山西大学期末考试

山西大学全日制本科生试卷
科 目：高等数学B3（A 卷）
一、 选择题(15分)
1．下列等式中正确的是
A ．()A A A A 233-=-
B ．
()T T T
B A AB =
C ．()()2
2B A B A B A -=+- D ． ()2
22B BA AB A B A +++=+
2．设有m 维向量组()n ααα,,,:21 I ，则
A ．当m<n 时，(I)一定线性相关
B ．当m>n 时，(I)一定线性相关
C ．当m<n 时，(I)一定线性无关
D ．当m>n 时，(I)一定线性无关 3．下列叙述不正确的是
(A) 任意实对称矩阵都可以借助于一个正交矩阵进行对角化 (B) n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是矩阵A 有n 个不同的特征值
(C)任何实二次型都可化为标准形
(D)矩阵A 的特征向量系是线性无关向量系
4．设离散型随机变量X 的分布律为{}k b k X P λ==，
0>b ， ,3,2,1=k ，则λ=
A ．
1
1
+b B ．b -1
C ．b
D ．b +1
共 8 页 第 1 页
科目： 专业： 学号： 姓名：
密 封 线 密 封 线 密 封 线
山西大学全日制本科生试卷
5. 设随机变量1X ，2X ，…，n X ，…相互独立，且都服从于参数为λ的指数分布，则对任意x ，由中心极限定理有
（A ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→λλ1lim （B ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪
⎭⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→λλ1lim （C ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞→λλ1lim （D ）()x x n n x n i i n Φ=⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-P ∑=∞
→21lim λλ
二、 填空题 (15分)
1. 设A ,B ,C 为三个事件，已知()()()4
1
===C P B P A P ，()()0==BC P AB P ，
()8
1
=AC P ，则()
=ABC P
2. 设X ～()2
,3σN ，且{}1.00=<X P ，则{}=<<63X P
3. 设X ～()8.0,10b ，Y ～()2π，且X 与Y 相互独立，则()=-Y X D 2
4. 设矩阵A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡240130002, 则1-A = 5. 设实二次型
Q(x 1, x 2, x 3)= x 12+ x 22+ 5x 32+2tx 1x 2-2x 1x 3+4 x 2x 3是正定二次型，
则实数t 应满足
共 8 页 第 2 页
三、
(7分) 计算n 阶行列式
a
a a a 111111111111
共 页 第 3 页
山西大学全日制本科生试卷
山
西
大
学
全
日
制
本
科
生
试
卷
科目： 专业： 学号： 姓名：
密 封 线 密 封 线 密 封 线
四、
(8分)用配方法将实二次型Q= x 12+ 2x 22-4x 1x 2-4x 1x 3化为标准形，并写出相应的坐
标变换。

共 8页 第 4 页
五、
（20分）设矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=133153131A (1)求矩阵A 的特征值与相应的特征向量；
(2)判断A 是否可以对角化，若可以，写出可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵。

共 8 页 第 5 页
山西大学全日制本科生试卷
山西大学全日制本科生试卷
科目： 专业： 学号： 姓名：
密 封 线 密 封 线 密 封 线
六、
(10分) 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，
三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率。

如果一件产品是优质品，它的材料来自甲地的概率有多大呢？
共8 页 第 6 页
七、
(10分)设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧>=-其它
,0,
0,x e x f x x ，令2X Y =。

求（1）随机变量Y 的概率密度()y f Y ； （2）随机变量Y 的数学期望()Y X E 2+。

共 8 页 第 7 页
山西大学全日制本科生试卷
山西大学全日
制本科生试卷
科目： 专业： 学号： 姓名：
密 封 线 密 封 线 密 封 线
八、
(15分) 设二维随机变量()Y X ,的概率密度为
()()
⎪⎩
⎪⎨⎧<<<<+=其它010,20,431,2y x y x y x f （1） 求边缘概率密度()x f X ，()y f Y ，并判断Y X ,是否相互独立； （2） 求概率{}Y X P ≤；
（3） 求⎪⎭
⎫
⎝⎛X Y E 。

共 8 页 第 8 页。