浅谈方程思想在中学数学解题中的应用
浅谈方程思想在中学数学解题中的应用
作者：郑瑶
来源：《科教导刊》2010年第03期
摘要方程思想是一种重要的数学思想,方程思想对解决实际数学问题,尤其是综合题型,非常有用。
本文将从什么是方程思想,如何运用方程思想解题,学生利用方程进行问题解决的能力培养三个方面对方程思想进行探讨。
运用方程思想解决实际问题是从现实生活到数学的一种提炼过程,其解题过程并不是一种简单的形式化的过程,抓住等量关系,将题目中的等量关系用含有未知数的式子表示出来,是方程思想的一种体现。
关键词方程思想等量关系问题解决
中图分类号:G633.6文献标识码:A
著名数学家R·柯朗60年前曾担心:“数学教学有时竟演变成空洞的解题训练,解题虽然可以提高形式推导的能力,但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。
”我国目前的数学教育就存在这样的现状,一些数学教师在授课过程中采取“知识点—典型题—解题方法”的教学模式,对一系列典型题抛给学生一套法则解题,然后实行题海战术,反复操练各类题型,使学生熟悉到“条件反射”的地步,严重束缚了学生思维发展,违背了教育最初的育人目的。
有位数学教师曾经做过测试:对同样的数学教学内容,采取不同的指导思想,分别施教于两个平行班:A班采取讲题型和解题技巧为主的讲法;B班采取分析问题来龙去脉,探究解题策略及传授相应数学思想方法的讲法。
课程结束后,A班测试成绩略高于B班测试成绩,两个月后又进行了一次测试,B班成绩人均高于A班7分!就教学过程而言,A班的讲授法重视题目的识别与记忆水平,是典型的机械教学;B班的讲授法则重视数学思想方法的传授。
就学生自我发展而言,B班的讲授法更占优势,在数学问题解决上思路更加清晰,对学生自身认知结构构建及思维能力提高起到积极作用。
由此可见,数学思想方法的学习和运用对学生学好数学的重要意义,本文则针对数学思想方法中较为重要的方程思想在中学数学解题中的应用进行探讨。
1 方程思想
所谓“方程思想”,就是从问题中的未知量入手,探求未知量和已知量之间的数量关系,通过适当设元建立相应个数的方程,解方程(组),最终达到解题目的的思维方式。
由于方程是含有未知数的等式,因此,应用方程思想解决数学问题,要经过设未知数、列方程、解方程的过程。
2 如何运用方程思想解题
2.1 运用方程思想的解题步骤
G·波利亚在《怎样解题》中提出了“怎样解题表”的四个步骤:第一,弄清问题:你必须弄清问题;第二,拟定计划:找出已知数与未知数之间的联系,如果找不出直接的联系,你可能不得不考虑辅助问题。
你应该最终得出一个求解的计划;第三,实现计划:实行你的计划;第四,回顾。
验算所得到的解。
依据“怎样解题表”的观点,将运用方程思想解决数学问题大致归结为如下四个步骤:第一,在弄清楚问题的基础上,将问题转换为一个或几个未知量;第二,寻找未知量与已知量之间的关系式,即用两个不同的式子表示同一个量,得到一个或几个方程;第三,解方程或方程组;第四,将方程或方程组的解带入原问题中进行检验,最终得到问题的正解。
下面就具体的鸡兔同笼问题进行方程思想解题的具体说明:我国古代数学名著《孙子算经》中有一著名的“鸡兔同笼”问题:今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡兔各几何?首先,这是一道简单的数学问题,根据问什么求什么的原则,我们设鸡有x只,兔有y只,我们将问题转换为求解未知量x,y的问题。
然后,我们寻求x,y与题中已知条件的关系式,我们发现用x,y表示的鸡兔的头和35构成等量关系,用x,y表示鸡兔的足与94构成等量关系,于是,我们得到方程组,我们观察到恰好有两个未知数和两个关于未知数的方程,求解方程组,得到x=23,y=12,符合题目要求,于是最终得到鸡兔的个数分别为23和12。
这就是一道具体的运用方程思想解决数学问题的实例。
2.2 运用方程思想需要注意的问题
2.2.1 如何设未知数
在解决一些数学问题时,未知数设定得当,问题解决的就简单;未知数设定不得当,问题解决的过程就会复杂,有时甚至无法解决问题。
初学利用方程思想解数学问题时由于学生关于方程思想的认知结构刚刚构建,多数问题都是“求什么设什么”,但是,随着数学学习的深入,情况就发生转变,许多数学问题重在培养学生的思维能力,就不仅仅局限于此,因此要选择适当的对象设成未知数,力求解决问题的最简化。
例如:△ABC中,∠A=90€埃螧=60€埃敲凑飧鋈切蔚娜哂?:2:的关系。
一般情况下,设一倍量为x比较简单。
2.2.2 寻求等量关系
用两个不同的等式表示同一个量,就得到一个方程,有多少个未知数就要列出多少个这样的方程。
寻求等量关系的过程中,需要根据具体情况挖掘题目中隐含的条件,也就是挖掘题目中没有明确给出,隐藏在题目中的基本概念,基本性质,定理或生活实际等。
例如:一辆汽车以每小时70公里的速度从A城市开往B城市,随后用每小时60公里的速度返回。
问它在整个行程中的平均速度是多少?
分析:平均速度=整个路程∕行驶时间。
题目只给了来和回的速度,并没有明确给出求平均速度需要的整个路程数和行驶时间数,需要我们自己挖掘隐含条件。
(下转第153页)(上接第114页)
2.2.3 构造方程解决问题
有些数学问题尤其是近些年出现的一些综合题型,其题目难度较大,运用方程思想解决问题可以简化难度,但运用这种方法并不是很直观的,对学生的思维能力有较高的要求,需要认清问题的本质,有丰富的联想能力。
例如:解方程组
分析:将方程组中的一个方程进行变形,用一个未知数表示另一个未知数,代入另一个方程,我们会发现这种循规蹈矩的解法计算繁琐。
观察这两个方程的形式,转念一想,其形状貌似一元二次方程根与系数的关系,于是,解这个方程组时根据一元二次方程根与系数关系,把方程组中x,y 看成一元二次方程z2-32z+231=0的两根。
解这个方程得z1=21,z2=11。
所以原方程组的解为。
显然,运用方程思想达到了简化题目的目的。
2.2.4 回顾检验解的合理性
解方程解出的是方程的解,与原问题并不一定吻合,需要具体情况具体解决,检验根的最终正确性。
例如:一超市以每3根16元钱的价格购进一批签字笔,又从另外一处以每4根21元钱价格购进比前一批数量加倍的签字笔,如果以每3根k元的价格全部出售可得到所投资的20%的收益,求k的值。
分析:可以设超市第一次购进x根签字笔,则第二次购进2x根签字笔。
根据题意,列出方程:(x+2x)=(x·+2x·)(1+20%),整理得:xk=,根据实际情况由于x≠0,两边除以x,得k=19,于是问题解决。
3 学生利用方程进行问题解决的能力培养
3.1 培养学生具有运用方程思想解题的意识
看起来与代数毫无关系的一些问题,其实是需要运用代数方法,列出方程解决的,发展思维能力,学习解题技巧,挖掘题目中的隐含条件,构建运用方程思想解题的意识,在学习中不断积累这种解题技巧。
3.2 培养学生正确列出方程的能力
善于挖掘题目中的隐含条件,充分利用已知条件,列出正确的方程,是解题的关键,要求学生在做题过程中培养善于观察,独立思考的能力。
3.3 培养学生运用方程思想解决问题的能力
解析几何的轨迹计算问题,一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,方程,函数,不等式等
内容,运用方程思想解题占着举足轻重的地位,应在做题的过程中培养方程思想的解题的能力。
3.4 加强发散、收敛思维训练,培养学生创新思维的能力
创新思维是运用方程思想解决数学问题创新能力的核心,没有思维的创新就没有解题的创新。
培养学生的创造性思维应该加强学生发散思维的流畅性,变通性和独创性的训练。
运用方程思想解题的关键是利用公式,定理或已知条件中的已知结论构造方程或方程组。
这种思想在代数、几何以及生活实际中有着广泛的应用。
在国内各省市中考、高考题中经常出现。
参考文献
[1]G·波利亚.刘远图译.数学的发现(第2卷)[M].呼和浩特:内蒙古人民出版社,1980:127～129.
[2]鲍曼.中学数学方法论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2002:34～39.
[3]文庆城.现代化学教学论[M].北京:科学出版社,2009:184～193.
[4]马复.中学数学思想方法初论[M].合肥:安徽教育出版社,1993:62～66.
[5]吕凤祥.中学数学解题方法[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2003:217～220.
[6]徐兆洋,李森.论中小学数学课程中的情景及其作用[J].课程.教材.教法,2010(2):62～66.。
浅谈方程思想在中学数学解题中的应用
浅谈方程思想在中学数学解题中的应用
方程思想是指以方程的形式表达问题，通过求解方程来解决问题的思想。
在中学数学解题中，方程思想是一种重要的解题思路。
1. 利用方程求解不等式。
有时候，当我们解决不等式时，可以先将不等式转化为方程，然后利用方程求解不等式，这样可以更快地解决问题。
2. 利用方程求解函数的极值。
有时候，当我们求解函数的极值时，可以先将函数的导数等于零，然后利用方程求解，这样可以更快地求解函数的极值。
3. 利用方程求解曲线的焦点。
有时候，当我们求解曲线的焦点时，可以先将曲线的二次微分等于零，然后利用方程求解，这样可以更快地求解曲线的焦点。
总之，方程思想在中学数学解题中具有重要的作用，可以使我们更快地解决问题。
数学思想在初中数学应用题中的应用分析
学模型 ，然 后通 过解 方程 或不 等式来 使 问题获 解 ，实现 函 数 与方 程 的互相 转化 、接轨 ，达 到解 决 问题 的 目的。笛 卡
ｘ ＋ｙ ＝５ ． ８￣ ｙ ＝５ ． ８一 ｘ ｙ ＝３ｘ ＋Ｏ ． ６一 ｙ ＝３ ｘ＋０： ６
问题 中 的条件 转化 为方 程 、不等 式或 它们 的混 合 组 ，通 过
通过 作 出两 个 一 次 函数 的 图象 ，然 后 取 其 图 象 的交
解方程（ 组） 、 不等 式 （ 组） 或 其 混 合组 使 问题 获解 。包括 待 点 ，得 出结论 。 从 以上 几个 小例 子可 以观 察 出，方 程与 函数 的思想 在 定 系 数法 、换 元法 、转 换法和 构 造方 程法 四个 方面 。 例１ ：
并结合具体数 学实例说 明方程 函数 思想中的应 用。
答 。本题 的设置 是 旨在培 养学 生 的思维 定性 ，培养 方程 函 数 相 结合 的思想 。 ，
解 法 一 ：设 生产 运 营用 水Ｘ 亿 立方 米 ， 则居 民家 庭 用 水（ ５ ． Ｓ － ｘ ） 亿 立方米 ， 依题意 ，可 得 ５ ． ８ ． ｘ ＝ ３ ｘ ． ０ ． ６ 解 得ｘ ＝ １ ． ３ ５ ． ８ ． ｘ ＝ ４ ． ５ 答 ： 生产 经 营 用水 为 １ Ｉ ３ 亿 立 方米 ，而 居 民家 庭 用 水
教 学 实 践 】
数 学思想在初 中数 学应 用题 中的应 用分析
浅谈中考解题中数学思想的运用
２ 数形 结 合 思 想
著 名 数 学家 华 罗庚 先 生 说 ： 数 与 形 ， “ 本 分 利 用 函 数 的 概 念 、 图像 和 性 质 去 观 察 分 是 相 倚 依 ， 能 分 作 两 边 飞 ， 缺 形 时 少 直 析 并 建 立 相 应 的 函数 模 型 解 决 问 题 。 怎 数 说 ， 少数时难 入微 ， 形 结合百般 好 ， 形 数 隔 离 分 家 万 事 休 。 这 充 分 说 明 了数 形 结 合 思 ５ 整 体 思 想 ” 想 在 数 学 中的 重 要 性 。 形 结 合 思 想 ， 以 数 可 研 究 某 些 数 学 问 题 时 ， 往 不 是 以 问 往
［】刘 亦 春 ． 学 思 想 方 法 探 析 ［］ 济 南 职 １ 数 Ｊ． 业 学 院学 报 ， ０ ９４ ： ２ ４ ２ ０ （ ） ７ ～７ ．
中国科教创新导 刊
Ｃｈｎ Ｅ ｕ ａｔｏ Ｉｎ ｖ ｔｏ Ｈ ｒ ｌ ｉａ ｄ ｃ ｉｎ ｎ ｏ ａ ｉｎ ｅ ａｄ
９ ３
１ 转 化与化归思想
前 苏 联 数 学 家 雅 诺 夫 斯 卡 亚 在 回答 解
题 意 味 着 什 么 时 说 ： 解 题 ——就 是 意 味 着 “ 把 所 有要 解 决 的 问题 转化 为 已经 解 过 的 问 题 。 面 对 一 个 新 的 问题 ， 何 利 用 已 有 的 ” 如 知 识去 求解 。 对 一 个 抽 象 的 问题 ， 何 将 面 如 其形象化 、 体化 ， 就需要 转化 。 具 这 例 １ （０ ９ 福建 泉 州） ：２ ０ 年 在直 角坐标 系 中， 点Ａ（， ） 原点０ 对称点 为点 Ｃ 图 １。 ５ ０关于 的 （ ） （） １ 请直 接 穹 出 点 Ｃ 坐 标 ； 的 （） 点Ｂ ２ 若 在第 一象限 内 ， Ｏ Ｂ Ｏ Ａ， Ａ ＝ Ｂ 并且 点Ｂ关 于原 点Ｏ的对 称 点为 点 Ｄ。 ①试 判 断 四 边 形 Ａ Ｄ的形 状 ， 说 明 ＢＣ 并 理 由 ； 现 有 一 动 点 Ｐ从 Ｂ点 出发 ， 路 线 ② 沿 Ｂ Ａ— ＡＤ以每 秒 １ 单位 长 的速 度 向终 点 Ｄ 个 运 动 ， 一 动 点 Ｑ Ａ点 同时 出发 ， Ａｃ 另 从 沿 方 向 以 每 秒 ０ ４ 单 位 长 的 速 度 向 终 点 ｃ运 ．个 动， 当其 中一 个 动 点 到 达 终 点 时 ， 一 个 动 另 点也 随之 停 止 运动 ． 已知 ＡＢ＝６ 设 点Ｐ、 ， Ｑ的 运 动 时 间为 ｔ ， 运 动 过 程 中 ， 秒 在 当动 点 Ｑ在 以ＰＡ为 直 径 的 圆上 时 ， 求 ｔ 试 的值 。 解 ：１ｃ 一 ， ） （ ） （ ５ ０ （ ） 四边 形 ＡＢＣＤ为 矩 形 ， 由如 下 ： ２① 理 如 图 ， 已知 可 得 ： Ｏ、 在 同 一直 线 由 Ａ、 ｃ 上 ， ０Ａ＝ＯＣ； Ｏ、 且 Ｂ、 Ｄ在 同 一 直 线 上 ， 且 ＯＢ＝ＯＤ，‘四 边 形ＡＢＣＤ是 平 行 四 边 形 。 ． ． ’ ０ ＡＢ＝ Ｏ ＢＡ ，． Ｏ Ａ＝ ＯＢ ， ‘ ． 即
方程思想在初中几何中的运用
方程思想在初中几何中的运用作者：吴春红来源：《天津教育·中》2020年第12期【摘要】初中阶段所涉及的各种知识点中都有方程思想的影子，方程思想从本质上说是一种同代数相关的思想，因此部分几何问题似乎同方程思想没有联系，不过在解决这类问题的过程中人们往往发现没有方程思想的参与是行不通的。
所以，教师应培养学生掌握问题中“隐形”条件并借助此类条件对数学问题加以解决的能力，也就是要培养学生将方程思想运用于各类数学问题解决的能力。
本文就方程思想在初中几何中的运用做了一点探索。
【关键词】方程思想;几何;运用中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：0493-2099（2020）35-0141-02The Application of Equation Thought in Junior Middle School Geometry（Xiting Junior High School， Tongzhou District， Nantong City， Jiangsu Province，China）WU Chunhong【Abstract】The various knowledge points involved in the junior high school stage have the shadow of equation thinking. Equation thinking is essentially a kind of algebra-related thinking.Therefore， some geometric problems seem to have no connection with equation thinking， but they are solving such problems. In the process， people often find that the participation without equation thought is not feasible. Therefore， teachers should cultivate students' ability to master the "invisible" conditions in problems and use such conditions to solve mathematical problems， that is， to cultivate students' ability to apply equation thinking to solving various mathematical problems. This article does a little exploration on the application of equation thinking in junior high school geometry.【Keywords】Thoughts of equation;Geometry; Application一、初中几何知识概况在初中数学学科中，方程思想是始终涉及其中的，初中阶段几何教学中的知识点主要涉及针对三角形、圆形以及四边形的求解。
浅谈数学思想在解题中的运用
一
汹个 ，从『 ＋ 疗 ， ） 在区 问（， 内不 可能有两 个不同的实根 。 得 程 ’ ＝０ （ Ｏ） １
点 评 ： 的 同 学 看 见 这个 题 可 能 感 觉 到 无 从 下 手 ， 时 我 们 接 触 最 多 有 平 的是 处 理 二 次 方程 根 的 问题 ， 这 里 出 现 的 却 是 三 次 方 程 ， 是 我 们 可 以 而 于 考 虑 是 否 可 以 将 问题 转化 为 一些 我 们 熟 悉 的 问 题 。 由证 明 的 过 程 可 知 ， 我 们 将 寻 求 方程 根 的 问题 转 化 成 了寻 求 函数 单 调 区 间 ， 根 据 函数 在 区 间 端 再 点 处 的 值 的 具体 情 况 来 确 定 方 程 的 根 的 情 况 。 这 样 就 使 得 问 题 的 处 理 变 得 简 单 和 明 朗 了许 多 。
实数以后 ， 实数和数轴上 的点是一一 对应 的， 即每一 个实数 都可用 数轴上 的一个 点来表 示。反过来数轴上的每一个点都表示（ 下转第 ２ ５页）
５ ０３ ２ １ ０ ／ ０１
黟 零 簪 警 博
浅 析 班 主 任 工 作 评 价 的 问 题 与 对 策
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（ 河北省唐【Ｊ Ｉ 市乐亭 县马头营镇北 港小学 ）
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所 以
数学思想在初中数学解题中的应用
数学思想在初中数学解题中的应用摘要：教育改革之后，引导学生掌握自主学习方法，成为现代教育的重要目标，同时也在一定程度上影响着课堂教学模式的调整，杜绝机械化的教学模式，激发学生的主动性至关重要。
因此初中数学教学过程中，为了切实提高学生关于数学题目的解题能力，有必要引导学生掌握数学思想方法，通过思想方法的灵活应用降低数学题目的难度，维持学生对于该学科的学习兴趣，从而促使学生更加积极主动的学习数学，因此本文重点分析数学思想在初中数学解题中的应用路径。
关键词：初中数学；数学思想方法；教学意义；教学策略数学思想方法在数学题目解答过程中所发挥的作用不可替代，对于学生而言不仅需要掌握正确的学习方法，同时还需要拥有良好的思考习惯，而这些都离不开数学思想方法的支持，由于初中阶段的数学学习难度相对较大，会涉及到较大的题型变化情况，因此要求学生能够灵活应用数学知识，同时掌握各种数学思想方法，在思想方法的引导下顺利解题。
一、数学思想方法的应用方向（一）提升学生数学素养在面对数学题目时，学生不仅需要拥有扎实的数学基础知识储备，同时还需要具备一定的数学思维能力，才能够做到在不同类型的题目中进行关键信息的抽丝拨茧，最终获得正确的解题方法。
这对于初中学生的数学素养提出了较高要求，如果单纯地依靠教师的单方面知识传授，显然难以取得良好的数学素养，培养效果很有可能导致学生的思维定式，无法在解题时做到各种数学思想方法的灵活应用。
此时学生只能够解决一些常规的数学问题，一旦出现较大的题型变化，则很难应对。
受到近几年教育体制改革的影响，对于学生的主动思考和自主思维的关注不断提升，因此数学题型的变化也越发的频繁。
故此在今后的数学教学过程中，就应当引导学生开拓思维，跳脱书本和教材固有知识内容的局限性，进一步锻炼学生思维的敏捷性以及准确性，故此将数学思想方法引入到日常学习过程中，就写得十分必要，不仅能够帮助学生更好的应对各种题型变化，同时也能够丰富学生的思维宽度。
在初中数学教学中方程函数思想的运用
在初中数学教学中方程函数思想的运用作者：刘昭慧来源：《数理化学习·教育理论版》2013年第04期摘要：在初中数学教学中，方程与函数是十分基础且重要的内容.方程函数思想的灵活运用，能够将数学问题化繁为简，令我们的解题思路清晰明了，迅速找到正确合理的解题方法.本文就方程函数思想在初中数学教学中的运用，提出作者肤浅的见解，以期与广大同行交流沟通.关键词：初中数学；方程函数思想；概念；运用一、方程函数思想的概念所谓方程思想，是指以问题的数量关系为切入点，利用题目中所提供的已知条件，通过数学语言，将问题转化为方程（组）、不等式（组）或者方程与不等式的混合组等来求解的方法；所谓函数思想，是指通过构造一次函数、反比例函数、二次函数等来求解的方法.方程与函数虽然是两个不同的概念，但是在具体的解题过程中，二者相互渗透，相辅相成，在一定条件下还可以相互转化.因此，在一般情况下，我们把这两种思想统一起来，称为方程函数思想.二、方程函数思想在初中数学教学中的运用（一）方程函数思想的形成在数学教学中，我们要从以下几个方面入手，帮助学生形成方程函数思想：1. 夯实基础，提高认识在日常教学中，要重视学生对基础知识的掌握，只有将方程、函数、不等式等的性质与用法烂熟于心，才能在具体的解题过程中对其灵活运用，综合把握.2. 提高方程函数思想意识要在日常教学与练习中，着重培养学生运用数学方法去挖掘题目中的隐含条件，进而构建方程或函数的能力.帮助他们在形成解题技巧的同时，提高自身的观察能力、逻辑思维能力和发散思维能力.3. 培养学生创新思维能力数学是十分灵活多变的一门学科，只有不断提高学生的创新思维能力，才能做到触类旁通，举一反三，将公式、定理和已知条件做到活学活用.（二）方程函数思想在初中数学教学中的具体应用下面我们通过一些实例，来具体分析方程函数思想在初中数学教学中的运用.1.利用方程或方程组解题例1现有一“鸡兔同笼”问题，从上面数，有头35个，从下面数，有脚94只，请问笼中有鸡和兔各多少只？解析：要解决这一问题，需要根据已知条件寻求数量上的隐含关系.本题可以用方程或方程组来解决.解法1：假设有鸡x只，则有兔35-x只，得出方程：2x+（35-x）×4=94.解法2：假设有鸡x只，有兔y只，得出方程组：x+y=35；2x+4y=94通过求解方程或者方程组，可以得出有鸡23只，有兔12只.（二）利用函数解题例2赵强拥有一家玩具熊销售公司.他所销售的玩具熊每件进价20元，在销售过程中赵强摸索出每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以用一次函数：y=-10x+500来表示.假设赵强每月的销售利润为M（元），试问每件玩具熊的定价为多少元时，他可获得最大利润？解析：根据题目中所给条件，我们可以得出一个二次函数，通过求解二次函数，可以得到答案.解法：M-（x-20）×y=（x-20）×（-10x+500）=-10x2+700x-10000，x=-b/2a=35.由此得出答案，定价应为35元时，赵强可获得最高利润.（三）利用函数与不等式解题例3接例题2，根据相关规定，赵强所经营的这一类玩具熊每个单价不得超过32元，如果赵强每月想获得不低于2000元的利润，那么每月成本最低需要多少钱？分析：根据已知条件和问题，我们发现，解决这一问题需要利用到一次函数、二次函数和不等式性质三个知识点相结合.解法：因为a=-10（四）利用函数与方程相转化的方法解题在上文中我们提到，在一定条件下，函数与方程可以相互转换.在一些时候，从函数的角度看方程，或者用方程的观点看函数，也能使解题达到事半功倍的效果.例4k取何值时，能令方程x2-3x+k的根一个大于1，一个小于1？分析：从表面上看，这是一个方程问题，然而，如果我们能利用函数的性质来解题，采取数形结合的方法，则可以从很大程度上简化解题过程.解法：由已知条件我们可以将方程x2-3x+k的根看成是使函数y=x2-3x+k=0的值为0的自变量的值，也就是说抛物线与x轴的交点.根据所画抛物线可知，抛物线开口向上，那么当x=1，y总之，在新课程标准指导下的初中数学教学，已经不仅仅满足于教给学生定理、公式及其简单用法的层面，而是要在夯实基础知识的同时，培养学生的逻辑思维能力、发散思维能力和创造力，以及他们运用课堂所学的数学知识，解决生活中实际问题的能力.方程函数思想在初中数学教学中的应用，正是按照新课标的这一要求，让学生在掌握数学知识的同时，对知识能够抽象分析、综合运用，灵活掌握，做到举一反三、游刃有余.[江西省九江市第三中学（332000）]。
第7讲-方程与函数思想在初中数学中的应用
第7讲：函数与方程思想【写在前面】方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容． 【典型例题】【例1】 如图：在△ABC 中，BA=BC=20 cm ，AC=30 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒4 cm 的速度向点B 运动；同时Q 点从C 点出发，沿CA 以每秒3 cm 的速度向点A 运动．设运动的时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ ∥BC? (2)△APQ 能否与△CQB 相似?(3)若能．求出AP 的长；若不能．请说明理由．【解】(1)根据题意AP=4xcm ，AQ=A C －QC=(30－30x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AQAB AC=． 则43032030x x -=，解得103x =．所以当103x =s 时，PQ ∥BC ． (2)因为∠A=∠C ，所以当AP AQ CQ CB =或AP AQCB CQ=时，△APQ 能与△CQB 棚以． ①当AP AQCQ CB=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当AP AQCB CQ=时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20． 所以当409AP =cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似． 【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元． (1)求y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x 2+bx ，得2426a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2+x (2)设y ′=33x －100－x 2－x ，则y ′=－x 2+32x －100=－(x －16) 2+156．由于当1≤x ≤16时，y ′随x 的增大而增大，且当x=1、2、3时，y ′的值均小于0，当x=4时，y ′=－12 2+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本． 【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第1年到第x 年的维修、保养费用总和．【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：(一)每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以医院的收据为准)，年底按下列办法处理．设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y=________；当b<x ≤5000时，y=_______(用含a 、b 、c 、x 的代数式表示) (2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元．(3)下表是小强同学一家2006年治疗花费的医疗费用：请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．【解】(1)a a+(x－b)c％(2)假设b≤40，则()()()4030(1)9050(2)15080(3) a b ca b ca b c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x≤50时，y=30；当50<x≤5000时，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承担医疗费为2505元；(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．【综合训练】1．如果关于x的方程3211axx x=-+-无解，则a的值为__________．2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A重合，可与点C重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出y的取值范围．4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；(1)求S关于x的函数关系式；(2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；(3)鸡场的面积能否达到50 m2?若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．5．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．6．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?7．已知，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y≤－m+3?8．已知：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若关于x 的方程x 2－2(b+c)x+2bc+a 2=0有两个相等的实数根，且△ABC 的面积为8，a = (1)试判断△ABC 的形状并求b 、c 的长；(2)若点P 为线段AB 边上的一个动点，PQ ∥AC 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点B 与线段MN 不在线段PQ 的同侧，设正方形PQMN 与△ABC 的公共部分的面积为S ，BP 的长为x ．①试写出S 与x 之间的函数关系式； ②当P 点运动到何处时，S 的值为3．9．(02镇江)已知抛物线y=a x 2+bx+c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求此抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线． (2)若点(x 0，y 0)在抛物线上，且0≤x 0≤4，试写出y 0的取值范围．(3)设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P(点P 能与点M 重合，不能与点B 重合)，交x 轴于点Q ，四边形AQPC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．②求S 取得最大值时，点P 的坐标．③设四边形OBMC 的面积为S ′，判断是否存在点P ，使得S=S ′． 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知动点P(2m －1，－2m+3)和反比例函数ky x=(k<0)． (1)若对一切实数m ，动点P 始终在一条直线l 上，试求l 的解析式．(2)设O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，与反比例函数的图象相交于A ，B 两点(点A 在第四象限)．①证明：△OAM ≌△OBN ；②如果△AOB 的面积为6，求反比例函数解析式．【参考答案】1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x =-+ (2)955y ≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x 2+24x(x ≥4)； （2）－3x 2+24x=45，解得：x 1=3(舍去)，x 2=5，∴鸡场的宽AB 的长为5米．(3)－3x 2+24x=50，3x 2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡场的面积不能达到50米2．5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q 1=kt+b ，则406910b k b =⎧⎨=+⎩， 2.940k b =⎧∴⎨=⎩，∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用．6．(1)30 120 (2)135 607．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2m>0，∴ (m+2) 2>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 1=1，222x m =+，∴ 2122y x x m=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2y m=和y=－m+3的图象，观察图象得： 当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2+4x 3． 9．(1)y=－x 2+2x+3，M(1，4)，图略． (2)－5≤y 0≤4 (3)①29322t S t =-++(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭， ③不存在．15'2S =，若S=S ′， 则29315222t t -++=，整理得29602t t -+=．812404∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．(2)①解方程组2k y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2－2x+k=0，解得1A x =1B x =1A y =1B y =OA =OB =．∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OA M ≌△OBN ． ②26AOBMONAPMSSS=+=，又12222MO NS=⨯⨯=，2AOMS∴=，代入得：(1122⨯-⨯3=，∴k=－8，∴反比例函数的解析式为8y x=-．。
运用方程思想解应用题的难点分析及教学策略
课堂艺术运用方程思想解应用题的难点分析及教学策略■王铭韦宏贲春丽摘要：在中学数学学习中，运用方程思想解应用题是七年级学生必须掌握的重点内容，也是七年级学生数学学习难点。
七年级学生从小学阶段升入初中阶段，抽象思维能力、推理演绎能力还不能很好适应此时期的要求，导致学生运用方程思想解题时出现一些困难。
本文对七年级学生用方程思想解题的难点进行分析并提出一些操作性、针对性较强的教学策略，帮助学生扎实基础知识、排除障碍且树立解题信心。
关键词：七年级学生；方程思想；教学策略前言：笛卡尔认为：任何问题都能用数学视角来看待，任何数学问题又都可转化为代数问题，而任何代数问题都可运用方程问题解决。
可见方程地位在数学学习中举足轻重。
方程是研究现实世界中的等量关系，而方程思想是以捕捉具体问题中已知量与未知量之间的关系为切入点，将问题中有效信息代之以数学模型，通过模型对比找到相应的数量关系进而列出方程，然后通过解方程（组）或不等式（组）解决问题的一种重要数学思想，它将抽象问题化难为易，是学生进一步学习函数与方程思想结合的三角函数、解析几何等实际问题的重要基础。
波利亚曾说过：“掌握数学这一门学科就意味着要先掌握解题方法，变得善于解题。
”善于解题的前提是能将数学思想方法在头脑中灵活运用、融会贯通。
如果说“知识”是基石，那么“方法”就是手段，“思想”便是升华与深化。
波利亚很重视培养学生的数学能力，而要想提高学生的数学能力，数学思想的掌握便是关键。
方程思想是使方程知识转化为学生解应用题能力的转折点，是学习方程知识“活的灵魂”。
小学数学课程标准要求学生能识别难度较小的数量关系后用方程语言表示，并求出方程的解。
到了初中，数学新课程标准要求学生要形成能够在较为复杂的具体问题中根据数量关系准确找到等量关系，进而将方程列出的数学能力。
在教学中使学生深刻领会到方程是描绘客观世界中数量关系的重要模型。
因此，方程思想在七年级学生数学学习中有着承上启下的关键作用。
浅议函数与方程思想在解题中的运用
线对称轴 ｚ 一一 为 Ｙ轴 ， 再结合 特殊点位 置 ＝０时 ，
厶“
ｌ ｃ 一
＞ｏ ， 可轻松建立方程组求解 ． 即
Ｖ＂ 一 联合求 解
Ｉ 一３ ＞ Ｏ
即可． 该 题在 求解 过程 中首选 根据 抛物线 特征参 数 ， 亦 即对 称轴方程确定关于 的方程式 ， 再结合抛 物线定点 特征 ， 限定 ７ ／ ＇ １ 的取值范 围 ， 通过 二者之 间的制约关 系， 建
出未知数 的值． 两 者结 合 的 思想 关 键 就是 找 出相 等关 系， 建立 变量 之 间的等量 关系 ， 这 是轻 松求解 函数 问题 的基础 ， 可 以使数学 问题变得简洁 、 清晰． 通常情况下 ， 函数与方程思想 的应用 涉及方 程组 的 求解 ， 此类题 目的一般解题步骤 是尽可 能挖掘题 目所含 条件 ， 根据上 文 所 提 到 的函数 和 方 程所 具 备 的基 本 元 素， 限定 特征 方程解 析式 对应 的等式 条件 ， 将互相 制 约 的各个 方程联 立起 来 ， 构 建具有 共解 的方程 组 ， 以下实 例具 体说明．
图（ ａ ） 图（ ｂ ） 图（ ｃ ） 图（ ｄ ）
从 以上基本知识 的梳 理 中可 以看 出 ， 构建数学 模 型 是对简单 函数知识深刻理解 的有 效途径 ， 通过对关 键 系 数的分类思考 ， 可 以全 面掌握 函数 思想在解 题过 程 中所 具 备的基本要素 ， 实 际题 目中涉及 的 函数 知识点 往往 围 绕 以上关键 系数 展开 ． 因此 学会 采用数 学模 型方 法 ， 以 数 形结合的方式巩 固基本 知识 ， 是熟 练掌 握 函数 求解 题 目首先要 挖掘 隐含条 件． 构 建 方程 的首要任务是 寻找题 目中的等量关 系． 设想在题 目 所给条 件 下 ， 存 在一个类 似 方程式 的等式 ， 其 中包括 若 干未 知量 和 已知量． 能否顺 利应用 函数 与方 程思想 ， 取 决于 寻找方 程所 需要 的对 等条件． 任何 方程 的求解 ， 可 以视 为是对 函数 值为 ０时 的 自变 量方程 求解． 比如 ， 一 元一次方程 忌 ＋６ —０可 以看 做是 一志 ＋ｂ的函数 值 为 ０时 ， 自变量 ｚ的表 达式． 方程 思想 的应 用在 一定 程 度上拓宽 了解题思维 ， 使得对 方程式 的求解更 加形象 具 体， 某 种意义 上赋 予 了一定 的数学 含义 ， 对 学生来 说更 加具 有启发性．