -≤；命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围？18.（本题12分）已知圆:C 2246120x y x y +--+=，点(3,5)A 。
（1）求过点A 的圆的切线方程；（2）O 点是坐标原点，连接,OA OC ，求AOC ∆的面积S 。
19.（本题12分）如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，,M N 分别为,AB PC 中点。
(1) 求证: MN CD ⊥；(2) 若45PDA ∠=o, 求证: MN ⊥平面PCD 。
20.（本题12分）在直角坐标平面上给定一曲线22y x =。
(1) 设点A 的坐标为2(,0)3，求曲线上距点A 最近的点P 坐标及相应的距离||PA ； (2) 设点A 的坐标为(,0),a a R ∈，求曲线上的点到点A 距离的最小值d ，并写出()d f a = 的函数表达式。
21.（本题12分）如图：直三棱柱111ABC A B C -中，190,2ACB AA AC BC ∠====o，D 为AB 中点。
（1）求证：1BC ∥平面CD A 1； （2）求面角1D CA A --的正切值。
PAD CBN B 1A22.（本题12分）设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<,过抛物线C 上一点000(,)(0)P x y x ≠作斜率为12k k 、的两条直线分别交抛物线C 于点1122(,)(,)A x y B x y 、两点(P A B 、、三点互不相同),且满足210(0,1)k k λλλ+=≠≠-。
（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB 上的一点M ,满足BM MA λ=uuu r uuu r,证明线段PM 的中点在y 轴上；（3）当1λ=时,若点P 的坐标为(1,1)-,求PAB ∠为钝角时,点A 的纵坐标1y 的取值范围．高二（理科）数学试题答案一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）二、 填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13.2； 14. (3,0),(3,0)-； 15. [1,1]-； 16. 6。
三、 解答题17. 1[,1]2A =，[,1]B a a =+，1[0,]2a ∈ 18. （1）3x =或31144y x =+ （2）点C 到直线OA12S ∴=19.方法一：向量法（略）方法二：(1) ∵ PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥AB∵ AD ⊥AB ∴AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥AE 即AB ⊥MN ∵CD P AB ∴MN ⊥CD(2) ∵ PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥ADPDA ∠=045Q E 为PD 中点∴AE ⊥PD 即PD ⊥MN 又MN ⊥CD ∴ MN ⊥面PCD20.（1）设M(x,y)为曲线2y 2x =上任意一点，则2222222411MA (x -)+y =x +x+=(x+)+33933= x [0,)∈+∞Q x 0=∴时 2min4MA9=∴距点A 最近的点P 坐标为(0,0)，2PA 3= （2）2222d (x a )y [x (a 1)](2a 1)=-+=--+-x [0,)∈+∞Q a 1≥∴时2min d 2a 1=-即min d = a 1<时222m i n d [0(a 1)](2a 1)a =--+-=即m i n d a =1()||1a d f a a a ≥==<⎪⎩ 21. （1）AB 中点D 的坐标是D （1，1，0）1(1,1,0)(2,2,2)220CD AB ⋅=⋅-=-+=uu u r uuu r∴1AB CD ⊥ 又由（1）11AB C A ⊥1AB ∴是平面CD A 1的法向量11(0,2,2)(2,2,2)0BC AB ⋅=-⋅=uuu r uuu rQ 即11AB BC ⊥，1BC ∴∥平面CD A 1（2）平面1ACA 的法向量是=n (0，1，0) 设二面角D —C 1A —A 的大小为θ则33322123)0,1,0()2,2,2(cos 2==⨯⨯⋅-==θ， ∴2tan =θ， ∴二面角D —C 1A —A 的正切值是2。
22. （1）由抛物线方程2y ax =得焦点坐标为1(0,)4a ，准线方程为14y a=-。
（2）设直线PA 的方程为010()y y k x x -=-,直线PB 的方程为020()y y k x x -=- 点00(,)P x y 及点11(,)A x y 的坐标是方程组0102()y y k x x y ax-=-⎧⎨=⎩的解,得211000ax k x k x y -+-=, 则110k x x a +=,故110k x x a =-,同理得220k x x a =- 由已知21k k λ=-得210x k x aλ=--. 设(,)m m M x y ,由BM MA λ=uuu r uuu r ,则211m x x x λλ+=+,得0m x x =-即00m x x +=,所以线段PM 的中点在y 轴上.（3）因为点P(1,-1)在抛物线2y ax =上,所以a=-1,抛物线方程为2y x =-,又由2111,x k y x =--=- 得211(1)1y k λ=-+=Q 12111k x k a∴=--=-又由2y x =-得221(1)y k =--, 因此直线PA 、PB 分别与抛物线C 交于点A 、B,坐标为2111(1,21),A k k k -----2111(1,21)B k k k --+-,因为PAB ∠为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有0AP AB ⋅<uu u r uu u r。
12k ∴<-或1102k -<<。
Q 点A 的纵坐标211(1)y k =-+,故11111121;0124k y k y <-<--<<-<<-时时,所以PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围为1(,1)(1,)4-∞---U .。