线性代数-课程学习必备的教材
线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲Linear Algebra—、课程基本信息二、教学目标本课程以应用型人才的培养计划为LI标，以提高学生的数学素质、掌握线性代数的基本思想方法、基本讣算方法与培养学生的数学应用创新能力为教学LI标。
同时为学习后继课程和自我更新奠定必要的数学基础。
（一）知识LI标线性代数将使学生获得行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等相关的基本知识，同时接受基本运算技能的训练，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
（二）能力LI标线性代数培养学生抽象思维能力和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，进而培养学生的创新意识和能力。
（三）素质□标随着社会的发展，线性代数的内容更为丰富、方法更为综合、应用更为广泛。
线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；它不仅是一种知识, 而且是一种素养；它不仅是一种科学，而且是一种文化。
本课程将培养学生的思维能力、数学素养及数学文化，在应用型高素质人才培养中起到不可替代的作用。
培养学生科学思维的能力。
为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
三、基本要求本课程是理工等学科各专业的一门重要基础理论课程。
要求学生掌握行列式、n 维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等基本知识和基本计算方法, 并能利用所学知识解决一些实际问题。
（-）了解克莱姆法则及应用；向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法; 初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；线性方程组的基本概念；二次型秩的概念、二次型的标准型的概念及惯性定理。
（二）理解矩阵的等价、相似与合同，矩阵的初等变换和秩；向量的线性相关性, 极大无关组与向量组的秩；齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解：矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似对角化；二次型与标准形。
（三）掌握矩阵与行列式的运算；向量组线性相关性的判定，向量组的极大无关组和秩的计算；线性方程组的解法；矩阵的特征值与特征向量的计算，矩阵的相似对角化的判定；化二次型为标准形的方法。
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲一、课程信息二、课程目标通过本课程的学习，学生应具备以下几方面的目标：1、使学生掌握与行列式、线性方程组和矩阵有关的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生抽象思维和逻辑推理能力。
2、使学生获得一定的线性代数的基础知识,为进一步学习后继课程打下基础。
3、通过线性代数中基本概念的建立，基本理论的证明，基本方法的运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
4、掌握数学中的分析方法结合统计学、计量经济以及计算机信息技术等知识，具有对现实金融、贸易、管理、财务等问题进行数理分析的能力。
课程目标对毕业要求的支撑关系表三、教学内容与预期学习成效四、教学目标达成度评价（根据教学目标分项说明达成度考评方式）（1）教学目标1、2的达成度通过课后作业、单元测试和期末闭卷考试综合考评。
（2）教学目标3的达成度通过课后作业、课后拓展和期末闭卷考试综合考评。
（3）教学目标4的达成度通过课堂讨论与课后拓展进行考评。
五、成绩评定（具体说明课程成绩由几种考评方式组成与所占比例，以及每一种方式的具体考评要求）课程成绩包括4个部分，分别为出勤及课堂表现、课后作业和期末考试。
具体要求及成绩评定方法如下：（1）出勤及课堂表现（10%）设此考核项目，目的是控制无故缺课和课堂懒散无纪律情况，具体方案为：总分为100分，无故旷课一次扣5分；无故旷课超过3次数者，此项总分记0分；无故旷课超过学校规定次数者，按学校有关规定处理；上课睡觉、玩手机、吃零食者被老师发现一次扣5分。
（2）课后作业（10%）每章布置一次课后作业，作业包括课后思考题和计算题，评分以答题思路的规范性、整洁性、整体性、逻辑性、正确性为依据，每次满分为100分，最后取平均分。
作业缺少一次扣5分，总计缺少超过三分之一，作业成绩记0分。
（3）期末考试（80%）期末进行综合闭卷考试，总分为100分，期末考试卷面成绩未达总分50%者，该门课程成绩作不及格处理。
六、课程教材及主要参考书1. 建议教材[1] 陈伏兵.应用线性代数.北京:科学出版社,2011.2. 主要参考书[1] 同济大学数学教研室.线性代数. 北京:高等教育出版社,2004.[2] 张禾瑞.高等代数.北京:高等教育出版社. 2004.制订人：审核人：2020年12月8。
本科高等数学线性代数教材
本科高等数学线性代数教材高等数学是大多数理工科专业必修的一门课程，线性代数则是高等数学的一个重要组成部分。
本科高等数学线性代数教材的编写旨在帮助学生掌握线性代数的基本概念、理论和实际应用，并培养学生的数学建模和问题解决能力。
本教材以系统性、科学性和教育性为原则，将线性代数的内容分为以下几个模块：第一模块：向量的基本概念和运算本模块介绍了向量的基本概念及其在几何和物理问题中的应用。
包括向量的表示方法、向量的线性运算、向量的数量积和向量的向量积等内容。
通过丰富的几何示例和物理问题，帮助学生理解向量的概念和运算法则。
第二模块：矩阵的基本性质和运算本模块介绍了矩阵的基本性质和运算，矩阵与线性方程组的关系以及矩阵的初等变换。
包括矩阵的定义、矩阵的运算法则、矩阵的秩和逆等内容。
通过大量的例题和应用问题，培养学生解决矩阵计算和线性方程组的能力。
第三模块：线性方程组和线性方程组的解法本模块介绍了线性方程组的基本概念和解法，包括线性方程组的消元法、矩阵法和向量法等。
通过详细的步骤和实例，帮助学生理解解线性方程组的基本思路和方法。
第四模块：特征值与特征向量本模块介绍了特征值与特征向量的定义和性质，以及矩阵的对角化和相似矩阵的概念。
通过丰富的实例和应用问题，帮助学生理解特征值与特征向量在线性代数中的重要作用。
第五模块：线性映射和线性变换本模块介绍了线性映射和线性变换的基本概念、性质和表示方法，以及线性变换的矩阵表示和特征向量的应用。
通过具体的实例和应用问题，帮助学生理解线性映射和线性变换的概念和特点。
第六模块：内积空间和正交向量组本模块介绍了内积空间和正交向量组的概念、性质和应用。
包括内积的定义、内积空间的性质、正交向量组和正交矩阵等内容。
通过改进的施密特正交化方法和应用问题，培养学生解决内积空间和正交向量组相关问题的能力。
每个模块都采用辅以详细的数学推导和丰富的实例分析，旨在帮助学生理解数学概念和方法，提高解题和证明的能力。
线性代数教程(第四版)
成书过程
修订情况
出版工作
该教材适当补充一些章节的内容，使全书结构更趋合理；弥补几处疏漏，使推理、解题更为流畅；习题部分 增加了考研题。总之，这次再版在保持原有体系和框架的基础上，在满足理工类、经管类本科基础课程教学基本 要求的前提下，使该书更加贴近于教学实践。
教材目录
（注：教材目录从左到右列 ）
教学资源
《线性代数教程（第四版）》的配套教材是《线性代数学习指导》。
教材特色
（1）该教材针对学时少的学校，介绍线性代数的核心内容，如线性方程组与矩阵、向量空间R"、矩阵特征 值问题。
（2）向量空间的概念是一个难点，为了分散难点，该书作了一系列铺垫。如第2章引入线性无关性的概念， 然后在第3章先回顾二维和三维空间中的向量，再推广到R"。
图书目录
第1章线性方程组与矩阵 第2章矩阵运算及向量组的线性相关性 第3章向量空间R<sup>n</sup> 第4章行列式 第5章矩阵特征值问题二次型 习题答案 参考文献 附录
感谢观看
线性代数教程（第四版）
20xx年科学出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材目录
目录0Βιβλιοθήκη 内容简介 04 教学资源05 教材特色
07 图书目录
目录
06 作者简介
《线性代数教程（第四版）》是由罗从文主编，2019年科学出版社出版的线性代数高等院校教材。该教材可 作为学习线性代数和高等院校理工类的教学用书，也可作为学者、考研者和科技工作者的参考用书。
（3）通过一系列的实例来说明线性代数在各个领域中的应用，有利于培养学生应用代数知识解决实际问题的 能力。
(完整版)大学数学工程数学线性代数教材
第一章n阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.§1 全排列及其逆序数先看一个例子.引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有⨯⨯种放法.3=162这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 .12为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论：从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! .对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设n p p p 21为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i =，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和∑==+++=ni i n t t t t t 121 ，即是这个排列的逆序数.例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中，33排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3； 4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1； 于是排列的逆序数为513010=++++=t .§2 n 阶行列式的定义为了给出n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为：)1(.312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=容易看出：①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列. 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成321321p p p a a a . 这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成321p p p ，它是1、2、3三个数的某个排列. 这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。
自考本科线性代数书籍
自考本科线性代数书籍线性代数是一门基础性课程，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵和线性变换等内容。
自考本科线性代数的教材有很多，下面我为大家推荐几本比较好的线性代数教材。
1.《线性代数及其应用》（David y著）：这是一本经典的线性代数教材，适合初学者使用。
该书结构严谨，内容全面，涵盖了线性代数各个重要的知识点，如向量空间、矩阵、行列式和线性变换等。
此外，该书在每章末尾提供了大量的习题，并配有详细的解答，有助于学生巩固所学知识。
2.《线性代数与解析几何》（高洪宝、冯奇铨著）：这是一本比较常用的线性代数教材，适合自考学生使用。
该书内容全面，涵盖了线性代数的各个重要内容，如向量、矩阵、线性方程组和线性变换等。
与其他教材相比，该书更注重解题技巧和解题方法的讲解，有助于学生快速掌握线性代数的基本概念和解题技巧。
3.《线性代数（双语教程丛书）》（刘宗伟著）：这是一本结合中英文编写的线性代数教材，适合英语水平较好的自考学生使用。
该书内容全面，且以图文并茂的方式呈现，既有理论讲解，又有实例和例题等。
此外，该书在每章末尾给出了一些较难的习题，有助于学生提高解题能力。
4.《线性代数》（齐民友、汪灏编著）：这是一本较新的线性代数教材，适合对线性代数有较深入了解的自考学生使用。
该书内容比较深入，涵盖了线性方程组、向量空间、线性变换和矩阵等内容。
与其他教材相比，该书更加注重线性代数理论的严密性和抽象性，有助于学生深入理解线性代数的概念和原理。
总之，自考本科线性代数书籍很多，每本教材都有各自的特点和适用人群。
学生可以根据自己的实际情况和英语水平选择适合自己的教材。
无论选择哪本教材，都需要注重理论与实践相结合，多做习题和实例，加强对线性代数知识的掌握和应用能力。
线性代数自学指导书
《线性代数》自学指导书一、课程名称：线性代数二、自学学时：72学时三、课件学时：54学时四、教材名称：《线性代数》，张恩众主编，山东大学出版社。
五、参考资料：1、《线性代数》，中国人民大学出版社2、《线性代数》，高等教育出版社六、考核方式：章节同步习题（10%）＋笔试（90％）七、课程简介：本课程是经济管理类各专业的一门主要的数学基础课。
内容包括行列式，矩阵及其运算，矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性，相似矩阵及二次型。
通过学习本门课程，使学生具备有关线性代数的基础理论知识及用于解决实际问题的能力，从而为学习后续课和进一步扩大数学知识打下必要的数学基础。
八、自学内容指导：第一章行列式1、本章内容概述：行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理，解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则。
2、自学课时安排：课件学习12学时，自学16学时3、知识点：A. 了解n阶行列式的概念，掌握行列式的性质．B. 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．C. 会用克莱姆法则解线性方程组．4、难点：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理线性方程组的克莱姆（Cramer）法则5、章节同步习题：（单项选择题）（1）行列式0111101111011110＝ （ -3 ）(a) 1; (b) -1; (c) 3; (d) -3 .（2）当a = ( 1 )时，行列式12051336a ---＝0 (a) －1; (b) 1; (c) 2; (d) 0 . （3）如行列式111213212223313233a a a a a a a a a ＝d ，则313233212223111213333222a a a a a a a a a ---＝（ b ） （a ）－6d ； （b ）6d ； （c ） 4d ； （d ）－4d.（4）当a = （ ）时，行列式111111a a a＝0（a ）1； （b ）－1； （c ）2； （d ）0.（5）行列式1256427825169454321111的值为（ ） （a ）12； （b ）－12； （c ）16； （d ）－16. (6)行列式00000000a b c de fg h 中g 元素的代数余子式为（ ）（a ）bcf －bde ； （b ）bde －bcf ； （c ）acf －ade ； （d ）ade －acf.(7)设22112()112211f x x x =-+，则()0f x =的根为（ ）（a ）1, 1, 2, 2； （b ）-1, -1, 2, 2； （c ）1, -1, 2, -2； （d ）-1,-1,-2,-2.（8）行列式12112300 (00)0...0... 000......n n n n nna a a a a a a -＝ （ ）（a ）0； （b ）1211...n n a a a a -（b ）－1211...n n a a a a - （d ）1(1)n +-1211...n n a a a a -（9）行列式00000000a bx yc d uv ＝（ ） （a ）abcd – xyuw ; (b) abxy – cduv ;（c ）(ab – cd)(xy – uv); (d) (ad –bc)(xv – yu).（10）λ不能取（ ）时，方程组12312312302030x x x x x x x x x λ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩只有0解.(a) 1； （b ）2； （c ）3； （d ）4.6、课后作业题：A 类练习题：1（1）（2）（3），2，3，4，5，6，7，8（2）（3）（5）（6）（7）（8）14，15，16。
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n aik Ajk
k 1
D ij
D ,
0
,
当 当
i i
j, j;
n
D , 当 i j,
aki Akj
k 1
D ij
0
,
当
i
j;
1 , 当 i j，
ij
0
,
当i
j.
4 Cramer 法则
在线性方程组中
若常数项 b1 , b2不, 全, b为n 零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；
零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、 负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、 行最简形矩阵、标准形
3、矩阵的运算
1）、加法若 A (aij )mn , B (bij )mn，
规定 A B (aij bij )mn
注意:只有同型矩阵才能进行加法运算.
2）、数乘 若 A (aij )mn , R,
注： 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.
k
2、ｋ只能是正整数.
5）、转置
把矩阵Ａ的行换成同序数的列得到的新矩阵， 叫做Ａ的转置矩阵，记作 A .or.. A
设Ａ为ｎ阶方阵，若 AT ，A即 a，ij a ji
那么Ａ称为对称矩阵.
设Ａ为ｎ阶方阵，若 AT ， A即 a，ij a ji
那么Ａ称为反对称矩阵.
An1
An2
Ann
二、行列式 1 n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
1
p1 p2 pn
t a p1 1a p2 2 a pnn
an1 an2 ann
或 D
1
a a t 1 p1 2 p2
anpn
p1 p2 pn
其中 t为排列 p1 p2 的p逆n 序数.
2 n阶行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等.即 DT. D
若常数项 b1 , b2全, 为, b零n ，则称此方程组为齐次 线性方程组.
如果线性方程组的系数行列式 D 则0线, 性方 程组一定有解,且解是唯一的 .行列式必为零.
5 行列式的求法 a1 a2 b1 0
1）、定义法 0 b2
an1 an 00 00
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全 相同，则此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k，等于用数 乘k 此行列式.
推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零．
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.
D1
a21
a22
a2n
,
an1 an2 ann
D2
a11
a21b
a12 b1 a22
an1 bn1 an2 bn2
a1n b1n
a
2n
b2n
,
ann
证明 D1 D2
12）、数学归纳法
cos
1 0 Dn
1
2cos
1
0 1
2cos
0
0
0
0
0
0
00 00 00
cos n .
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同 一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式 不变．
3 行列式按行和列展开
余子式与代数余子式
在 n阶行列式中，把元素 a所ij 在的第 行i和第 列j 划去后，留下来的 n 阶1行列式叫做元素 的ai余j 子式， 记作 M.ij
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a的ij 代数余子式．
00 x y0 0xy 00x 2）、展开法
000 y00
bn1 0 00 00 00
xy 0x
3）、加边法
1 x12 x1 x2 x2 x1 1 x22
xn x1 xn x2
4）、拆分法
a1 b1 a2 b1
a1 b2 a2 b2
an b1 an b2
x1 xn x2 xn
1 xn2
a1 bn a2 bn
an bn
950 495 049 5）、递推法
000 000 000
000 000 000
950 495 049
n
01 1
1
1 a1 0
0
6）、三角法 1 0 a2
0
10 0
an
a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 7）、Laplace展开定理 a31 a32 0 0 0 a41 a42 0 0 0 a51 a52 0 0 0
线性代数 专题课
一、重点和难点
1. 行列式的性质及其计算 2. 矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初
等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩 阵相似对角化 3. n维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量 组的极大线性无关组 4. 齐次、非齐次线性方程组解的结构 5. 用正交变换化二次型为标准型
1
1 2cos
三、矩阵
1、矩阵的定义 定义 由数域 F 中的 m n 个数 aij（ i 1,2, ,m;
j 1,2, ,n）排成的 m行 列n 的矩形数表，称为数域
F 中的一个 m n 矩阵.
记作：A (aij )mn Amn (aij ) 注：实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、ｎ阶方阵、 方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等. 2、几种特殊的矩阵
规定 A A (aij )mn
3）、乘法 若 A (aij )ms ，B (bij )sn ,
规定 AB C (cij )mn ,
ｓ
其中 cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbs＝j aikbkj ｋ1 （i 1，2， ，m；j 1，2， ，n）
4）、幂 若 A (aij )nn , k Z , 规定 Ak AA A
6）、方阵的行列式 由ｎ阶方阵Ａ的元素所构成的
行列式（各元素的位置不变）叫做方阵Ａ的行列式.
记作 A .or. Det A
７）、伴随矩阵 行列式 A的各个元素的代数余子式 Aij 所构成矩阵的转置.
记作
A11 A21
A
A12
A22
８)、共轭矩阵
A1n
A2n
当 A a为ij 复矩阵时，用
8）、Vander monde行列式
a1n Dn1 a2n
a1n1b1 a2n1b2
a1b1n1
b1n
a2b2n1
b2n
a a b n n1
n1 n1 n1
133
323 9）、综合法 3 3 3
a b n1 n1 n1
3 3 3
bn n1
333
n
10）、降阶法 （略）
11）、定义证明
a11 a12 a1n