在解亥姆霍兹方程时
麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程
麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程，它描述了电场和磁场的相互作用。
在电磁波方程的推导过程中，亥姆霍兹方程是一个重要的中间步骤。
在本文中，我们将推导麦克斯韦方程组，然后展示如何通过亥姆霍兹方程推导出电磁波方程。
一、麦克斯韦方程组的推导1.高斯定理第一个麦克斯韦方程是高斯定理，它描述了电场和电荷密度的关系。
根据高斯定理，一个封闭曲面上的电通量等于该曲面内的电荷总量的四倍πε0 (其中ε0是真空介电常数)。
∮ E·ds = 4πε0 Q这个方程表明了电场的源是带电粒子。
如果一个闭合曲面内没有电荷，电场通量将为零。
2.法拉第电磁感应定律第二个麦克斯韦方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场和电场的相互作用。
根据法拉第电磁感应定律，磁通量变化速率与产生感应电动势的电场强度成正比。
ε = -dΦm/dt这个方程表明了磁场的变化会产生电场。
电场和磁场是紧密相连的。
3.安培环路定理和位移电流定律第三个和第四个麦克斯韦方程分别是安培环路定理和位移电流定律。
安培环路定理描述了磁场和电流的相互作用，而位移电流定律描述了电场和时间变化的磁场之间的关系。
根据安培环路定理，通过一个封闭回路的磁通量之和等于该回路内的电流总和。
∮ B·ds = μ0 I其中μ0是真空磁导率。
根据位移电流定律，电场的旋转率等于时间变化的磁场的散度的负值。
rot E = - dB/dt二、亥姆霍兹方程的推导亥姆霍兹方程是电磁波方程的一个重要的中间步骤。
它可以通过麦克斯韦方程和一些向量运算得到。
我们首先从安培环路定律开始:∮ B·ds = μ0 I由斯托克斯定理得：∮ B·ds = ∬(rot B)·ds将rot B替换为-μ0ε0(dE/dt)，得到∮ B·ds = -μ0ε0(d/dt ∫ E·ds)因此，d/dt ∫ E·ds + ∮ B·ds = 0利用高斯定理，∮ (E·ds) = 4πε0 Q则d/dt ∫ E·ds + ∬(rot E)·ds = 0将rot E替换为- dB/dt得到d/dt ∫ E·ds - ∬(dB/dt)·ds = 0简化得到d^2/dt^2 ∫ E·ds - ∬(d^2B/dt^2)·ds = 0然后，我们使用向量恒等式rot(rot A) = grad(div A) - ∇^2 A其中，grad表示梯度，div表示散度，∇^2表示拉普拉斯算子。
亥姆霍兹 能量守恒定律
亥姆霍兹能量守恒定律亥姆霍兹能量守恒定律是能量守恒定律的一个特例，它适用于无耗散的保守系统。
在物理学中，能量守恒定律是一个基本原理，它指出在一个孤立系统中，能量的总量是恒定的，不会凭空消失或产生。
亥姆霍兹能量守恒定律是在保守系统中，能量的守恒原理的一种数学表达方式。
亥姆霍兹能量守恒定律的表达式为：∇•(ρv) + ∂(ρe)/∂t = 0其中，∇•(ρv)表示速度矢量和密度之积的散度，∂(ρe)/∂t表示单位体积内总能量的变化率。
这个方程表明，在保守系统中，能量的改变率等于能量输入和输出之间的平衡。
亥姆霍兹能量守恒定律可以应用于各种物理系统，包括流体力学、电磁学、热力学等领域。
在这些领域中，亥姆霍兹能量守恒定律被广泛应用于解决各种问题。
在流体力学中，亥姆霍兹能量守恒定律可以用于分析流体的运动和能量转化。
通过对流体的速度和能量进行数学建模，可以根据亥姆霍兹能量守恒定律，推导出流体的运动方程和能量守恒方程，从而解决与流体相关的问题。
在电磁学中，亥姆霍兹能量守恒定律可以用于分析电磁场的能量传输和转化。
通过对电磁场的能量密度和能流密度进行数学建模，可以根据亥姆霍兹能量守恒定律，推导出电磁场的能量守恒方程，从而解决与电磁场相关的问题。
在热力学中，亥姆霍兹能量守恒定律可以用于分析热量的传递和转化。
通过对热量的传导和辐射进行数学建模，可以根据亥姆霍兹能量守恒定律，推导出热力学系统的能量守恒方程，从而解决与热力学相关的问题。
亥姆霍兹能量守恒定律是能量守恒定律在保守系统中的一种表达方式。
它被广泛应用于各个物理学领域，用于分析和解决与能量相关的问题。
通过对系统能量的输入和输出进行平衡分析，可以得出系统能量守恒的结论。
亥姆霍兹能量守恒定律的应用，不仅提供了物理学研究的基础原理，也为实际问题的解决提供了有力的工具。
我们在学习和应用物理学的过程中，需要深入理解和运用亥姆霍兹能量守恒定律，以推动科学的发展和技术的进步。
亥姆霍兹方程柯西问题的求解过程
亥姆霍兹方程柯西问题的求解过程
亥姆霍兹方程是一个著名的偏微分方程，描述了波动现象的传播。
柯西问题是指在给定初始条件下求解方程。
对于二维亥姆霍兹方程：
∇²u + k²u = 0
其中， u 是待求解的函数， k 是波数。
柯西问题的初始条件一般包括波函数 u 在某一时间 t=0 和空间区域内的初始值。
要解决这个问题，一般采用 Fourier 分解法。
设 u 可以分解为平面波的叠加形式：
u(x, y, t) = ∑[An cos(kn x + ln y - ωn t) + Bn sin(kn x + ln y - ωn t)]
其中， An、Bn 是待定系数， kn、ln 是波数，ωn 是与 kn 有关的频率。
将初始条件代入上述公式，可以得到 An 和 Bn 的值。
然后将其代入泛定解中，即可以得到方程的求解结果。
需要注意的是，在实际问题中，亥姆霍兹方程的求解往往还需要结合具体的边界条件来求解。
具体求解过程可能因问题的复杂性而有所不同，可针对具体问题采用适当的数值解法（如有限差分法、有限元法等）进行求解。
亥姆霍兹方程中的格林函数Green Function for Helmholtz
一维自由空间中的GF
半空间中的GF
The Expansion of Green Function in eigen function
Expansion of Green Function
Applications of the Green Function
由第二格林恒等式，可得
非齐次Helmholtz方程的通解
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function
电并矢和磁并矢分别 用以下两个符号来表示
G ( r r ' ), G
他们满足以下的方程：
e
m
(r r ' )
他们之间的关系为
Electric Dyadic Green function and Magnetic Dyadic Function 2
其中G0(r,r’)表示上半空间电流元产生的场， G0(r,ri’)表示下半空间电流 元的镜像所产生的场
Half Space Dyadic Function for Perfect Magnetic Conductor
并矢格林函数的本征展开
矢量波函数L， M，N 的定义
如在矩形波导中正交函数
ψe
引入并矢格林函数的主要目的是为了得到矢量Helmholtz方程 的解。 并矢格林函数与格林函数的关系
并矢格林函数也满足对称关系：
证明见P135
The Dyadic Green’s Function for Half space by Perfect Conductor
The Boundary Condition of Dyadic Green Function
称为亥姆霍兹方程课件
01
02
03
量子波动
在量子力学中，亥姆霍兹 方程可以用于描述微观粒 子的波动性质，如波函数 、概率幅等。
量子谐振子
在量子力学中，亥姆霍兹 方程用于描述量子谐振子 的运动规律，如能级、辐 射等。
量子散射
在量子散射理论中，亥姆 霍兹方程用于研究粒子与 障碍物相互作用时的散射 规律。
PART 06
总结与展望
稳定性解
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解是稳定的，这意味着当系统受到微小扰动时，解能够 恢复到原始状态或接近原始状态。稳定性解通常与系统的长期行为和平衡状态有关。
稳定性解的意义
稳定性解对于理解系统的长期行为和稳定性至关重要。在物理学和工程学中，稳定性解 可以用于描述系统的平衡状态和稳定性条件，对于控制和设计系统具有重要的实际意义
对未来研究的展望
探索更复杂的应用场景
深入研究方程解的性质
随着科技的发展，我们需要将亥姆霍兹方 程应用到更复杂的场景中，如非线性波动 、多介质波动等。
目前对于亥姆霍兹方程解的性质研究还不 够深入，未来可以进一步研究解的稳定性 、分岔行为等。
发展数值模拟和计算方法
加强与其他学科的交叉研究
随着计算机技术的发展，我们可以发展更 加高效、精确的数值模拟和计算方法，以 更好地解决实际问题。
当时，科学家们开始研究波动 现象的本质和传播规律，特别 是在流体介质中。
亥姆霍兹方程的提出为解决这 些问题提供了一个数学框架， 并成为了流体力学和声学领域 的基础。
亥姆霍兹方程的应用领域
亥姆霍兹方程在许多科学和工程领域 都有应用，包括物理、化学、生物医
学、地球科学和工程学科等。
在物理中，它可以用于描述电磁波、 引力波等波动现象。
电磁场的亥姆霍兹方程
电磁场的亥姆霍兹方程
电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程之一。
它是由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹于19世纪提出的。
亥姆霍兹方程可以表示为：
∇²E + k²E = 0
其中，E代表电场强度，k代表波数，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程描述了电磁波在空间中传播时所满足的条件。
它告诉我们，
电场强度在传播过程中会受到拉普拉斯算子和波数的影响。
当波数为
零时，即没有任何介质存在时，这个方程退化为普通的拉普拉斯方程。
亥姆霍兹方程可以应用于许多领域，比如无线通信、雷达、天线等。
在这些应用中，我们需要了解电磁波在介质中传播的特性，以便更好
地设计和优化相应的设备和系统。
总之，电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程
之一。
它对于许多领域都有着广泛的应用，是我们理解电磁波传播特
性的基础之一。
三维亥姆霍兹方程基本解
三维亥姆霍兹方程基本解在三维空间里，有一个神秘的角色，叫做亥姆霍兹方程。
这可不是普通的方程，它像个有故事的人物，背后藏着不少秘密。
想象一下，咱们在大海里游泳，四周的水波荡漾，水的流动就像亥姆霍兹方程在空间中舞动。
这个方程解决的是很多与波动、声学、光学相关的问题，它就像个超能英雄，随时准备解决各种挑战。
你知道吗，亥姆霍兹方程其实是从我们生活中各种波动现象中走出来的。
比如，当你在湖边扔石子，水面上就会泛起涟漪。
那些涟漪就像是亥姆霍兹方程在水面上的表演，真是让人看得目不转睛。
没错，这个方程不仅仅是个数学工具，它还是理解大自然的一把钥匙。
像一位智慧的老者，悄悄地告诉我们，声音是如何传播的，光是怎么折射的，甚至还涉及到气流和热传导。
简直是个万金油，哪里需要，哪里就有它。
亥姆霍兹方程有个特别的地方，就是它的基本解。
想象一下，在一个广阔的空间中，如果有一个点源，就像你在草地上点了一把火，那火光闪烁，光芒四射，周围的一切都受到影响。
这种影响可以用亥姆霍兹方程的基本解来描述。
就像一个传奇故事，那个点源的能量以波的形式扩散出去，给周围的一切带来了变化。
这种变化，有时候是温柔的，有时候又是激烈的，真是看得人心潮澎湃。
如果把亥姆霍兹方程比作一个音乐家，那么基本解就是那一段动听的旋律。
你看，基本解是如何通过波动来影响周围环境的，简直就像一首乐曲在空气中回荡，渐渐渗透到每个角落。
无论是科学实验，还是工程应用，这种解都像一位得力助手，帮助人们理解和预测各种现象。
想一想，如果没有它，生活可得多没意思。
就像一场没有音乐的舞会，怎么能跳得尽兴？在数学的世界里，亥姆霍兹方程基本解的形式其实挺优雅的。
它的表达式就像一幅美丽的画卷，描绘出波动传播的轨迹。
有人说，数学就像一门艺术，亥姆霍兹方程的基本解恰恰是那抹最亮眼的色彩。
数学家和物理学家们围绕着这个解，讨论得热火朝天，简直像在开一场盛大的派对。
大家伙儿都争着分享自己的见解，甚至会因为一个小小的细节争得不可开交。
亥姆霍兹方程通解
亥姆霍兹方程通解亥姆霍兹方程通解在物理学和工程学中具有重要的应用价值。
亥姆霍兹方程是一种特殊的偏微分方程，描述了波动现象。
它的通解形式可以通过分离变量法得到，这个方法在解决波动方程和传热方程等问题时非常有用。
亥姆霍兹方程的一般形式是：d^2d/dd^2 + d^2d = 0其中d是未知函数，d是自变量，d是常数。
这个方程可以用来描述声波、电磁波等各种波动现象。
而亥姆霍兹方程的通解形式可以写成：d(d) = d cos(dd) + d sin(dd)其中d和d是常数，代表了波函数的振幅和相位。
这个通解能够涵盖各种边界条件和初始条件，因此在实际问题中非常有用。
亥姆霍兹方程的通解在物理学中有广泛的应用。
例如，在声学中，可以使用亥姆霍兹方程的通解来描述声波在各种介质中的传播情况。
在光学中，亥姆霍兹方程的通解可以用来分析光的干涉、衍射等现象。
在电磁学中，亥姆霍兹方程的通解可以用来研究电磁场的分布和传播。
除了理论物理中的应用，亥姆霍兹方程的通解在工程学中也有很多实际应用。
例如，在电信领域，可以使用亥姆霍兹方程的通解来分析电磁波在导线、天线等设备中的传播情况。
在声学工程中，亥姆霍兹方程的通解可以用来设计音响系统、听觉环境等。
在光学工程中，亥姆霍兹方程的通解可以用来设计光学器件、光纤等。
总之，亥姆霍兹方程通解是一种重要的数学工具，用于描述各种波动现象。
它在物理学和工程学的实际应用中发挥着重要作用，为我们理解和解决波动问题提供了有力的工具。
无论是从理论研究还是工程实践的角度，深入理解和掌握亥姆霍兹方程通解都是非常有价值的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
H —— 磁场强度；
—— 自由电荷密度；
j —— 传导电流密度
方程组中第一式相当于库仑定律；第二式表明除电流外，没有 其它磁源，即磁荷不存在；第三式是法拉第电磁感应定律；第 四式表示磁场对传导电流密度（电荷的运动速率）和位移电流 密度（电场的时间变化率）的依赖关系
0
2 B~
1 v2
2 B~ t 2
0
（1－6） （1－7）
式（1－6）和（1－7）为偏微分方程，这里称为电磁波的 波动方程。式中为电磁波在介质中的传播速度。
二、 电磁波
由麦克斯韦方程组得出的电磁波理论后来已被人们通过实
验证实。电磁波在真空中的传播速度为：
c
1
00
（1－8）
同样解微分方程（1－15）式，得单色球面光波在各向同性均匀
介质中传播时电场矢量
~ E~ E eik r
(1－20)
r
全解为
~ E(r,t )
~ E ei (krt ) r
(1－21)
3、辐射能 光波为电磁波，电磁学里，电磁场的能量密度为
除磁性物质外，大多数物质 r 1 ，
故 n r
（1－12）
三、光波的亥姆霍兹方程
在多数情况下，电磁波的激发源以大致确定的频率作正弦
振荡，因而辐射出的电磁波也以相同频率作正弦振荡。这 种以一定频率作正弦振荡的波称为定态波（单色波）。单
色光波为定态波，则；
~ E(r，t)
E~(r)e i
这里省略下角标 (r) ，r为波源至空间某一点，距离，k为波数
k 2 2 n
（1－17）
上式中， 为光波在介质0中的波长，0 为光波在真空中的波长，
n为介质折射率. 亥姆霍兹方程将定态波的时域和空域区分开来，
将时偏间微因分子方e程it变即为可微得分到方波程动。方对程空的域全解解微，分使方问程题，得简出化的解加上
§1－1 麦克斯韦方程组
一、电磁场微分形式的麦克斯韦方程组
电磁场的麦克斯韦方程组有积分形式和微
分形式，这里只列出微分形式的麦克斯韦 方程组：
D~
B~ 0
E~ B~
H~
~j
t
D~
t
(1－1)
方程组中:
D —— 电感强度（电位移矢量）
式中, 0 和 0 是真空中的介电常数和磁导率，已知
0 8.8542 10 12 c2 / N m2
0 4 10 7 N S 2 / c2
所以， c 2.99794 108 m / s
这个数值与实验中测得的真空中的光速非常接近,这又证明 了麦克斯韦理论的正确性。
于无限大的各向同性均匀介质，在远离辐射源的区域内，
常数 , 常数， 0， 0麦克斯韦方程组变为：
E~ 0 B~ 0 E~ B~
B~ tE~
t
（1－5）
利用场论中有关公式，可以得出：
2 E~
1 v2
2 E~ t 2
二、物质方程
在麦克斯韦方程组中, E和B是电磁场的本
征物理量 ，D和H 是引进的两个辅助场量。
E和D,B和H的关系与电磁场所在物质的性
质有关。它们有如下关系：
D~ E~
(1---2)
B~ H~
(1---3)
式中 : 和 分别称为介电常数（或电容率）和磁导率.
另外，在导电物质中还有如下关系：
第一章 光的电磁理论
光的波动理论是由惠更斯（Huygens）于1678年提 出，并由菲涅耳（Fresnel）等人发展起来的。 1864年麦克斯韦把电磁规律总结为麦克斯韦方程组， 建立起完整的经典电磁理论，同时指出光也是一种 电磁波，从而产生了光的电磁理论。光的电磁理论 的确定，推动了光学及整个物理学的发展，并使光 学领域出现了许多分支，如：激光、付里叶光学、 光学信息处理、全息术、纤维光学、光波导、集成 光学、非线性光学、梯度折射率光学和二元光学等。 虽然有些光学现象需用量子理论去解释，但是光的 电磁理论仍然是阐明大多数光学现象及掌握现代光 学的一个重要基础。故本章是全教材的理论基础。
t
（1－13）
~ B( r，t )
B~(r)e i
t
（1－14）
将（1－13）式和（1－14）式分别代入（1－6）式和（1－7）式，
得到： 2E~ k 2E~ 0
（1－15）
2B~ k2B~ 0
（1－16）
（1－15）式和（1－16）式中 E~ 应为 E~(r)， B~ 应为 B~(r)
~j E~
（1－4）
式中， 称为电导率。
公式（1－2）、（1－3）和（1－4）称之为物质方程，它们描述
物质在电磁场作用下的特性。 和 表征物质本身的性质， 、
在各向同性均匀介质中它，们为常量。但在非均匀介质中为张量。
§1－2 光的波动方程
一、电磁场的波动性
由麦克斯韦方程组可以证明电磁波的传播具有波动性。对
四、单色光波在各向同性均匀介质中自由传 播时的振幅表达式
单色光波的波动方程（1－15）式和（1－16）式形式完 全相同，在这里只研究电场强度的 E~ 波方程动. E~
称为电场复矢量（简称电场矢量），又称为复振幅。
1 单色平面光波在各向同性均匀介质中自由传播时的解析表达式
解微分方程（1－15）式，得
~ E
Eeikr
全解为
~ E(r,t )
Eei ( kr kk0 k0—— 光波传播方向上的单位矢量；
r ——光源至空间某点的矢量。
k 称之为波矢量。
（1－19）式为单色平面波在各向同性均匀介质中传播时的电场 矢量的解析表达式。
2、单色球面光波在各向同性均匀介质中自由传播时的解析表达式
光波是电磁波中的一部份，所以公式（1－6）和（1－7）亦 是光波的波动方程。
光波在真空中的速度与在介质中速度之比称为绝对折射率 （简称 折射率），即：
n c v
其中 v 1
(1－9) （1－10）
由（1－8）式和（1－9）式，得：
n
00
rr
(1－11)
式中， r 和 r 分别是相对介电常数和相对磁导率。