机器人运动学-拉格朗日方程 第9讲 动力学分析和力共15页文档
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理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
四足机器人动力学建模拉格朗日动力学
四足机器人动力学建模：拉格朗日动力学引言在机器人领域中，四足机器人是一种常见的机器人类型。
它们具有四条腿和能够模拟和模仿动物行走的能力。
为了实现自主步行和平稳运动，我们需要对四足机器人的动力学进行建模和分析。
本文将介绍使用拉格朗日动力学方法对四足机器人进行建模的过程和步骤。
拉格朗日动力学简介拉格朗日动力学是一种描述系统动力学行为的方法。
它基于拉格朗日原理，通过最小化系统的运动方程，求解系统中的广义坐标和约束力。
在机器人动力学中，拉格朗日动力学方法被广泛应用于建模和控制。
四足机器人动力学建模步态与坐标系在进行四足机器人动力学建模之前，首先需要确定机器人的步态和坐标系。
通常，四足机器人的步态可以分为步行和跑步两种模式。
对于步行模式，机器人的步态可以简化为前后左右四个联系稳定的点。
在这种情况下，机器人的坐标系可以选择为正前方为x轴正方向，右侧为y轴正方向，地面为z轴正方向。
运动学分析在进行动力学建模之前，需要进行机器人的运动学分析。
运动学分析可以得到机器人各个关节的位置、速度和加速度信息。
这些信息对于后续的动力学建模非常重要。
动力学建模操作要素在进行动力学建模之前，需要确定机器人系统的操作要素。
这些要素包括机器人的质量、惯性、关节约束等。
通过对这些要素的分析和建模，可以得到机器人的整体动力学方程。
拉格朗日方程拉格朗日动力学方法使用拉格朗日方程来描述系统的运动方程。
拉格朗日方程可以通过系统的动能和势能表达式得到。
对于四足机器人，为了简化模型，通常可以假设机器人为刚体，并且忽略其柔软特性。
拉格朗日方程的形式如下：L = T - V其中，L为拉格朗日函数，T为系统的动能，V为系统的势能。
动力学模拟通过对拉格朗日方程进行求解，可以得到系统的运动方程。
为了模拟机器人的动力学行为，可以使用数值方法进行迭代求解。
常见的数值方法有欧拉法和中点法等。
结论通过拉格朗日动力学方法进行建模，可以得到四足机器人的运动方程和动力学模拟。
动力学分析
T i i 1 i 1
n
n
6
• 3.系统的拉格朗日函数为：
L Kt P Ti TiT 1 n i i Trace Ii 2 i 1 j 1 k 1 qk q j n 1,2,
n n 1 2 q jq k I ai q i mi g T Ti i ri 2 i 1 i 1
4
三、多自由度机器人动力学方程：
• 1. 动能
n
i i Ti TiT 1 n jq k K K i Trace Ii q 2 i 1 i 1 j 1 k 1 q j qk
考虑传动装置惯量，传动装置总动能为：
1 n i2 K a I ai q 2 i 1
7
• 4.系统动力学方程为：
T j T jT q k I ai q i Ti Trace Ij q qi j i k 1 k j j n n 2Ti T jT T q k q m m j gT i i ri Trace Ij q q q qi j 1 k 1 m 1 j 1 k m i
动力学
一、基本内容 • 1.动力学核心思想: • 2理论依据：ƩF =m· a ƩT=I·α 1.牛顿力学 • 3.动力学分析方法 2.拉格朗日力学
1
拉格朗日力学：
2
二、方法比较：
例1：分别使用拉格朗日力学和牛顿力学推导图示单自由度系统力-加速度的关 系。
x
F
图1 小车—弹簧系统
3
例2: 2自由度系统
图5 2自由度机器人归一化运动
10
直角空间的轨迹规划（直线）： B A 优化 B A
图6 2自由度机器人直角空间运动
n
n
6
• 3.系统的拉格朗日函数为：
L Kt P Ti TiT 1 n i i Trace Ii 2 i 1 j 1 k 1 qk q j n 1,2,
n n 1 2 q jq k I ai q i mi g T Ti i ri 2 i 1 i 1
4
三、多自由度机器人动力学方程：
• 1. 动能
n
i i Ti TiT 1 n jq k K K i Trace Ii q 2 i 1 i 1 j 1 k 1 q j qk
考虑传动装置惯量，传动装置总动能为：
1 n i2 K a I ai q 2 i 1
7
• 4.系统动力学方程为：
T j T jT q k I ai q i Ti Trace Ij q qi j i k 1 k j j n n 2Ti T jT T q k q m m j gT i i ri Trace Ij q q q qi j 1 k 1 m 1 j 1 k m i
动力学
一、基本内容 • 1.动力学核心思想: • 2理论依据：ƩF =m· a ƩT=I·α 1.牛顿力学 • 3.动力学分析方法 2.拉格朗日力学
1
拉格朗日力学：
2
二、方法比较：
例1：分别使用拉格朗日力学和牛顿力学推导图示单自由度系统力-加速度的关 系。
x
F
图1 小车—弹簧系统
3
例2: 2自由度系统
图5 2自由度机器人归一化运动
10
直角空间的轨迹规划（直线）： B A 优化 B A
图6 2自由度机器人直角空间运动
机器人动力学PPT课件
表示E成k (q：, q)
Ek
(q,
q)
1 2
qT
D(q)q
式中， D(q是)nxn阶的机器人惯性矩阵
13
3．机器人系统势能
设连杆i的势能为 ，Ep连i 杆i的质心在O坐标系中的位置矢 量为 ，重pc力i 加速度矢量在坐标系中为g，则：
Epi mi gT pci
机器人系统的势能为各连杆的势能之和，即：
？简述用拉格朗日方法建立 机器人动力学方程的步骤。
28
2019/10/18
29
dt q q q
16
[例]平面RP机器人如图所示，连杆l和连杆2的质量 分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯 量矩阵为：
Ixx1 0 0
1 I1
0
I yy1
i
0 0 Izz1
Ixx2 0 0
2 I2
0
I yy2
i
0 0 Izz2
4
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最 优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中需根 据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负载大小 进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算 设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和 路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要 以机器人动力学模型为基础。
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
机器人技术 第四章 动力学分析和力
拉格朗日动力学方程实例
分别用拉格朗日动力学和牛顿力学方法推导如图所示的动力学方程。
1、拉格朗日法
1 1 1 E p kx 2 2 E k mv 2 mx 2 2 2 1 1 2 kx 2 L E k E p mx 2 2
2、牛顿法
F kx ma F ma kx
Pi R Ti ri
多自由度机器人的动力学方程
涉及运动学方程对时间t求导
i ( 0Ti ) dq j d 0 连杆某点速度：Vi ( Ti ri ) ( )ri dt q j dt j 1
其中： 0Ti A1 A2 Ai
Ai Qi Ai d i
Ai Qi Ai i
, ) i f ( j , j j
1 j n
拉格朗日方程
拉格朗日函数 拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能 Ek 和 势能 E P 之差，即
L Ek E p
式中 Ek 为系统动能总和；
E P 为系统势能总和。
动能和势能怎样计算？
拉格朗日方程
拉格朗日方程：
含有 D212 的项表示哥氏力对关节2的耦合力矩项。
拉格朗日动力学方程分析
只含关节变量 1和 2的项表示重力引起的关节力矩项。其中： 含有 D1 的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩 项； 含有 D2的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节机 器人其动力学方程已经很复杂了，很多因素都在影响 机器人的动力学特性。
机器人静力平衡
坐标系间力和力矩的变换
虚功原理：
微分运动： 力：
理论力学拉格朗日方程
0
(k 1,2,, N )
n
i 1
mi ri
ri qk
n i 1
mi
d dt
(ri
ri qk
)
n i 1
mi ri
d ( ri dt qk
)
ri
ri t
N k 1
ri qk
qk
qk
dqk dt
广义速度
ri 和 ri 仅为时间和广义坐标的函数， t q j
与广义速度q j无关
ri qk
根据几何关系，有
A
FIA m1g l
C
xA lsin yA lcos
xA l cos yA l sin
B
FIB l m1g
m2g y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
ri qk
第一个拉格朗日关系式
ri
ri t
N k 1
ri qk
qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
ri
q j
2ri q jt
N k 1
2ri q jqk
qk
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d
dt
ri q j
2 ri q jt
N k 1
2 ri q jqk
xA l cos yA l sin xB l cos
O1
x1
rA
l l rB
FIA A m1g l
理论力学—拉格朗日方程PPT
m2 cos
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
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3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
9-2-2
拉氏方程基本形式
d T T = FQ j dt qj qj
故
j = 1,2,...k
为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量， qj
为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，
需2k个初始条件 q j 0 ,q j 0 。 关于 FQ 的计算
j
由 WF j FQ q j (见下述例题中) j (仅δqi≠0时，计算所有主动力虚功)
第九章 拉格朗日方程
9-2-1 两个经典微分关系
n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，
ri = ri q1 ,q2 ,...qk ,t ( i 1,2,...,n ) ri ri 1) “同时消点” qj qj
证明: 因 ri ri (t , q1 , , qk ), 对时间t求导数， 得
第九章 拉格朗日方程
运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多， 方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程？ 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动
力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二
类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立 9-1-2 典型问题
9-1-1 方程的建立
1. 一般形式
n个质点。对 m有 i
Fi FNi mi ai 0 则有 i 1, 2n
给 ri
i 1,2,...,n ,则有
Fi FNi m ai ri 0
而双面理想约束 故有
i Ii
F
i
Ni
ri 0
(9-1)
ri ri qj j 1 q j
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T 2 d d L t 2 L 2 (m 2 d 2 2 m 2 d 1 d 2co 2 ) 1 s m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2si2 n 1 2 m 2 g2s di1 n 2 ()
经整理：
T 1 D 1 1 1 D 1 2 2 D 11 1 2 1D 12 2 2 2D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 T 2 D 2 1 1 D 2 2 2 D 21 1 2 1D 22 2 2 2D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2
构造拉格朗日函数L=K-P：
L K P 1 2 (m 1 m 2 )d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 ) m 2 d 1 d 2 co 2 ( 1 2 s 1 2 ) (m 1 m 2 )g 1 c do 1 m s 2 g2 c do 1 s 2 )(
系统的总动能和总势能：
K K 1 K 2 1 2 (m 1 m 2 )d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 ) m 2 d 1 d 2 co 2 ( 1 2 s 1 2 ) P P 1 P 2 (m 1 m 2 )g 1 c do 1 m s 2 g2 c do 1 s 2 )(
Fi d d tq L i q Li , i1,2,..n.,
求取
d d tL 1, L 1,
d d tL 2,
L
2
代入拉格朗日方程式
T 1 d d L t 1 L 1 [m 1 ( m 2 )d 1 2 m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2 co 2 ] 1 s (m 2 d 2 2 m 2 d 1 d 2 co 2 ) 2 s 2 m 2 d 1 d 2 si2 1 n 2 m 2 d 1 d 2 si2 2 n 2 (m 1 m 2 )g 1 sd i1 n m 2 g2 s di1 n 2 )(
ii
i
系统总动能为 n个连杆动能之和：
n
K Ki i 1
机器人系统势能
设连杆 i 的势能为 Pi ，连杆 i的质心在
0 坐标系中的位置矢量为Pci ，重力加速度 矢量在 0 坐标系中为g，则
Pi migTPci
机器人系统的势能为各连杆势能之和：
n
P Pi i 1
拉格朗日方程
d d tq L i q L i i (i1,2n,.)..,
Wittenburg）
研究动力学的目的
动力学正问题与机器人仿真有关； 动力学逆问题是为了实时控制的需要，利用动
力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动 态性能和最优指标； 可利用动力学方程来考察不同惯量负载对机器 人的影响，以及根据期望的加速度来考察某些 负载的重要性。
拉格朗日函数
L(qi,q i)KP
m
2
v
2 2
P1 m1gd1 cos1
P2 m 2 gy 2
(x2, y2)
yx22dd11scion1s1dd22scions1(1(2)2) x y 22dd11csoins11 11dd22csions1(1(22))(( 11 22))
v22 x22 y22
v22 d12 12 d22( 12 2 1 2 22)2d1d2cos2( 12 1 2)
动力学逆问题：已知轨迹对应的关节位移、速 度和加速度，求出所需要的关节力或力矩；进 而选择设计出能提供足够力及力矩的驱动器。
研究机器人动力学的方法
牛顿——欧拉法（Newton-Euler） 拉格朗日法（Lagrange） 高斯法（Gauss） 凯恩法（Kane） 旋量对偶数法 罗伯逊——魏登堡法（Roberson-
机器人动力学问题
机器人动态性能不仅与运动学相对位置有关， 还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构 的位置、传动装置等因素有关。
机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究物体运动和受力之间的关 系。
机器人动力学问题
动力学正问题：根据关节驱动力或力矩计算机 器人的运动（关节位移、速度和加速度），即 研究机器人手臂在关节力矩作用下的动态响应。
i 是广义力，代表 n个关节的驱动力或
力矩；若 i是移动关节， i 就是力，若 i
是转动关节， i 就是力矩。
例1
y
x • 先求刚体的动能与位能（旋转式运动） 假设连杆质量用等效连杆末端的点质量表示
1 (x1, y1)
d1 m1
2
d2
m2
•
连杆1：
K1
1 2
m1d1212
连杆2： K
2
1 2
力矩
惯量
向心加速度系数 哥氏加速度ห้องสมุดไป่ตู้数
重力
T T 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 D D 1 2
T T 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 D D 1 2
拉格朗日函数
系统总的动能
系统总的势能
q q 1 q 2q n 是表示动能和势能的广义 坐标
q q 1 q 2 q n 是相应的广义速度
机器人系统动能
连杆 i的动能 K i 为连杆质心线速度引起
的动能和连杆角速度产生的动能之和：
Ki 1 2mivc Tvici1 2i
I Ti i
经整理：
T 1 D 1 1 1 D 1 2 2 D 11 1 2 1D 12 2 2 2D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 T 2 D 2 1 1 D 2 2 2 D 21 1 2 1D 22 2 2 2D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2
构造拉格朗日函数L=K-P：
L K P 1 2 (m 1 m 2 )d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 ) m 2 d 1 d 2 co 2 ( 1 2 s 1 2 ) (m 1 m 2 )g 1 c do 1 m s 2 g2 c do 1 s 2 )(
系统的总动能和总势能：
K K 1 K 2 1 2 (m 1 m 2 )d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 ) m 2 d 1 d 2 co 2 ( 1 2 s 1 2 ) P P 1 P 2 (m 1 m 2 )g 1 c do 1 m s 2 g2 c do 1 s 2 )(
Fi d d tq L i q Li , i1,2,..n.,
求取
d d tL 1, L 1,
d d tL 2,
L
2
代入拉格朗日方程式
T 1 d d L t 1 L 1 [m 1 ( m 2 )d 1 2 m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2 co 2 ] 1 s (m 2 d 2 2 m 2 d 1 d 2 co 2 ) 2 s 2 m 2 d 1 d 2 si2 1 n 2 m 2 d 1 d 2 si2 2 n 2 (m 1 m 2 )g 1 sd i1 n m 2 g2 s di1 n 2 )(
ii
i
系统总动能为 n个连杆动能之和：
n
K Ki i 1
机器人系统势能
设连杆 i 的势能为 Pi ，连杆 i的质心在
0 坐标系中的位置矢量为Pci ，重力加速度 矢量在 0 坐标系中为g，则
Pi migTPci
机器人系统的势能为各连杆势能之和：
n
P Pi i 1
拉格朗日方程
d d tq L i q L i i (i1,2n,.)..,
Wittenburg）
研究动力学的目的
动力学正问题与机器人仿真有关； 动力学逆问题是为了实时控制的需要，利用动
力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动 态性能和最优指标； 可利用动力学方程来考察不同惯量负载对机器 人的影响，以及根据期望的加速度来考察某些 负载的重要性。
拉格朗日函数
L(qi,q i)KP
m
2
v
2 2
P1 m1gd1 cos1
P2 m 2 gy 2
(x2, y2)
yx22dd11scion1s1dd22scions1(1(2)2) x y 22dd11csoins11 11dd22csions1(1(22))(( 11 22))
v22 x22 y22
v22 d12 12 d22( 12 2 1 2 22)2d1d2cos2( 12 1 2)
动力学逆问题：已知轨迹对应的关节位移、速 度和加速度，求出所需要的关节力或力矩；进 而选择设计出能提供足够力及力矩的驱动器。
研究机器人动力学的方法
牛顿——欧拉法（Newton-Euler） 拉格朗日法（Lagrange） 高斯法（Gauss） 凯恩法（Kane） 旋量对偶数法 罗伯逊——魏登堡法（Roberson-
机器人动力学问题
机器人动态性能不仅与运动学相对位置有关， 还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构 的位置、传动装置等因素有关。
机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究物体运动和受力之间的关 系。
机器人动力学问题
动力学正问题：根据关节驱动力或力矩计算机 器人的运动（关节位移、速度和加速度），即 研究机器人手臂在关节力矩作用下的动态响应。
i 是广义力，代表 n个关节的驱动力或
力矩；若 i是移动关节， i 就是力，若 i
是转动关节， i 就是力矩。
例1
y
x • 先求刚体的动能与位能（旋转式运动） 假设连杆质量用等效连杆末端的点质量表示
1 (x1, y1)
d1 m1
2
d2
m2
•
连杆1：
K1
1 2
m1d1212
连杆2： K
2
1 2
力矩
惯量
向心加速度系数 哥氏加速度ห้องสมุดไป่ตู้数
重力
T T 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 D D 1 2
T T 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 D D 1 2
拉格朗日函数
系统总的动能
系统总的势能
q q 1 q 2q n 是表示动能和势能的广义 坐标
q q 1 q 2 q n 是相应的广义速度
机器人系统动能
连杆 i的动能 K i 为连杆质心线速度引起
的动能和连杆角速度产生的动能之和：
Ki 1 2mivc Tvici1 2i
I Ti i