大学一年级 1(4)无穷小与无穷大
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无穷小与无穷大,极限运算法则
例如, n 时, 1 是无穷小， n
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
2019/10/13
13
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1 都是无穷小
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
2019/10/13
22
例4
求
lim
x
3x2 2x 1 x3 3x 5
(
型
)
无穷小因子分出法
解 x 时,分子,分母的极限均为无穷大.
方 法 先用 x 3去除分子分母, 分出无穷小,
再求极限.
lim
如果对于任意给定的正数m不论它多么大总存在正数使得对于满足不等式的一切x对应的函数值注意1无穷大是变量不能与很大的数混淆
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
2019/10/13
1
一、无穷小
1. 定义 (无穷小): 如果函数 f (x)当 xx0 (或x ) 时的极限为零, 则称函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时 为无穷小.
是由函数 y f (u) 与函数 u g( x) 复合而成, f [g( x)]
在点 x0 的某去心邻域内有定义,
若
lim
x x0
g(
x)
u0，
o
lim
uu0
f (u) A，且存在0 0,
当 x U ( x0 , 0 ) 时,
无穷小与无穷大
3．函数极限与无穷小的关系
在自变量的某一变化过程中，函数 f (x)以 A为极限的充要 条件是 f (x) 可以表示为极限A与一个无穷小 的和，即
lim f (x) A f (x) A α
二 无穷大 1．无穷大的概念
定义2 在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷 大量，简称无穷大，记作 lim X 。
lim arcsin 4x lim 4x 2 x0 ln(1 2x) x0 2x
（3）因为当 x 0 时，1 cos x ～ 1 x2，ex2 1～ x2 ，所以 2
1 cos x
lim
x0
ex2 1
lim x0
1 x2 2 x2
1 2
高等数学
x 1
1 时， x 1 为无穷小。
（2）因为 lim( 2x 1) ，所以当 x 时，2x 1 为无穷小。
x
（3）因为 lim 2x ，所以当 x 时，2x 为无穷小。 x
（4）因为lim x
1 4
x
，所以当
x
时，
1 4
x
为无穷小。
例5 【银行存款】假设某人在银行存入10 000元，银行的年利率 为 ，试分析存款时间越长，本利和如何变化？ 解
如果变量 X 取正值无限增大，则称变量 X为正无穷大，记作 lim X ；如果变量 X 取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负 无穷大，记作 lim X 。
例4 讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：
（1）
y
1 x 1
（2）y 2x 1（3）y 2x
（4）y
1 4
x
解
（1）因为 lim 1 ，所以当 x1 x 1
1-4无穷小与无穷大
3
二、无穷小的性质
定理 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及是 当x 时 的两个无穷小, 0, N 1 0, 当 | x | N 1时, 恒有 | | ; 2 N 2 0, 当 | x | N 2时, 恒有 | | . 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 | x | N时, 恒有 | | | | | | , 2 2 0 ( x )
于是
设 f ( x ) A ( x ),
, 其中A是常数, ( x )是当x x0时的无穷小
| f ( x ) A || ( x ) |
0, 0,当0 | x x0 | , 恒有
| ( x ) |
lim f ( x ) A. 即 | f ( x ) A | . x x
第四节 无穷小与无穷大
无穷小(infinitely small)
无穷大(infinitely great)
无穷小与无穷大的关系
小结 作业
第一章 函数与极限
1
无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
1. 定义
若f ( x )当x x （或 x )时的极限为0，则称f ( x ) 0
简称 无穷小. 为当x x （或 x )时的 无穷小量, 0
8
三、无穷小与函数极限的关系
定理
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ), x x
0
其中( x )是当x x0时的无穷小 .
证
设 xlim x
f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A
0
二、无穷小的性质
定理 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及是 当x 时 的两个无穷小, 0, N 1 0, 当 | x | N 1时, 恒有 | | ; 2 N 2 0, 当 | x | N 2时, 恒有 | | . 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 | x | N时, 恒有 | | | | | | , 2 2 0 ( x )
于是
设 f ( x ) A ( x ),
, 其中A是常数, ( x )是当x x0时的无穷小
| f ( x ) A || ( x ) |
0, 0,当0 | x x0 | , 恒有
| ( x ) |
lim f ( x ) A. 即 | f ( x ) A | . x x
第四节 无穷小与无穷大
无穷小(infinitely small)
无穷大(infinitely great)
无穷小与无穷大的关系
小结 作业
第一章 函数与极限
1
无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
1. 定义
若f ( x )当x x （或 x )时的极限为0，则称f ( x ) 0
简称 无穷小. 为当x x （或 x )时的 无穷小量, 0
8
三、无穷小与函数极限的关系
定理
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ), x x
0
其中( x )是当x x0时的无穷小 .
证
设 xlim x
f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A
0
1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
高等数学1.4无穷大与无穷小的关系
f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x
大学数学_1_5 无穷小与无穷大无穷小的比较
在，则lim
' lim '
.
证
' '
lim lim( )
' '
lim
'
lim
' '
lim '
' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解 当 x 0时，sin 5x : 5x, tan 6x : 6x,所以
事 实 上 ， Q lim f (x) A lim( f (x) A) 0 ， 记
f (x) A则有 f (x) A （其中lim 0 ）
反之，f (x) A ，lim 0 ，则 lim( f (x) A) 0，
故有lim f (x) A.
n
变量，由有界变量与无穷小之积仍为无穷小知
lim n sin n! lim n .sin n! 0. n n 1 x n 1
二、无穷大
定义 2 在自变量某一变化过程中，变量 X 的绝 对值 X 无限增大，则称 X 为自变量在此变化过程中的 无穷大量（简称无穷大）记作lim X ，其中“lim ” 是简记符号，类似于此前含义.
况加以解决.
两个无穷小的商也会出现各种不同结果，例如，当 x 0
时 ， x2 ,sin x,arctan x, 2x 等 都 是 无 穷 小 ， 但
lim
x0
x2 sin x
0,
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
, lim x0
高等数学1-4-无穷小与无穷大
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量 定义1 . 若 则称函数 例如 : 函数 函数 为当 函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。） 为当 时为无穷小;
时为无穷小;
为当 时为无穷小.
定义1. 若 则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。 推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0
1_4无穷小与无穷大——时老师
例如, 函数
但 不是无穷大 !
山东农业大学高等数学A1
制作人: 时彬彬
例如, 证明 要使
只要取 1 ,则对满足
M
第一章
即 的一切 x , 有
所以 说明: 若 为曲线
山东农业大学高等数学A1
则直线 x x0
的铅直渐近线.
铅直渐近线
制作人: 时彬彬
三、无穷小与无的同一变化过程中,
的曲线上的点落在绿
色区域内.
––––––MMMMMM
山东农业大学高等数学A1
第一章
x0
x0 x0
f (x)
x
.
制作人: 时彬彬
无穷大
y
lim f (x)
x x0
M > 0， >0， 当恒有0 <||fx(–x)x|0|><M.， M
M邻域，
x0 的空心邻域0 ，
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内.
f ( x) A, 误差为 ( x).
山东农业大学高等数学A1
制作人: 时彬彬
二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 第一章
一切满足不等式
则称函数
当
(正数 X ) , 使对
( x X ) 的 x , 总有
①
( x ) 时为无穷大, 记作 (lim f (x) )
x
若在定义中将 ①式改为 则记作
定义也称无穷大
的M — 定义
山东农业大学高等数学A1
第一章
x0
x0
x0
f (x)
x
.
制作人: 时彬彬
注意:
第一章
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
线性代数1-4 章节无穷小与无穷大
x → x0
的图形的铅直渐近线.
注意： 无穷大是一种特殊的无界变量, 注意： 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷 大. 1 1 1 1
x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 . 例如, 当x → 0时, y = sin
y = sin x x
(1) 取 x 0 =
1 π 2 kπ + 2
恒有： f ( x) > M 恒有： 记作： 记作：lim f ( x) = ∞ 注 1.必须指明自变量的变化过程 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值） 无穷大：（函数的绝对值）无限变大 ：（函数的绝对值 ３.不要把无穷大和极限相混淆
如果 ϕ ( x ) ≥ ψ ( x ), 而 lim ϕ ( x ) = a , lim ψ ( x ) = b , 那末 a ≥ b .
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
解 ∵ lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5 x→2 x→2 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
x2 − 4x + 3 ( x − 3)( x − 1) 求 lim = lim 2 x→3 x −9 x→3 ( x + 3)( x − 3)
limα( x) = 0, 但α( x) ≠ 0, 称α( x)为零因子。 为零因子。
的图形的铅直渐近线.
注意： 无穷大是一种特殊的无界变量, 注意： 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷 大. 1 1 1 1
x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 . 例如, 当x → 0时, y = sin
y = sin x x
(1) 取 x 0 =
1 π 2 kπ + 2
恒有： f ( x) > M 恒有： 记作： 记作：lim f ( x) = ∞ 注 1.必须指明自变量的变化过程 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值） 无穷大：（函数的绝对值）无限变大 ：（函数的绝对值 ３.不要把无穷大和极限相混淆
如果 ϕ ( x ) ≥ ψ ( x ), 而 lim ϕ ( x ) = a , lim ψ ( x ) = b , 那末 a ≥ b .
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
解 ∵ lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5 x→2 x→2 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
x2 − 4x + 3 ( x − 3)( x − 1) 求 lim = lim 2 x→3 x −9 x→3 ( x + 3)( x − 3)
limα( x) = 0, 但α( x) ≠ 0, 称α( x)为零因子。 为零因子。
大学数学无穷小与无穷大资料
f (x)
(2) lim
k 0
xx0 g ( x)
称x→x0 时， f (x) 与g (x) 是同阶的无穷小。
特别地，
当k=1 时,称 f (x) 与g (x)是等价无穷小。
记为: f (x) ~ g(x)
(x x0 )
x3
lim
x0
6x2
0
x0 时
x3 o( 6x2 )
lim sin x 1 x0 x
5x
lim
3x
3
x0 5x 5
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan
x(1 cos x) x3
lim
x0
x 1 x2 2 x3
1 2
tan x sin x
lim
x0
x3 lim ( tan x sin x )
x0 x3
x3
lim
x0
tan x x3
lim
x0
sin x x3
lim x0
无穷小量相乘除的情况,对
于两个无穷小量相加减的情
况不能用替换定理。
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
xx x3
例如：1 cos x
lim
x0
sin x 1 cos x ~ 1 x2
1 x2
2
lim 2 0
x0 x
常用等价无穷小 :
ln(1 x) ~ x ex 1 ~ x
上述式子中的 x 位置上可以是 x 本身, 也可以是x 的某个函数。
例如 :
函数 当
时为无穷小;
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反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x) 0. x x
1 M 0, 此时对 , 0, 使得当 M 1 0 x x0 时, 有 f ( x ) , 由于 f ( x ) 0, M 1 从而 M. f ( x) 1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
类似可证明 x 的情形.
0
11
无穷小与无穷大
例 x 2时,函数3 x 1可表为
3x 1 5 ( 3 x 6)
(其中 x 6是x 2时的无穷小 3 ,即
lim( 3 x 6) 0)
x2
故得 lim( 3 x 1) 5.
x2
12
无穷小与无穷大
x
注 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表 达它的变化状态的. “无限制变小的量”
2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
4
无穷小与无穷大
二、无穷小的性质
性质1 x 是无穷小 x 是无穷小。 性质2 （比较性质） 若 x 是无穷小，且
四、无穷大的概念
绝对值无限增大的变量称为 无穷大.
1 如, 当x 0时, 函 数 , cot x 是无穷大; x
当x 时,函数x 2 , x 3 是无穷大.
13
无穷小与无穷大
定义3 M 0(不论它多么大 0 (或X 0), ),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ),恒 有
证 设 lim f ( x )
x x0
1 此时对 M , 0, 使得当 0,
0 x x0 时,有 f ( x ) M ,即 1 . f ( x)
1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
18
1
无穷小与无穷大
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
x
x)
解 lim ( x 1
x Biblioteka x ) 20无穷小与无穷大
六、小结
无穷小的概念;
无穷小与函数极限的关系;
无穷小的运算;
无穷大的概念; 无穷小与无穷大的关系.
21
无穷小与无穷大
思考题
1 1 当x 0时, 2 sin 是( D ). x x
A. 无穷小量 C. 有界量非无穷小量 B.无穷大量 D.无界但非无穷大量
0
于是
设 f ( x ) A ( x ),
| f ( x ) A || ( x ) |
, 其中A是常数 ( x)是当x x0时的无穷小 ,
0, 0,当0 | x x0 | , 恒有
| ( x ) |
lim 即 | f ( x ) A | . 所以 x x f ( x ) A.
推论4 若 lim f ( x) A 0, 且 ( x)是无穷小，
则
( x)
f ( x)
也是无穷小。
8
无穷小与无穷大
例
研究下列极限
1 （ ） sin x sin 1 lim x 0 x sin n （2） lim n n arctan x （3） lim 2 x x 1
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于 无穷小的讨论.
19
0
无穷小与无穷大
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1
9
无穷小与无穷大
三、无穷小与函数极限的关系
定理1 lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ), x x
0
其中( x)是当x x0时的无穷小 .
证
设 xlim x
f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A
0
0, 0, 当0 | x x0 | , 恒有
1 证 M 0, 要使 M, x 1
O
y
1 x 1
1
1 1 1 只要 x 1 , 取 , M M 1 1 当0 x 1 时, 有 M . lim . x 1 x 1 x 1
x
17
无穷小与无穷大
五、无穷小与无穷大的关系
定理2 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
| f ( x ) | M
则称f ( x)当x x0 (或x )时的无穷大 ,
lim 记作 x x f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
0
x
特殊情形: 正无穷大,负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
3
无穷小与无穷大
定义2 0(不论它多么小 0 (或X 0), ),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ), 有 恒
| f ( x ) |
则称f ( x)为当x x0 (或x ) 时的无穷小记作 ,
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
2
无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
定义1. 极限为零的变量称为 无穷小量, 简称 无穷小.
; 如, 当x 0时, 函数sinx是 无穷小 sin x 当x 时,函 数 ; 是无穷小 x 当x 2时, 函 数x 2是无穷小 ;
当x 1时,
皆非无 穷小.
( 1)n 当n 时, 数 列 { }是 无 穷 小 . n 无穷小是指 在某个过程中 函数变化的趋势.
第四节 无穷小与无穷大
无穷小(infinitely small)的概念
无穷小的性质
无穷小与函数极限的关系 无穷大量(infinitely great) 无穷小与无穷大的关系
小结 思考题 作业
第一章 函数与极限 函数与极限
1
无穷小与无穷大
数学分析的历史表明, 很多变化状态比
较复杂的变量,都可以转化为一种简单而重 要的变量,即所谓无穷小量.常常把整个变量 的理论称为“无穷小量分析”. 牛顿 牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无 穷小的方法. 英国数学家、物理学家(1642—1727) 意大利数学家、力学家(1736—1813) 拉格朗日 拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统 地建立了动力学基础,创立了“分析力学”. 欧拉 欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以 《无穷小分析引论》. 瑞士数学家(1707 —1783)
如 y x sinx 是无界函数, 但不是无穷大.
因为取 x xn 2n
2
时,
当
f ( 2 n ) 2 n 2 2 而取 x xn 2n时,
f ( 2n ) 0.
所以 x 时, f (x)不是无穷大!
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无穷小与无穷大
y
1 例 证 明 lim x 1 x 1 解出| x 1 |
| f ( x ) A | 也即 | ( x ) |
则有 lim ( x ) 0, 所以f ( x) A ( x).
x x0
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无穷小与无穷大
lim 定理1 x x f ( x ) A f ( x ) A ( x ), 其中( x)是当x x0时的无穷小 .
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无穷小与无穷大
作业
习题1-4 (35页) 2.(2) 3.(1)(3)(5) 4.(4) 5. 6. 7.
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证 设函数u在U ( x0 , 1 )内有界, 则M 0, 1 0,
使得当 0 | x x0 | 1时, 恒有 | u | M .
又设是当x x0时的无穷小,
0, 2 0,使得当0 | x x0 | 2时, 恒有 | | . 取 min{ 1 , 2 }, 则当 M 0 | x x0 | 时, 恒有 | u | | u | | |
M
M
,
所以 当x x0时, u 为无穷小 .
7
无穷小与无穷大
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小
的乘积是无穷小;
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小; 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 1 1 2 如,当x 0时, x si n , x arctan x x 都是无穷小.
x x , 则 x 也是无穷小。
性质3 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
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无穷小与无穷大
注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 1 但 如, n 时, 是 无 穷 小 ， n个 之 和 为1 n n
不是无穷小.
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无穷小与无穷大
性质4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
x x0 ( x )
定义
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无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
( 2) 切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
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无穷小与无穷大