光波的亥姆霍兹方程在多数情况下
光波场的复振幅描述
z
0 x k: 传播矢量
球面波的等位相面: kr=c. 为球面
§1-1光波场的复振幅描述
会聚球面波
会聚球面波 U(P) a0 ejkr r
(P(x,y,z)) y (rkLeabharlann 会聚点S z 0 x.
§1-1光波场的复振幅描述
球面波 : 空间分布
P点处的复振幅:U(P) a0 ejkr 取决于k与r是平行
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
.
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关;
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算, 满足叠加原理
• 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动:
光场随时间的变化关系: 由频率n表征. 可见光: n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n. 严格单色光: n为常数
光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同
光场变化的空间周期为l.
(2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 .j(P)必须满足的关系
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布: I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平. 均值, 正比于电场振幅的平方
§1-1光波场的复振幅描述
2、球面波的复振幅表示
球面波: 等相面为球面, 且所有等相面有共同中心的波
点光源或会聚中心
基尔霍夫公式
（4）
3． 基尔霍夫衍射积分公式的证明 ． ⑴ 应用基尔霍夫边界条件 为了简化亥姆霍兹－基尔霍夫公式，使其成为更便于计算衍射问题的形式，可按图 x 的方式选 取闭合面 S = Σ + Σ1 + Σ 2 ，其中
图3
Σ1 －位于 ( ξ ,η ) 平面上一个无穷大的不透明屏；
Σ －不透明屏上一个开孔（衍射孔径） ；
r
P
∂E 来表示（图 1） 。下面介 ∂n
r
n
ε
P1
Sε
S
V
图1
图2
3． 应用格林定理 ． 格林定理表示为：
∫∫∫ ( G∇ E − E∇ G )dv = ∫∫ G ∂n − E ∂n dσ
2 2 v S
∂E
∂G
（5）
式中 E 为包围 P 点的任意封闭面 S 上的电场， 格林函数 G =
（17）
上式中， Ω 是 Σ 2 对 P 点所张的立体角， d ω 是立体角元。由于
GR = exp ( jkR ) 在 Σ 2 上一致有界，只要满足下述的索末菲辐射条件：
∂E lim R + jkE = 0 R →∞ ∂n
（18）
对 Σ 2 的积分就会随着 R → ∞ 而消失。
exp ( jkR ) R
∂G ( P ) 1 e jkR 1 = cos ( n , R ) jk − ≈ − jkG ∂n R R 因为:R → ∞, con ( n , R ) = −1
（16）
于是，对 Σ 2 的积分化简为：
1 4π ∂E ∂E + E ( jkG ) dσ = ∫∫ R + ( jkE ) ( GR ) dω G ∫∫ ∂n ∂n Σ1 Ω
证明亥姆霍兹方程
证明亥姆霍兹方程嘿，朋友们！今天咱们来唠唠那个超有趣的亥姆霍兹方程，就像探索一个神秘的魔法公式一样。
你看啊，亥姆霍兹方程长这样：▽²ψ + k²ψ = 0。
这方程看起来就像一个严丝合缝的小迷宫，▽²ψ就像是迷宫里那些弯弯曲曲的小道，它代表着拉普拉斯算子作用在函数ψ上。
这拉普拉斯算子啊，就像一个超级爱找事儿的小管家，到处查看函数的变化情况，不放过任何一个小角落，就跟那种特别较真儿的人似的。
然后呢，这个k²ψ就像是一个小跟班，跟在▽²ψ后面。
k²就像一个小魔法数字，它有着特殊的魔力。
如果把这个方程想象成一场舞蹈，那k²就决定了这场舞蹈的节奏。
有时候这个k就像一个调皮的小精灵，蹦来蹦去，不同的值会让整个方程的解跳出完全不同的舞步。
这个方程在很多地方都超级有用呢，就像一把万能钥匙。
在声学里，它能帮我们搞清楚声音是怎么在空间里跑来跑去的。
比如说，你在一个大音乐厅里，声音的传播就像是一群小蚂蚁按照亥姆霍兹方程这个路线图在搬家。
如果没有这个方程，那就像是小蚂蚁们没了方向，到处乱撞，那声音就乱套啦。
在电磁学里，亥姆霍兹方程也特别厉害。
它就像一个超级侦探，能够追踪电场和磁场的蛛丝马迹。
电场和磁场就像一对调皮的双胞胎，在空间里玩捉迷藏，而亥姆霍兹方程就是那个能把它们找出来的聪明家伙。
想象一下，这个方程是一个超级英雄，在物理世界里拯救那些关于波的难题。
不管是水波还是光波，只要遇到问题，亥姆霍兹方程就会像超人一样飞过来，把问题搞定。
它就像一个超级厨师，不管是面对声学的食材还是电磁学的食材，都能烹饪出美味的答案。
当我们求解这个方程的时候，就像是在拆一个超级复杂的礼物。
每一步都充满了惊喜和挑战。
有时候我们可能会被那些复杂的数学运算搞得晕头转向，就像走进了一个旋转的迷宫，找不到出口。
但是一旦我们找到了答案，就像是挖到了宝藏一样兴奋。
而且啊，亥姆霍兹方程还像一个桥梁，连接着不同的物理现象。
二、光纤传输基本理论..
（1）几何光学射线法 当光线芯径远大于光波波长 0 时，可近似认为 0 0 , 从而将光波近似看成由一根光线所构成。因此，可以用几何 光学的方法来分析光线的入射、传播(轨迹)，以及时延(色散) 和光强分布等特性。 优点：简单直观，在分析芯径较粗的多模光纤时可以得到较 精确的结果； 缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合，以及光 场分布等现象。而且当工作波长于芯径可比较(单模光纤)，误 差较大。
霍兹方程进行空间坐标纵、横分离，令 x, y, z x, y eiz
•上式代入亥姆霍兹方程(2-4)式，得
2 2 2 2 2 2 x , y x , y x , y x, y 0 t 2 z
2 6
上式就是光纤波导中光传播时遵从的波导场方程。这是波动 理论方法的最基本方程。显然，它也是一个典型的本征方程。 当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应
的本征值。通常将本征解定义为“模式”.
• 模式和基本特征
a) 每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波; b) 每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件; c) 模式具有确定的相速群速和横场分布. d) 模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定 的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界 激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改 变模式的固有性质。
• 当导模的本征值 n1k0 时，导模场紧紧束缚于纤芯中
传输，称之为导模“远离截止”。每一个导模都对应于 一合适的V值使其远离截止，称之为导模的“远离截止条
件”。
• 直观的理解：光纤包层中出现辐射模，则导波“截
止”，不出现辐射模，则导模“远离截止”。
电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案
第四章 电磁波的传播一、 填空题1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。
答案：S wv =3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。
答案：0x E e α-⋅ 。
6、 7、 9、 的贡10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。
若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。
答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπω，ω＜n m c ,,ω，μεπb ，01TE11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全偏振波.答案：201n i arctg n = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0t e σερρ-= 1、 ） ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. A ．6、 平面电磁波E 、B 、k 三个矢量的方向关系是（ ）A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B ⨯沿矢量k 方向C.B E ⨯的方向垂直于kD. k E ⨯的方向沿矢量B 的方向答案：A7、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C. b a 11+μεπ D. a2μεπ 答案：A 8、 亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立（ ） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D. 介质中的一般电磁波答案：C9、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ） 1、 21E E →∂-21B B →∂-表明：电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在；222210E E B B v t ∂-⋅-⋅=∂ 一般随ω变化，存在色散（3）亥姆霍兹方程：(220,0E k E k E i B E ωεμω∇+==∇⋅==-∇⨯ 表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表一种可能存在的波模。
亥姆霍兹方程
, z) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面 上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
18
复振幅分布及其角程讨论传播规律
19 0 6
将 U(x, y, z) 表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的 顺序，可以推导出，二阶线性微分方程
算得到为
A( f x , f y , z) U (x, y, z) exp[ j (xf x yf y )]dxdy
由于各个不同空间频率 的空间傅里叶分量可看作是沿不同
方向传播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅
分布的角谱
同时有逆变换为 U (x, y, z) A( f x , f y , z) exp[ j (xf x yf y )]dfxdf y
6
球面波的复振幅表示
19 0 6
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的 波面，称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点 光源的集合,它所发出的光波就是球面波的叠加 这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。 球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点 到球心的距离成反比 当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在 光场中任何一点产生的复振幅可写作
exp
j
k z
x x
y
y
位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族
x x y y C
10
平面波的复振幅表示
19 0 6
在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的 光波称为平面波 如波矢量 k 表示光波的传播方向，其大小为 k 2 ，方 向余弦为 cos,cos,cos ，则平面波传播到空间某点的复振 幅的一般表达式为 U (x, y, z) a exp( jk r)
基尔霍夫公式
2 － 以考察点 P 为球心，半径 R 趋于无穷大的 球面。
于是公式（4）的亥姆霍兹－基尔霍夫积分可表示为：
E
7/26/2021
p
1 4
1 2
E
n
exp jkr
r
E
exp jkr
n学 习文r档
d
（14）
为了确定这三个面上的 E ，E 值，可以应用基尔霍夫边界条件（或基尔霍夫 n
（21）
7/26/2021
学习文档
⑶ 亥姆霍兹－基尔霍夫积分的进一步化简
如图 x 所示，对孔径平面上的任意点 Q ，设 E 是从 S0 点发出的单色球面波在 Q 点的分布，格林函数为 Q 点
发出的球面子波对考察点 P 的贡献量，于是有：
E Q A e jkr0 ，
r0
G Q e jkr
r
（22）
所示的闭合面传播时，光波复振幅 7/26/2021
E
r
可用学上习式文来档描述。
2．亥姆霍兹－基尔霍夫定理 1882 年，基尔霍夫从亥姆霍兹方程出发，利用数学上的格林定理，导出
了一个求解标量波衍射的基本公式，即亥姆霍兹－基尔霍夫定理：
E p
1 4
s
E n
exp
r
jkr
E
n
exp
r
2E K 2E 0
（6）
2E K 2E 0
并将上述方程代入格林定理，容易证明其左边：
G2E E2Gdv 0
v
于是，格林定理化简为：
S
G
E n
E
G n
d
S
G
E n
E
G n
d
（7） （8） （9）
求解亥姆霍兹方程
求解亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程是物理学中的一类重要方程，广泛应用于声学、电磁学、量子力学等领域。
求解亥姆霍兹方程是这些领域中的重要问题，下面我们来探讨一下。
一、亥姆霍兹方程的定义亥姆霍兹方程是一个二阶偏微分方程，它的一般形式为：$$ \Delta u + k^2 u = f $$其中，$u$是未知函数，$k$是常数，$f$是给定的源函数，$\Delta$是拉普拉斯算子。
该方程可以描述一个介质中的波动现象。
二、亥姆霍兹方程的求解方法亥姆霍兹方程的求解方法主要有两种：分离变量法和格林函数法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解亥姆霍兹方程的方法。
该方法将未知函数表示为一系列单独的函数的乘积，从而将亥姆霍兹方程转化为一系列常微分方程，再求解这些常微分方程。
例如，对于一个圆柱体内的亥姆霍兹方程，我们可以将未知函数表示为：$$ u(r,\theta,z) = H(r) G(\theta) F(z) $$其中，$r$、$\theta$和$z$分别是圆柱体内的径向、角向和轴向坐标，$H$、$G$和$F$是对应的函数。
代入亥姆霍兹方程，得到：$$ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r\frac{\partial H}{\partial r} \right) G F + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 G}{\partial \theta^2} H F + \frac{\partial^2 F}{\partial z^2} H G + k^2 H G F = f $$将分离变量后的方程化为各自的常微分方程后，我们可以分别求解$H$、$G$和$F$，再将其乘积得到原方程的解。
2. 格林函数法格林函数法也是一种常用的求解亥姆霍兹方程的方法。
该方法基于格林函数理论，通过求解一些特定的泊松方程来构造出亥姆霍兹方程的格林函数，从而求得原方程的解。
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式中, 0 和 0 是真空中的介电常数和磁导率，已知
0 8.8542 10 12 c2 / N m2
0 4 10 7 N S 2 / c2
所以， c 2.99794 108 m / s
这个数值与实验中测得的真空中的光速非常接近,这又证明 了麦克斯韦理论的正确性。
~ E
Eeikr
全解为
~ E(r,t )
Eei ( kr t )
(1－18) (1－19)
式中 k kk0 k0—— 光波传播方向上的单位矢量；
r ——光源至空间某点的矢量。
k 称之为波矢量。
（1－19）式为单色平面波在各向同性均匀介质中传播时的电场 矢量的解析表达式。
2、单色球面光波在各向同性均匀介质中自由传播时的解析表达式
四、单色光波在各向同性均匀介质中自由传 播时的振幅表达式
单色光波的波动方程（1－15）式和（1－16）式形式完 全相同，在这里只研究电场强度的 E~ 波方程动. E~
称为电场复矢量（简称电场矢量），又称为复振幅。
1 单色平面光波在各向同性均匀介质中自由传播时的解析表达式
解微分方程（1－15）式，得
二、物质方程
在麦克斯韦方程组中, E和B是电磁场的本
征物理量 ，D和H 是引进的两个辅助场量。
E和D,B和H的关系与电磁场所在物质的性
质有关。它们有如下关系：
D~ E~
(1---2)
B~ H~
(1---3)
式中 : 和 分别称为介电常数（或电容率）和磁导率.
另外，在导电物质中还有如下关系：
于无限大的各向同性均匀介质，在远离辐射源的区域内，
常数 , 常数， 0， 0麦克斯韦方程组变为：
E~ 0 B~ 0 E~ B~
B~ tE~
t
（1－5）
利用场论中有关公式，可以得出：
2 E~
1 v2
2 E~ t 2
同样解微分方程（1－15）式，得单色球面光波在各向同性均匀
介质中传播时电场矢量
~ E~ E eik r
(1－20)
r
全解为
~ E(r,t )
~ E ei (krt ) r
(1－21)
3、辐射能 光波为电磁波，电磁学里，电磁场的能量密度为
§1－1 麦克斯韦方程组
一、电磁场微分形式的麦克斯韦方程组
电磁场的麦克斯韦方程组有积分形式和微
分形式，这里只列出微分形式的麦克斯韦 方程组：
D~
B~ 0
E~ B~
H~
~j
t
D~
t
(1－1)
方程组中:
D —— 电感强度（电位移矢量）
0
2 B~
1 v2
2 B~ t 2
0
（1－6） （1－7）
式（1－6）和（1－7）为偏微分方程，这里称为电磁波的 波动方程。式中为电磁波在介质中的传播速度。
二、 电磁波
由麦克斯韦方程组得出的电磁波理论后来已被人们通过实
验证实。电磁波在真空中的传播速度为：
c
1
00
（1－8）
B —— 磁感强度 E —— 电场强度；
H —— 磁场强度；
—— 自由电荷密度；
j —— 传导电流密度
方程组中第一式相当于库仑定律；第二式表明除电流外，没有 其它磁源，即磁荷不存在；第三式是法拉第电磁感应定律；第 四式表示磁场对传导电流密度（电荷的运动速率）和位移电流 密度（电场的时间变化率）的依赖关系
第一章 光的电磁理论
光的波动理论是由惠更斯（Huygens）于1678年提 出，并由菲涅耳（Fresnel）等人发展起来的。 1864年麦克斯韦把电磁规律总结为麦克斯韦方程组， 建立起完整的经典电磁理论，同时指出光也是一种 电磁波，从而产生了光的电磁理论。光的电磁理论 的确定，推动了光学及整个物理学的发展，并使光 学领域出现了许多分支，如：激光、付里叶光学、 光学信息处理、全息术、纤维光学、光波导、集成 光学、非线性光学、梯度折射率光学和二元光学等。 虽然有些光学现象需用量子理论去解释，但是光的 电磁理论仍然是阐明大多数光学现象及掌握现代光 学的一个重要基础。故本章是全教材的理论基础。
~j E~
（1－4）
式中， 称为电导率。
公式（1－2）、（1－3）和（1－4）称之为物质方程，它们描述
物质在电磁场作用下的特性。 和 表征物质本身的性质， 、
在各向同性均匀介质中它，们为常量。但在非均匀介质中为张量。
§1－2 光的波动方程
一、电磁场的波动性
由麦克斯韦方程组可以证明电磁波的传播具有波动性。对
这里省略下角标 (r) ，r为波源至空间某一点，距离，k为波数
k 2 2 n
（1－17）
上式中， 为光波在介质0中的波长，0 为光波在真空中的波长，
n为介质折射率. 亥姆霍兹方程将定态波的时域和空域区分开来，
将时偏间微因分子方e程it变即为可微得分到方波程动。方对程空的域全解解微，分使方问程题，得简出化的解加上
t
（1－13）
~ B( r，t )
B~(r)e i
t
（1－14）
将（1－13）式和（1－14）式分别代入（1－6）式和（1－7）式，
得到： 2E~ k 2E~ 0
（1－15）
2B~ k2B~ 0
（1－16）
（1－15）式和（1－16）式中 E~ 应为 E~(r)， B~ 应为 B~(r)
光波是电磁波中的一部份，所以公式（1－6）和（1－7）亦 是光波的波动方程。
光波在真空中的速度与在介质中速度之比称为绝对折射率 （简称 折射率），即：
n c v
其中 v 1
(1－9) （1－10）
由（1－8）式和（1－9）式，得：
n
00
rr
(1－11)
式中， r 和 r 分别是相对介电常数和相对磁导率。
除磁性物质外，大多数物质 r 1 ，
故 n r
（1－12）
三、光波的亥姆霍兹方程
在多数情况下，电磁波的激发源以大致确定的频率作正弦
振荡，因而辐射出的电磁波也以相同频率作正弦振荡。这 种以一定频率作正弦振荡的波称为定态波（单色波）。单
色光波为定态波，则；
~ E(r，t)
E~(r)e i