组合数学(1)—抽屉原理

组合数学（1）
——抽屉原理姓名____________
抽屉原理：
第一题组
例1、一个边长为1，锐角为
60的菱形，被三个相等的圆所覆盖，求最小的可能半径.
例2、111个点放在一个边长为15的正三角形中，证明用一个直径为3的圆可以盖住上述点中的至少3个.
例3、证明任何十个不同的两位数组成的集合中必能选出两个不相交的子集，使每个子集内各数之和相等.
例4、将平面上的每个点以红蓝两色之一着色，证明存在这样的两个相似三角形它们相似比为2009，并且每个三角形的三个顶点同色.
例5、对正2000边形的顶点两染色，证明至少有100个同色等腰三角形，它们颜色全相同且彼此全等.
例6、已知49个正整数的集合M，M中的每个数的质因数不大于10，证明M中有4个互不相同的元素，它们乘积等于某个整数的四次方.
n中至少有一个数被n整例7、设n是大于1的奇数，证明1
2-
22-，1
23-，…，1
除.
例8、证明：在任何六个人的聚会上，总有三个人互相认识或者互相不认识.
例9、单位圆上任意投放6点，求证至少有两点距离不大于1.
例10、对于整数4
n，求出最小的整数)
≥
f，使得对于任何正整数m，集合
(n
m
m
f元子集中，均有至少3个两两互素的元素.
+n
(n
m 的任一个)
,
}1
,
,1
{-
+
例11、一个国际社团的成员来自6个国家，共有成员1978人，用1，2，…，1978对他们进行编号，证明：该社团至少有一个成员，其编号与他的两个同胞的编号之和相等，或是他的一个同胞编号的两倍.
第二题组
例1、设k 为给定的正整数，试求最小的正整数n ，使得对任意n 个整数，其中总存在两个整数，它们的和或差被k 2整除.
例2、设α是正实数，n 为正整数，求证：存在正整数q p ,，使np
p q 1
||≤
-α
例3、从数1，2，3，…，2005中删去一些数，使得剩下的数中任何一个数都不等于其余任意两个不同的数的积，问最少要删去多少个数才能做到这一点？
例4、设4 n ，n a a a ,,,21 是开区间)2,0(n 内互不相同的整数.证明：存在
},,,{21n a a a 的一个子集，它的所有元素之和被n 2整除.
例5、49个学生解3个问题，每个题的得分是0到7分的整数，求证：存在两个学生A 和B ，对每个问题，A 的得分不少于B .
例6、设r n ,是给定的正整数，试确定最小的正整数m ，使将集合},,3,2,1{n S =任意剖分为r 个两两不相交的集合r A A A ,,,21 之后，都存在两个数b a ,属于同一个集合
)1(r i A i ≤≤并且满足：b n
n a b 1
+≤<.
例7、平面内任给)4(≥n n 个点，其中任意4点不共面，若这些点之间连有1]4
[2
+n 条
线段，则存在两个有公共边的三角形.
例8、有17位科学家，其中每位科学家都同其他所有人通信，他们在通信时只讨论了三个问题，且每两位科学家之间只讨论一个题目，证明至少要三位科学家，他们互相讨论的是同一个题目.
抽屉原理作业：
1、是否存在（1）4个（2）5个不同的正整数，他们中任意三个数之和是素数？
2、在面积为1的ABC ∆内任意放入7个点，其中任意3点不共线，证明：这7个点
中必有3个点，以它们为顶点的三角形的面积不大于4
1
.
3、设}2005,,3,2,1{ =S ,问从S 中最多能选出多少个数，使得其中任何两数之和都不能被它们的差整除？
4、设}2000
,,3,2,1{ =S ，M 是S 的一个子集且M 中任意两数之差都不等于5或8，问M 中最多有多少个元素？
抽屉原理
11 5、今有7个男孩，其中每个人在其余6人中都至少有3个亲兄弟，求证着7个男孩全是亲兄弟.
6、10人到书店去买书，已知：
（1）每人都买了3种书；（2）任何两人都至少有一种相同.
问：购买人数最多的一种书最少有几个人买？
7、平面上每个点都以红蓝色之一着色，证明：
（1）对任意实数a ，存在边长为a a a 2,3,且三个顶点同色的直角三角形；
（2）存在两个相似三角形，它们的相似比为1995，并且每个三角形的三个顶点同色.。