一元二次方程测试题(含答案)

一元二次方程测试题(含答案)一元二次方程测试题一、填空题:（每题2分共5分）1.将一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2化为一般形式为：2x^2-9x-9=0，二次项系数为2，一次项系数为-9，常数项为-9.2.若m是方程x^2+x－1＝0的一个根，代入m+2m+2013得到(m+1)^2+2012的值为。

3.方程2+x－1＝0是关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-1.所以m的值为1.4.关于x的一元二次方程a-2x+x^2+a-4=0的一个根为x=2，则代入得到a=5.5.代数式4x-2x-5与2x+1的值互为相反数，即4x-2x-5=-(2x+1)，解得x=-3/2.代入4y^2+2y+1得到9/2.6.已知2y+y-3的值为2，则代入4y^2+2y+1得到21.7.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则根据一元二次方程的定义，二次项系数为m-1+m=2m-1，一次项系数为m，常数项为1.所以m的取值范围为m≠1/2.8.已知关于x的一元二次方程x^2-x-1=0的一个根为x=2，则代入得到另一个根为x=-1.9.已知关于x的一元二次方程x^2+mx-6=0的一个根为2，代入得到另一个根为-3，且m的取值范围为m≠0.10.设x1，x2是方程x^2+bx+b-1=0有两个相等的实数根，则根据一元二次方程的定义，判别式D=b^2-4(b-1)=0，解得b=2或b=-1.但由于有两个相等的实数根，所以b=2.11.已知x=-2是方程x^2-3x+k=0的一个根，代入得到k=-2.12.若2是方程x^2+mx-6=0的一个根，代入得到另一个根为-3，且一元二次方程kx+ax+b=0有两个实数根，则根据一元二次方程的定义，判别式D=a^2-4kb≥0，又因为有两个实数根，所以D>0，即a^2-4kb>0.代入得到k9/4.13.设m、n是一元二次方程x^2+2x-3=0的两个根，则根据一元二次方程的定义，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-3，根据求根公式得到m+n=-2，mn=-3.代入得到m^2+n^2+4m+4n+4=10.14.一元二次方程(a+1)x^2-ax+a-1=0的一个根为x=1，则代入得到a=1/2.15.若关于x的方程x^2-2x+2=0的两个根互为倒数，则根据一元二次方程的定义，判别式D=8-8a≥0，解得0≤a≤1.代入得到a=1/2.16.关于x的两个方程x^2-2x+3=0和x^2-3x+2=0的公共根为x=1，则代入得到另一个根分别为2和1，正确结论的序号为①和②。

17.已知关于x的方程x^2-x-2=0与x^2-(a+b)x+ab-1=0有一个解相同，则根据一元二次方程的定义，判别式D1=1+8=9，D2=(a+b)^2-4(ab-1)=(a-b)^2+4≥0，解得a-b≥-2.正确结论的序号为①和②。

18.a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足a-1+(b-2)+|a+b+c|=0，代入得到|a+b+c|=a+b-1，即a+b-1=0或a+b+c=0.所以满足条件的一元二次方程为x^2-(2a-1)x+a-1=0或x^2-(a+b)x+ab=0.19.已知a、b是一元二次方程x^2-2x-1=0的两个实数根，则根据一元二次方程的定义，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-1，根据求根公式得到a+b=2，ab=-1.代入得到(a-b)^2=12，所以代数式（a－b）（a+b－2）+ab的值为13.20.已知关于x的方程 $x^2+(2k+1)x+k^2-2=0$ 的两实根的平方和等于11，则 $k$ 的值为多少？解：设该方程的两实根为 $m$ 和 $n$，则由题意可得：m^2+n^2=11$$又因为 $m$ 和 $n$ 是 $x^2+(2k+1)x+k^2-2=0$ 的两实根，所以有：begin{cases}m+n=-2k-1\\mn=k^2-2\end{cases}$$将 $m=-n-2k-1$ 代入 $mn=k^2-2$ 中，得：n-2k-1)n=k^2-2$$化XXX：n^2+(2k+1)n+k^2-2=0$$因为 $m$ 和 $n$ 是 $x^2+(2k+1)x+k^2-2=0$ 的两实根，所以 $n$ 是 $x^2+(2k+1)x+k^2-2=0$ 的一个实根，即：n=\frac{-(2k+1)\pm\sqrt{(2k+1)^2-4(k^2-2)}}{2}$$化XXX：n=-k\pm\sqrt{k^2+3}$$因为 $m$ 和 $n$ 是 $x^2+(2k+1)x+k^2-2=0$ 的两实根，所以 $m$ 是 $x^2+(2k+1)x+k^2-2=0$ 的另一个实根，即：m=-k\mp\sqrt{k^2+3}$$由 $m^2+n^2=11$ 可得：k)^2+(-k)^2+2k^2+6=11$$解得 $k=\pm1$。

因此。

$k$ 的值为 $\pm1$。

21.已知分式 $\dfrac{2}{x-5x+a}$，当 $x=2$ 时，分式无意义，则 $a$ 的值为多少？当 $a<6$ 时，使分式无意义的$x$ 的值共有几个？解：当 $x=2$ 时，分式无意义，即：x-5x+a=0$$代入得：2-10+a=0$$解得 $a=8$。

当 $a<6$ 时，分式无意义，即：x-5x+a=0$$解得 $x=\dfrac{a}{4}$。

因为 $a<6$，所以 $\dfrac{a}{4}<\dfrac{6}{4}=1.5$。

因此，使分式无意义的 $x$ 的值共有 $0$ 个。

22.设 $x_1$、$x_2$ 是一元二次方程 $x^2+(2a-1)x+a^2-a$ 的两实根，则 $a$ 的值为多少？解：根据XXX定理可得：begin{cases}x_1+x_2=-(2a-1)\\x_1x_2=a^2-a\end{cases}$$将 $x_1+x_2=-(2a-1)$ 代入 $x_1x_2=a^2-a$ 中，得：x_1x_2=a^2-a=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$$化XXX：4x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$$移项得：x_1x_2=(x_1+x_2)^2$$代入 $x_1+x_2=-(2a-1)$ 中，得：x_1x_2=(2a+1)^2$$因为 $x_1$、$x_2$ 是一元二次方程 $x^2+(2a-1)x+a^2-a$ 的两实根，所以有：begin{cases}x_1=-a+1\\x_2=-1\end{cases}\text{或}\begin{cases}x_1=1\\x_2=a-a^2\end{cases}$$代入 $x_1x_2=(2a+1)^2$ 中，得：a+1)(-1)=(2a+1)^2\text{或}1(a-a^2)=(2a+1)^2$$化XXX：a^2-2a-4=0\text{或}a^2-6a-3=0$$解得 $a=-1$ 或 $a=3\pm2\sqrt{2}$。

因此。

$a$ 的值为 $-1$ 或 $3\pm2\sqrt{2}$。

23.方程 $(1999x)^2-1998\times2000x-1=0$ 的较大根为 $r$，方程 $2007x^2-2008x+1=0$ 的两个实根为 $s$ 和 $t$，且 $s<t$，则 $s-r$ 的值为多少？解：由 $(1999x)^2-1998\times2000x-1=0$ 可得：x=\frac{1998\times2000\pm\sqrt{(1998\times2000)^2+4\times1999^2}}{2\times1999^2}$$化XXX：x=\frac{2000\pm\sqrt{2000^2+4\times1999^2}}{2\times199 9}$$因为 $s$ 和 $t$ 是 $2007x^2-2008x+1=0$ 的两个实根，所以有：begin{cases}s+t=\dfrac{2008}{2007}\\st=\dfrac{1}{2007}\e nd{cases}$$根据XXX定理可得：s+t=\frac{1998\times2000}{1999^2}$$解得 $s=\dfrac{1998\times2000}{1999^2}-t$。

代入 $st=\dfrac{1}{2007}$ 中，得：t^2-\frac{1998\times2000}{1999^2}\timest+\frac{1}{2007}=0$$解得$t=\dfrac{1998\times2000}{1999^2}+\dfrac{\sqrt{(1998\times200 0)^2+4\times1999^2}}{1999^2\times2007}$。

因为 $s<t$，所以 $s=\dfrac{1998\times2000}{1999^2}-t$。

因此，$s-r=\dfrac{1998\times2000}{1999^2}-t-\dfrac{2000-\sqrt{2000^2+4\times1999^2}}{2\times1999}=\dfrac{1998\times2 000}{1999^2}-t-\dfrac{1000}{1999}+\dfrac{\sqrt{2000^2+4\times1999^2}}{2\tim es1999}$。

24.若 $2x+5y-3=0$，则 $4\sqrt{32xy}= $？解：将 $2x+5y-3=0$ 化为 $y=\dfrac{3-2x}{5}$。

代入 $4\sqrt{32xy}$ 中，得：4\sqrt{32xy}=4\sqrt{32x\cdot\dfrac{3-2x}{5}}=4\sqrt{\dfrac{128x(3-2x)}{5}}=16\sqrt{\dfrac{8x(3-2x)}{5}}$$因为 $0\leq2x\leq3$，所以 $0\leq3-2x\leq3$，所以：16\sqrt{\dfrac{8x(3-2x)}{5}}=16\sqrt{\dfrac{8x}{5}\cdot(3-2x)}\leq16\sqrt{\dfrac{8\cdot3}{5}\cdot1.5}=24\sqrt{6}$$因此，$4\sqrt{32xy}\leq24\sqrt{6}$，即 $4\sqrt{32xy}$ 的最大值为 $24\sqrt{6}$。

25.已知 $a,b$ 是方程 $x^2-4x+m=0$ 的两个根，$b,c$ 是方程 $y^2-8y+5m=0$ 的两个根，则 $m$ 的值为多少？解：根据XXX定理可得：begin{cases}a+b=4\\ab=m\end{cases}$$begin{cases}b+c=8\\bc=5m\end{cases}$$将 $a+b=4$ 代入 $ab=m$ 中，得：a(4-a)=m$$化XXX：a^2-4a+m=0$$因为 $a$ 和 $b$ 是方程 $x^2-4x+m=0$ 的两个根，所以有：begin{cases}a=2+\sqrt{4-m}\\b=2-\sqrt{4-m}\end{cases}$$将 $b+c=8$ 代入 $bc=5m$ 中，得：8-c)c=5m$$化XXX：c^2-8c+5m=0$$因为 $b$ 和 $c$ 是方程 $y^2-8y+5m=0$ 的两个根，所以有：begin{cases}b=4-\sqrt{16-5m}\\c=4+\sqrt{16-5m}\end{cases}$$因为 $a+b=4$，所以有：2+\sqrt{4-m}+2-\sqrt{4-m}=4$$解得 $m=1$。