cl13第十三章压杆稳定
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压杆稳定解析课件
160.3
查表13-1,得 0.276， 与 0.289 相差不大
故可选28a工字钢,校核其稳定性
F 45.1MPa [ ] 46.92MPa
A
例6： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号
工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知： F=25kN，
l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有 关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是 通过长度系数μ来实现的。要根据实 际情况选择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内 的杆端约束情况相同时，则失稳一定 发生在最小刚度平面，即I 最小的纵 向平面。
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
1 2 4.14 102
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
0.5 2 1.52 102
65.8
显然 z y
压杆将在xz平面内失稳 而 p 100，u s 60
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
k2=Fcr / EI 两个边界条件:
w = Asinkx +Bcoskx
查表13-1,得 0.276， 与 0.289 相差不大
故可选28a工字钢,校核其稳定性
F 45.1MPa [ ] 46.92MPa
A
例6： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号
工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知： F=25kN，
l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有 关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是 通过长度系数μ来实现的。要根据实 际情况选择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内 的杆端约束情况相同时，则失稳一定 发生在最小刚度平面，即I 最小的纵 向平面。
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
1 2 4.14 102
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
0.5 2 1.52 102
65.8
显然 z y
压杆将在xz平面内失稳 而 p 100，u s 60
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
k2=Fcr / EI 两个边界条件:
w = Asinkx +Bcoskx
13级压杆稳定
压杆 平衡状态 应力 平衡方程 极限承载能力 强度问题 直线平衡状态不变 达到限值su 变形前的形状、尺寸 实验确定 稳定问题 平衡形式发生变化 小于限值 ssp 变形后的形状、尺寸
理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
§9–3 临界应力· 欧拉公式的适用范围 一、临界应力 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力。
§9–1 压杆稳定的概念 受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维
持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，杆件维持原有的平
衡状态的能力称其为稳定性。
轴向受压的等截面直杆称为理想压杆。 图示为两端铰支的理想压杆。
F Fcr
(1) F Fcr
干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到 直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆 直线状态的平衡是稳定平衡。
ss
sP
s cr a b
2E s cr 2
l
i
1）若 1 欧拉公式
2 EI Pcr E P 或 cr s cr 2 ( l ) 2 A
2
o
s
P
a s s 2）否则，要计算 2 b
当 1 1 用经验公式
当 2 临界应力等于ss 24
用直线公式
l
80 1
不能用欧拉公式
C
0.6
0.3
B F
A
σcr a b 214 MPa
FN cr A σ cr 268 kN
FN cr [ FN ] nst
FN 2.27 F
[F] =118kN/3=39.3kN
图示结构中AC与CD杆均用3号钢制成，C、D两处均为球铰。已知d=20mm， b=100mm，h=180mm；E=200GPa，s s =235MPa，s b =400MPa；强度安全 系数n=2.0，稳定安全系数 nst 5.0 。试确定该结构的最大许可荷载。
理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
§9–3 临界应力· 欧拉公式的适用范围 一、临界应力 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力。
§9–1 压杆稳定的概念 受压杆件除了要满足必要的强度条件之外，还必须能维
持原有的平衡状态，这就是稳定性问题，杆件维持原有的平
衡状态的能力称其为稳定性。
轴向受压的等截面直杆称为理想压杆。 图示为两端铰支的理想压杆。
F Fcr
(1) F Fcr
干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到 直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆 直线状态的平衡是稳定平衡。
ss
sP
s cr a b
2E s cr 2
l
i
1）若 1 欧拉公式
2 EI Pcr E P 或 cr s cr 2 ( l ) 2 A
2
o
s
P
a s s 2）否则，要计算 2 b
当 1 1 用经验公式
当 2 临界应力等于ss 24
用直线公式
l
80 1
不能用欧拉公式
C
0.6
0.3
B F
A
σcr a b 214 MPa
FN cr A σ cr 268 kN
FN cr [ FN ] nst
FN 2.27 F
[F] =118kN/3=39.3kN
图示结构中AC与CD杆均用3号钢制成，C、D两处均为球铰。已知d=20mm， b=100mm，h=180mm；E=200GPa，s s =235MPa，s b =400MPa；强度安全 系数n=2.0，稳定安全系数 nst 5.0 。试确定该结构的最大许可荷载。
材料力学课件13压杆稳定
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。
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第二节
细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力 取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
d y dx
2 2
M (x) EI
Plj EI
y; 令
Plj EI
k , 则有
2
d y dx
2
2
k y 0;
2 4
I z I min
126 . 6 ;
(126 . 6 120 ) 0 . 423 ;
由 0 .5,
求柔度
l
i
0 . 5 10000 39 . 5
查 值，用插值公式求得：
0 . 466
0 . 401 0 . 466 130 120
2
其通解为 y c1 sin kx c 2 cos kx ;
由边界条件
x 0, y 0; x l , y 0;
得 c 2 0 ; c1 sin kl 0 ;
因为 c 1 0 , 所以 sin kl 0 ; 得 kl n ( n 0、 2、 n )； 1、 则 Plj n EI
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• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。 •解：查表得20a号工字钢:
•临界压力按公式
Plj
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
EI
2
p lj
l
6
建筑力学 第十三章 压杆稳定
受干扰前杆的直线形状的平衡状态称为临界平衡状态，压
力Fcr称为压杆的临界力。 临界平衡状态实质上是一种不稳定的平衡状态，因为此时
杆一经干扰后就不能维持原有直线形状的平衡状态了。 压杆从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态,这种现象称
为丧失稳定性，简称失稳。
（3）压力F超过Fcr后
杆的弯曲变形将急剧增大，甚至最
因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而钢压杆在 各纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以公式中的μ应取较大的值， 即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面内。
由已知条件，钢压杆在xy平面内的杆端约束为两端铰支， μ=1；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一端固定，μ=0.7。故 失稳将发生在xy平面内，应取μ=1进行计算。 临界力为
2
2 10 109 597.3 104 1012
1 3
2
N
655 102 N 65.5kN
在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发 生失稳。
F<Fcr
变形，在干扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到
原来的直线形状的平衡状态。
压杆原有直线形状的平衡状态称为稳 定的平衡状态。
（2）压力F增至某一极限值Fcr时
给杆一微小的横向干扰，使杆发
F=Fcr
生微小的弯曲变形，则在干扰撤去后，
杆不再恢复到原来直线形状的平衡状
态，而是仍处于微弯形状的平衡状态。
O
【解】 由于木柱两端约束为球形铰支，故木柱两端 在各个方向的约束都相同（都是铰支）。因为临界力是 使压杆产生失稳所需要的最小压力，所以公式中的I应 取Imin。由图知，Imin 104 mm4
O
故临界力为
压杆稳定
iy = Iy 288×10−7 = = 0.0346m −6 A 200×120×10
∵ 两端固定 ∴ µy = 0.5
∴λy =
17
µyl
iy
0.5×7 = =101 0.0346
在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时
bh3 1 Iz = = ×120×2003 ×10−12 = 8×10−5 m4 12 12
π 2EI 假设为细长杆： cr 假设为细长杆： P = nst P ax = ⇒d = 25mm m 2 (µl)
π 2E 经验算： λ = µl = 0.7×500 = 58.3 Qλ1 = 经验算： =101 σp i 24 / 4
假设不合理！ 假设不合理！
a −σs 304 − 240 λ2 = = = 57.1 b 1.12
9
3.临界应力总图 3.临界应力总图
σcr σcr=σs σsA σP
O B
σcr=a−bλ
C
σ cr π 2E = 2 λ
D
λs
λP
λ
0 < λ < λs 称为小柔度杆，σcr = σs
λs < λ < λp 称为中柔度杆，σcr = a − b λ
10
1 细长杆的临界应力
π 2E π 2E σcr = 2 ≤ σ p ⇒λ ≥ λ σp
29
P
⋅ ⋅ ⋅
d l
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示 下端固定，上端自由的压杆。 P µ＝2
I d = A 4 × µl µl 2 × 0 . 375 λ = = = = 75 d i 0 . 14 / 4 4 i=
考虑一定的安全储备，稳定条件为：
P P ≤ cr nst
∵ 两端固定 ∴ µy = 0.5
∴λy =
17
µyl
iy
0.5×7 = =101 0.0346
在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时
bh3 1 Iz = = ×120×2003 ×10−12 = 8×10−5 m4 12 12
π 2EI 假设为细长杆： cr 假设为细长杆： P = nst P ax = ⇒d = 25mm m 2 (µl)
π 2E 经验算： λ = µl = 0.7×500 = 58.3 Qλ1 = 经验算： =101 σp i 24 / 4
假设不合理！ 假设不合理！
a −σs 304 − 240 λ2 = = = 57.1 b 1.12
9
3.临界应力总图 3.临界应力总图
σcr σcr=σs σsA σP
O B
σcr=a−bλ
C
σ cr π 2E = 2 λ
D
λs
λP
λ
0 < λ < λs 称为小柔度杆，σcr = σs
λs < λ < λp 称为中柔度杆，σcr = a − b λ
10
1 细长杆的临界应力
π 2E π 2E σcr = 2 ≤ σ p ⇒λ ≥ λ σp
29
P
⋅ ⋅ ⋅
d l
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示 下端固定，上端自由的压杆。 P µ＝2
I d = A 4 × µl µl 2 × 0 . 375 λ = = = = 75 d i 0 . 14 / 4 4 i=
考虑一定的安全储备，稳定条件为：
P P ≤ cr nst
《工程力学》课件——第十三章 压杆稳定2
第13章压杆稳定§13.2 两端铰支细长压杆的临界压力1 2 3 两端铰支细长压杆的临界压力推导讨论分析矩形截面的细长压杆的失稳1. 两端铰支细长压杆的临界压力推导如图：两端铰支杆受压力F 作用x 处截面的弯矩M =∑研究微弯平衡状态22d d w M x EI =M Fw=−Fw EI−=22d d w F w x EI=−即 2F k EI=记已知: M Fw =−1. 推导两端铰支细长压杆的临界压力sin 0A kl= (0,1,2,)kl n n π= n k lπ=(2) x = l 时，w = 02F k EI =2()n l π=得 222n EIF lπ=若， 则 故A 不能为零，必有 0A =0w ≡sin 0kl =取 压力为最小。
22cr EIF lπ=——欧拉公式两端铰支压杆的临界压力:1. 推导两端铰支细长压杆的临界压力0,sin B w A kx==2. 讨论分析22cr EIF lπ=两端铰支压杆的临界压力 sin w A x lπ= 只适用于线弹性下两端铰支的理想压杆。
A 数值不能确定。
I -各个方向约束情况相同时，应该取最小的形心主惯性矩。
1） 2）弯曲曲线公式 ，半个正弦波曲线。
3）几点说明：举例：矩形截面在哪个平面内失稳？（绕哪个轴转动）3y h 121bI =3z bh121=I bh yI I Z ∴所以矩形截面压杆首先在xz 平面内失稳弯曲（即绕y 轴转动）.3 . 矩形截面的细长压杆失稳。
13-第十三章压杆稳定讲解
第十三章 压杆稳定§13.1 压杆稳定的概念构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。
一、压杆稳定直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。
二、失稳（屈曲）压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。
三、临界压力压杆保持其直线状态的最小压力，cr F 。
§13.2 两端铰支细长压杆的临界压力在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。
图示坐标系中，距原点为x 的任一截面的挠度为y ， 则该截面得弯矩为：y F M(x)cr =代入挠曲线近似微分方程，即EIM(x)-y d 22=dx 得： EIF k k dx cr y ,0y y d 2222==+ 方程通解为：0cos Asin y =+=kx B kx 由杆端的边界条件：0y 0===时，和l x x求得 ： 0A s i n ,0==kxB 解得：),2,1,0(⋅⋅⋅⋅==n ln k π222F l EIn cr π= 除n=0外，无论n 取何值，都有对应的cr F ，1n =压杆失稳时的最小荷载是临界载荷22F lEI cr π=上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。
杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。
对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I 应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值min I§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径20mm d =，长度800mm l =，材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa p σ=。
求压杆的临界载荷cr F 。
解：根据欧拉公式2394122220010201024.2kN ()64(10.8)cr EI F l ππμ-⨯⨯⨯⨯===⨯⨯此时横截面上的正应力3cr P 26424.21077MPa 2010F A σσπ-⨯⨯===≤⨯⨯ 图 11-8上式表明压杆处于弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。
第十三章 压杆稳定
临界力为
Fccrr21c2Er A77c.r1Md4P2a 151KN
压杆2为中柔度杆，对于Q235钢，a=310MPa,b=1.24MPa，临界应力为
临界力为
σcr
Fcr
crA cr
d 2 4
414 KN
压杆3为小柔度杆，因为Q235钢为塑性材料，故其临界应力为
临界力为
σcr
Fcr
sA s
d 2 4
➢ 合理选择截面形状 应该选择Iz=Iy的截面，使压杆在各个平面内的稳定性相同。
➢ 减小压杆长度 在条件允许时，应尽量减小压杆的长度或在压杆中间增加支座。
➢ 改善支承条件 压杆与其他构件连接时，应尽可能制作成刚性连接或采用较紧 密的配合。
习题参考解答或提示
2EI ( l ) 2
μ——压杆的长度因数
➢ 杆端约束情况的简化
焊接或铆接
螺母和丝杠连接
柱形铰约束
对于与坚实的基础固结成一体的柱脚，可简化为固定端。
§13－3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
➢ 临界应力的欧拉公式
cr
2E 2
i——压杆横截面的惯性半径，单位为mm； λ——压杆的柔度,无量纲，柔度越大,则临界应力越小,压 杆越容易失稳。
解 (1)计算各压杆的柔度 因压杆两端为铰链支承,查表得长度系数μ=1。圆形截 面对y轴和z轴的惯性矩相等,均为故圆形截Βιβλιοθήκη 的惯性半径为各压杆的柔度分别为
(2) 计算各压杆的临界应力和临界力
对于Q235钢λ p=100， λ s=60。对于压杆1,其柔度λ 1=160> λ p，所以压杆 1为大柔度杆，临界应力用欧拉公式计算。
压杆的临界力越大，稳定性越强
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2a
?
? 2EI
2a 2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax
?
Pcr
?
? 2EI
2a 2
?
? 3 Ed 4
128a 2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
?
? 2EI
a2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax ?
2 Pcr ?
2 ? 3 Ed 4
64a 2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相 同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的 θ角（设0<θ<π/2）。
正方形
等边角钢
槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力 :
? ? Pcr ?
? 2EI
2
?
① 90? ②
?
CL13TU16
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 ? P cos? ， N2 ? P sin?
两杆的临界压力分别为：
Pcr 1
?
?2E I
l12
，
Pcr 2
?
?2E I
l2 2
?
要使P最大，只有N1、N2 都达
到临界压力，即P cos???2E l12
I
（1）
①
? 90?
(A) P1=P2 (C) P 1>P2
(B) P1<P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
CL13TU10
解：图 (a )中，AD杆受压
? ? N AD ?
2 P1 ?
? 2EI
2
?
2a
P1
?
1 22
? 2EI
a2
图（ b）中， AB杆受压
N AB
?
P2
?
? 2EI
a2
?
P2
?
? 2EI
a2
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2 ；如果 将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的 多少倍？
?
? 2EI
l2
? ?1
Pc r
?
? 2EI
(2 l)2
??2
Pcr
?
? 2EI
(0.7 l)2
? ? 0.7
Pcr
?
? 2EI
(0.5 l)2
? ? 0.5
Pcr
?
? 2EI
l2
? 2EI
(2l )2
? 2EI
(0.7l )2
? 2EI
(0.5l )2
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则
CL13TU11
解：
? 2E Ib
h4
Pcr b ? (? l)2 Pcr a ? 2 E Ia
? Ib ? 12 Ia hb 3
?
???
h b
???
3
?
8
(? l)2
12
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端 约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则 其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的 横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
第十三章 压杆稳定
§13-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定 一端自由
CL13TU2,3
Pcr 称为临界压力
CL13TU4
§13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M(x) ? ? Pv
M(x) ? ? Pv E Iv ??? M( x) ? ? Pv 即 v??? P v ? 0
sin kl ? 0 ? kl ? n? (n ? 0,1,2,? )
k ? n? ? P
l EI
?
P
?
n
2
?
k
l
2
2
2
E
?
IP
EI
Pcr
?
? 2EI
l2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
Pcr
?
? 2EI (? l )2
? 称为长度系数
Pc r
②
P sin? ? ? 2 E I
l2 2
（2）
将式(2)除以式(1), 便得
tg?
?
? ??
l1 l2
? ??
2
?
ctg 2 ?
由此得 ? ? arc tg(ctg 2 ? )
?
① 90? ②
?
y ? （C1 ? C2 x）e r1 x
③一对共轭复根 r1,2 ? ? ? i? 通解 y ? e? x (C1 cos ?x ? C2 sin ?x)
通解： v ? Asin kx ? B cos kx
边界条件： x ? 0时：v ? 0 ? B ? 0
x ? l 时：v ? 0 ? Asin kl ? 0
解： (1)
Pcr
?
? 2EI (? l)2
? 2E? d4
?
64
(? l)2
1 16
? 2EI正
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
?
(? l)2 ? 2EI圆
(? l)2
? ?
?
d
2
? ?
2
a4 ? 4 ?
? I 正 ? 12 ?
I圆 ? d4
12
? d4
??
3
64
64
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所 示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主 惯性轴转动。
EI 令 k 2 ? P ，则 v??? k 2v ? 0
EI 特征方程为 r 2 ? k 2 ? 0
有两个共轭复根 ? ki
附：求二阶常系数齐次微分方程y??? p y?? q ? 0 的通解
特征方程为 r 2 ? pr ? q ? 0 ①两个不相等的实根 r1、r2 通解
y ? C1e r1 x ? C2 er2 x ②两个相等的实根 r1 ? r2 通解
?
? 2EI
2a 2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax
?
Pcr
?
? 2EI
2a 2
?
? 3 Ed 4
128a 2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
?
? 2EI
a2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax ?
2 Pcr ?
2 ? 3 Ed 4
64a 2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相 同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的 θ角（设0<θ<π/2）。
正方形
等边角钢
槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力 :
? ? Pcr ?
? 2EI
2
?
① 90? ②
?
CL13TU16
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 ? P cos? ， N2 ? P sin?
两杆的临界压力分别为：
Pcr 1
?
?2E I
l12
，
Pcr 2
?
?2E I
l2 2
?
要使P最大，只有N1、N2 都达
到临界压力，即P cos???2E l12
I
（1）
①
? 90?
(A) P1=P2 (C) P 1>P2
(B) P1<P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
CL13TU10
解：图 (a )中，AD杆受压
? ? N AD ?
2 P1 ?
? 2EI
2
?
2a
P1
?
1 22
? 2EI
a2
图（ b）中， AB杆受压
N AB
?
P2
?
? 2EI
a2
?
P2
?
? 2EI
a2
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2 ；如果 将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的 多少倍？
?
? 2EI
l2
? ?1
Pc r
?
? 2EI
(2 l)2
??2
Pcr
?
? 2EI
(0.7 l)2
? ? 0.7
Pcr
?
? 2EI
(0.5 l)2
? ? 0.5
Pcr
?
? 2EI
l2
? 2EI
(2l )2
? 2EI
(0.7l )2
? 2EI
(0.5l )2
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则
CL13TU11
解：
? 2E Ib
h4
Pcr b ? (? l)2 Pcr a ? 2 E Ia
? Ib ? 12 Ia hb 3
?
???
h b
???
3
?
8
(? l)2
12
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端 约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则 其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的 横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
第十三章 压杆稳定
§13-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定 一端自由
CL13TU2,3
Pcr 称为临界压力
CL13TU4
§13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M(x) ? ? Pv
M(x) ? ? Pv E Iv ??? M( x) ? ? Pv 即 v??? P v ? 0
sin kl ? 0 ? kl ? n? (n ? 0,1,2,? )
k ? n? ? P
l EI
?
P
?
n
2
?
k
l
2
2
2
E
?
IP
EI
Pcr
?
? 2EI
l2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
Pcr
?
? 2EI (? l )2
? 称为长度系数
Pc r
②
P sin? ? ? 2 E I
l2 2
（2）
将式(2)除以式(1), 便得
tg?
?
? ??
l1 l2
? ??
2
?
ctg 2 ?
由此得 ? ? arc tg(ctg 2 ? )
?
① 90? ②
?
y ? （C1 ? C2 x）e r1 x
③一对共轭复根 r1,2 ? ? ? i? 通解 y ? e? x (C1 cos ?x ? C2 sin ?x)
通解： v ? Asin kx ? B cos kx
边界条件： x ? 0时：v ? 0 ? B ? 0
x ? l 时：v ? 0 ? Asin kl ? 0
解： (1)
Pcr
?
? 2EI (? l)2
? 2E? d4
?
64
(? l)2
1 16
? 2EI正
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
?
(? l)2 ? 2EI圆
(? l)2
? ?
?
d
2
? ?
2
a4 ? 4 ?
? I 正 ? 12 ?
I圆 ? d4
12
? d4
??
3
64
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例：三种不同截面形状的细长压杆如图所 示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主 惯性轴转动。
EI 令 k 2 ? P ，则 v??? k 2v ? 0
EI 特征方程为 r 2 ? k 2 ? 0
有两个共轭复根 ? ki
附：求二阶常系数齐次微分方程y??? p y?? q ? 0 的通解
特征方程为 r 2 ? pr ? q ? 0 ①两个不相等的实根 r1、r2 通解
y ? C1e r1 x ? C2 er2 x ②两个相等的实根 r1 ? r2 通解