热传导08

周边固支的矩形薄板
材料的热膨胀系数为 ，弹性系数为 E，泊松比为 度升高 时，板中的热应力. ，求温
1). 当周边无约束时，自由膨胀，无应力产生。 2). 周边固支时，应变为 0. 3). 根据平面问题的胡克定律， 有
代回（1）式，有
热弹性力方程
平衡方程：
只与物体的受力有关，而与产生力的原因无关。只考虑温度 影响时无显式外力作用。
沸腾换热及凝结换热 液体在热表面上沸腾及蒸汽在冷表面上凝结的对流换 热，称为沸腾换热及凝结换热（相变对流沸腾）。 c．对流换热的基本规律( 牛顿冷却公式 ) 流体被加热时： 流体被冷却时： 其中α为对流换热系数，式中 tw 及 tf 分别为壁面温度 和流体温度，℃。 对流换热系数的大小与传热过程中的许多因素有关。 它不仅 取决于物体的物性、换热表面的形状、大小和相对位置，而 且与流体的物性和流速有关。一般就介质而言，水的对流换 热比空气强烈.强制对流强于自然对流； 就换热方式而言， 有 相变的强于无相变的。
2) 第二类边界条件： （Nermaun 条件） （热流界条件）: 给 定边界上温度沿边界法向的导数。
3)第三类边界条件（Robin 条件）（对流边界条件）
传热过程分析的求解原理(求极值问题)
若该问题的初始条件(initial condition)为
求解传热问题的提法为, 在满足边界条件及初始条件的许可 温度场中, ，真实的温度场使以下泛函 I 取极小值:
将导热微分方程写成以温度 t 为自变量的形式， 而不是以温 度的变化值 T 为自变量的形式。 导热微分方程在不同坐标系下的表达式 1）各向同性， 直角坐标系
对于稳定温度场（Poisson 方程）
对于无源稳定温度场（Laplace 方程）
[导热系数λ 不影响物体内温度的分布]
柱坐标
2) 各向异性 直角坐标
ε ,物体的发射率（黑度） ，其值总小于 1，它与物体的种类及 表面状态有关。 A, 辐射表面积 m2。
3) 热辐射 b)．辐射换热 辐射与吸收过程的综合作用造成了以辐射方式进行的物体 间的热量传递称辐射换热。 自然界中的物体都在不停的向空间发出热辐射，同时又 不断的吸收其他物体发出的辐射热。 辐射换热是一个动态过程。当物体与周围环境温度处于 热平衡时，辐射换热量为零，但辐射与吸收过程仍在不 停的进行，只是辐射热与吸收热相等。
几何方程：
应变只与位移有关，而与引起位移的原因无关，所以与弹性 力学的几何方程相同，有
物理方程
在变温条件下，弹性体的应变由两部分组成： 1)自由膨胀引起的正应变分量 0。t 为温度变化值。 2)热膨胀时，弹性体各部分之间的相互约束而引起的应变分 量服从胡克定律 ，它对应的剪应变为
热弹性力学平衡方程中存在着一组相当于体积力的力， 把它 称为当量热载荷, 作用在构件体内。
①完全为内部单元（无传热边界）
②对于 jm 边为传热边界 BC(S )时
2
③对于 jm 边为传热边界 BC(S )时
3
热弹性力学问题
一维固支梁问题
求温度升高Δ t 时，固支梁内应力的大小是多少？
1） 梁固支，所以 2） 升温 ，按广义胡克定律，若是自由伸长，会引起伸长 ，此时， ， 。
3）构件自由伸长时应无热应力产生 4）形成固支的状态，，必须在两端加上压力 应使杆产生一个 5） 结论：在固支的情况下，温度升得越高，压应力就越大 变形，使得 。 , 大小
将两个边界条件耦合进泛函(8-6)中，
wenku.baidu.com
稳态传热过程的有限元分析列式
对于稳态问题(steady problem)，即温度不随时间变化，有
稳态传热过程的单元构造的基本表达式 将物体离散为单元体， 将单元的温度场表示为节点温度的插 值关系，有，
其中 N(x,y,z) 为形状函数矩阵,
为节点温度列阵:
求泛函极值,
导热微分方程和其边值问题
讨论温度场时，物体被假设为只有热的变化，忽略其体积变 化对外界所做的功 内能的变化又只有以温度为指标的内能 外部传入的热量 Q1 内部发生的热量 Q2 物体能量的增加, 即为温度升高所吸收的热量 Q3 。
热量的传递遵循傅立叶（Fourier）定律
其中 λ：导热系数 常用材料的导热系数λ 举例 铜： 385 铝（0℃） ： 202 碳钢： 43 不锈钢：16.3 玻璃： 0.78（窗） 木屑： 0.059 混凝土（0℃） 0.468～0.81 干燥空气、大气压力（20℃） 0.084
单元传热方程：
单元传热矩阵(heat transfer matrix)和单元节点等效温度载荷 列阵：
平面3节点三角形传热单元
3 节点组成的平面三角形传热单元
单元的节点温度列阵为
根据关于一般 3 节点三角形单元的插值函数描述， 取单元温 度场的插值关系，
形状函数矩阵 N 为
传热矩阵,节点等效温度载荷列阵
热传导问题的有限元法
彭自强
传热过程分析的基本原理
传热(heat transfer)是一种普遍的自然现象
建筑物的隔热保暖，发动机循环冷却，高速列车制动冷却系 统、宇宙飞船的人/机热环境系统、返回舱的隔热系统、运载 火箭的热防护系统，计算机芯片的散热系统。
温度场引起热变形和热应力
除考虑载荷（力场）作用下的变形、应变和应力外，热变形 的大小是研究构件精度时必须考虑的重要因素之一。 在有热 应力存在的情况下， 热应力又是研究构件强度时必须考虑的 问题。
式中λ 是比例系数，称为热导率，又称导热系数。
热流量， 单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流
量，记为φ ，单位为：W。 热流密度（面积热流量）, 单位时间内通过单位面积的热 量称为热流密度, 记为 q ，单位为：W/m2 。
（2）．对流 a 概念, 指由于流体的宏观运动， 从而使流体各部分之间发 生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程. 对流换热：流体流过一个物体表面时的热量传递过程， 称为对流换热。 b 对流换热的分类 根据对流换热时是否发生相变分：有相变的对流换热和 无相变的对流换热。 根据引起流动的原因分：自然对流和强制对流。 自然对流：暖气片表面附近受热空气的向上流动 强制对流：流体的流动是由于水泵、风机或其他压差作 用所造成的
c）．导热、对流、辐射的辩异 导热、对流两种热量传递方式，只在有物质存在的条件 下才能实现，而热辐射不需中间介质，可以在真空中传递， 而且在真空中辐射能的传递最有效。 在辐射换热过程中，不仅有能量的转换，而且伴随有 能量形式的转化。 对流换热系数的近似值（kW /m℃ ） 自然对流、空气 5.25 强迫对流、空气 10～500 强迫对流、水 100～15000 沸水 2500～25000 水蒸气冷凝 5000～100000
一般情况下，导热系数λ 随温度变化，λ =λ (t)
边界条件
导热微分方程的边界条件有三类。 反映热量传递三种方式在边界上的相互作用。
热量传递的三种基本方式 1) 导热（热传导）: a. 概念：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原 子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递称导 热。如：固体与固体之间及固体内部的热量传递。 b. 基本规律： 单位时间内通过该层的导热热量与两个表面 的温度变化率及平板面积 A 成正比
控制方程
瞬态温度场控制方程
ρ 材料密度 kg/m3 为材料比热(specific heat) J/(kg×K) 分别为沿 x，y，z 方向的热传导系数 W/(m×K) Q 物体内部的热源强度 W/kg；
导热微分方程的三类边界条件
1) 第一类边界条件：（Dirichlet 条件）（温度条件）: 边界 上各点的温度值已知
热弹性力学问题
等效节点热载荷
有限元分析中，需要把实际载荷移置到节点上去 总应变，包括温度变化产生的热应变 是构件自由状态下的应变，不产生正应力 是产生正应力的应变
热应力问题求解的虚功原理
热应力问题的物理方程为式(8-25), 除此之外, 其平衡方程、 几何方程以及边界条件与普通弹性问题相同 一般虚功原理为 δU−δW=0
本构关系的指标形式
或
热应力问题分析的单元构造基本表达式
其中 N、B、D、S 分别为单元的形状函数矩阵、几何矩阵、 弹性系数矩阵和应力矩阵
前式的最后一项表明温度变化只对正应力有影响， 对剪应 力没有影响。 求虚位移和虚应变：
温度等效载荷
利用 Fourier 定律，我们可以得到物体外部导入的热量、 内部产生的热量和单位时间内能的增加量的表达式
利用 Gauss 公式，可以将能量平衡方程转化为：
等式两边均为体积分，所以，从能量平衡方程可得导热微分 方程
当物体均匀、各向同性时，λ 、ρ 、C 均为常数。
各物性参数的单位为： 热扩散系数
3) 热辐射 a)．概念 辐射和热辐射 黑体辐射 实际物体辐射： 热流量根据斯忒潘——玻耳兹曼定律求得： 物体通过电磁波传递能量的方式称为辐 射。因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。
Q ,物体自身向外辐射的热流量，而不是辐射换热量 σ,斯忒潘—玻耳兹曼常数（黑体辐射常数），其值为 5.67×
10-8W/ ( m2 ⋅K4 )；