热传导08

利用 Fourier 定律，我们可以得到物体外部导入的热量、 内部产生的热量和单位时间内能的增加量的表达式
利用 Gauss 公式，可以将能量平衡方程转化为：
等式两边均为体积分，所以，从能量平衡方程可得导热微分 方程
当物体均匀、各向同性时，λ 、ρ 、C 均为常数。
各物性参数的单位为： 热扩散系数
一般情况下，导热系数λ 随温度变化，λ =λ (t)
边界条件
导热微分方程的边界条件有三类。 反映热量传递三种方式在边界上的相互作用。
热量传递的三种基本方式 1) 导热（热传导）: a. 概念：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原 子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热量传递称导 热。如：固体与固体之间及固体内部的热量传递。 b. 基本规律： 单位时间内通过该层的导热热量与两个表面 的温度变化率及平板面积 A 成正比
将两个边界条件耦合进泛函(8-6)中，
稳态传热过程的有限元分析列式
对于稳态问题(steady problem)，即温度不随时间变化，有
稳态传热过程的单元构造的基本表达式 将物体离散为单元体， 将单元的温度场表示为节点温度的插 值关系，有，
其中 N(x,y,z) 为形状函数矩阵,
为节点温度列阵:
求泛函极值,
3) 热辐射 a)．概念 辐射和热辐射 黑体辐射 实际物体辐射： 热流量根据斯忒潘——玻耳兹曼定律求得： 物体通过电磁波传递能量的方式称为辐 射。因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。
Q ,物体自身向外辐射的热流量，而不是辐射换热量 σ,斯忒潘—玻耳兹曼常数（黑体辐射常数），其值为 5.67×
10-8W/ ( m2 ⋅K4 )；
单元传热方程：
单元传热矩阵(heat transfer matrix)和单元节点等效温度载荷 列阵：
平面3节点三角形传热单元
3 节点组成的平面三角形传热单元
单元的节点温度列阵为
根据关于一般 3 节点三角形单元的插值函数描述， 取单元温 度场的插值关系，
形状函数矩阵 N 为
传热矩阵,节点等效温度载荷列阵
ε ,物体的发射率（黑度） ，其值总小于 1，它与物体的种类及 表面状态有关。 A, 辐射表面积 m2。
3) 热辐射 b)．辐射换热 辐射与吸收过程的综合作用造成了以辐射方式进行的物体 间的热量传递称辐射换热。 自然界中的物体都在不停的向空间发出热辐射，同时又 不断的吸收其他物体发出的辐射热。 辐射换热是一个动态过程。当物体与周围环境温度处于 热平衡时，辐射换热量为零，但辐射与吸收过程仍在不 停的进行，只是辐射热与吸收热相等。
①完全为内部单元（无传热边界）
②对于 jm 边为传热边界 BC(S )时
2
③对于 jm 边为传热边界 BC(S )时
3
热弹性力学问题
一维固支梁问题
求温度升高Δ t 时，固支梁内应力的大小是多少？
1） 梁固支，所以 2） 升温 ，按广义胡克定律，若是自由伸长，会引起伸长 ，此时， ， 。
3）构件自由伸长时应无热应力产生 4）形成固支的状态，，必须在两端加上压力 应使杆产生一个 5） 结论：在固支的情况下，温度升得越高，压应力就越大 变形，使得 。 , 大小
周边固支的矩形薄板
材料的热膨胀系数为 ，弹性系数为 E，泊松比为 度升高 时，板中的热应力. ，求温
1). 当周边无约束时，自由膨胀，无应力产生。 2). 周边固支时，应变为 0. 3). 根据平面问题的胡克定律， 有
代回（1）式，有
热弹性力方程
平衡方程：
只与物体的受力有关，而与产生力的原因无关。只考虑温度 影响时无显式外力作用。
热弹性力学问题
等效节点热载荷
有限元分析中，需要把实际载荷移置到节点上去 总应变，包括温度变化产生的热应变 是构件自由状态下的应变，不产生正应力 是产生正热应力问题的物理方程为式(8-25), 除此之外, 其平衡方程、 几何方程以及边界条件与普通弹性问题相同 一般虚功原理为 δU−δW=0
2) 第二类边界条件： （Nermaun 条件） （热流界条件）: 给 定边界上温度沿边界法向的导数。
3)第三类边界条件（Robin 条件）（对流边界条件）
传热过程分析的求解原理(求极值问题)
若该问题的初始条件(initial condition)为
求解传热问题的提法为, 在满足边界条件及初始条件的许可 温度场中, ，真实的温度场使以下泛函 I 取极小值:
导热微分方程和其边值问题
讨论温度场时，物体被假设为只有热的变化，忽略其体积变 化对外界所做的功 内能的变化又只有以温度为指标的内能 外部传入的热量 Q1 内部发生的热量 Q2 物体能量的增加, 即为温度升高所吸收的热量 Q3 。
热量的传递遵循傅立叶（Fourier）定律
其中 λ：导热系数 常用材料的导热系数λ 举例 铜： 385 铝（0℃） ： 202 碳钢： 43 不锈钢：16.3 玻璃： 0.78（窗） 木屑： 0.059 混凝土（0℃） 0.468～0.81 干燥空气、大气压力（20℃） 0.084
沸腾换热及凝结换热 液体在热表面上沸腾及蒸汽在冷表面上凝结的对流换 热，称为沸腾换热及凝结换热（相变对流沸腾）。 c．对流换热的基本规律( 牛顿冷却公式 ) 流体被加热时： 流体被冷却时： 其中α为对流换热系数，式中 tw 及 tf 分别为壁面温度 和流体温度，℃。 对流换热系数的大小与传热过程中的许多因素有关。 它不仅 取决于物体的物性、换热表面的形状、大小和相对位置，而 且与流体的物性和流速有关。一般就介质而言，水的对流换 热比空气强烈.强制对流强于自然对流； 就换热方式而言， 有 相变的强于无相变的。
将导热微分方程写成以温度 t 为自变量的形式， 而不是以温 度的变化值 T 为自变量的形式。 导热微分方程在不同坐标系下的表达式 1）各向同性， 直角坐标系
对于稳定温度场（Poisson 方程）
对于无源稳定温度场（Laplace 方程）
[导热系数λ 不影响物体内温度的分布]
柱坐标
2) 各向异性 直角坐标
式中λ 是比例系数，称为热导率，又称导热系数。
热流量， 单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流
量，记为φ ，单位为：W。 热流密度（面积热流量）, 单位时间内通过单位面积的热 量称为热流密度, 记为 q ，单位为：W/m2 。
（2）．对流 a 概念, 指由于流体的宏观运动， 从而使流体各部分之间发 生相对位移，冷热流体相互掺混所引起的热量传递过程. 对流换热：流体流过一个物体表面时的热量传递过程， 称为对流换热。 b 对流换热的分类 根据对流换热时是否发生相变分：有相变的对流换热和 无相变的对流换热。 根据引起流动的原因分：自然对流和强制对流。 自然对流：暖气片表面附近受热空气的向上流动 强制对流：流体的流动是由于水泵、风机或其他压差作 用所造成的
c）．导热、对流、辐射的辩异 导热、对流两种热量传递方式，只在有物质存在的条件 下才能实现，而热辐射不需中间介质，可以在真空中传递， 而且在真空中辐射能的传递最有效。 在辐射换热过程中，不仅有能量的转换，而且伴随有 能量形式的转化。 对流换热系数的近似值（kW /m℃ ） 自然对流、空气 5.25 强迫对流、空气 10～500 强迫对流、水 100～15000 沸水 2500～25000 水蒸气冷凝 5000～100000
本构关系的指标形式
或
热应力问题分析的单元构造基本表达式
其中 N、B、D、S 分别为单元的形状函数矩阵、几何矩阵、 弹性系数矩阵和应力矩阵
前式的最后一项表明温度变化只对正应力有影响， 对剪应 力没有影响。 求虚位移和虚应变：
温度等效载荷
热传导问题的有限元法
彭自强
传热过程分析的基本原理
传热(heat transfer)是一种普遍的自然现象
建筑物的隔热保暖，发动机循环冷却，高速列车制动冷却系 统、宇宙飞船的人/机热环境系统、返回舱的隔热系统、运载 火箭的热防护系统，计算机芯片的散热系统。
温度场引起热变形和热应力
除考虑载荷（力场）作用下的变形、应变和应力外，热变形 的大小是研究构件精度时必须考虑的重要因素之一。 在有热 应力存在的情况下， 热应力又是研究构件强度时必须考虑的 问题。
控制方程
瞬态温度场控制方程
ρ 材料密度 kg/m3 为材料比热(specific heat) J/(kg×K) 分别为沿 x，y，z 方向的热传导系数 W/(m×K) Q 物体内部的热源强度 W/kg；
导热微分方程的三类边界条件
1) 第一类边界条件：（Dirichlet 条件）（温度条件）: 边界 上各点的温度值已知
几何方程：
应变只与位移有关，而与引起位移的原因无关，所以与弹性 力学的几何方程相同，有
物理方程
在变温条件下，弹性体的应变由两部分组成： 1)自由膨胀引起的正应变分量 0。t 为温度变化值。 2)热膨胀时，弹性体各部分之间的相互约束而引起的应变分 量服从胡克定律 ，它对应的剪应变为
热弹性力学平衡方程中存在着一组相当于体积力的力， 把它 称为当量热载荷, 作用在构件体内。