高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.3两条直线的位置关系课件北师大版必修2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思已知直线方程,判断两条直线平行或垂直的步骤: (1)若两条直线的斜率均不存在,且在x轴上的截距不相等,则它们 平行;若一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在,则它们垂直. (2)若两条直线l1与l2的斜率均存在,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,当 k1· k2=-1时,l1⊥l2;当k1=k2,且它们在y轴上的截距不相等时,l1∥l2.
=-1,所以 l1⊥l2.
(4)因为 l1 垂直于 x 轴 ,l2 垂直于 y 轴 ,所以 l1⊥l2.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
两条直线平行的应用
【例2】 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程. 分析:解答本题可先求得已知直线的斜率,再根据题目给出的条 件,应用直线方程的点斜式写出直线l的方程或直接设直线l方程的 一般式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:方法一:设直线l的斜率为k,∵直线l与直线3x+4y+1=0平行,
3 ∴k=-4.
又直线 l 过点(1,2),
∴直线 l 的方程为
3 y-2=- (x-1), 4
即3x+4y-11=0. 方法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0, ∵直线l过点(1,2), ∴3×1+4×2+m=0,解得m=-11. ∴直线l的方程为3x+4y-11=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思一般地,直线Ax+By+C=0的斜率可由系数A,B来确定,因此在 求过定点且与已知直线平行的直线方程时,通常采用以下方法: (1)先求已知直线的斜率,若已知直线的斜率存在,则根据两条直 线平行的性质得出所求直线的斜率,再根据直线的点斜式,即可求 出所求的直线方程; 若已知直线的斜率不存在,则所求直线的斜率 也不存在,过定点(x0,y0)的直线方程为x=x0. (2)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0,根据 所求直线过定点,求得m的值,写出所求直线方程. (3)过定点(x0,y0)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线方程实际上 为A(x-x0)+B(y-y0)=0,这种方法适用于选择题、填空题及解答题结 论的验证.
2 2
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)直线 l1 的斜率 k1=-2,l1 在 y 轴上的截距 b1=5,直线 l2 的斜 率 k2=-2,l2 在 y 轴上的截距 b2=-1,因为 k1=k2 且 b1≠b2,所以 l1∥l 2. (2)由题意知 l1:x=-1,l2:x=5, 两直线都垂直于 x 轴且不重合,所以 l1∥l2. (3)直线 l1 的斜率 k1= 2,直线 l2 的斜率 k2=- , 因为 k1· k2= 2 × 2 2 2 2
1.3 两条直线的位置关系
1.掌握两条直线平行的条件. 2.掌握两条直线垂直的条件. 3.能根据斜率判定两直线平行与垂直. 4.能根据两条直线平行或垂直求直线方程.
1.两条直线平行 (1)
两条不重合直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(b1≠b2),若l1∥l2,则k1=k2; 反之,若k1=k2,则l1∥l2,如图所示. (2)如果l1,l2的斜率都不存在,那么它们的倾斜角都是90°,从而它 们互相平行或重合. 名师点拨1.l1∥l2⇔k1=k2须具备两个前提条件:①两直线的斜率都 存在;②两条直线不重合,即b1≠b2. 2.两条不重合的直线平行的判定的一般结论:l1∥l2⇔k1=k2或l1与 l2的斜率均不存在.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 判断下列各对直线的位置关系,并说明理由. (1)l1:y=-2x+5,l 2:y=-2x-1; (2)l1 经过点 A(-1,2),B(-1,4),l 2 经过点 M(5,- 2),N(5,7); (3)l1:y= 2x+1,l2:y=- x-1; (4)l1:x=5,l2:y= 3.
y
∵k1=k2,b1≠b2, ∴l1∥l 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)将两直线方程分别化为斜截式为
1 7 l1:y= x+ ;l2:y=-2x+2. 2 3 1 则 l1 的斜率 k1= ,l2 的斜率 2
k2=-2.
∵k1· k2=-1, ∴l1⊥l 2.
(3)由方程知 l1⊥x 轴 ,l2⊥x 轴 ,且两条直线在 x 轴上的截距不相 等 ,∴l1∥l2. (4)由方程知 l1⊥y 轴 ,l2⊥x 轴 ,∴l1⊥ l2.
1-(-2) =1,直线 2-(-1)
l2 的斜率 k2=
-1-4 -1-3
= ,因为
5 4
(2)因为l1与l2都与x轴垂直,直 (1)设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2.若l1⊥l2,则k1· k2=-1;反之, 若k1· k2=-1,则l1⊥l2. (2)对于直线l1:x=a,直线l2:y=b,由于l1⊥x轴,l2⊥y轴,所以l1⊥l2. (3)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 1 【做一做2-1】 已知直线l1的斜率k1=2,直线l2的斜率k2=- ,则l1与 2 l2( ) A.平行 B.异面 C.垂直 D.重合 答案:C 【做一做2-2】 直线(a+2)x+(1-a)y-3=0与直线(a1)x+(2a+3)y+2=0垂直,则实数a= . 解析:由题意得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1. 答案:±1
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)将两直线方程分别化为斜截式为
3 6 3 3 l1:y=- x+ ;l2:y=- x- . 5 5 5 10 3 6 3 则 l1 的斜率 k1=- ,l1 在 y 轴上的截距 b1= ,l2 的斜率 k2=- ,l2 在 5 5 5 3 轴上的截距 b2=- . 10
【做一做1】 判断下列各题中的直线l1,l2是否平行. (1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1); (2)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).
解:(1)直线 l1 的斜率 k1= k1≠k2,所以 l1 与 l2 不平行.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断两条直线平行或垂直
【例1】 判断下列各组直线平行还是垂直,并说明理由. (1)l1:3x+5y-6=0,l2:6x+10y+3=0; (2)l1:3x-6y+14=0,l2:2x+y-2=0; (3)l1:x=2,l2:x=4; (4)l1:y=-3,l2:x=1.
高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-1-3两条直线的位置关系课件
设 l1 : A1x B1y C1 0 （A1, B1 不全为0）， l2 : A2x B2 y C2 0（A2, B2不全为0），则
（1）l1 与 l2 平行
A1B2 B1C2
A2 B1 B2C1
0 0
（2）l1与 l2 垂直 A1A2 B1B2 0
1.3 两条直线的位置关系
平面内两条直线位置关系有哪些？
思考：平面内两直线的位置关系如何？
平行
垂直
重合
y
l1 l2
ox
l2 y l1 ox
y l1,l2 ox
在平面直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征 判断两条直线方程的位置关系呢？
探究点1 两条直线平行 我们知道，斜率相等的两条直线倾斜角相等，它们 相互平行；反之，两条直线平行，它们的倾斜角相 等，若倾斜角不为90°，则它们的斜率相等.
l1 l2
(2)设两直线的斜率分别是 ，k1 ，k在2 y轴上截距分别是 ， ，则
因为b1 b，2 所以k1 不2，平k行2 . 3，b1 1，b2 0.
k1 k2
l1与l2
(3) 由方程可知, l1 轴x ， l轴2 ,且x 两直线在 轴上截x距
不相等，所以 l1 .l2
例2 求过点 A1, 2，且平行于直线 2x 3y 5 0
例1 判断下列各对直线是否平行，并说明理由：
(1)l1 : y 3x 2； l2 : y 3x 5；
(2)l1 : y 2x 1； l2 : y 3x；
(3)l1 : x 5；
l2 : x 8.
解:（1）设两直线的斜率分别是 k，1 ，k2 在y轴上截距 分别是 b1， b,则2 k1 3，b1 2，k2 3，b2 5. 因为 所以 k1 .k2，b1 b2，
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
问题导学
当堂检测
解:(1)由于������������1 =2,������������2 =1,������������1 ≠ ������������2 , ∴ 两直线相交. 2������-������ + 4 = 0, ������ = 1, 解方程组 得 ������ = 6. ������-������ + 5 = 0, ∴ 两条直线的交点坐标为(1,6). (2)由方程组 5������ + 4������-2������-1 = 0, 解得 2������ + 3������-������ = 0,
2������+3 ������-2 , 7 7
2������+3 ������ = , 7 ������-2 ������ = . 7
∴ 两条直线的交点坐标为
.
∵ 此交点在第四象限,∴
3 2
2������+3 > 0, 7 ������-2 < 0, 7
解得- <m<2.故所求 m 的取值范围是 - ,2 .
)
故两条直线的交点坐标为(2,3). 答案:B
问题导学
当堂检测
1
2
3
4
5
3.直线 2x+y+m=0 和 x+2y+n=0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定,与 m,n 取值有关 解析:两条直线的斜率分别是 k1=-2,k2=- . ∵ k1·k2≠-1 且 k1≠k2,∴ 两条直线相交但不垂直. 答案:C
目标导航
预习引导
预习交流 2
若直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0,当两条直线相交于 点 P(x0,y0)时,试判断直线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中 λ∈R) 是否经过点 P. 提示:经过.因为 l1 与 l2 交于 P(x0,y0),所以 A1x0+B1y0+C1=0, A2x0+B2y0+C2=0,于是(A1x0+B1y0+C1)+λ(A2x0+B2y0+C2)=0+λ×0=0,故直 线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 必过点 P,该方程就是经过两相交直 线交点除 l2 外的直线系方程.
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.3两条直线的位置关系高一数学
1．3 两条直线的位置关系
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第二章 解析几何初步
学习导航 1.理解利用斜率之间关系判断两直线平行、垂
学习目 直．(重点) 标 2.掌握由直线的平行或垂直求字母参数的 值．(难点) 1.在学习两条直线平行或垂直与斜率关系时， 一定要考虑全面，特别是斜率不存在这种特殊
3
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设直线 l′的方程为 y＝4x＋b， 3
令 y＝0 得 x＝－3b，令 x＝0 得 y＝b， 4
由12·－34b·|b|＝4，得
b2＝32，∴ b＝ ±4
3
3
6，
∴直线 l′的方程为 y＝4x±4 6，即 4x－3y±4 6＝0. 33
法二：∵l′⊥l，∴设直线 l′的方程为 4x－3y＋n＝0，令 y＝0
3．若过点A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(－
1 5，0)的直线平行，则m＝___2_____．
解析：若 AB∥PQ，则 kAB＝kPQ，
即1m－＋m1＝13，解得
m＝1. 2
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4．若过点A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(－ 5，0)的直线垂直，则m＝___－__2___． 解析：若 AB⊥PQ，则 kAB·kPQ＝－1， 即1m－＋m1·13＝－1，解得 m＝－2.
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数学思想
分类讨论思想在平行和Байду номын сангаас直问题中的应用
已知点 A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点 D 的坐 标，使四边形 ABCD 为直角梯形(A，B，C，D 按逆时针方向 排列) [解] 设所求点 D 的坐标为(x，y)，如图所示．
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究(含解析)北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修2课后篇巩固探究A组基础巩固1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.答案A2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.4解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.答案B3.直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k的值为()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或3解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.答案C4.已知点A(1,2),B(3,1),线段AB的中点D,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0解析因为k AB==-,所以所求直线的斜率为2.又线段AB的中点D为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.答案B5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是()A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对解析由斜率公式可得k AB=k CD=,而k AD=-3,k BC=-.所以AB∥CD,且AD与BC不平行.所以四边形ABCD为梯形.又k AD·k AB=-1,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.答案B6.已知A(3,),B(2,0),直线l与AB平行,则直线l的倾斜角为.解析由已知得k AB=,因此k l=k AB=.因为tan60°=,所以直线l的倾斜角为60°.答案60°7.已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是.解析依题意设点Q的坐标为(a,b),则有解得故点Q的坐标为(2,3).答案(2,3)8.已知l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,则下列说法正确的是(填序号).①若l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0②若l1⊥l2,则=-1③若A1A2+B1B2=0,则l1⊥l2④若=-1,则l1⊥l2.解析当B1,B2均不为0时,由两条直线垂直可得-=-1,即A1A2+B1B2=0;当B1=0,A2=0或A1=0,B2=0时,两条直线也垂直,并满足A1A2+B1B2=0.由此可知①③④正确,②错.答案①③④9.(1)求与直线5x+3y-10=0平行且与x轴的交点到原点的距离为2的直线方程;(2)求经过点(0,2)且与直线l:2x-3y-3=0垂直的直线方程.解(1)设直线方程为5x+3y+m=0(m≠-10).因为直线与x轴的交点到原点的距离为2,且直线与x轴的交点为,所以=2,解得m=±10.又因为m≠-10,所以m=10,所以直线方程为5x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线l:2x-3y-3=0垂直,所以可设所求直线的方程为3x+2y+m=0.又因为所求直线过点(0,2),所以4+m=0,解得m=-4,故所求直线的方程为3x+2y-4=0.10.导学号91134044已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点.(1)求点D,使直线CD⊥AB,且BC∥AD;(2)判断此时四边形ACBD的形状.解(1)如图,设D(x,y),则由CD⊥AB,BC∥AD,可知得解得即点D坐标为(0,1).(2)∵k AC=,k BD=,∴k AC=k BD.∴AC∥BD,∴四边形ACBD为平行四边形.而k BC==-2,∴k BC·k AC=-1.∴AC⊥BC,∴四边形ACBD是矩形.∵DC⊥AB,∴四边形ACBD是正方形.B组能力提升1.若过点A(-2,2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.3C.2D.解析由已知k AB=k PQ,得,解得m=3,故选B.答案B2.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直且垂足为(1,p),则m-n+p的值为()A.24B.20C.0D.-8解析因为l1⊥l2,所以2m+4×(-5)=0,解得m=10,又点(1,p)在l1上,所以10+4p-2=0,即p=-2,因为点(1,p)在l2上,所以2×1-5p+n=0,得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20.答案B3.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析若△OAB为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°.当∠A=90°时,有b=a3;当∠B=90°时,有=-1,得b=a3+.故(b-a3)=0,选C.答案C4.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且直线l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=.解析依题意知,直线l的斜率为k=tan135°=-1,则直线l1的斜率为1,于是有=1,所以a=0.又直线l2与l1平行,所以1=-.即b=-2,所以a+b=-2.答案-25.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为.解析所求直线与直线2x+3y+5=0平行,则其斜率为-,可设直线方程为y=-x+b,令y=0,得x=b,由题意可得b+b=,解得b=,所以所求直线的方程为y=-x+,即2x+3y-4=0.答案2x+3y-4=06.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=. 解析设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.由l3⊥l1得2×m=-1,∴m=-;由l3⊥l2得1×m=-1,∴m=-.答案-或-7.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.(1)∠MOP=∠OPN(O为坐标原点);(2)∠MPN是直角.解设P(x,0),(1)∵∠MOP=∠OPN,∴MO∥PN,∴k OM=k NP,又k OM==1,k NP=.∴=1,解得x=7,即点P为(7,0).(2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,∴k MP·k NP=-1.∵k MP=,k NP=,∴=-1,解得x=1或x=6.∴P为(1,0)或(6,0).8.导学号91134045如图,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直?解如图,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,∴k AC·k DM=-1,即=-1,解得x=.故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.。
高中数学第二章解析几何初步21直线与直线的方程213两条直线的位置关系课件北师大版必修2(1)
解析：(1)由题意知l2恰好是x轴，所以l1∥l2. (2)k1＝1，k2＝22－－11＝1，k1＝k2， 所以l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝01－ －10＝－1，k2＝－3－1－20＝－1. 又kAM＝－3－1－10＝－2≠－1，所以l1∥l2. (4)l1⊥x轴，l2⊥x轴，且l1与l2不重合，所以l1∥l2.
答案：4x＋y－14＝0
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
又kAP＝y＋2 5，kBP＝y－－66，kAP·kBP＝－1， 即y＋2 5·－y－6 6＝－1，解得y＝－6或y＝7. 所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C. 答案：C
类型三直线平行与垂直关系的应用 [例3] 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)， B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
【思路点拨】 首先设出D点坐标，再利用AD与CD垂直，AD 与BC平行的关系得：kAD·kCD＝－1；kAD＝kBC，可解．
【解析】 设第四个顶点 D 的坐标为(x，y)，
因为 AD⊥CD，AD∥BC，
所以 kAD·kCD＝－1，且 kAD＝kBC.
所以yxyx－ －－ －1010·＝yx－ －23－－23＝01，－1
(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝
40－40 10－－10
＝0，则l2∥x
轴，∴l1⊥l2.
方法归纳
使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤 (1)首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的 斜率不存在，若不相等，则将点的坐标代入斜率公式． (2)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有 参数时，要应用斜率公式对参数进行讨论． 总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与 l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.
2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系ppt课件北师大版必修2
§1 直线与直线的方程
1.3 两条直线的位置关系
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 两条直线平行 [填一填]
(1)两条不重合直线 l1：y＝k1x＋b1 和 l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)， 若 l1∥l2，则 k1＝k2 ；反之，若 k1＝k2，则 l1∥l2 ，如图所 示．
一、选择题 1．下列说法中正确的是( B ) A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两直线的斜率之积为－1 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行
解析：A，C，D 三项均没有考虑到斜率不存在的情况．
2．如果直线 l1 的斜率为 a，l1⊥l2，则直线 l2 Fra bibliotek斜率为( D )
解：(1)当两直线斜率都存在，即 m≠－32且 m≠1 时， 有 k1＝21m－＋m3，k2＝mm＋ －21. ∵两直线互相垂直，∴21m－＋m3·mm＋ －21＝－1.∴m＝－1.
(2)当 m＝1 时，k1＝0，k2 不存在，此时亦有两直线垂直． 当 2m＝－3，即 m＝－32时，k1 不存在， k2＝mm＋－21＝－－3232＋－21＝－15，l1 与 l2 不垂直． 综上 m＝±1.
[填一填]
(1)设直线 l1：y＝k1x＋b1，直线 l2：y＝k2x＋b2.若 l1⊥l2，则 k1·k2＝ －1 ；反之，若 k1·k2＝－1，则 l1⊥l2 .
(2)对于直线 l1：x＝a，直线 l2：y＝b，由于 l1⊥ x 轴， l2⊥ y 轴，所以 l1⊥l2.
[答一答] 3．两条直线 l1，l2 垂直，它们的斜率之积一定为－1，这句 话正确吗？
高中数学平面解析几何初步两条直线的位置关系两条直线相交平行与重合的条件高数学
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求与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1，2)的直 线 l 的方程．
解：法一：设直线 l 的斜率为 k，因为直线 l 与直线 3x＋4y ＋1＝0 平行，所以 k＝－34． 又因为直线 l 过点(1，2)，
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解：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0， 得(m－2)2≠4 即 m－2≠±2， 所以当 m≠4 且 m≠0 时 l1 与 l2 相交． (2)由 A1B2－A2B1＝0 得 m＝0 或 m＝4， 当 m＝0 时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3 ＝0，此时 l1∥l2； 当 m＝4 时，两直线方程为 2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0， 此时 l1∥2． 故 m＝0 或 m＝4 时，两直线 l1∥l2． (3)由12/13(/2202)1知，直线 l1 与 l2 不可能重合．
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1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直 线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单 独讨论．
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1．已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k
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【解】 (1)k1＝12－－((－－21))＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， 因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)k1＝1，k2＝22－－11＝1，因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
题型一
题型二
题型三
题型四
方法三: 很显然直线l不为直线l2,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0, 由题意,知3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, 解得λ=11,则直线l的方程为4x+3y-6=0. 反思本题的三种方法是从三个不同的角度来考虑的.方法一是从 垂直直线的斜率关系来考虑,求出直线l的斜率和一定点坐标;方法 二是从直线l与直线l3垂直来考虑,利用垂直直线系设出方程;方法三 是从直线l过直线l1和l2的交点来考虑,利用过两条直线交点的直线 系设出方程.
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题型一
题型二
题型三
题型四
方法二 : 设直线 l 的方程为 4x+3y+m=0. 因为它过两条直线 l1 与 l2 的交点 P, ������-2������ + 4 = 0, 解方程组 得 P(0,2), ������ + ������-2 = 0, 所以 4×0+3×2+m=0, 解得 m=-6. 所以直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.
������ = -1, 得 所以直线 l1 和 l2 相交,交点坐标是(-1,-2). ������ = -2,
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断两条直线的位置关系
【例 1】 判断直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:2x-2y+3=0 的位置关系. 如果相交, 求出交点坐标.
������ = -2, ������-2������ + 1 = 0, 解:解方程组 得 1 所以直线 l1 与 l2 相交, 交 2������-2������ + 3 = 0, ������ = - , 点坐标是 -2,- 2 .