高中数学第1章导数及其应用1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
解答
1 (3)y＝ ； 1－x
1 1 2 － 1 － x 1 － x ′ 0－ 1－x′ 2 解 y′x＝ ＝ 1－x 1－x
1 ＝ . 21－x 1－x
(4)y＝xln(1＋x).
解答
(2)y＝x 1＋x2；
解 y′x＝(x 1＋x2)′
＝x′ 1＋x2＋x( 1＋x2)′
2 x ＝ 1＋x2＋ 1＋x2
1＋2x2 1＋x2 ＝ . 2 1＋x
解答
π π (3)y＝xcos(2x＋2)sin(2x＋2).
π π 解 ∵y＝xcos(2x＋2)sin(2x＋2)
1 ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－ xsin 4x， 2
解答
(2)y＝sin4x＋cos4x. 解 因为y＝sin4x＋cos4x
＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x· cos2x
1 2 1 ＝1－2sin 2x＝1－4(1－cos 4x) 3 1 ＝ ＋ cos 4x， 4 4
3 1 所以 y′x＝(4＋4cos 4x)′＝－sin 4x.
解答
π π 2 解析 y′x＝(x )′cos(2x－3)＋x [cos(2x－3)]′
题型探究
类型一 例1 求下列函数的导数. (1)y＝log2(2x＋1)； 解 设y＝log2u，u＝2x＋1，
简单复合函数求导
2 2 则 y′x＝y′u· u′x＝ ＝ . uln 2 2x＋1ln 2
解答
π (2)y＝2sin(3x－6)；
解 π 设 y＝2sin u，u＝3x－ ， 6
跟踪训练2 求下列函数的导数.
x (1)y＝sin ； 3
2
2 1－cos 3x 解 ∵y＝ ， 2
2 cos 3x 1 1 2 ∴y′x＝(2－ 2 )′＝3sin 3x.
解答
(2)y＝sin3x＋sin x3； 解 y′x＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
第1章 1.2
导数的运算
1.2.3 简单复合函数的导数
学习目标
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行 一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数).
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点
复合函数的概念及求导法则
1 ∴y′x＝(－ xsin 4x)′ 2
1 x ＝－ sin 4x－ cos 4x· 4 2 2
1 ＝－2sin 4x－2xcos 4x.
解答
反思与感悟
(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则， 联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等 价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复 合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.
x 解 y′x＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋ . 1＋x
解答
命题角度2 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用
例3
设 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b 为常数)，
3 曲线 y＝f(x)与直线 y＝2x 在(0,0)点相切，求 a，b 的值.
y＝ln u和u＝2x＋5复合而成，即y可以通过中间变量u表示为自
变量x的函数.
答案
思考3
试求函数y＝ln(2x＋5)的导数.
1 2 答案 y′x＝ · (2x＋5)′＝ . 2x＋5 2x＋5
答案
梳理
复合函数求导法则
u′x ，即y′ ＝ y′u· a. 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝ y′u· x
类型二
复合函数导数的综合应用
命题角度1 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数.
ln 3x (1)y＝ x ； e
解 1 1 ∵(ln 3x)′＝3x×(3x)′＝x.
ln 3x′ex－ln 3xex′ ∴y′x＝ ex2 1 － ln 3 x 1－xln 3x x ＝ ＝ . ex xex
1 4 相切，求a的值.
解答
当堂训练
－e－x 1.设f(x)＝e－x，则f′(x)＝______. 解析 f′(x)＝(－x)′e－x＝－e－x.
1
2
3
4
5
解析
答案
π π 2 π 2xcos(2x－3)－2x sin(2x－3) 2 2.函数 y＝x cos(2x－3)的导数为___________________________.
则y′x＝y′u· u′x＝2cos u×3
π ＝6cos(3x－6).
解答
1 (3)y＝ . 1－2x
解
设y＝ u
1 2
，u＝1－2x，
1 2
则y′x＝y′u· u′x＝( u
) ′· (1－2x)′
3 1 3 ＝ u 2 ×(－2)＝ (1－2x) 2 . 2
解答
反思与感悟
(1)求复合函数的导数的步骤
解答
反思与感悟
此类题目正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是
切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，
寻求切点是解决问题的关键.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点
(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数.
②求导时分清是对哪个变量求导.③计算结果尽量简洁.
跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)y＝103x－2； 解 令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y′x＝y′u· u′x＝10uln 10· (3x－2)′ ＝3×103x－2ln 10.
已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2).
思考1
这三个函数都是复合函数吗？ 答案 函数 y＝ ln(2x＋ 5) ，y＝ sin(x＋2) 是复合函数，函数y＝2x
＋5＋ln x不是复合函数.
答案
思考2
试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？ 答案 设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2
判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的 主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也 都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而 得到的函数．
1.指出下列函数的复合关系： (1)y＝cos( 3x＋1)；(2)y＝e3x2＋2；(3)y＝(1＋15x)3.
第1章 导数及其应用
1.2.3 简单复合函数的导数
第1章 导数及其应用
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如 f(ax＋b)的导数)．
1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．如 y＝sin 2x 由 y＝sin u 及 u＝_2_x__复合而成． 2．复合函数的求导法则 若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝__y_u_′·_u_x_′ _____，即 yx′＝___y_u_′·_a___． 其中 yx′，yu′分别表示 y 关于 _x__的导数及 y 关于_u__的导数．
1．函数 y＝(3x－2)2 的导数 y′＝________． 解析：y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)． 答案：18x－12
2．若 f(x)＝sin3x＋π4，则 f′π4＝________． 解析：f′(x)＝3cos3x＋π4，所以 f′π4＝－3. 答案：－3
3．设曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________． 解析：由题意知 y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2. 答案：2
(2)设 y＝cos u，u＝53π－7x.
高中数学第一章导数及其应用1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2-2
[f(x)·g(x)]′＝__f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)g__′(_x_) _____
商的导数
f′xgx－fxg′x
gfxx′＝
g2x
(g(x)≠0)
判断正误： (1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( ) (2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( ) (3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.( )
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分． 2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公 式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求 导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
求简单复合函数的导数
求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. 【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
阶
阶
段段Biblioteka 一三1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1.2.3 简单复合函数的导数
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点) 2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(难点) 3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点)
[基础·初探] 教材整理1 导数的四则运算法则 阅读教材P21，完成下列问题．
1．导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数 差的导数
高中数学 1.2.3 简单复合函数的导数配套教学课件 苏教版选修22
1.2. 3 简单复合函数(hánshù)的 导数
第一页，共18页。
回顾 1.基本(jīběn)求导 （1）C ＝公0（式C:为常数(chángshù)）
（2）(xa) ＝axa－1（a为常数(chángshù)）
（3）(ax)＝αxlna（a＞0，且a≠1）
函数.由函数y f (u)与u (x)复合而成的 函数的一般形式是y f [(x)]，其中u称为
中间变量.
目前我们所研究的简单复合(fùhé)函 数的导数仅限于形如f(ax＋b)的复合 (fùhé)函数．
第六页，共18页。
问题(wèntí) 探究
求 函 数 y (3x 1)2的 导 数.
y' 从而(cóng ér)有x y'u u'x
回 代
第十页，共18页。
建构(jiàn ɡòu)数学
一般地，若函数y f (u)，
u ax b，则y'x y'u u'x ，
即 y'x y'u a
说明：对于(duìyú)一般的复合函数，结论也 成立 .
第十一页，共18页。
建构(jiàn ɡ推ò广u)数：学一般复合(fùhé)函数的求导法则
(1) y (2x 3)3；(2) y ln(5x 1)； (3) y 1 ；(4) y cos(1 2x).
3x 1
点评 求复合函数的导数(dǎo shù)，关键在于搞清楚复合函数的结 构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导 ，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
第十七页，共18页。
回顾 (huígù)小 ⑴复结合函数的求导，要注意分析复合函
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的求导
2
f'(x)= .
2-1
2
3
f'(x0)=
=1,解得 x0= .故选
2 0 -1
2
1 2 3 4 5 6
B.
5.曲线y=(x2-2x)ln 2x在点(1,-ln 2)处的切线方程为 x+y+ln 2-1=0
.
解析 由函数y=(x2-2x)ln 2x,可得y'=(2x-2)ln 2x+x-2,所以当x=1时y'=-1,所求
新函数.
பைடு நூலகம்2.复合函数求导法则的三个关注点:
(1)分析复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成,适当选定中
间变量;
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的
是中间变量;
(3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把
中间变量转换成自变量的函数.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数 f(x)= x-1可以看作是由 f(x)=√u 和 u=x-1 复合而成的.( √ )
(2)函数y=sin 2x的导数为y'=cos 2x.( × )
2.[北师大版教材习题]写出下列函数的中间变量,并利用复合函数的求导
法则分别求出函数的导数:
则yx'=yu'·ux'=2u·(-2)=-4(-2x+1)=8x-4.
π
(2)y=sin(2x+3 );
解 设 y=sin
π
u,u=2x+ ,
3
则 yx'=yu'·ux'=cos
π
高中数学苏教版选修2-2第1章《导数及其应用》(1.2.3)ppt课件
＝
1
1－2x
1－2x.
1.2.3
(3)原函数可看作 y＝sin u，u＝－2x＋π3的复合函数，
则 yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋π3)
＝－2cos(2x－π3).
本
课 时
(4)原函数可看作 y＝10u，u＝2x＋3 的复合函数，则 yx′＝
栏 目
yu′·ux′＝102x＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x＋3.
本
解
(1)函数 y＝ln
1 x
可以看成函数 y＝ln u 和函数 u＝1x的复
课 合函数.
时
栏 目 开
∴yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(1x)′＝1u·(－x12)＝－1x.
关
(2)函数 y＝e3x 可以看成函数 y＝eu 和函数 u＝3x 的复合函数.
∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(3x)′＝3eu＝3e3x. (3)函数 y＝5log2(2x＋1)可以看成函数 y＝5log2u 和函数 u＝ 2x＋1 的复合函数.
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
1.2.3
1.2.3 简单复合函数的导数
【学习要求】
本 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
课 时
高中数第一章导数及其应用1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修22
解
3
y′＝
1 1＝－xln1 3.
xln 3
解析答案
题型二 利用导数公式求曲线的切线方程
例2 求过曲线y＝sin x上点P π6，12 且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率是：
y'
|xபைடு நூலகம்6
cos
6
=
3. 2
∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为－ 23，
解析答案
5.求下列函数的导数： (1)y＝x13； 解 y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4. (2)y＝3 x.
解 y'=(3x)'=(x1 3)'=1x1 311x2 3. 33
12345
解析答案
课堂小结
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是 牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地 进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y＝1－2sin2 2x的导数.因为 y＝1－2sin2 2x＝cos x，所以 y′＝(cos x)′ ＝－sin x.
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 常见函数的导数
原函数 f′(x)＝kx＋b (k，b为常
数) f(x)＝C(C为常数)
1
f(x)＝x f(x)＝x2x
导函数
k
f′(x)＝_0 _
1
ff′′((xx))＝＝－2__x1x2__
1
f′(x)＝2_x_
自主学习
答案
思考 (1)函数f(x)＝C，f(x)＝x，f(x)＝x2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ 答案 常数函数f(x)＝C：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y轴， 斜率为0；当y＝C表示路程关于时间的函数时，y′＝0可以解释为某物体的瞬时 速度始终为0，即一直处于静止状态. 一次函数f(x)＝x：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y＝x 表示路程与时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动； 一般地，一次函数y＝kx：导数y′＝k的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为 k，|k|越大，函数变化得越快. 二次函数f(x)＝x2：导数y′＝2x，几何意义为函数y＝x2的图象上点(x，y)处的切 线斜率为2x，当y＝x2表示路程关于时间的函数时，y′＝2x表示在时刻x的瞬时速 度为2x.
高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章_1.2_1.2.3_简单复合函数的导数
1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2. 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1] (1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e－0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e －0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2.[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x ，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x . 答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________． 解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3 3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x .(2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4， ∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－x sin(2x －1)； (2)y ＝ln (2x －1)2x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x )′sin(2x －1)＋31－x ·[sin(2x －1)]′ ＝－31－x ln 3·sin(2x －1)＋31－x ·2cos(2x －1) ＝31－x [2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln (2x －1)]′·2x －1－ln (2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln (2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln (2x －1)2x －12x －1＝2－ln (2x －1)(2x －1)·2x －1 .[一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )． 解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－xx 22x －1 .(2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] 已知函数f (x )处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨] 求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14 相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是________． 解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4， 即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )． (1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x ， ∴y ′＝(e －x )′＝－e －x ， ∴y ′|x ＝t ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )， 即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)． ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. 答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的导数为________． 解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x2sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x 2′sin 4x ＋⎝⎛⎭⎫－x2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a， 则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝5log 2(2x ＋1)；(2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝⎛⎭⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))， a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1) ＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。
高中数学第一章导数及其应用1.2.1常见函数的导数课件苏教版选修22
[构建·体系]
第二十四页，共30页。
1．已知函数f(x)＝x12，则f′(2)＝________. 【解析】 ∵f′(x)＝x12′＝(x－2)′＝－2x－3 ∴f′(2)＝－14. 【答案】 －14
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2．下列结论中不正确的是________．
①若y＝3，则y′＝0；
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[再练一题] 1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝__________. 【解析】 ∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝xln1 3， ∴f′(x)－g′(x)＝3x2－xln1 3. 【答案】 3x2－xln1 3
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利用(lìyòng)公式求函数在某点处的导数
【精彩点拨】 求导数f′(x0)→计算f′π3→所求直线斜率k＝－f′1π3→ 利用点斜式写出直线方程
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【自主解答】 因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，则曲线f(x)＝cos x在点 Pπ3，12的切线斜率为
f′π3＝－sin π3＝－ 23， 所以所求直线的斜率为2 3 3， 所求直线方程为y－12＝2 3 3x－π3， 即y＝2 3 3x－2 9 3π＋12.
第十六页，共30页。
【解】
(1)∵f′(x)＝31x′＝(x－13)′＝－13x
＝－ 1 ， 33 x4
∴f′(1)＝－
1 3
＝－13.
31
(2)∵f′(x)＝－sin x，
∴f′π4＝－sin π4＝－ 22.
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[探究共研型] 导数(dǎo shù)公式的应用 探究1 f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝ x均可表示为y＝xα(α为常数)的形式，其导数 有何规律？
高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人
y＝3x－3， (2)解方程组y＝－13x－292，
得xy＝ ＝－16，52.
所以直线l1和l2的交点坐标为16，－52. l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，－232，0. 所以所求三角形的面积为S＝12×235×－52＝11225.
导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方 程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.方法是先求 出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切 点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求 切点坐标．
)
A．－x＋xex13
B．x＋xex13
C．－x＋xex12
D．x＋xex12
【答案】D 4．若f(x)＝(2x＋a)2，f′(2)＝20，则实数a＝________. 【答案】1
求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数． (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； (2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－ ＋11； (4)y＝－sin2x1－2cos24x.
4．对复合函数的求导，需注意以下几点：
(1)分清复合函数的复合关系，即是由哪些基本函数复合
而成的，适当选定中间变量；
(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，如
求y＝sin2 2x＋π3 的导数，设y＝u2，u＝sin
v，v＝2x＋
π 3
，则
y′x＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2＝4sin 2x＋π3 cos 2x＋π3 ＝
f′xgx－fxg′x (4)gfxx′＝_________[_g__x_]_2________(g(x)≠0)．
2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间 的关系为___y_′__x_＝__y_′__u·_u_′__x __，即y对x的导数等于y对u的导数 与u对x的导数的乘积．
江苏高中数学第一章导数及其应用123简单复合函数的导数课件苏教版选修2
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
考点三 复合函数导数的应用
[典例] 已知函数 f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R )，设曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为 l，若 l 与圆 C：x2＋y2＝14相切， 求 a 的值．
[解] ∵f′(x)＝a(x2)′＋2·2－1 x·(2－x)′ ＝2ax－2－2 x， ∴f′(1)＝2a－2， 又 f(1)＝a＋2ln 1＝a，
∴切线 l 的方程为 y－a＝2(a－1)(x－1)， 即 2(a－1)x－y－a＋2＝0. ∵直线 l 与圆 C：x2＋y2＝14 相切， ∴圆心(0,0)到直线 l 的距离为12， 所以有 4a|2－－1a|2＋1＝12，解得 a＝181. ∴a 的值为181.
考点二 求导法则的综合应用 [典例] 求下列函数的导数． (1)y＝31－xsin(2x－1)； (2)y＝ln22xx－－11.
[解] (1)y′＝(31－x)′sin(2x－1)＋31－x·[sin(2x－1)]′ ＝－31－xln 3·sin(2x－1)＋31－x·2cos(2x－1) ＝31－x[2cos(2x－1)－sin(2x－1)·ln 3]．
(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算， 树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简 化解题过程的目的．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
[类题通法] 1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是 求复合函数导数时的易错点．