第三节 代数式
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第一章数与式第三节代数式及整式运算精试题
第三节代数式及整式运算,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021选择3乘法公式完全平方公式、平方差公式442021 选择2幂的运算性质以选择题形式考察同底数幂积的乘方、幂的乘方的性质442021选择1代数式求值直接用代入法求代数式的值332021填空1代数式求值代数式应先化简，再代入求值332021选择3幂的运算性质同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项332021选择3代数式求值可以直接代入求值，也可以先利用公式再求值33命题规律纵观怀化七年中考，代数式求值及整式运算属必考内容，题型一般以选择题、填空题形式出现，七年中有六年涉及到此内容，只有一年没涉及到此内容，此内容属于高频考点.命题预测预计2021年怀化中考求代数式的值及整式运算仍有涉及，故应对考点进展适当训练，做到考试中应对自如.,怀化七年中考真题及模拟)列代数式1．(2021 怀化三模)如下图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，那么第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是__n(n＋2)__．代数式求值(3次)2．(2021怀化中考)m ＝1，n ＝0，那么代数式m ＋n 的值为( B ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．23．(2021怀化中考)假设x ＝1，y ＝12，那么x 2＋4xy ＋4y 2的值是( B )A ．2B ．4C .32D .124．(2021怀化中考)当x ＝1，y ＝15时，3x(2x ＋y)－2x(x －y)＝__5__．整式的运算(3次)5．(2021怀化中考)以下计算正确的选项是( C ) A ．(x ＋y)2＝x 2＋y 2B ．(x －y)2＝x 2－2xy －y 2C ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1D ．(x －1)2＝x 2－16．(2021 怀化中考)以下计算正确的选项是( D ) A ．x 2＋x 3＝x 5 B ．(x 3)3＝x 6 C ．x ·x 2＝x 2 D ．x(2x)2＝4x 37．(2021怀化中考)以下运算正确的选项是( D ) A ．a ·a 3＝a 3 B ．(ab)3＝ab 3 C ．a 3＋a 3＝a 6 D ．(a 3)2＝a 68．(2021 通道模拟)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解．求(a ＋1)(a －1)＋7的值．解：a ＝3，值为9.,中考考点清单)代数式与整式的有关概念1．代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把__数__或表示__数的字母__连接而成的式子叫做代数式．2．代数式的值：用__数值__代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的__结果__叫做代数式的值．3．代数式的分类：代数式⎩⎪⎨⎪⎧有理式⎩⎪⎨⎪⎧整式⎩⎪⎨⎪⎧ 单项式 多项式 分式无理式【温馨提示】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式．(2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言与、差、积、商、乘以、除以等在数学语言中的含义．(3)注意书写规那么：a×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1a ；数字通常写在字母前面，如a×3通常写作3a ；带分数一般写成假分数，如115a 通常写作65a.整式的相关概念 单项式概念由数及字母的①__积__组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个②__字母__也是单项式)．系数单项式中的③__数字__因数叫做这个单项式的系数．次数 单项式中的所有字母的④__指数的与__叫做这个单项式的次数．多项式概念 几个单项式的⑤__与__叫做多项式．项多项式中的每个单项式叫做多项式的项．次数一个多项式中，⑥__最高次__的项的次数叫做这个多项式的次数．整式 单项式及⑦__多项式__统称为整式．同类项所含字母⑧__一样__并且一样字母的指数也⑨__分别一样__的项叫做同类项．所有的常数项都是⑩__同类__项.整式的运算类别 法那么整式加减 (1)去括号；(2)合并①__同类项__．幂的 运算同底数幂相乘 a m ·a n ＝②__a m ＋n __(m 、n 都是整数) 幂的乘方 (a m )n ＝③__a mn __(m 、n 都是整数)积的乘方 (ab)n ＝④__a n b n __(n 是整数)同底数幂相除a m ÷a n ＝⑤__a m －n __(a≠0，m 、n 都是整数)整式的 乘法单项式乘以多项式 m(a ＋b)＝⑥__am ＋bm__多项式乘以多项式(a ＋b)(m ＋n)＝⑦__am ＋an ＋bm ＋bn__乘法 公式平方差公式 (a ＋b)(a －b)＝⑧__a 2－b 2__ 完全平方公式(a±b)2＝⑨__a 2±2ab ＋b 2__【易错警示】(1)在掌握合并同类项时注意：①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0；②不要漏掉不能合并的项；③只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)．合并同类项的关键：正确判断同类项．(2)同底数幂的除法及同底数幂的乘法互为逆运算，可用同底数幂的乘法检验同底数幂的除法是否正确．(3)遇到幂的乘方时，需要注意：当括号内有“－〞号时，(－a m )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a mn ，n 为奇数，a mn ，n 为偶数.【方法技巧】求代数式值的方法主要有两种：一种是直接代入法；另一种是整体代入法．对于整体代入求值的，要注意从整体上分析代数式及欲求代数式之间构造的异同，从整体上把握解题思路，寻求解题的方法．,中考重难点突破)列代数式【例1】(1)如下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个根底图形组成，第2个图案由7个根底图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中的根底图形个数为________．(用含n的式子表示)(2)把四张形状大小完全一样的小长方形卡片[如图(1)]不重叠地放在一个底面为长方形(长为m cm，宽为n cm)的盒子底部[如图(2)]．盒子底面未被卡片覆盖的局部用阴影表示，那么图(2)中两块阴影局部周长与为( )A．4m cmB．4n cmC．2(m＋n)cmD．4(m－n)cm【解析】由图形观察可知：第一个阴影水平长度及第二个阴影竖直高与为n cm，第一个阴影竖直高及第二个阴影水平长度与也为n cm，因此可以求出阴影局部周长．【学生解答】(1)3n＋1；50；(2)B【点拨】(1)列代数式关键是明白题目中给定的数或数量关系．(2)对于给定图形要善于观察，找出图中隐藏的相关信息．1．图1是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状与大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，那么中间空的局部的面积是( C)A．2ab B．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b2代数式求值【例2】(2021扬州中考)假设a2－3b＝6，那么6b－2a2＋2 016＝________．【解析】把6b－2a2＋2 016变形为2(3b－a2)＋2 016，把a2－3b＝6化为3b－a2＝－6后代入求值．【学生解答】2 004【点拨】求代数式的值时，常采用以下两种方法：①应用整体代入求值；②把的式子化为一个字母用另外的字母表示，代入所求代数式，进展化简求值．2．(2021湖州中考)当x＝1时，代数式4－3x的值是( A)A．1 B．2 C．3 D．43．x2－2x＝5，那么代数式2x2－4x－1的值为__9__．4．假设a是一元二次方程－2x2＋3x＋8＝18的根，那么代数式9a－6a2＋2＝__32__．整式的概念及运算【例3】(1)假设x3y m－4及x n＋1y5是同类项，那么m2＋n2＝________．(2)以下计算正确的选项是( )A ．a 2＋a 2＝2a 4B ．(－a 2b)3＝－a 6b 3C ．a 2·a 3＝a 6D ．a 8÷a 2＝a 4(3)先化简，再求值：(a ＋b)(a －b)＋b(a ＋2b)－b 2，其中a ＝1，b ＝－2.【学生解答】解：(1)85；(2)B ；(3)原式＝a 2－b 2＋ab ＋2b 2－b 2＝a 2＋ab ；当a ＝1，b ＝－2时，原式＝12＋1×(－2)＝1－2＝－1.5．(2021常德中考)假设－x 3y a 及x b y 是同类项，那么a ＋b 的值为( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．(2021娄底中考)以下运算正确的选项是( C ) A ．a 2·a 3＝a 6 B ．5a －2a ＝3a 2 C ．(a 3)4＝a 12 D ．(x ＋y)2＝x 2＋y 27．(2021毕节中考)以下运算正确的选项是( D ) A ．－2(a ＋b)＝－2a ＋2b B ．(a 2)3＝a 5C ．a 3＋4a ＝14a 3D ．3a 2·2a 3＝6a 58．(2021南充中考)如果x 2＋mx ＋1＝(x ＋n)2，且m>0，那么n 的值是__1__．。
初中数学北师大版七年级上册《第三章代数式》课件
要想正确写出代数式，就要认真分析题目中各个量 之间的关系，特别注意语言的叙述顺序，如：“x与y的平 方和”是x，y先分别平方，再相加，即x2＋y2；而“x与y 的和的平方”指x与y先相加，然后再将和平方，即(x＋y)2.
解：(1)(x＋y)2；(2)2x＋13y； (3)x2－y2；(4)x2＋y2.
3.2
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数学北师大版 七年级上
输入x → 平方 → ＋x → ÷2 → 答案
答案：3 8．清晨，工蜂去寻找蜜源，归巢时工蜂用空中画圈的方
式告知同伴所需蜜蜂的只数．若画了x个圈则需要 (10x－1)只蜜蜂，若一天工蜂画了5个圈，它表示需要 ________只蜜蜂去采蜜． 答案：49
9．一个学生由于粗心，在计算35＋a的值时，误将“＋” 看成“－”，结果是80，则35＋a的值应是________． 答案：－10
2．根据《国家中长期教育改革和发展计划纲要》教育经
费投入应占当年GDP的4%.若设2012年的GDP总值为
n，则2012年教育经费投入可表示为( )
A．4%n
B．(1＋4%)n
C．(1－4%)n
D．4%－n
答案：A
导学3 代数式求值的步骤 (1)代入：将确定的字母的取值代入代数式中． (2)计算：按照代数式指明的运算进行，计算出结 果． ①在代入数值时，代数式中的运算符号和原有数字 都不能改变； ②列代数式时，乘号省略了，代入具体数值时，省 略的乘号要写出来； ③在代入时，要注意分数、负数的平方一定要加括 号，带分数平方时一定要先将其化成假分数．
已知 x＝12，y＝3，求代数式 2x2y－4x2y＋10x2y 的值．
分析：先分别将x＝，y＝3代入代数式中，再按照指定的运 算进行计算；也可以先求出x2y的值，然后再整体代入．
2024年冀教版七年级上册第三章 代数式第三章 代数式
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“代数式”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过对字母的运算和推理得到的结论具有一般性.通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.本单元“代数式”是学生学习代数式及其运算的第一阶段,是在完成了实数数集的扩充后,学生经历的数到式认识上“质”的飞跃,是研究方程、不等式、函数等数学知识的基础.本单元用字母表示数,使客观世界中的数学规律变得简洁明了;用代数式表示具体问题中简单的数量关系,体验用数学符号表达简单数量关系的过程,使数量关系变得清晰;会选择适当的方法求代数式的值,运用到转化、整体代入等数学方法,体现了化繁为简的数学思想;通过代数式求值的学习,理解代数式的值随字母取值的变化而变化,为今后函数的学习做好铺垫;在应用代数式知识解决实际问题的过程中,经历数学建模的基本过程,培养学生学会用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界.同时,本单元所渗透的由特殊到一般的辩证思想和数学建模的思想方法,对学生今后的数学学习和发展都有非常重要的意义.2.本单元教学内容分析冀教版教材七年级上册第三章“代数式”,本章包括四个小节:3.1用字母表示数;3.2代数式;3.3数量之间的关系;3.4代数式的值.“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表示代数式以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过对字母的运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习,有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念,发展几何直观和运算能力.本章“代数式”的学习按三个层次展开.第一个层次:理解代数式的意义,把数量的和、差、倍、分关系表示为代数式,熟悉文字语言和符号语言之间的转换,理解代数式可以作为一个模型,即同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系;第二个层次:把实际问题中的数量关系抽象为数的和、差、倍、分关系,再用代数式表示;第三个层次:用由特殊到一般的归纳方法,寻找一般规律,列代数式.“代数式的值”的学习,解决更广泛的具体问题,按由特殊到一般再到特殊的过程设计,渗透模型的思想,感受代数式的值随字母的变化而变化,为将来函数的学习作铺垫.学习丰富多样的问题情境,通过分析数量关系,列代数式,实现文字语言和符号语言的转化,逐步渗透抽象和模型化思想.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学七年级上册第三章代数式,学生在小学阶段,学习过“数量关系”,主要是用符号或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律.学生虽然已初步接触过用字母表示数,但学生对用字母表示数的意义和认识是非常肤浅的.本单元不仅要使学生进一步认识用字母表示数的意义,还要理解字母可以与数一起参与运算,可以用数、字母、运算符号组成的代数式表示具有某种普遍意义的数量关系.本单元可以说是“代数”之始,学习内容多而抽象,在认知上会产生“质”的飞跃,又因学生学习起点参差不齐,进而对教学工作有了一定的难度与困扰,但也因此学生更对新知识充满了好奇和强烈的求知欲望.而对于式的研究,更有许多颇有思考价值的问题和方法有待学习和研究,因此教师在组织教学时,多提供丰富的问题情境,让学生自主探索新知,经历独立思考、合作交流、勇于表达的学习过程.老师耐心指导学生,增强学生学习的信心,使学生学习数学的综合能力得到检验和再提升,不断促进分析问题和解决问题的发展.四、单元学习目标1.让学生经历用字母表示数的抽象过程,理解用字母表示数的意义,初步建立符号意识.2.能够分析简单问题中的数量关系,会列代数式,体会模型的思想.3.能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,体会数学与现实的联系.4.会求代数式的值,能够根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入字母的具体值,进行计算.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
广东中考数学课件：第3节代数式、整式与因式分解
考点梳理
1.代数式的概念 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等) 把 数与字母 连接而成 的式子 叫代数式 .单 独的数字 与单独的字母 是 (是或不是)代数式. 2.代数式的值 用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出 的结果叫代数式的值.求代数式的值分两步：代数， 计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值. 3.整式分类：整式分为单项式和多项式.
解答：解：A、2a3+a3=3a3，故错误；B、（﹣a）2•a3=a5，故错误； C、正确；D、（﹣2）0=1，故错误；故选：C． 点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，负整数指数幂， 零指数幂，理清指数的变化是解题的关键．
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考点3 整式的运算
7.（2015•青岛）计算：3a3•a2﹣2a7÷a2= a5 ．
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考点4 因式分解、乘法公式
9.（2015•贵港）下列因式分解错误的是（C）
A．2a﹣2b=2（a﹣b）
B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4=（a+2）2
D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）
考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法；因式分解-十 字相乘法等．
分析：根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫 做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
解答：解：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含 几个字母．A、﹣2xy2系数是﹣2，错误；B、3x2系数是3，错误；C 、2xy3次数是4，错误；D、2x3符合系数是2，次数是3，正确；故选 D． 点评：此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和 次数的定义．
2020年广东数学中考考点复习第一章数与式——第三节 代数式、整式与因式分解
A. x2－6x＋9 B. －x2＋y2 C. x2＋2x D. －x2＋2xy－y2
8. 观察下列各数：0，3，8，15，24，…，根据该组数的规律，可推出第n个数是
__n_2_－__1__．
第三节 代数式、整式与因式分解
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玩转广东8年中考真题
命题点 1 列代数式及求值（8年6考，仅2019.16与规律探索题结合考查）
运算
相加，如3a（5a－2b＋3）＝___1_5_a_2－__6_a_b_＋__9_a____ 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每
一项，再把所得的积, 相加，如（3x＋1）（x＋2）＝_3_x_2_＋__7_x_＋__2_
乘法公式 平方差公式：__(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_＝__a_2_－__b_2 _ 完全平方公式：__(a_±__b_)_2_＝__a_2±__2_a_b_＋__b_2__
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第三节 代数式、整式与因式分解
命题点 4 因式分解（8年6考）
18. (2014广东4题3分)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D )
A. x(x2－9)
B. x(x－3)2
C. x(x＋3)2
D. x(x＋3)(x－3)
19. (2017广东11题4分)分解因式：a2＋a＝__a_(a_＋__1_)_．
示出来 直接代入法：将已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序
计算求值
代数式 代数式 整体代入法：把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
求值
1.常见的三种非负数的类型：a2、|a|、 a（a≥0），最小的非负
数是___0___ 非负数 2.若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0.如a2＋|b|＋
《第一章数与式第三节代数式及整式》同步练习附答案附答案
第三节代数式及整式姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2021·长丰三模)计算(－mn2)3的结果是( )A．－m3n6B．－m4n5C．m3n6D．m4n52．(2021·攀枝花)以下运算结果是a5的是( )A．a10÷a2B．(a2)3C．(－a)5D．a3·a23．(2021·武汉)计算3x2－x2的结果是( )A．2 B．2x2C．2x D．4x24．(2021·南京)计算a3·(a3)2的结果是( )A．a8B．a9C．a12D．a155．(2021·瑶海区二模)以下各式正确的选项是( )A．x3＋x2＝x5B．x3－x2＝xC．x3·x2＝x6D．x3÷x2＝x6．(2021·成都)以下计算正确的选项是( )A．x2＋x2＝x4B．(x－y)2＝x2－y2C．(x2y)3＝x6y D．(－x)2·x3＝x57．(2021·繁昌二模)某工厂二月份的产值比一月份的产值增长了x%，三月份的产值又比二月份的产值增长了x%，那么三月份的产值比一月份的产值增长了( )A．2x% B．1＋2x%C．(1＋x%)x% D．(2＋x%)x%8．(2021·枣庄)如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，假设拿掉边长为2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，那么这块矩形较长的边长为 ( )第8题图A．3a＋2b B．3a＋4bC．6a＋26 D．6a＋4b9．(2021·武汉)计算(a－2)(a＋3)的结果是( )A．a2－6 B．a2＋a－6C．a2＋6 D．a2－a＋610．(2021·济宁)多项式4a－a3分解因式的结果是( )A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a)C．a(a－2)(a＋2) D．a(a－2)211．(2021·易错)以下因式分解正确的选项是( )A．x2－4＝(x＋4)(x－4)B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．2x＋4＝2(x＋2)D．3mx－6my＝3m(x－6y)12．(2021·马鞍山二模)以下多项式中，不能因式分解的是( )A. a2＋1 B．a2－6a＋9C. a2＋5aD. a2－113．(2021·创新)如下图的运算程序中，假设开始输入的x值为15，那么第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，第2021次输出的结果为( )第13题图A. 3B. 4C. 6D. 914．(2021·安庆一模)分解因式：2a2－8b2＝____________．15．(2021·蜀山区二模)分解因式：m2n－2mn＋n＝________．16．(2021·改编)因式分解：2y2＋4y＋2 ＝________________．17．(2021·杭州)因式分解：(a－b)2－(b－a)＝________．18．(2021·合肥45中一模)如果a，b分别是 2 018的两个平方根，那么a＋b－ab＋2 018＝______________．19．(2021·创新)设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A－B〞时，误将符号抄错计算成了“A＋B 〞，得到结果是C ，其中A ＝12x 2＋x －1，C ＝x 2＋2x ，那么A －B ＝________． 20．(2021·原创)分解因式：9a 2(x －y)＋4b 2(y －x)．21．(2021·包河区一模)计算：(x －3)2－(x －2)(x ＋2)．22．(2021·济宁)化简：(y ＋2)(y －2)－(y －1)(y ＋5)．23．(2021·明光一模)先化简，再求值：(2x ＋1)(2x －1)－(x ＋1)(3x －2)．其中x ＝2sin 30°＋π0.24．(2021·淄博)先化简，再求值：a(a ＋2b)－(a ＋1)2＋2a ，其中a ＝2＋1，b ＝2－1.25．(2021·创新)小丽和小明在计算(2x ＋5)(2x －5)＋2(4x ＋3)－ 4(x ＋1)2并求值时，他们进行了如下的对话，小丽说：“发现这个式子，当x ＝2 018和x ＝2 019时，它的值相等〞．小明说：“对于不同的x 值，应该有不同的结果．〞请你经过计算，判断他们谁说得对．26．(2021·衢州)有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b 厘米，木工师傅设计了如下图的三种方案：第26题图小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，对于方案一，小明是这样验证的：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：27．(2021·易错)阅读以下题目的解题过程：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4 (A)∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2) (B)∴c2＝a2＋b2 (C)∴△ABC是直角三角形问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______；(2)错误的原因为：____________________________；(3)请你将正确的解答过程写下来．28．(2021·原创)观察以下等式：11×2×3＋12＝23；12×3×4＋13＝38；13×4×5＋14＝415；…(1)猜测并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．参考答案1．A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11．C 12.A 13.C14．2(a ＋2b)(a －2b) 15.n(m －1)2 16.2(y ＋1)217．(a －b)(a －b ＋1) 18.4 036 19.－220．解：原式＝(x －y)(3a ＋2b)(3a －2b)．21．解：原式＝－6x ＋13.22．解：原式＝－4y ＋1.23．解：原式＝4x 2－1－3x 2＋2x －3x ＋2＝x 2－x ＋1，当x ＝2sin 30°＋π0＝2时，原式＝4－2＋1＝3.24．解：原式＝2ab －1.当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝2(2＋1)(2－1)－1＝2－1＝1.25．解：原式＝4x 2－25＋8x ＋6－4x 2－8x －4＝－23.因此这个式子的结果与x 无关，那么小丽说法正确，小明说法不对．26．解：方案二：a 2＋ab ＋(a ＋b)b ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2，方案三：a 2＋[a ＋〔a ＋b 〕]b 2＋[a ＋〔a ＋b 〕]b 2＝a 2＋ab ＋12b 2＋ab ＋12b 2＝(a ＋b)2.27．解：(1)C ；(2)忽略a 2－b 2＝0的情况；(3)接第C 步：∵c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)，∴c 2(a 2－b 2)－(a 2－b 2)(a 2＋b 2)＝0，∴(a 2－b 2)[c 2－(a 2＋b 2)]＝0，∴a 2－b 2＝0或c 2－(a 2＋b 2)＝0.故a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．28．(1)解：第n 个等式为1n 〔n ＋1〕〔n ＋2〕＋1n ＋1＝n ＋1〔n ＋1〕2－1. (2)证明：左边＝1n 〔n ＋1〕〔n ＋2〕＋n 〔n ＋2〕n 〔n ＋1〕〔n ＋2〕＝n 2＋2n ＋1n 〔n ＋1〕〔n ＋2〕＝〔n ＋1〕2n 〔n ＋1〕〔n ＋2〕＝n ＋1n 〔n ＋2〕， 右边＝n ＋1n 2＋2n ＋1－1＝n ＋1n 2＋2n ＝n ＋1n 〔n ＋2〕， 所以左边＝右边，即1n 〔n ＋1〕〔n ＋2〕＋1n ＋1＝n ＋1〔n ＋1〕2－1. 一元二次方程好题随堂演练1．(2021·盐城)一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，那么k 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 2．(2021·瑶海区二模)一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．(2021·绵阳)关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，那么n m 的值为( )A ．－8B ．8C ．16D ．－164．(2021·眉山)我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4 860元的均价开盘销售，那么平均每次下调的百分率是( )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%5．用总长10 m 的铝合金型材料做一个如下图的窗框(不计损耗)，窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52 m 2(材料的厚度忽略不计)．假设设小正方形的边长为x m ，以下方程符合题意的是( )第5题图A ．2x(10－7x)＝3.52B ．2x·10－7x 2＝3.52 C ．2x(x ＋10－7x 2)＝3.52 D ．2x 2＋2x(10－9x)＝3.526．假设方程x 2＋2x －11＝0的两根分别为m 、n ，那么mn(m ＋n)＝________．7．一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，那么1x 1＋1x 2＝________． 8．(2021·淮安)一元二次方程 x 2－x ＝0 的根是________．9．解方程：x 2－4＝2x ＋4.10．(2021·成都)假设关于x 的一元二次方程x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．11．(2021·蚌埠固镇一模)为了稳固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2021年的绿色建筑面积为950万平方米，2021年到达了1 862万平方米．假设2021年、2021年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请答复以下问题：(1)求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；(2)2021年我市方案推行绿色建筑面积到达2 400万平方米，如果2021年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2021年我市能否完成方案目标？参考答案1．B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.22 7.－2 8.x 1＝0，x 2＝19．解：解得x 1＝－2，x 2＝4.【一题多解】 x 2－4＝2x ＋4，x 2－2x ＝8，(x －1)2＝9，解得x 1＝－2，x 2＝4.10．解：∵一元二次方程x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac>0，即[－(2a ＋1)]2－4a 2>0，4a ＋1>0，解得a>－14.11．解：(1)设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x ，950(1＋x)2＝1862，解得，x1＝0.4，x2＝－2.4(舍去),即这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；(2)由题意可得，1862(1＋40%)＝2606.8，∵2606.8＞2400，∴2021年我市能完成方案目标．。
初中数学七年级上册（北师大版）
初中数学七年级上册（北师大版）第三章字母表示数第三节代数式求值济南五中王泽青第三章字母表示数第三节代数式求值一、教学目标1、知识与技能目标：会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法；会利用代数式求值推断代数式所反映的规律；能解释代数式值的实际意义。
2、数学思考目标：经历观察、试验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
3、解决问题目标：形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力与创新精神；学会与人合作；初步形成评价与反思的意识。
4、情感与态度目标：在数学学习中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志；培养学生以实事求是的态度进行质疑和独立思考的习惯。
二、教材分析本节是在学生学习了第二节《代数式》的基础上，继续学习求代数式的值，这也为第六节《探索规律》奠定了基础。
用代数式表示数量关系是由特殊到一般的过程，而代数式求值是从一般到特殊的过程。
2、代数式—→3、代数式求值—→6、探索规律一般—→特殊—→一般因此本节内容在本章中起着承上启下的作用。
代数式求值也是学习方程、函数等其他后续知识必备的基础。
1、教学重点：会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法。
2、教学难点：会利用代数式求值推断代数式所反映的规律。
三、学生状况分析学生在前面学过用字母和代数式表示运算律和计算公式，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情境中，会求出代数式的值并解释它的实际意义，且形成了初步的符号感。
七年级学生具有好胜、好强的特点，班级中已初步形成合作交流、敢于探索和实践的良好学风，学生间相互评价、相互提问的互动的气氛较浓。
四、教学设计（一）创设情境，导入新课七年级学生正处于生长发育阶段的关键期，大部分学生对自己的身高非常关注。
本节内容又与我们的生活息息相关，因此我选择根据父母身高预测自己身高的引例，导入新课。
（幻灯片演示引例）引例：据报纸记载，一位医生研究得出由父母身高预测子女成年后身高的公式是：儿子身高是由父母身高的和的一半，再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2（1）已知父亲身高是a米，母亲身高是b米，试用代数式表示儿子和女儿的身高（2）五年级女生小红的父亲身高是1.75米，母亲的身高是1.62米；六年级男生小明的父亲的身高是1.70，母亲的身高是1.62，试预测成年以后小明与小红谁个子高？ （3）试预测成年后你的身高（二）建立模型，讲解新课1、为了使学生能亲身感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法，我选用例1。
中考数学 考点系统复习 第一章 数与式 第三节 代数式、整式与因式分解
操作”．例如：(x－y)－(z－m－n)＝x－y－z＋m＋n，x－y－(z－m)－n
＝x－y－z＋m－n，….下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为 0；
③所有可能的“加算操作”共有 8 种不同运算结果．
其中正确的个数是
第三节 代数式、整式与 因式分解
1．(2022·河北)计算 a3÷a 得 a？，则“？” 是 A．0 B．1 C．2 D．3
（ C）
2．(2022·湘潭)下列整式与 ab2 为同类项的是 A．a2b B．－2ab2 C．ab D．ab2c
（B ）
3．(2022·陕西)计算：2x·(－3x2y3)的结果为
解：原式＝4xy－2xy＋3xy＝5xy， 当 x＝2，y＝－1 时， 原式＝5×2×(－1)＝－10.
15．(2022·丽水)先化简，再求值： (1＋x)(1－x)＋x(x＋2)，其中 x＝12. 解：原式＝1－x2＋x2＋2x＝1＋2x，
1 当 x＝2时， 原式＝1＋2×12＝2.
16．(2022·重庆)用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案
中有 5 个正方形，第②个图案中有 9 个正方形，第③个图案中有 13 个正
方形，第④个图案中有 17 个正方形，按此规律排列下去，则第⑨个图案
中正方形的个数为
（ C）
A．32
B．34
C．37
D．41
17．★(2022·重庆 A 卷)在多项式 x－y－z－m－n 中任意加括号，加括
号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算
(3)【探究】设“发现”中的两个已知正整数为 m，n，请论证“发现”中 的结论正确． (3)两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且 该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由： ∵(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2
中考数学 考点系统复习 第一章 数与式 第三节 代数式、整式与因式分解
命题点 2：整式的运算(2022 年考查 13 次，2021 年考查 12 次，2020
年考查 12 次)
3.(2022·衡阳第 5 题 3 分)下列运算中正确的是
（ D）
A.a2＋a3＝a5
B．a3·a4＝a12
C.(a3)4＝a7
D．a3÷a2＝a
4.(2022·怀化第 5 题 4 分)下列计算中正确的是 A.(2a2)3＝6a6 B．a8÷a2＝a4 , C. (－2)2＝2 D．(x－y)2＝x2－y2
第三节 代数式、整式与 因式分解
【考情分析】湖南近 3 年主要以选填题形式考查：整式的运算、幂运算、 乘法公式、整式的混合运算、因式分解. 常以解答题形式考查代数式的 化简求值，难度较小，分值 3－8 分．
命题点 1：整式的相关概念(2022 年考查 1 次，2021 年考查 1 次，2020 年考查 2 次) 1.(2022·永州第 11 题 4 分)若单项式 3xmy 与－2x6y 是同类项，则 m＝66 . 2.(2021·湘潭第 9 题 3 分)单项式 3x2y 的系数为 33 .
命题点 3：因式分解(2022 年考查 9 次，2021 年考查 8 次，2020 年考
查 9 次)
8.(2022·永州第 6 题 4 分)下列因式分解中正确的是
（ B）
A.ax＋ay＝a(x＋y)＋1
B.3a＋3b＝3(a＋b)
C.a2＋4a＋4＝(a＋4)2
D.a2＋b＝a(a＋b)
（ C）
5.(2020·岳阳第 14 题 4 分)已知 x2＋2x＝－1，则代数式 5＋x(x＋2)的 值为__44__. 6.(2019·岳阳第 14 题 3 分)已知 x－3＝2，则代数式(x－3)2－2(x－3) ＋1 的值为__11__.
第三节 代数式与整式
考点特训营第一章 数与式第三节 Nhomakorabea数式与整式
玩转福建6年中考真题（2012~2017）
考点特训营
考点精讲
考点特训营
代数式及其求值 代数式 与整式 整式及其相关概念 整式的运算
因式分解
玩转福建6年中考真题（2012~2017）
考点特训营
列代数式的基本模型 直接代入法：用数值代替代数式 中的字母，并按原来的运算顺序 计算求值 代数式 整体代入法 求值 温馨提示：非负数
1.常见的非负数有a2、|a|、 a （a≥0） 温馨提 示：非 负数 2.若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0， 如a2＋|b|＋ c ＝, 0，则有a2＝0，|b|＝0， c ＝0，则 a＝ b＝ c＝ 0
玩转福建6年中考真题（2012~2017）
考点特训营
积 表示的式子.单独的一个数 单项式：用数或字母的③____ 整 或一个字母也是单项式.如a，0，2m，a2b等, 式 1.系数：单项式中的④_______ 数字因数 及 和 2.次数：一个单项式中，所有字母指数的⑤________ 其 和 多项式 ：几个单项式的⑥ ________ 相 1.项：多项中的每个单项式，其中, 关 常数项 不含字母的项叫做⑦________ 概 2.次数：多项式中次数最高项的次数 念 整式：单项式和多项式的统称 指数 也相 同类项：所含字母相同，并且相同字母的⑧_______ 同的单项式.常数项都是同类项
玩转福建6年中考真题（2012~2017）
考点特训营
1.观察已知条件和所求代数式的关系 2.将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一 般会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式 法 3.把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
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C. 5
D. 4
第4题图
5. (2018河北18题3分)若a，b互为相反数，则a2－b2＝___0_____．
6. (2014河北18题3分)若实数m，n满足|m－2|＋(n－2014)2＝0，则m－1＋n0＝
3
____2___． 7. (2012河北15题3分)已知y＝x－1，则(x－y)2＋(y－x)＋1的值为____1____． 8. (2016河北18题3分)若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5nm＋10＝___1_____．
第三节 代数式与整式
作业
中考冲锋号
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求值
整体代
式 x2+2x&#
入法
2.若 x+2y=1，则代数式
所求代数式变形成含有已知整式
x2+4xy+4y2=___1___
或部分项的形式
第三节 代数式与整式
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典例
一、列代数式
例1 (1)“一个数a的3倍与2的和”用代数式可表示为_____3_a_＋_．2
__1_._1_5_a__辆．
第三节 代数式与整式
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(5)某商品标价x元，进价为400元，在商场开展的促销活动中，该商品按
8折销售获利__(0_._8_x_－__4_0_0_)_元．
(6)一个三位数，若个位数字为a－1，十位数字为a，百位数字为a＋1，
则这个三位数用含a的式子可表示为_____1_1_1_a_＋__9_9____．
(7)门窗生产厂用不锈钢材料制造一个长方形
窗户ABCD(中间的EF为共用边)，相关数据
(单位：米)如图所示，那么制造这个窗户所
需不锈钢材料的总长是_(4_a_＋__3_b_)_米．
练习1题图
第三节 代数式与整式
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二、代数式求值
例 2 若x－3y的值是2，则3＋2x－6y的值是( C )
A. 5
第三节 代数式与整式
易错题：（中考冲锋号）
P19 3.
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第三节 代数式与整式
P20 2.
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中玩转考河链北1接0年中考真题
命题点 1 列代数式及求值（10年10考，仅2015年未考，代数式求值以与
其他知识结合为主） 1. (2018河北12题2分)用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接
第三节 代数式与整式（必考，2～4道，3～13分）
第三节 代数式与整式
考点梳理
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代数式：用运算符号连接数和字母组成的式子，单独一个数或一个表示数的
字母也叫代数式
直接代
若 x=1，则代数式
代 数
入法
把已知字母的值直接代入
4-3x=__1____
式
利用提公因式法、平方差公式、
代数式
1.若 x2-2x=-1，则代数 完全平方公式或降次对所求代数
围成一个正方形．要将它按图中的方式向外等距扩1(单位：cm)，
得到新的正方形，则这根铁丝需增加( B )
A. 4 cm
B. 8 cm
C. (a＋4) cm
D. (a＋8) cm
第1题图
2. (2013河北9题3分)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x， 淇淇猜中的结果应为y，则y＝ ( B )
(2)某校购买价格a元的排球100个，则购买排球共花费__1_0_0_a___元，购买价格b
元的篮球50个，则购买篮球共花费___5_0_b___元，购买两种球总共花费
_1_0_0_a_＋__5_0_b_元．
a 2b
(3)一个长方形的周长为a，长为b，则长方形的宽为____2____．
(4)某品牌汽车去年销售a辆，预计今年销售量增长15%，那么今年可销售
A. 2 C. 6
B. 3 D. x＋3
3. (2013河北5题2分)若x＝1，则|x－4|＝ ( A )
A. 3
B. －3
C. 5
D. －5
第2题图
4. (2012河北11题3分)如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分面积分
别为a，b(a＞b)，则(a－b)等于( A )
A. 7
B. 6
B. 6
C. 7
D. 8
例 3 (2018威海)已知5x＝3，5y＝2，则52x－3y＝( D )
3
2
9
A. 4
B. 1
C. 3
D. 8
例 4 如果a2－2ab＝5，2ab＋b2＝1，那么代数式a2＋b2的值____6___．
例 5 (2019金华)当x＝1，y＝ 13时，代数式x2＋2xy＋y2的值是____49__.