平面汇交力系合成的解析法
平面汇交力系的合成与平衡
tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
知识点2：平面力系
知识点2：平面力系一、平面汇交力系的合成与平衡的几何法(1)平面汇交力系的合成用力多边形法则，合力的大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和，即∑=+++=F F F F F n R 21(2)平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
即0==∑F F R二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法1．力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1所示，它是一标量，即θcos F F x =； θβs i n c o s F F y == （2-1）图2-1 图2-22．力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形公理。
如图2-2所示。
力沿坐标轴分解的分力的大小为xyxyx)sin(sin βθβ+=F F x ； )s i n (s i nβθθ+=F F y（2-2）由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。
当2πβθ=+时，在同一坐标上分力的大小和投影相等，如图2-3所示。
（a ）（b ）图2-33．合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即∑=x Rx F F ； ∑=y Ry F F（2-3）当投影轴x 与y 垂直时，其合力的大小与方向为22RyRx R F F F +=，R RxR F F =),cos(i F ，RRy R F F =),cos(j F （2-4）4．平面汇交力系的合成当两坐标轴间的夹角为2π时有2222)()(∑∑+=+=y x Ry Rx R F F F F F（2-5）RxR F F∑=),cos(i F ，RyR F F∑=),cos(j F5．平面汇交力系的平衡 由几何法知0=R F代入前面的代数表达式有0)()(2222=+=+=∑∑y x Ry Rx R F F F F Fx F y即0=∑xF；0=∑yF（2-6）平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
2-2平面汇交力系合成的解析法
一、力的分解
将一个力分解为两个分力的过程称为力的分解。
力的分解是力的合成的逆运算。 我们常把已知力分解成两个方向互相垂直的分力。
力的分解：
y
Fy
F
F x F co sθ
O
F y F sin
Fx
x
二、力在坐标轴上的投影
y
B
b´
Fy
F
Fx
a´
F
F F
2 x
2 y
Fy tan Fx
Байду номын сангаас
式中， 为力F与 x轴的夹角。
例2-1 如下图所示，已知F1=10KN， F2=20KN，F3=30KN，F4=40KN，求图示中 各力的投影。
y
F1 F2 O F3 F4 x
三、平面汇交力系合成的解析法
各力在x 轴上投影：
F1x ab F2 x bc F3 x dc
Fy
F F sin 30 F sin 60 F sin 45 F sin 45 112.3N iy 1 2 3 4
F Fx2 Fy2 171.3N
Fy tan 0.869 Fx
Fy arctan arctan 0.869 41 Fx
Fix Fiy
故合力的大小和方向为：
FR Fx Fy
2 2
Fy tan Fx
F F Fy F
2 ix iy
2
x
式中， 为力F与x轴的夹角。
求：此力系的合力. 例2-2 已知：图示平面共点力系；
解：用解析法
Fx
2016工程力学（高教版）教案：2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法求解平面汇交力系问题的几何法，具有直观简捷的优点，但是作图时的误差难以避免。
因此，工程中多用解析法来求解力系的合成和平衡问题。
解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。
一、在坐标轴上的投影如图2－5所示，设力F 作用于刚体上的A 点，在力作用的平面内建立坐标系oxy ，由力F 的起点和终点分别向x 轴作垂线，得垂足a 1和b 1，则线段a 1b 1冠以相应的正负号称为力F 在x 轴上的投影，用X 表示。
即X=±a 1b 1；同理，力F 在y 轴上的投影用Y 表示，即Y=±a 2b 2。
力在坐标轴上的投影是代数量，正负号规定：力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影取正号，反之取负号。
投影与力的大小及方向有关，即⎭⎬⎫=±==±=βαcos cos F ab Y F ab X （2－3） 式中α、β分别为F 与X 、Y 轴正向所夹的锐角。
图2－5反之，若已知力F 在坐标轴上的投影X 、Y ，则该力的大小及方向余弦为⎪⎭⎪⎬⎫=+=F X Y X F αcos 22 （2－4） 应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。
投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。
另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。
二、合力投影定理设一平面汇交力系由F 1、F 2、F 3和F 4作用于刚体上，其力的多边形abcde 如图2－6所示，封闭边ae 表示该力系的合力矢F R ，在力的多边形所在平面内取一坐标系oxy ，将所有的力矢都投影到x 轴和y 轴上。
得X=a 1e 1, X 1=a 1b 1, X 2=b 1c 1，X 3=c 1d 1 ,X 4=d 1e 1由图2－6可知a 1e 1=a 1b 1+b 1c 1+c 1d 1 +d 1e 1即 X=X 1+X 2+X 3+X 4同理 Y=Y 1+Y 2+Y 3+Y 4将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得⎭⎬⎫∑=+++=∑=+++=Y Yn Y Y Y X Xn X X X 2121 （2－5）图2－6即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
2-1.2平面汇交力系(解析法)
y
600 150 300
B B T E
300 150 0 BC 15 300
C D
x TBD=G
A
TBD
FAB
G
E
• 解题步骤： ①确定研究对象，作研究对象的受力图； ②选定坐标系； ③列平衡方程并求解。 • 指向假设的未知力，若按平衡方程求得 正值，说明其实际方向与假设的相同； 若为负值，则说明其实际方向与假设的 相反，但不需要改变受力图中的指向。
2 x 2 y 2 2
合力R的方向为： Ry 16.65 t an Rx 41.16
16.65 arctan arctan 21.79 Rx 41.16 Ry
由于 Rx ＞0， ＞0，故α在第一象 限，而合力R的作用线通过汇交力系的汇 交点。
Ry
二、平面汇交力系的平衡
TBD=G
A
TBD
FAB G
E
解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解： X= 0 Y= 0 - TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0 - TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0 FAB = 45 kN TBC = 9.65 kN
如下图，在直角三角形中a为角A的对边 b为角A的邻边 c为三角形的斜边
B c a ┌ A b C
回顾与思考 1
锐角三角函数定义
正弦,余弦,
B
a sin A , c b cos A , c
b sin B , c a cos B , c
c
a
A b ┌ C
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系平面汇交力系是指由多个力合成的力系统，其中力的作用面都在同一个平面上，力的合成规律可以通过解析法来求解。
解析法是一种通过数学分析和计算来得到力的合成结果的方法，通过解析法可以求出力的合成结果及合力的大小、方向和作用点位置。
我们需要明确力的合成规律。
在同一平面上的两个力可以用平行四边形法则进行合成，即将两个力按照大小和方向画在同一起点上，然后用平行四边形法则找到它们的合力。
如果有多个力需要合成，可以依次两两合成，直至所有力都合成为一力，这个合力即为平面汇交力系的结果。
接下来，我们以一个具体的例子来说明解析法求解平面汇交力系的过程。
假设有三个力F1、F2和F3，它们的大小、方向和作用点位置分别为100N、30°、点A；80N、150°、点B；120N、270°、点C。
我们要求解这三个力的合力大小、方向和作用点位置。
我们可以使用三角函数将每个力分解为水平方向和垂直方向的分力。
以F1为例，它的水平分力F1x = F1 * cos(30°) = 100N * cos(30°) ≈ 86.6N，垂直分力F1y = F1 * sin(30°) = 100N * sin(30°) ≈ 50N。
同样地，我们可以求得F2和F3的水平和垂直分力。
接下来，我们对水平分力和垂直分力分别进行合成。
水平分力的合力Fx= F1x + F2x + F3x ≈ 86.6N + (-71.6N) + 0N ≈ 15N，垂直分力的合力Fy = F1y + F2y + F3y ≈ 50N + (-69.3N) + (-120N) ≈ -139.3N。
我们可以利用合力的水平和垂直分力来求解合力的大小和方向。
合力的大小F =√(Fx^2 + Fy^2) ≈ √(15N^2 + 139.3N^2) ≈ 140N，合力的方向θ = arctan(Fy/Fx) ≈ arctan(-139.3N/15N) ≈ -81.8°。
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R
形法则，可将其两两合成，最终
形成一个合力R ，由此可得结论 如下：
1、平面汇交力系的合成结果是一个合力R；
2、平面汇交力系的几何平衡条件是合力： R = 0
平面汇交力系的合成与平衡（解析法） 力在坐标轴上的投影可根据下式计算：
y
Fx Fy
x
Fx F cos
Fy - F sin
从而得平面汇交力系的（解析）平衡条件为：
X 0
y0
上式的含义为： 所有 X 方向上的力的总和必须等于零，所 有 y 方向上的力的总和必须等于零。
运用平衡条件求解未知力的步骤为：
1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力
图；
2、由平衡条件建立平衡方程；
3、由平衡方程求解未知力。
实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的 力为正。即水平力向右为正，垂直力向上为正。
例1 图示三角支架，求两杆所受的力。
解：取B节点为研究对象，画受力图
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
NBC sin300 P 0
解得： N BC 2P 60KN 负号表示假设的指向与真实指向相反。 由 ∑X = 0 ，建立平衡方程： NBA NBC
NBC cos300 NBA 0 3 解得： N BA N BC (60) 0.866 52KN 2
合力： R
F2 F1 a b c x
R Rx 2 Ry
tan Ry Rx
2
X Y
2
2
合力的投影 y
Y X
Rx
Ry
R
x
表示合力R与 x轴所夹的锐角， 合力的指向由∑X、∑Y的符号判定。
当物体处于平衡状态时，平面汇交力系的合力R必
须为零，即：
2 2 R Rx Ry ( X ) 2 ( y ) 2 0
第三节
平面汇交力系
教学目标：
1、掌握平面汇交力系合成的解析法 2、牢固掌握平面汇交力系的平衡条件、平衡方程 3、会用平衡方程解决力学问题
重 点
1、平面汇交力系合成的解析法
2、平衡方程的应用
难 点
1、平面汇交力系合成的解析法 2、平衡方程的灵活应用
一、平面汇交力系的合成
平面汇交力系是简单力系，是研究复杂力系的基础。平面汇 交力系的合成有两种方法。 1、几何法—用力的三角形法则或力的多边形法制求合力的方 法，是一种定性的粗略的计算方法 （1）两个汇交力的合成
P
二、平面汇交力系的平衡 平衡的充分必要条件—合力为零 R=∑F=0 1、几何法表示平衡条件（几何条件）—力的多边形自行封闭 2、解析法表示平衡条件（解析条件）— ∑X=0 ∑Y=0 平衡方程
解析条件可以表诉为：力系中各力在两个坐标轴上的投影的代数 和为零。 利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中的未知力的指向可以任 意假设 。 用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤： 1）选取研究对象 2）画研究对象的受力图 3）选投影轴，建立平衡方程 用解析法求解平面汇交力系平衡问题的技巧： 坐标轴尽量与未知力的作用线平行或垂直
2. 多个共点力的合成
R
F2
O
R
F1
O
F5 F1 F3
F4
O
F2 F1
F5
F3
F4 F2
R
O
F1
d) 力多边形
a) 平行四边形法则
b) 力三角形
c) 汇交力系
用几何法求汇交力系合力时，应注意分力首尾相接， 合力是从第一力的箭尾指向最后一力的箭头。
平面汇交力系的合成与平衡（几何法）
设任意的力F1、F2、F3、F4 的作用线汇交于A 点，构成一个 平面汇交力系。由力的平行四边
y
当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出力 F 的 Fx 大小和方向： α y Fy 2 2
F Fx Fy
tg
Fy FX
F x
x
合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于它的ห้องสมุดไป่ตู้分力在 同一轴上的投影的代数和。
（2）合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分
力在该轴上之投影的代数和。 由合力投影定理有： Rx=X1+X2+…+Xn=X ac-bc=ab Ry=Y1+Y2+…+Yn=Y