3.2正弦电路中的电阻、电感、电容元件
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第二章 正弦稳态电路
3
已知正弦电压u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V，u2(t)=70.5 sin(ωt-π/6) V 写出u1和u2的相量， 并画出相量图。
解： u1 U 1 141 100 V 3 3 2 70.5 50 V u2 U 2 6 6 2
阻抗的另一形式
Z R jX
Z R2 X 2 X arctan R
.
+ . U I N
Z的实部为R, 称为“电阻”, Z的虚部为X, 称为“电抗”
3
2. 阻抗的串并联
n个阻抗串联的电路
I
+ . .
Z1
Z2
Z3
+ . -+ . - . - + + U1 U2 U3 .
U
Un
Zn
【例2.5.1】图所示正弦稳态电路中，交流电压表V1、V2、V3的读数分别 为30V、60V和20V，求交流电压表V的读数。
1
R
2
L C
I1
3
Z1
V
US
求图所示二端网络的戴维南等效电路。 【例2.6.3】已知 us 10 2 sin10000tV , R1 R2 R3 1 , R4 4 , C 400F , L 0.4mH 求电阻R4两端的电压。
L
品质因数
Q 0C G 1 ( 0 LG )
并联谐振电路的特点：阻抗最大；电流源一定时，电压 最大；电流谐振，能量互换仅在LC之间。
i
N
有功功率P、功率因数
P UI cos
无功功率Q
视在功率S 复功率S
cos
正弦电路中的电阻、感抗、容抗
3.3.1电阻元件的正弦交流电路
一、电阻元件基本关系:
根据 欧姆定律
u iR
u 2 U sin t i u 2 U sin t 2 I sin t
RR
电阻电路中电流、电压的关系
1. 频率相同
2. 相位相同
3. 有效值关系： U IR
4. 相量关系：设 U U 0
I
则 I U 0 R
dt
2 I L sin(t 90 ) 2 U sin(t 90 )
电感电路中电流、电压的关系
设：
u 2 I L sin( t 90 )
i 2I sin t
2U sin( t 90 )
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 超前i 90 °）
3. 有效值 U IL
定义： X L L 感抗（Ω） U
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述明 来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计算 ”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的递进 关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续课程铺 垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文印刷结合 紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时数。适用于 应用型本科及高职高专电力类、自动化类、机电类、电器 类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专业。
则： U I X L
I
相量图
4. 相量关系
设： I I 0
超前！
U U 90 I L90
U
I
U I L 90 I ( jX L )
电感电路中复数形式的欧姆定律
U I j X L
其中含有幅度和相位信息
I
+
U-
jL
有效值关系 U IL
3、3 正弦电路中的电阻、电感、电容元件
U = 220∠60
= U = 220∠60 = 3.5∠ 30 A I jX L j 62.8
Q L = IU = 3.5 × 220 = 770 var
（2）f=5000Hz时 X L = ωL = 2π × 5000 × 0.2 = 6.28 × 103
= U = 220∠60 = 3.5 × 10 2 ∠ 30 A I jX L j 6.28 × 10 3
(d)
电感的功率： 电感的功率： 设 i=
2 I sin ωt
u O
P.u.i p i
u = 2U sin(ωt + 90 ) = 2U cos ωt
p = u i = 2UI sin ωt cos ωt = UI sin 2ωt
π
2
ωt
1 P= T
∫
1 pdt = T
∫
T
0
UI sin 2ωtdt = 0
i 电流、 电流、电压的瞬时值为 ： = 0.984 2 sin( 314t 33.4 ) A
u R = 98.4 2 sin( 314t 33.4 )V u L = 196.8 2 sin( 314t + 56.6 )V
UR I
3、5 阻抗与导纳
一、 阻抗 一个包含电阻、电感、电容的无源二端电路N， 一个包含电阻、电感、电容的无源二端电路 ，定义其等效阻抗为 U I Z= I I
3 、3
正弦电路中的电阻、电感、 正弦电路中的电阻、电感、电容元件
i
U = RI ψ u = ψ i
u
一、 电阻元件的交流电路
i = 2 I sin(ωt + ψ i ) u = 2 RI sin(ωt + ψ i ) = 2U sin(ωt +ψ u ) I = I∠ψ U = U∠ψ
= U = 220∠60 = 3.5∠ 30 A I jX L j 62.8
Q L = IU = 3.5 × 220 = 770 var
（2）f=5000Hz时 X L = ωL = 2π × 5000 × 0.2 = 6.28 × 103
= U = 220∠60 = 3.5 × 10 2 ∠ 30 A I jX L j 6.28 × 10 3
(d)
电感的功率： 电感的功率： 设 i=
2 I sin ωt
u O
P.u.i p i
u = 2U sin(ωt + 90 ) = 2U cos ωt
p = u i = 2UI sin ωt cos ωt = UI sin 2ωt
π
2
ωt
1 P= T
∫
1 pdt = T
∫
T
0
UI sin 2ωtdt = 0
i 电流、 电流、电压的瞬时值为 ： = 0.984 2 sin( 314t 33.4 ) A
u R = 98.4 2 sin( 314t 33.4 )V u L = 196.8 2 sin( 314t + 56.6 )V
UR I
3、5 阻抗与导纳
一、 阻抗 一个包含电阻、电感、电容的无源二端电路N， 一个包含电阻、电感、电容的无源二端电路 ，定义其等效阻抗为 U I Z= I I
3 、3
正弦电路中的电阻、电感、 正弦电路中的电阻、电感、电容元件
i
U = RI ψ u = ψ i
u
一、 电阻元件的交流电路
i = 2 I sin(ωt + ψ i ) u = 2 RI sin(ωt + ψ i ) = 2U sin(ωt +ψ u ) I = I∠ψ U = U∠ψ
纯电阻、电感、电容电路
i
（XC用来表示电容对电流阻碍作用的一个物理量）
Im
式中:
ULm
"T
Ul
X?
ULm
"
Ul
T
电感线圈具有“阻交通直”的性质。
瞬时功率:
P uj
有功功率
无功功率
U
2
（平均功率）：P=0
（最大瞬时功率）：
ql=uli=i2xl=L(之Var)
X
（无功功率反映的是储能元件与外界交 换能量的规模。“无功”的含义是“交换”。）
电路图
向量图（电压 与电流 的相位
差）
电流与 电压的 关系
电路的
功率
纯电阻、纯电感、纯电容电路
一、知识要求：
理解正弦交流电的瞬时功率、有功功率、无功功率的含义、数学式、单位及计算。 掌握各种电路的特点，会画矢量图。
二、主要知识点：
纯电阻（性）电路
纯电感（性）电路
纯电容（性）电路
R
C
?
U
纯电阻电路中，电压与电流同相 位。
ic I
2
Im
Ucm
Xc
式中：
I
Xcห้องสมุดไป่ตู้
Ucm
—
/
；
电容具有“隔直通交”的性质。瞬时功率:
P
有功功率
无功功率
U
（平均功率）：P=0
（最大瞬时功率）：
2
Qc=UcI=I2Xc=(之Var)
X
视在功
率与功
率因数
视在功率S:电源输出的总电流与总电压有效值的乘积叫做电路的视在功率。用 功率因数cos:有功功率与视在功率的比值。cosP/S
纯电感电路中，电压超前电流90度。
（XC用来表示电容对电流阻碍作用的一个物理量）
Im
式中:
ULm
"T
Ul
X?
ULm
"
Ul
T
电感线圈具有“阻交通直”的性质。
瞬时功率:
P uj
有功功率
无功功率
U
2
（平均功率）：P=0
（最大瞬时功率）：
ql=uli=i2xl=L(之Var)
X
（无功功率反映的是储能元件与外界交 换能量的规模。“无功”的含义是“交换”。）
电路图
向量图（电压 与电流 的相位
差）
电流与 电压的 关系
电路的
功率
纯电阻、纯电感、纯电容电路
一、知识要求：
理解正弦交流电的瞬时功率、有功功率、无功功率的含义、数学式、单位及计算。 掌握各种电路的特点，会画矢量图。
二、主要知识点：
纯电阻（性）电路
纯电感（性）电路
纯电容（性）电路
R
C
?
U
纯电阻电路中，电压与电流同相 位。
ic I
2
Im
Ucm
Xc
式中：
I
Xcห้องสมุดไป่ตู้
Ucm
—
/
；
电容具有“隔直通交”的性质。瞬时功率:
P
有功功率
无功功率
U
（平均功率）：P=0
（最大瞬时功率）：
2
Qc=UcI=I2Xc=(之Var)
X
视在功
率与功
率因数
视在功率S:电源输出的总电流与总电压有效值的乘积叫做电路的视在功率。用 功率因数cos:有功功率与视在功率的比值。cosP/S
纯电感电路中，电压超前电流90度。
4[1].2正弦电路中的电阻、电感、电容
![4[1].2正弦电路中的电阻、电感、电容](https://img.taocdn.com/s3/m/bf7b4a11f46527d3240ce0f9.png)
u
2
或 IL C
UL
——电压滞后电流90度
3）相量关系：
IC
jCU C
UC
IC
j
1
IC
jC C
第二节：正弦稳态电路中的电阻、电容、电感
3：电容元件
1）数量关系： IC CIC
iC C + uC -
2）相位关系： i
u
2
4）相量模型：
1
3）相量关系：U C
求电流i
解：利用KCL相量关系，有：
I IR IC IL
U 12090V
IR
U
12090
890A
R 15
I C jCU j 1000 (83.3106 )12090 10A
IL
U
jL
j
12090 1000 (30103 )
U
R
RIR
第二节：正弦稳态电路中的电阻、电容、电感 1：电阻元件
1）数量关系： U R RI R
2）相位关系： u i
3）相量关系：
UR
RI
R
j
相 量
UR
IR
图
u i 1
0
iR R + uR -
4）相量模型：
IR
R
+-
UR
第二节：正弦稳态电路中的电阻、电容、电感
第二节：正弦稳态电路中的电阻、电容、电感
第3章 正弦交流电路
Um 正弦交流电压的有效值为 U = = 0.707U m 2 正弦交流电压的有效值为 E = Em = 0.707 Em 2
i = I m sin (ω t + ψ i )时，可得 也可以写为 i = 2 I sin (ω t + ψ i )
当电流
e = E m sin ( ω t + ψ e ) 时，可得 E = 2 也可以写为 e = 2 E sin ( ω t + ψ e )
1 1 T= = = 0.02s f 50
我国工业和民用交流电源的有效值为220V，频率为50Hz, ，频率为 我国工业和民用交流电源的有效值为 因而通常将这一交流电压简称为工频电压 频率称为工频 工频电压， 工频。 因而通常将这一交流电压简称为工频电压，频率称为工频。
例：已知正弦交流电流为i=2sin(ωt-30˚) A。电路中的电阻 已知正弦交流电流为 。电路中的电阻R=10Ω， ， 试求电流的有效值和电阻消耗的功率。 试求电流的有效值和电阻消耗的功率。 解：电流有效值 电阻消耗的功率 I=0.707×Im=0.707×2=1.414A × × P=I2R=20W
已知一正弦电流的有效值为5A，频率为50Hz,初 例：已知一正弦电流的有效值为 ，频率为 , 相为50˚，试写出其解析式。 相为 ，试写出其解析式。 由题目可知， 解：由题目可知，m = 5 2V，ψ=50˚ I 又频率f=50Hz，则角频率 又频率 ， ω=2πf=2×3.14×50=314rad/s × × 则该电流解析式为
（三）相位与相位差 相位：表示正弦量的变化进程，也称相位角。 相位：表示正弦量的变化进程，也称相位角。 相位角 初相位： 时的相位 时的相位， 初相位：t=0时的相位，用ψ表示。
03-1正弦交流
3.1
正弦交流电的基本概念
正弦交流电的方向
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量 的参考方向，然后才能用数字表达式来描述。
i
u
R
i
0
实际方向和参考方向一致
t
实际方向和参考方向相反
3.1
正弦交流电的基本概念
二、正弦量的三要素
Im
0
i
i I m sin t
t
瞬时表达式
Instantaneous Expression
i2
0
i1
t
i1
1 2
i2
0
1 2 0
1 2
t
i1
0
i1 超前 i2
1 2 0
2 1
i2
t
i1 滞后 i2
3.1
正弦交流电的基本概念
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
uA
uB
uC
0
t
3.1
正弦交流电的基本概念
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电 压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也 是指供电电压的有效值。
I m I me j
i I m sin( t )
3.2
正弦量的相量表示方法
复指数函数虚轴投影和正弦函数间对应关系示意图： 一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线 段在纵轴上的投影值来表示。 +j u
u U m sin t
ω
0
+1
Um
0
t
3.2
I
Im 2
3.1
正弦交流电路-详解
275.已知一正弦信号源的电压幅值为10 mV，初相位为30°，频率为1 000 Hz，则电 压瞬时值表达式为__D____。
A．u(t) 10 2 sin(314t 30)mV B． u(t) 10sin(314t 30) mV
C． u(t) 10 2 sin(2000 t 30) mV D．u(t) 10sin(2000 t 30) mV
i
初相位：
初相位等于t =0 时的相位角）， O
ωt
是观察正弦波的起点。（又称相位）
初相位等于 0 的正弦量称为参考正弦量
相位差 ：
如：u Umsin( ω t ψ1 ) i Imsin( ω t ψ2 )
则相位差 ： ( t 1 ) ( t 2 )
ψ1 ψ2
两个同频率正旋量相位差等于初相位之差。
282.如图所示，某正弦电流波形图，其瞬时值表达式为__B____。
i 10 2 sin(314 t 90) i 10sin(314t 90) i 10sin(314t 90) i 10sin(31.4t 90)
301.正常情况下用电压表测的电压值是______；而设备名牌上的电压值是__C____。 A．最大值/最大值 B．有效值/最大值 C．有效值/有效值 D．最大值/有效值
令：XL ωL 2πfL 称为感抗
90
③相位关系 ：u 超前 i 90度
ψu ψi 90
感抗的说明：
XL 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
交流：f
XL
电感L具有通直阻交的作用
XL ω L 2 π f L 感抗XL是频率的函数
XL和I与f的关系图示：
I , XL
ωt
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22030 V U s X L L 314 0.639 200
+
I
+
R L
uR
+
U U U R L S RI 100I U R jLI j 200I 得 U L
uS
-
由
uL
-
+ U S -
+ R U R + jL U L -
1 1 318 6 C 314 10 10
260 A I jX I j 318 260 636 30 U c
QC UI 636 2 1272var
（2）频率提高一倍，XC降低一倍，在电流大小保持不变的 情况下，电压的有效值降低一倍；反之，在电压大小保持不 变的情况下，频率提高一倍，电容中的电流的有效值将增加 一倍。
3.3 正弦电路中的电阻、电感、电容元件
电阻、电感、电容元件上瞬时电压、电流的关系式 电阻元件 电感元件 电容元件 u=Ri
di uL dt
du i C dt
3.3.1 电阻元件的交流电路
i
U RI u i
u, i
i 2 I sin( t i )
u 2 RI sin( t i )
22060 V U
U 220 60 I 3.5 30 A jX L j 62.8
QL IU 3.5 220 770var
（2）f=5000Hz时 X L L 2 5000 0.2 6.28103
U 220 60 2 I 3 . 5 10 30 A 3 jX L j 6.28 10
u
k 1
n
k
0
k 1 n
同理可得
0 U k
三、相量分析法 1.条件：线性电路在同频率正弦量激励下的稳态响应 2.方法: ①电路中所有正弦量用其对应的相量表示
u S (t ) U S u( t ) U
iS (t ) I S i( t ) I
②电路元件用相量模型表示
A0 A1 Z1 Z2 A2
作业：3.5、3.6
线圈模型
R
L
i 0.984 2 sin(314t 33.4 ) A
U S
j 200I 196.8(90 33.4 ) 196.856.6 V U L
电流、电压的瞬时值为
uR 98.4 2 sin(314t 33.4 )V uL 196.8 2 sin(314t 56.6 )V
u 2U sin(t u )
i
+
i
C
ψu ψi
u, i u
u
(a)
I=ωCU
Ψi=Ψu+90º
+ U -
电容电流的相位超前电压90°
I
I
I CU( 90 ) I i u
jCU I
1 U j I C
j
1 C
U
1 XC U=XCI X 称为电容元件的电抗，简称容抗 C C ω→0，XC→∞，电容相当于开路，ω= ∞，XC=0，电容相当于短路， 对直流电，电容相当于开路；对高频交流电，电容相当于短路
3.4 基尔霍失定律的相量形式
一、 KCL的相量形式 对任一结点，有
k 1
n
i k 0 ik I m [ 2 I k e j(t k ) ]
2I e
h n
ik
n
Im
k
j (t k )
k 1
k 1
I 2 I e
n m k jt k 1
电容是储能元件，它在电路中的作用是与电源或外电路进行能 量变换，用QC表示电容的无功功率， 并规定电感的无功功率 取正值，电容的无功功率取负值 。
QC UI I 2 X C
例：一正弦电流 i 2 2 sin(314t 60 ) A，通过10µ F的电 容。（1）求电容电压及电容的无功功率； （2）当电流频率提高一倍时，电容电压的有效值如何改变？ 解：（1） X C
图3.4.2 例3.4.1图
0 . 984 33 . 4 A 5 10063.4
j 200I 22030 100I
220 30 I 100 j 200
22030
100I 98.4 33.4 V U R
U L
i + uS iC C + uL iL R L
I
I L
I C + U S j 1 C
R
jL
+ U L -
(a)
(b)
例： 在图3.4.2(a)所示电路中,已知 uS 220 2 sin(314t 30 )V
R=100Ω，L=0.639H，求电流 i、uR及uL。 i 解:先画出电路的相量模型
平均功率为
1 P T
I
T
0
1 pdt TLeabharlann T+ U 2
R
I
0
UI [ 1 cos 2( t i )]dt UI
U P UI I R R
2
U
3.3.2 电感元件的交流电路
di t i ) u L 2IL cos( dt 2 IL sin( t i 90 ) 90 U LI u i
容抗的倒数称为容纳，用BC表示
BC 1 C XC
电容的功率
u 2U sint
i 2I sin( t 90 ) 2I cost
P. u. i p i O 2 u
2ω t
p u i UI sin 2t
1 P T
T
0
1 T pdt UI sin2tdt 0 T 0
2I m e jt I k
i
k 1
k
0 对任意 t 成立
0 t 2n , I m I k
1 0 ,即R I 0 t ( 2n ) , I m jI k e k 2
k 1
n
0 I k
二、KVL的相量形式
设对任一回路，有
i 3.5 102 2 sin( 3.14104 t 30 ) A
QL IU 3.5 102 220 7.7 var
3.3.3 电容元件的交流电路
du 2CU cos( t u ) i C dt
2CU sin(t u 90 )
i 2 I sin( t i )
i
+ u -
u
L
u, i i
ψi ψu
电感电压的相位超前电流90° U LI( 90 ) LI 90 U u i
jLI U
I
令 XL=ωL 则 U=XLI j ωL I XL称为电感元件的电抗，简称感抗 ω→∞时，XL→∞，电感相当于开路 ω=0时，XL=0，电感相当于短路， 对直流电，电感相当于短路 1 1 jB U BL I L 感抗的倒数称为感纳，用BL表示 X L L
+ u u
R
u 2U sin( t u )
I I i
U U u
RI RI U i
O
i
2
ωt
电阻元件的瞬时功率为
p u i 2UI sin( t u ) sin( t i ) UI sin 2 ( t i ) 0
电感是储能元件，它在电路中的作用与电源或外电路进行能量 变换，这种能量交换规模的大小，我们用瞬时功率的最大值来 衡量并称为无功功率，用QL表示
QL UI I 2 X L
单位是乏 var
例： 一个0.2H的电感线圈，电阻忽略不计，将它接在电压 u 220 2 sin( 314t 60 ) V的交流电源上。 （1）求线圈中的电流相量和无功功率QL （2）若将电源的频率改变为5000Hz，其它不变，求i 和QL。 解：(1) X L L 314 0.2 62.8
I U R
课堂练习：习题3.7 图示的电路中，电流表A1和A2的读数分别 为I1=3A，I2=4A， 1.设Z1=R，Z2=-jXC，则电流表A0的读数 为多少？ 2.设Z1=R，则Z2为何种元件、取何值时， 才能使A0的读数最大？最大值是多少？ 3.设Z1=jXL，则Z2为何种元件时，才能使 A0的读数为最小？最小值是多少？
RR
L jL
③同直流电阻电路的分析方法
1 C -j C
3.步骤: ①作相量形式的等效电路
②列方程并求解
U u( t ) ③ U u ④必要时作相量图
I i( t ) I i
用
I 、 U
代替
i, u
，用jXL和-jXC代替L和C 电路的相量模型
电路模型
+ U -
U
电感的功率 设 i
2 I sint
u O
P. u. i p i 2
ωt
u 2U sin( t 90 ) 2U cost
p u i 2UI sint cost UI sin 2t
1 p T
1 T pdt UT sin2tdt 0 T 0
+
I
+
R L
uR
+
U U U R L S RI 100I U R jLI j 200I 得 U L
uS
-
由
uL
-
+ U S -
+ R U R + jL U L -
1 1 318 6 C 314 10 10
260 A I jX I j 318 260 636 30 U c
QC UI 636 2 1272var
（2）频率提高一倍，XC降低一倍，在电流大小保持不变的 情况下，电压的有效值降低一倍；反之，在电压大小保持不 变的情况下，频率提高一倍，电容中的电流的有效值将增加 一倍。
3.3 正弦电路中的电阻、电感、电容元件
电阻、电感、电容元件上瞬时电压、电流的关系式 电阻元件 电感元件 电容元件 u=Ri
di uL dt
du i C dt
3.3.1 电阻元件的交流电路
i
U RI u i
u, i
i 2 I sin( t i )
u 2 RI sin( t i )
22060 V U
U 220 60 I 3.5 30 A jX L j 62.8
QL IU 3.5 220 770var
（2）f=5000Hz时 X L L 2 5000 0.2 6.28103
U 220 60 2 I 3 . 5 10 30 A 3 jX L j 6.28 10
u
k 1
n
k
0
k 1 n
同理可得
0 U k
三、相量分析法 1.条件：线性电路在同频率正弦量激励下的稳态响应 2.方法: ①电路中所有正弦量用其对应的相量表示
u S (t ) U S u( t ) U
iS (t ) I S i( t ) I
②电路元件用相量模型表示
A0 A1 Z1 Z2 A2
作业：3.5、3.6
线圈模型
R
L
i 0.984 2 sin(314t 33.4 ) A
U S
j 200I 196.8(90 33.4 ) 196.856.6 V U L
电流、电压的瞬时值为
uR 98.4 2 sin(314t 33.4 )V uL 196.8 2 sin(314t 56.6 )V
u 2U sin(t u )
i
+
i
C
ψu ψi
u, i u
u
(a)
I=ωCU
Ψi=Ψu+90º
+ U -
电容电流的相位超前电压90°
I
I
I CU( 90 ) I i u
jCU I
1 U j I C
j
1 C
U
1 XC U=XCI X 称为电容元件的电抗，简称容抗 C C ω→0，XC→∞，电容相当于开路，ω= ∞，XC=0，电容相当于短路， 对直流电，电容相当于开路；对高频交流电，电容相当于短路
3.4 基尔霍失定律的相量形式
一、 KCL的相量形式 对任一结点，有
k 1
n
i k 0 ik I m [ 2 I k e j(t k ) ]
2I e
h n
ik
n
Im
k
j (t k )
k 1
k 1
I 2 I e
n m k jt k 1
电容是储能元件，它在电路中的作用是与电源或外电路进行能 量变换，用QC表示电容的无功功率， 并规定电感的无功功率 取正值，电容的无功功率取负值 。
QC UI I 2 X C
例：一正弦电流 i 2 2 sin(314t 60 ) A，通过10µ F的电 容。（1）求电容电压及电容的无功功率； （2）当电流频率提高一倍时，电容电压的有效值如何改变？ 解：（1） X C
图3.4.2 例3.4.1图
0 . 984 33 . 4 A 5 10063.4
j 200I 22030 100I
220 30 I 100 j 200
22030
100I 98.4 33.4 V U R
U L
i + uS iC C + uL iL R L
I
I L
I C + U S j 1 C
R
jL
+ U L -
(a)
(b)
例： 在图3.4.2(a)所示电路中,已知 uS 220 2 sin(314t 30 )V
R=100Ω，L=0.639H，求电流 i、uR及uL。 i 解:先画出电路的相量模型
平均功率为
1 P T
I
T
0
1 pdt TLeabharlann T+ U 2
R
I
0
UI [ 1 cos 2( t i )]dt UI
U P UI I R R
2
U
3.3.2 电感元件的交流电路
di t i ) u L 2IL cos( dt 2 IL sin( t i 90 ) 90 U LI u i
容抗的倒数称为容纳，用BC表示
BC 1 C XC
电容的功率
u 2U sint
i 2I sin( t 90 ) 2I cost
P. u. i p i O 2 u
2ω t
p u i UI sin 2t
1 P T
T
0
1 T pdt UI sin2tdt 0 T 0
2I m e jt I k
i
k 1
k
0 对任意 t 成立
0 t 2n , I m I k
1 0 ,即R I 0 t ( 2n ) , I m jI k e k 2
k 1
n
0 I k
二、KVL的相量形式
设对任一回路，有
i 3.5 102 2 sin( 3.14104 t 30 ) A
QL IU 3.5 102 220 7.7 var
3.3.3 电容元件的交流电路
du 2CU cos( t u ) i C dt
2CU sin(t u 90 )
i 2 I sin( t i )
i
+ u -
u
L
u, i i
ψi ψu
电感电压的相位超前电流90° U LI( 90 ) LI 90 U u i
jLI U
I
令 XL=ωL 则 U=XLI j ωL I XL称为电感元件的电抗，简称感抗 ω→∞时，XL→∞，电感相当于开路 ω=0时，XL=0，电感相当于短路， 对直流电，电感相当于短路 1 1 jB U BL I L 感抗的倒数称为感纳，用BL表示 X L L
+ u u
R
u 2U sin( t u )
I I i
U U u
RI RI U i
O
i
2
ωt
电阻元件的瞬时功率为
p u i 2UI sin( t u ) sin( t i ) UI sin 2 ( t i ) 0
电感是储能元件，它在电路中的作用与电源或外电路进行能量 变换，这种能量交换规模的大小，我们用瞬时功率的最大值来 衡量并称为无功功率，用QL表示
QL UI I 2 X L
单位是乏 var
例： 一个0.2H的电感线圈，电阻忽略不计，将它接在电压 u 220 2 sin( 314t 60 ) V的交流电源上。 （1）求线圈中的电流相量和无功功率QL （2）若将电源的频率改变为5000Hz，其它不变，求i 和QL。 解：(1) X L L 314 0.2 62.8
I U R
课堂练习：习题3.7 图示的电路中，电流表A1和A2的读数分别 为I1=3A，I2=4A， 1.设Z1=R，Z2=-jXC，则电流表A0的读数 为多少？ 2.设Z1=R，则Z2为何种元件、取何值时， 才能使A0的读数最大？最大值是多少？ 3.设Z1=jXL，则Z2为何种元件时，才能使 A0的读数为最小？最小值是多少？
RR
L jL
③同直流电阻电路的分析方法
1 C -j C
3.步骤: ①作相量形式的等效电路
②列方程并求解
U u( t ) ③ U u ④必要时作相量图
I i( t ) I i
用
I 、 U
代替
i, u
，用jXL和-jXC代替L和C 电路的相量模型
电路模型
+ U -
U
电感的功率 设 i
2 I sint
u O
P. u. i p i 2
ωt
u 2U sin( t 90 ) 2U cost
p u i 2UI sint cost UI sin 2t
1 p T
1 T pdt UT sin2tdt 0 T 0