第2课时 函数关系的表示法——列表法、解析法
12.函数关系的表示方法---列表法和解析法 PPT课件(沪科版)
新知探究 因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
注意：自变量的取值范围从两个方面来判断 1、实际问题要以实际情况来定
2、还要考虑函数关系式不能无意义
新知探究
（3）汽车行驶200㎞时，油箱中的汽油量是函 数y=50-0.1x在x=200时的函数值.将x=200代入 y=50-0.1x，得 y=50-0.1×200=30 汽车行驶200㎞时，油箱中还有30L汽油.
问题2：指出自变量x的取值范围.
问题3：汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
新知探究
解：（1）行驶里程x是自变量，油箱中的油量y 是x的函数，它们的关系为 y=50-0.1x
0.1x表示什么意思？
（2）仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数， 但是考虑到x代表的实际意义为行驶里程，所以 x不能取负数，并且行使中的耗油量为0.1x它不 能超过油箱中现有汽油量50L，即0.1x≤50，
4、当函数表达式为综合算式时，函数的取值范围应使 函数的各个部分都有意义.
新知探究
例2、求出下列函数中自变量的取值范围.
（1）y=2x
解: 自变量 x 的取值范围:x为全体实数
（2） m n 1
解: 由n-1≥0得n≥1 ∴自变量 n 的取值范围: n≥1
（3）y
x
3
2
解:由x+2 ≠ 0得 x≠－2∴自变量 x的取值范围: x≠－2
(1)试写出售价 y(元)与数量 x(千克)之间的函数关系式；
x(千克) y(元)
(2)当 x＝8 时，求 y 的值．
0.5 1.2＋0.2 1 2.4＋0.2
1.5 3.6＋0.2
2 4.8＋0.2
…
…
函数的表示方法
函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。
高中数学 第3章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第2课时 函数的表示
第2课时函数的表示方法学习目标核心素养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像．(重点，难点) 4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(重点、难点)1.通过函数表示的图像法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养．3．利用函数解决实际问题，培养数学建模素养．(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500 氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01 问题根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？1．函数的图像(1)定义：将函数y ＝f (x )，x ∈A 中的自变量x 和对应的函数值y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x ，y )组成的集合F 称为函数的图像，即F ＝{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }．(2)F 是函数y ＝f (x )的图像，必经满足下列两条①图像上任意一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )； ②满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在函数图像F 上． 2．函数的表示法思考1：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？ [提示] 不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．3．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．思考2：分段函数是一个函数还是几个函数？ [提示] 分段函数是一个函数，而不是几个函数． [拓展] 分段函数的定义域、值域和图像(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集． (2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．(3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示．( ) (2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )(3)分段函数由几个函数构成．( ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )12 3A ．1B ．2C ．3D ．不存在C [∵当2<x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3.]3．二次函数的图像的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( ) A ．y ＝－14x 2＋1B ．y ＝14x 2－1C ．y ＝4x 2－16D ．y ＝－4x 2＋16B [把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B 正确．]4．(教材P93练习A 第8题改编)下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]函数的三种表示方法【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．[解]①列表法如下：x(台)1234 5y(元) 3 000 6 0009 00012 00015 000 x(台)678910y(元)18 00021 00024 00027 00030 000②图像法：如图所示．③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．列表法、图像法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图像法中要注意是否连线．[跟进训练]1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形表示为定义在A上的函数图像的是( )A B C D(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )x 1234 5y 4532 1A.1 B ．2 C ．4 D ．5(1)D (2)B [(1)A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．(2)由题意可知，f (1)＝4，f (4)＝2，∴f (f (1))＝f (4)＝2，故选B.]函数解析式的求法【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，求f (x )的解析式；(3)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式．[思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] (1)法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1).法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1). (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8， 所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.(3)过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.①当点F 在BG 上，即x ∈[0，2]时，y ＝12x 2；②当点F 在GH 上，即x ∈(2，5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；③当点F 在HC 上，即x ∈(5，7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合①②③，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈（2，5]，－12（x －7）2＋10，x ∈（5，7].求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(2)换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．(3)配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个元素之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：(1)应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．(2)在实际问题背景下，自变量取值区间不同，对应关系也不同，此时需要用分段函数表示．[跟进训练]2．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x ＋2D ．f (x )＝3x ＋4A [令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1.∴f (x )＝3x －1.] 3．已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________． 23x －1 [由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代替x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－2f （－x ）＝1＋2x ，f （－x ）－2f （x ）＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.]分段函数的求值问题【例3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤1，－x ＋1，x ＞1，则f (f (－1))＝________；若f (x )＝－1，则x ＝________．[思路点拨] 已知x 0，求f (x 0).求解时首先要分清x 0所在的范围，然后选择相应的解析式代入即可．已知f (x 0)＝t ，求x 0，求解时要先对不同的范围进行分类讨论，分别求出x 0，并验证求得的x 0是否满足要求，最后得出结果．－1 0或2 [由－1≤1，得f (－1)＝(－1)2－1＝0，由0≤1，得f (0)＝－1， 所以f (f (－1))＝f (0)＝－1.因为f (x )＝－1，故⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x 2－1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＋1＝－1，解得x ＝0或x ＝2，满足题意．]分段函数求值问题的求解策略分段函数的求值问题，要根据自变量的范围选择适当的解析式去求函数值．若不确定，则需要分类讨论．如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，但要检验所求得的值是否符合相应分段上自变量的取值范围，也可以先画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值．[跟进训练]4．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜2，2x －4，x ≥2，若f (a )＝f (a ＋2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [若0＜a ＜2，则a ＋2＞2，由f (a )＝f (a ＋2)，得a ＝2(a ＋2)－4， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×4－4＝4. 若a ≥2，由f (a )＝f (a ＋2)，得2a －4＝2(a ＋2)－4，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝4，故选B.]函数的图像及应用【例4】 (1)作出函数y ＝2x，x ∈[2，＋∞)的图像并求出其值域．(2)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： ①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．[思路点拨] (1)列表→描点→连结；(2)分段函数的图像需要在同一坐标系中分段画出． [解] (1)列表x 2 3 4 5 … y1231225…当x ∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图像可知其值域为(0，1].(2)设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0，20]. 由题意得函数的解析式如下：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图像如图所示：描点法作函数图像的三个关注点(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．提醒：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． (2)分段函数的图像是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图像，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．[跟进训练]5．已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图像；(3)若f (a )＝2，求实数a 的值． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f(x)的图像如图所示．(3)∵f(a)＝2，由函数图像可知a∈(－2，0)，∴1－a＝2，即a＝－1.知识：1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解析式有意义的实数集R或R的子集．2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．3．分段函数是一个函数，而不是几个函数．4．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．方法：求函数的值域是一个比较复杂的问题(因为它和求函数的最值紧密相连)，无论用什么方法求函数的值域都要考虑函数的定义域．(1)当函数的解析式给出时，函数的值域是由函数的定义域及其对应关系确定的．常用的方法有：①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图像的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．②配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域．③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，进而利用基本函数的取值范围求函数的值域．④分离常数法：先将形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数分离常数，变形过程为cx＋dax＋b＝c a （ax ＋b ）＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的取值范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域．⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围，常用于“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围．(2)当函数是根据实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定．1．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图像的只可能是( )D [选项A ，B 的值域为B ＝{y |0≤y ≤2}，不满足题意；选项C 中，当x ＝0时，对应两个不同的函数值，不是函数．故选D.] 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( ) A ．15B ．3C ．23D ．139 D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.] 3．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则其解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2[当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又函数过点(1，2)，故k ＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，若f (x )＝3，则x ＝________． 3 [若x ≤－1，由x ＋2＝3，得x ＝1＞－1(舍去)；若－1＜x ＜2，由x 2＝3，得x ＝±3，由于－3＜－1(舍去)，故x ＝ 3.]5．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2).(1)画出f (x )图像的简图；(2)根据图像写出f (x )的值域．[解] (1)f (x )图像的简图如图所示．(2)观察f (x )的图像可知，f (x )图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f (x )的值域是[－1，3].。
苏教版数学高一必修1学案 2.1.2函数的表示方法
2．1．2函数的表示方法1．在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数．2．理解同一函数可以用不同的方法表示．1．函数的表示方法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．(2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．(3)图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．1．列表法表示函数的优点在于不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．这种方法常应用到实际生产和生活中．2．图象法表示函数的优点是通过图象可以直接观察出函数的变化趋势．气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．3．用解析法表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．【做一做1－1】客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了0．5 h，然后以80km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是__________．答案：③【做一做1－2】某种杯子每只0．5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、图象法、解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．解：(1)列表法：(2)图象法(如下图)．(3)解析法：y＝0．5x，x∈{1,2,3,4}．2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数而不是几个函数．生活中有很多可以用分段函数描述实际问题的模型，如出租车的计费、个人所得税纳税额等．分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，x ≥1的定义域为{x |x ＞0}．分段函数定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，在作图时，要特别注意每段端点的虚实．【做一做2】在实际问题中，常常使用表格，有些表格描述了两个变量的函数关系，比如，国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资如下表：解：图象如图． 解析式为：0.80,020,1.60,2040,2.40,4060,3.20,6080,4.00,80100.m m M m m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩1．如何求函数解析式？剖析：对于基本初等函数，通过待定系数法求之，即利用方程思想．对于实际应用问题，通常是研究自变量、函数与其他量之间的等量关系，从而将函数用自变量和其他量之间的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．如已知等腰三角形的周长为12，则底边长x 与腰长y 之间的函数关系是y ＝6－12x ，其中x ∈(0,6)．2．如何理解分段函数？剖析：(1)分段函数的表达式是分段表示的，即函数与自变量的关系不是只满足一个式子，而是在不同范围内有不同的对应法则，这样的函数关系是分段函数．(2)分段函数的定义域应为各段上自变量取值的并集，这一点与函数y ＝x －1＋1＋x 的定义域的求法不相同．(3)作分段函数的图象时，特别注意端点处点的虚实，如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的图象为(4)分段函数的表示法是解析法的一种形式．函数y ＝⎩⎨⎧22－6x ，0<x <11，－44，x ≥11不能写成y ＝22－6x,0＜x ＜11或y ＝－44，x ≥11．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．题型一 求函数解析式【例1】(1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x 2)；(3)已知函数y ＝f (x )满足2f (x )＋1()f x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，求f (x )； (4)已知一次函数f (x )满足f ［f (x )］＝4x －1，求f (x )．分析：求解析式的方法较多，如配凑法、换元法、方程法、待定系数法等，关键在于弄清对于“x ”而言，“f ”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系．要特别注意正确确定中间变量的取值范围，如(2)中设x ＋4＝t ≥4，否则就不能正确确定f (x )的定义域．解：(1)方法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，代入得f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2， ∴f (t )＝t 2－5t ＋6，即f (x )＝x 2－5x ＋6． 方法二(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6．(2)方法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16，∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． ∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． 方法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4， 则x ＝t －4，x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16． ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．∴f (x 2)＝x 4－16(x ≤－2，或x ≥2)． (3)(方程法)∵x ∈R ，且x ≠0， 由2f (x )＋1()f x＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x换成x ，得12()f x＋f (x )＝2x ．②①×2－②，得3f (x )＝4x －2x ，即f (x )＝4x 3－23x．(4)(待定系数法)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ［f (x )］＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1．∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1.∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．反思：对于已知f ［g (x )］的表达式，求f (x )的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g (x )＝t ，解出用t 表示x 的表达式，代入求得f (x )的解析式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t 的取值范围．若题目中已知函数f (x )的函数类型，一般采用待定系数法，如第(4)小题，由于已知函数f (x )是一次函数，故可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．题型二 分段函数的图象与应用【例2】试作出函数y ＝|x －1|和y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象．分析：y ＝|x －1|＝⎩⎨⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－2，3，－2<x <1，2x ＋1，x ≥1.解：y ＝|x －1|的图象如图(1)． y ＝|x －1|＋|x ＋2|的图象如图(2)．反思：画带绝对值符号的简单函数的图象的基本方法是先求函数的定义域，然后化简函数解析式，就是去绝对值符号．(1)带一个绝对值符号的函数，根据绝对值的意义去绝对值符号．(2)带两个或两个以上绝对值符号的问题，常用“零点分段法”去绝对值符号，从而把函数写成分段函数的形式，然后作图．如本题(2)，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋2＝0，得x ＝－2．－2和1把数轴分成三部分(如下图所示)．【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因f (1)＝12－4×1＋6＝3，所以原不等式可化为f (x )＞3．作出原函数的图象，如下图所示．再作出直线y ＝3，其交点坐标分别为(－3,3)，(1,3)和(3,3)，从图象观察即得． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)反思：作为填空题，可利用数形结合的方法求解不等式，此方法直观、简洁、准确．题型三 实际应用问题【例4】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，f (x )的值越大，表示接受的能力越强，x 表示提出和讲授概念的的讲授时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的讲授时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解：(1)开讲10分钟后，学生的接受能力值为59，达到最强，并维持6分钟． (2)f (5)＝－0.1×52＋2.6×5＋43＝53.5； f (20)＝－3×20＋107＝47，所以开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．(3)当0＜x ≤10时，f (x )＝－0．1x 2＋2．6x ＋43＝－0．1(x －13)2＋43＋16．9，f (x )ma x ＝f (10)＝59．令55≤f (x )≤59，解得6≤x ≤10．所以6≤x ≤10时，f (x )∈［55,59］，即开讲后10分钟里，学生只有后4分钟接受能力在55以上，然后有6分钟接受能力维持在59；当16＜x ≤30时，f (x )＝－3x ＋107．令f (x )≥55，解得x ≤523，即在这段时间里，学生只有43分钟接受能力维持在55以上．综上所述，开讲后学生共有4＋6＋43＝343分钟接受能力在55以上，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．反思：实际问题往往都有一个陌生的情境，它需要我们仔细阅读题意．如果题中给的数量比较多，可以逐个理解和研究，然后把实际问题转化为数学问题，建立函数关系进行求解．1设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为__________． 解析：因为f (2)＝22＋2－2＝4，所以1f (2)＝14，1(2)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1()4f ＝1－21()4＝1516． 答案：15162某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费______元．解析：把收费y 元看成所走路程x km 的函数， 当0＜x ≤3时，应交6元；当3＜x ≤10时，应交6＋(x －3)×0.5＝4.5＋0.5x (元)；当x ＞10时，应交4.5＋0．5×10＋(x －10)×0．8＝1.5＋0.8x (元)． ∴当x ＝12时，y ＝1.5＋0．8×12＝11.1(元)． 答案：11.13某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0．5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0．4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是__________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式， 由题意，得当0＜x ≤100时，y ＝0.5x ，当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ．答案：y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0<x ≤100，10＋0.4x ，x >100已知函数h (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，1()163h =＝16，h (1)＝8，求h (x )及其定义域．分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式． 解：设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)，则h (x )＝k 1x ＋k 2x．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 13＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8.解得123,5k k ⎧⎨⎩＝，＝．所以h (x )＝3x ＋5x，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．5已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >0，1，x ＝0，－1x，x <0.(1)画出函数的图象； (2)求f (1)，f (－1)的值．分析：分别作出f (x )在x ＞0，x ＝0，x ＜0各段上的图象，合在一起得函数的图象． 解：(1)如图所示．(2)f (1)＝12＝1，f (－1)＝－1－1＝1．。
2022秋沪科安徽版八年级数学上册 点训 随堂小练 第12章
第12章一次函数12.1函数第1课时函数及其相关概念1．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是()(第1题)A．金额B．单价C．数量D．金额和数量2．下列选项中，不能表示y是x的函数的是()3．圆的面积计算公式S＝πR2中，______是自变量．4．有一个容积为3 500 m3的水池，现用10台抽水机从蓄满水的池中同时抽水．已知每台抽水机每小时可抽水100 m3.(1)抽水1小时后，池中还有水________ m3；(2)在这一变化过程中哪些是变量，哪些是常量？第12章一次函数12.1 函数第1课时函数及其相关概念1．D2．D3．R4．解：(1)2 500点拨：3 500－100×10＝2 500(m3)，即抽水1小时后，池中还有水2 500 m3.(2)在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间、水池中的水的体积是变量．第12章一次函数12.1函数第2课时函数的表示法——列表法和解析法1．在某次试验中，测得两个变量v和m之间的4组对应数据如下表：则v与m之间的关系最接近下列各表达式中的()A．v＝2m＋1 B．v＝m2＋2C．v＝m＋2 D．v＝3m2．下列函数表达式中，自变量x的取值范围错误的是() A．y＝2x2中，x为全体实数B．y＝1x＋1中，x≠－1C．y＝－x2中，x＝0D．y＝1x＋7中，x＞－73．一种大豆的总售价y(元)与所售质量x(kg)之间的关系如下表所示：(1)按表中给出的信息，写出y与x的表达式；(2)当售出大豆的质量为20 kg时，总售价是多少？第12章一次函数12.1 函数第2课时函数的表示法——列表法和解析法1．A2．B3．解：(1)y＝2x.(2)由表达式可知，当售出大豆的质量为20 kg时，总售价是2×20＝40(元)．第12章 一次函数 12.1 函 数第3课时 函数的表示法——图象法1．下列函数中，y 不是x 的函数的是( )2．假期的某一天，小明一家上午8点自驾小汽车从家出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离s (km)与离家的时间t (时)的关系如图，则小明一家开车回到家的时间是________时．(第2题)3．小明对函数y ＝－1＋1x的图象和性质进行了如下探究，请补充完整：(1)函数y ＝－1＋1x 的自变量x 的取值范围为________；(2)完成表格，并画出函数的图象； x… －3 －2 －1 －12 －13 1312123…y ……(3)写出函数y＝－1＋1x的两条性质．(第3题)第12章一次函数12.1 函数第3课时函数的表示法——图象法1．B2．17点拨：由图象可得，景点离小明家180 km.小明从景点回家的行驶速度为180－12015－14＝60(km/h)，所以小明一家开车回到家的时间是14＋180÷60＝17(时)．3．解：(1)x≠0(2)略．(3)性质：①该函数没有最大值，也没有最小值；②图象不经过原点．(答案不唯一)第12章一次函数12.2一次函数第1课时正比例函数的图象和性质1．下列函数中，是一次函数的是()A．y＝2x B．y＝－2x＋1C．y＝3(x－2)－3x D．y＝x＋x22．如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系：__________．(第2题)3．函数y＝(k－1)x＋k＋2是正比例函数．(1)求k的值；(2)当y＝－3时，求x的值．4．画出正比例函数y＝－13x，y＝3x的图象，并分别指出其经过哪些象限．第12章一次函数12.2 一次函数第1课时正比例函数的图象和性质1．B2．b＞a＞c3．解：(1)因为该函数是正比例函数，所以k＋2＝0，解得k＝－2.(2)当k＝－2时，该函数的表达式为y＝－3x，当y＝－3时，－3x＝－3，解得x＝1.4．解：如图所示：直线OA为正比例函数y＝－13x的图象，直线OB 为正比例函数y＝3x的图象．(第4题)正比例函数y＝－13x的图象经过第二、四象限，正比例函数y＝3x的图象经过第一、三象限．第12章一次函数12.2一次函数第2课时一次函数的图象和性质1．已知点P(k，b)为第二象限内的点，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是()2．一次函数y＝－4x＋1的图象不经过的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．对于一次函数y＝3x－1，如果x1<x2，则y1____y2(填“>”“＝”或“<”)．4．已知一次函数y＝－2x＋4，完成下列问题：(1)在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；(2)根据图象回答：当x______时，y>0.(第4题)第12章一次函数12.2 一次函数第2课时一次函数的图象和性质1．D2．C3．<4．解：(1)画出的函数图象如图所示．(2)<2(第4题)第12章一次函数12.2一次函数第3课时求一次函数的表达式1．已知：一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0，2)，N(1，3)两点，则k，b的值分别为()A．－1，－2 B．1，2C．－2，－1 D．2，12．将一次函数y＝4x－2的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数表达式是________．3．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m＝______．x 01 24.已知y与x－1成正比例，当x＝4时，y＝27.(1)求y与x的函数表达式；(2)当y＝12时，求x的值．第12章一次函数12.2 一次函数第3课时求一次函数的表达式1．B 2.y＝4x＋1 3.－0.54．解：(1)根据题意，设y＝k(x－1)．因为当x＝4时，y＝27，所以k×(4－1)＝27，解得k＝9，所以y＝9(x－1)，即y与x的函数表达式为y＝9x－9.(2)当y＝12时，9x－9＝12，解得x＝73.第12章一次函数12.2一次函数第4课时简单分段函数的应用1．如图，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D的路径运动到点D停止．设点P的运动路程为x(cm)，则下列图象中，能表示三角形ADP的面积y(cm2)关于x(cm)的函数关系的是()(第1题) (第2题)2．如图是王阿姨在超市购买某种水果所付金额y(元)与购买量x(kg)之间的函数图象，则一次购买6 kg这种水果比平均分3次购买可节省______元．3．某山区的甲、乙两地相距240 km，一辆货车从甲地出发匀速开往乙地，货车出发2 h后，一辆小汽车从乙地出发匀速开往甲地，两车同时到达各自的目的地．已知两车行驶的路程之和y(km)与货车行驶的时间x(h)之间的函数关系如图所示．(1)货车的速度是____km/h，a的值为______，小汽车行驶了____h到达甲地；(第3题) (2)小汽车出发后y与x之间的函数表达式为________，b＝________．第12章一次函数12.2 一次函数第4课时简单分段函数的应用1．D 2.23．(1)40；480；4(2)y＝100x－120；180第12章一次函数12.2一次函数第5课时含两个一次函数(图象)的应用1．如图，l1反映了某产品的销售收入(元)与销售量(t)之间的关系，l2反映了该产品的销售成本(元)与销售量(t)之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．下列说法不正确的是()(第1题)A．当销售量为0 t时，销售收入为0元B．当销售量小于4 t时，没有赢利C．当销售量为6 t时，赢利1 000元D．当赢利4 000元时，销售量为10 t2．1号探测气球从海拔5 m处出发，与此同时2号探测气球从海拔15 m处出发，两探测气球所在位置的海拔y(m)关于上升时间x(min)的函数关系如图，当上升________min时，两探测气球的海拔高度差7.5 m.(第2题)3．小明与小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢．现在小明让小亮先跑若干米，图中l1，l2分别表示两人在赛跑中的路程与时间的关系(图象不完整)．试观察图象并回答下列问题：(1)线段________表示小明所跑的路程与时间的关系．(2)小明让小亮先跑了________m.(3)________会赢得这场比赛．(第3题)第12章一次函数12.2 一次函数第5课时含两个一次函数(图象)的应用1．D2．5或35点拨：由题意，得12x＋15－(x＋5)＝7.5或x＋5－⎝⎛⎭⎪⎫12x＋15＝7.5，解得x＝5或x＝35，即当上升5 min或35 min时，两探测气球的海拔高度差7.5 m. 3．(1)l2(2)10(3)小明点拨：由图象可知当小明跑了5 s时，小亮跑了40－10＝30(m)，小明跑了35 m，所以小明的速度为35÷5＝7(m/s)，小亮的速度为30÷5＝6(m/s)．小明到达终点的时间是100÷7＝1007(s)，小亮到达终点的时间是(100－10)÷6＝15(s)，因为1007<15，所以小明会赢得这场比赛．第12章一次函数12.2一次函数第6课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式1．如图，直线y＝kx＋b与坐标轴的两交点分别为A(2，0)和B(0，－3)，则不等式kx＋b＋3>0的解集为()A．x>0 B．x<0 C．x>2 D．x<2(第1题) (第3题)2．已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，则关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解是________．3．如图，一次函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m，3)，则不等式ax＋4<2x的解集是________．4．函数y＝3－2x与y＝kx的图象如图所示．(1)求k的值；(2)观察图象直接写出kx>3－2x的x的取值范围．(第4题)第12章一次函数12.2 一次函数第6课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式1．A 2.x＝－13．x>1.5点拨：把点A(m，3)的坐标代入y＝2x，得2m＝3，解得m＝1.5.根据图象可得不等式ax＋4<2x的解集是x>1.5.4．解：(1)当x＝1时，y＝3－2×1＝1，所以函数y＝3－2x与y＝kx的图象的交点坐标为(1，1)，把点(1，1)的坐标代入y＝kx得k＝1；(2)x>1.第12章一次函数12.3一次函数与二元一次方程第1课时一次函数与二元一次方程1．以二元一次方程2x＋y＝－1的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是()2．以方程2x－3y＝6的解为坐标的所有点(x，y)组成的图形是函数________的图象．3．已知x，y满足方程2x－y＝4.根据条件完成下表，将代表这些解的点(x，y)标在如图所示的平面直角坐标系xOy上，并从左到右用直线将各点连接起来．x－1 0 1 2y－6 0 2根据你所画的图象回答，若点A(m，n)也在这条直线上，请问当m满足什么条件时，点A会落在x轴的上方？(第3题)第12章一次函数12.3 一次函数与二元一次方程第1课时一次函数与二元一次方程1．D 2.y＝23x－23．解：填表如下：x －1012 3y －6－4－20 2描点画图如图．(第3题)由图可知，直线与x轴交于点(2，0)，y随x的增大而增大，所以当m>2时，点A(m，n)会落在x轴的上方．第12章一次函数12.3一次函数与二元一次方程第2课时 二元一次方程组的图象解法1．如图，直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与y ＝mx ＋n (m ≠0)相交于点(2，－1)，则关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx ＋n 的解是( )(第1题)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1 2．如果关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝（2k ＋1）x －3无解，那么直线y ＝－(k ＋1)x －3不经过第______象限．3．(1)请在所给的平面直角坐标系(如图)中画出一次函数y 1＝x ＋1和y 2＝－x ＋3的图象；(2)根据图象直接写出⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝1，y ＋x ＝3的解为____________； (3)利用图象直接写出当x 在什么范围内时，y 1>0.(第3题)第12章 一次函数12.3 一次函数与二元一次方程第2课时 二元一次方程组的图象解法1．D2．一、二 点拨：因为关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝（2k ＋1）x －3无解， 所以直线y ＝－x ＋1与直线y ＝(2k ＋1)x －3平行，所以－1＝2k ＋1，解得k ＝－1.所以直线y ＝－(k ＋1)x －3＝－3经过第三、四象限，不经过第一、二象限．3．解：(1)如图所示．(第3题)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2(3)当x >－1时，y 1>0.第12章 一次函数12.4 综合与实践 一次函数模型的应用1．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x/日1234成绩y/个40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数的表达式为________．2．小张、小王两个人从甲地出发，去8 km外的乙地，图中线段OA，PB分别反映了小张、小王步行所走的路程s(km)与时间t(min)之间的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是________min.(第2题)3．某单位新购进A，B两种型号的测温仪共20台，其中A型仪器的数量不少于B型仪器的23，已知A种测温仪的价格是800元/台，B种测温仪的价格是600元/台，问购买A，B两种测温仪各多少台时，可使所购仪器的总费用最少？最少需多少元？第12章一次函数12.4 综合与实践一次,函数模型的应用1．y＝3x＋372．6点拨：由图象可设OA的表达式为y＝kx.因为OA经过点(60，5)，所以5＝60k ，解得k ＝112，所以OA 的表达式为y ＝112x ①，把y ＝8代入①，得8＝112x ，解得x ＝96，则小张到达乙地所用时间为96 min ；设PB 的表达式为y ＝mx ＋n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧10m ＋n ＝0，60m ＋n ＝5，解得⎩⎨⎧m ＝110，n ＝－1.所以PB 的表达式为y ＝110x －1②，把y ＝8代入②，得8＝110x －1，解得x ＝90，则小王到达乙地时间为小张出发后90 min ，所以小王比小张早到乙地的时间是96－90＝6(min)．3．解：设购买A 种型号的测温仪x 台，所需费用为w 元，由题意可得，w ＝800x ＋600(20－x )＝200x ＋12 000，所以w 随x 的增大而增大．由题意可得23(20－x )≤x ≤20，解得8≤x ≤20，所以当x ＝8时，w 取得最小值，此时w＝200×8＋12 000＝13 600，20－x＝12.答：购买A，B两种测温仪分别为8台、12台时，可使所购仪器的总费用最少，最少需13 600元．。
部编版八年级上册数学教学课件-函数的表示法——列表法和解析法
知1－讲
例1 一个小球在一个斜坡上由静止开始向下运动，
通过仪器观察 得到小球滚动的距离s(米)与时间
t(秒)的数据如下表：
t
1 234…
s
2 8 18 32 …
请写出s与t的函数表达式．
知1－讲
解：因为t＝1时，s＝2；t＝2时，s＝8＝2×4＝2×22； t＝3时，s＝18＝2×9＝2×32； t＝4时，s＝32＝2×16＝2×42， 所以s与t的函数表达式为s＝2t2.
(4)零指数幂、负整数指数幂中，底数不为0； (5)实际问题中，自变量除了满足解析式有意义外，
还要考虑使实际问题有意义． 3.自变量的值与函数值.
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
本题以表格的形式给出了时间与距离之间的 关系，我们应观察分析各数值之间的关系，从而列 出函数表达式．
（来自《点拨》）
1 一列火车以80 km/h的速度匀速行驶.
知1－练
(1) 写出它行驶的路程s km与时间t h之间的 函数表达式;
(2)当t =10时，s是多少？
解：（1）s＝80t. （2）s＝80×10＝800.
第12章 一次函数
第1节 函数
第2课时 函数的表示法——列表法和解析法
1 课堂讲解 列表法 解析法
2 课时流程 自变量的取值范围
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
表示函数关系主要有下列三种方法：列表法、解 析法、图象法.
知识点 1 列表法
知1－讲
列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表
（来自《点拨》）
知3－练
1 (中考·黔南州)函数 y 3 x 1 的自变量x
函数的表示法
类比二次函数y＝ 类比二次函数 ＝x2 及二次函数y＝（ － 及二次函数 ＝（x－2 ）2＋1你 ＝（ 你 有何感想？ 有何感想？
问题探究
2x+3, x＜－ ＜－1, ＜－ x2, －1≤x＜1, ＜ 4. 已知函数 (x)= 已知函数f x－1, － x≥1 .
(1)求f{f[f(－2)]} ;（复合函数） 求 － （复合函数） (2) 当f (x)=－7时,求x ; － 时求
欲改造营口开发区世纪广场中 心的圆形喷水池， 心的圆形喷水池，已知原喷水池直径为 20m， 20m，喷水池的周边靠近水面的位置安装 一圈喷水头，喷出的水柱在离池中心4m 一圈喷水头，喷出的水柱在离池中心4m 处达到最高，高度为6m 6m， 处达到最高，高度为6m，现设想在喷水 池的中心设计一个装饰物， 池的中心设计一个装饰物，使各方面喷 来的水柱在此处汇合， 来的水柱在此处汇合，这个装饰物的高 度应当如何设计？ 度应当如何设计？
函数的表示法
函数表示法有几种？
函数表示法 解析法 图像法 列表法
一、函数的三种表示方法： 函数的三种表示方法：
定义：是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示， 定义：是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示， １、解析法 简称解析式。 简称解析式。 优点：函数关系清楚， 优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应 的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。 的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。 ２、列表法 定义：是列出表格来表示两个变量的函数关系。 定义：是列出表格来表示两个变量的函数关系。 优点： 优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函 数的对应值。 数的对应值。 ３、图象法 定义：是用函数图象来表示两个变量的函数关系。 定义：是用函数图象来表示两个变量的函数关系。 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。 优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
3.1 函数的概念及其表示第二课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示第2课时函数的表示方法【课程标准】1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.会用解析法及图象法表示分段函数．4．给出分段函数，能研究有关性质．【知识要点归纳】1.函数的三种表示方法注意：2.分段函数（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数．（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的定义域的交集是．注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．3.求函数解析式的方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，常用的有两种方法：①换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.②配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可.(3)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【经典例题】（一）注意：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主． 例1 已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f (g (3))＝__________； (2)若g (f (x ))＝2，则x ＝__________. （二） 图象法作函数图象的步骤及注意点(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等. 例2 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2] （3）y ＝x ＋1(x ≤0) （三） 分段函数注意：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f ”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． （2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f ”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．（3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。
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第2课时函数关系的表示法——列表法、解析法
【知识与技能】
了解函数的表示方法：列表法、解析法，领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围.
【过程与方法】
学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题.
【情感与态度】
培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值.
【教学重点】
重点是进一步掌握确定函数关系的方法以及确定自变量的取值范围.
【教学难点】
难点是确定函数关系.
一、提出问题，创设情境
我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化，同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？
这将是我们这节研究的内容.
活动一
在计算器上按照下面的程序进行操作.
下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：
所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）.
让学生思考后回答（或小组讨论）
【教学说明】学生通过思考问题，为掌握新知识函数的表示方法：列表法做铺垫.
活动二
用10 cm长的绳子围成矩形，设矩形的长度为x cm，面积为Ｓcm2.怎样用含有x的式子表示Ｓ？
【教学说明】引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.
二、导入新课
上述活动一、活动二反应了两个变量间的函数关系，函数关系式的表示方法主要有三种方法：列表法、解析法、图象法.
在用表达式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使函数的表达式有意义.
例1求下列函数中自变量x的取值范围；
（1）y=2x+4; (2)y=-2x2; (3)
1
; 3.
2
y y x
x
==-
-
【分析】在（1）（2）中，x取任何实数时，2x+4与-2x2都有意义；在（3）中，当x=2
时，
1
2
x-
没有意义；在（4）中，当x＜3时，x-3没有意义.
【解】（1）x为全体实数.
（2）x为全体实数.
（3）x≠2.（4）x≥3.
注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义.如函数S=πR2中自变量R可取全体实数，如果指明这个式子是表示圆面积S与圆半径R 的关系，那么自变量R的取值范围是R＞0.
例2当x=3时，求下列函数的函数值：
（1）y=2x+4; (2)y=-2x2; (3)
1
; 3.
2
y y x
x
==-
-
【解】（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10. （2）当x=3时，y=-2x2=-2×32=-18.
（3）当x=3时，y=
1
2
x-
=1.
（4）当x=3时，y=3
x-=0.
例3一个游泳池内有水300 m3，现打开排水管以每时25 m3排出量排水.
（1）写出游泳池内剩余水量Q （m3）与排水时间t（h）间的函数关系式；
（2）写出自变量t的取值范围；
（3）开始排水后的第5 h末，游泳池中还有多少水？
（4）当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多少时间？
【解】（1）排水后的剩水量Q 是排水时间t的函数，有Q=-25t+300
（2）由于池中共有300 m3水，每时排25 m3，全部排完只需300÷25=12（h），故自变量t的取值范围是0≤t≤12.
（3）当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3），即第5h末池中还有水175 m3.
（4）当Q=150时，由150=-25t+300，得t=6，即已经排水6 h.
三、运用新知，深化理解
1.（广西来宾中考）函数y=3
x-中，自变量x的取值范围是（）
A.x≠3
B.x≥3
C.x＞3
D.x≤3
2.（四川遂宁中考）在函数y=
1
1
x-
中，自变量x的取值范围是（）
A.x＞1
B.x＜1
C.x≠1
D.x=1
3.函数y=
2
1
x
x
+
-
中，自变量x的取值范围是.
4.如图，根据流程图中的程序，当输出数值y=5时，输入数值x是（）
5.水箱内原有水200升，7点30分打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升.
（1）求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）7：55时，水箱内还有多少水？
（3）几点几分水箱内的水恰好放完？
【参考答案】1.B 2.C 3.x≥-2且x≠1 4.C
5.解：（1）∵水箱内存有的水=原有水-放掉的水，
∴y=200-2t，
∵y≥0，
∴200-2t≥0，
解得：t≤100，
∴0≤t≤100，
所以y关于t的函数关系式为：
y=200-2t（0≤t≤100）；
（2）∵7：55-7：30=25（分钟），
∴当t=25时，
y=200-2t=200-50=150（升），
∴7：55时，水箱内还有水150升；
（3）当y=0时，200-2t=0，
解得：t=100分钟=1小时40分钟，
7：30+1小时40分钟=9点10分，
答：故9点10分水箱内的水恰好放完.
四、师生互动，课堂小结
学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力.
1.课本第26页练习1、2、3、5.
2.完成练习册中相应的作业.
通过本节课学习让学生了解函数的表示方法：列表法、解析法，并领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围.学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题，培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的构建在实际生活中的应用价值.。