1-5解析几何吕林根第四版

因为M1为P2 P3的中点,故M1(
x2
+ 2
x3
，y2
+ 2
y3 ，z2
+ 2
z3
),又因为G为重心，
故有P1G 2= GM1，即重心G把中线分成定比λ 2，
P1
利用定比分点坐标公式可得
x x= 1 + x2 + x3 ，y y= 1 + y2 + y3 ，z
3
3
z1 + z2 + z3 . G 3
e1, e2 , e3 两两相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；
在一般情况下，叫做仿射标架.
P
e3 r
e1 O
e2
e3 e1 O e2
e3 e1 O e2
注: (1) 标架{O; e1, e2 , e3}中的向量 e1, e2, e3 是有顺序的，交换它们
的次序将会得到另一标架.
(2) 空间标架有无穷多个.
e3
e1 O
e2
e3
e2 O
e1
右手（旋）标架
左手（旋）标架
二、坐标
{ } 定义 1.5.2 （1）式中的 x, y, z 叫做向量 r 关于标架 O;e1, e2, e3 的
坐标或称为分量，记做 r{x, y, z} 或{x, y, z} .
{ } 定义 1.5.3 对于取定了标架 O;e1,e2,e3 的空间中任意点 P ，向量 OP { } 叫做点 P 的向径，或称点 P 的位置向量，向径 OP 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐 { } 标 x, y, z 叫做点 P 关于标架 O;e1,e2,e3 的坐标，记做 P ( x, y, z) 或 ( x, y, z).
§1.5 标架与坐标
一、标架 二、坐标 三、坐标系 四、向量的坐标运算
一、标架
定义 1.5.1 空间中的一个定点 O ，连同三个不共面的有序向量 e1, e2 , e3 的全体，
{ } 叫做空间中的一个标架，记做 O;e1, e2, e3 ，
{ } 如果 e1, e2 , e3 都是单位向量，那么 O; e1, e2 , e3 叫做笛卡尔标架；
每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面，分别叫做 xOy 平面， yOz 平面
与 xOz 平面.
z
e3
e1 O e2
y
x
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
Ⅷ
z
zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
坐标系共分八个卦限
Ⅲ
z
Ⅱ
Ⅳ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
坐标
x
+- - + + - - +
y
++ - - + + - -
P2 M1
M2 P3
例2 四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点
到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍，用四面体的顶点
坐标把交点坐标表示出来.
P2
解：设四面体P1P2 P3P4的的顶点坐标分别为
P（i xi，yi，zi），Pi的对面重心为Qi，分PiQi
定比λ 3= 的定比分点为Oi，i 1，2，3，4.
=x x= 1 + x2 , y y= 1 + y2 , z z1 + z2 .
2
2
2
例1 已知三角型三顶点为Pi ( xi , yi , zi ) ( i = 1, 2, 3)， 求
∆P1P2 P3的重心（即三角型三条中心的公共点）的坐标.
解：设∆P1P2P3的三中线为Pi Mi (i = 1，2，3), 三中线的交点为G(x，y，z),
P2 ( x2 , y2 , z2 )，那么分有向线段P1P2成定比λ (λ ≠ -1)的分点
P的= 坐标是x x= 1 + λ x2 , y y= 1 + λ y2 , z z1 + λ z2 .
1+ λ
1+ λ
1+ λ
证：由已知P1P = λ PP2 , 而P1P = OP − OP1，PP2 = OP2 − OP，
则Q1为P2 P3P4的重心，
P1
故
Q（1
x2
+
x3 3
+
x4
,
y2
+
y3 3+来自y4,z2
+
z3 3
+
z4
).
Q1 P3
又O1分 P1Q1定比为3,由定比分点坐标公式可得O1的坐标为 P4
（ x1 + x2 + x3 + x4 ，y1 + y2 + y3 + y4 ，z1 + z2 + z3 + z4 ）.
λ X1 + µ X2 +ν X3 = 0 即 λ Y1 + µY2 +νY3 = 0
λ Z1 + µ Z2 +ν Z3 = 0
又因为λ，µ，ν 不全为零，
即上述齐次线性方程组有非零 X1 Y1 Z1
解，所以 X2 Y2 Z2 = 0 X3 Y3 Z3
（4）线段的定比分点坐标
定理1.5.6 设有向线段P1P2的始点为P1 ( x1, y1, z1 )，终点为
C(x,0, z)
o x P( x,0,0)
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
z z
R(0,0, z)
k
r
o
i
j
o y x P( x,0,0)
x
• M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
N
以i, j , k分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量.
充要条件是对应的坐标成比例，即 X=1 Y=1 Z1 . X 2 Y2 Z2
证：a与b共线的充要条件是其中一个向量可由另一个
向量来线性表示，不妨设a = λ b，
于是
{X1，Y1，Z1} = λ {X2，Y2，Z2}，
即
= X1 λ= X2，Y1 λ= Y2，Z1 λ Z2，
所以有
X=1 Y=1 Z1 . X2 Y2 Z2
（2）用向量的坐标进行向量的线性运算 定理1.5.2 两向量和的坐标等于两向量对应的坐标的和. 定理1.5.3 数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的积.
（3）两向量共线的条件，三向量共面的条件
定理1.5.4 两个非零向量a { X1 ,Y1 , Z1} , b { X2 ,Y2 , Z2}共线的
定理1.5.4 三个非零向量a {X1,Y1, Z1}, b {X2,Y2, Z2},
X1 Y1 Z1
c {X3,Y3, Z3}共面的充要条件是 X2 Y2 Z2 = 0.
X 3 Y3 Z3
证：三向量a， b， c共面的充要条件是它们线性
相关，即存在不全为零的实数λ，µ，ν，使得 λ a + µ b +ν c = 0，
r = OM = OP + PN + NM = OP + OQ + OR
设= OP xi= , OQ y= j , OR zk.
r = xi + yj + zk
称为向量 r的坐标分解式.
四、向量的坐标运算
（1）用向量的始点和终点的坐标表示向量的坐标 定理1.5.1 向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标.
4
4
4
同理可得O2，O3，O4的坐标均与O1相同，命题得证.
z
++ + + - - - -
点的坐标
Ⅳ
Ⅲz
z
Ⅱ
Ⅰ
M (x,y,z)
M → (x,y,z)
x
Ⅷ
0 x
y y
N
Ⅵ Ⅴ
点的坐标
z
(x,y,z) → M
z (x,y,z)
M
00
y
y
x
N
x
.
z
00
(-x,-y,-z) R
x
Q
(x,-y,-z)
x
M(x,y,z)
M点的对称点
关于xoy面:
(x,y,z)→ (x,y,-z)
( ) 所以OP − OP=1
λ OP2 − OP ，从而有 OP=
OP1 + λOP2 ，P1
1+ λ
将OP1，OP2，OP 的坐标代入可得P的坐标为
=x x= 1 + λ x2 ，y y= 1 + λ y2 ，z z1 + λ z2
1+ λ
1+ λ
1+ λ
o
P P2
推论 设Pi ( xi , yi , zi ) ( i = 1, 2) , 那么线段P1P2的中点坐标是
P
e3
r
e1
O
e2
三、坐标系
{ } 空间取定标架 O;e1, e2, e3
空间向量 r 1－1对应 三元有序数组{x, y, z}
空间点 P 1－1对应 三元有序数组 ( x, y, z)
这种一一对应的关系叫做空间向量或点的一个坐标系.
{ } 空间坐标系也常用标架 O;e1, e2, e3 来表示，这时点 O 叫做
坐标原点；向量 e1, e2 , e3 都叫做坐标向量.
右手坐标系 ；左手坐标系 ； 仿射坐标系；笛卡尔坐标系；直角坐标系.