2019-2020年高中数学 1.2.2 函数的表示法 第二课时教案精讲 新人教A版必修1
高中数学 1.2.2函数的表示法2 新人教版必修10优秀教学教案说课稿

1.2.2函数的表示法(2)(教学设计)教学目的:(1) 了解映射的概念及表示方法。
(2) 会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识。
教学重点:映射的概念教学难点:映射概念的理解教学过程:一、 复习回顾,新课引入1、 函数的常用表示法2、 分段函数分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数;(2)分段函数的定义域是所有区间的并集,值域是各段函数值域的并集;(3)分段函数的求解策略:分段函数分段解。
3、复习初中常见的对应关系(唯一的点f A B A B B A A B {}|0,y y y N ≥∈:f {02}M x x =≤≤N分析:理解题意,根据图像待定系数法求解析式. 解:当[0,30]x ∈时,直线方程为115y x =,当[40,60]x ∈时,直线方程为1210y x =-, 1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评:建立函数的解析式是解决实际问题的关键,把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达.要注意求出解析式后,一定要写出其定义域.1 ≤-1变式训练3:tb0108401画出函数= 2 -1<<1 的图象。
④211 ≥1 三、 课堂小结,巩固反思 (1)理解映射的概念;(2)映射与函数的区别与联系。
四、 布置作业:A 组: 1已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,若()3f x =,则x 的值是( D )A 1B 1或32C 1,32或3± D 3 2在映射中B A f →:,},|),{(R y x y x B A ∈==,且),(),(:y x y x y x f +-→,则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为( A )A )1,3(-B )3,1(C )3,1(--D )1,3(3下列各组函数中,表示同一函数的是( C )A x x y y ==,1B 1,112-=+⨯-=x y x x yC 33,x y x y ==D 2)(|,|x y x y ==4下列图象中不能作为函数图象的是( B ),映射f :A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n +n ,则在映射f 下,B 中的2021在A 的是 C A2 B.3C4 D5 0y x x=- (答:(),0-∞) 7、(课本P24习题1.2A 组NO :3)B 组:1 如图,用长为1的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框 架,若半圆半径为,求此框架围成的面积与的函数式=f ,并写出它的定义域。
【高中数学教学设计】1.2.2函数的表示法

§1.2.2函数的表示法一、教学目标知识与技能1.明确函数的三种表示方法;2.了解简单的分段函数及应用;3.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数。
过程与方法启发引导,充分发挥学生的主体作用情感态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性,渗透数形结合思想方法二、教学重难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念教学难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,分段函数的表示及其图象三、教学过程新课导入我们在前两节课中,已经学习了函数的定义,会求函数的定义域,那么函数有哪些表示的方法呢?这一节课我们研究这一问题(一)、研探新知1.函数有哪些表示方法呢?(表示函数的方法常用的有:解析法、列表法、图象法三种)2.明确三种方法各自的特点? (解析式的特点为:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域.列表法的特点为:不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。
图像法的特点是:能直观形象地表示出函数的变化情况)(二)、例题讲解例1.某种笔记本的单价是5元,买个笔记本需要元,试用三种表示法表示函数. 分析:注意本例的设问,此处“”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.解:(略) 注意:①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域;③图象法:是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.例2.画出函数||y x =的图象 解:由绝对值的概念,我们有所以,函数||y x =的图象如下图所示(三)、课堂练习课本第24页习题7(四)课堂小结理解函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数,注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
(五)课后作业x。
【新课标必修一】《1-2-2函数的表示法(2)》教案

课题函数的表示法(2)教学目标:1. 通过具体实例,了解简单的分段函数及应用;了解映射的概念及表示方法;会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射。
2. 学习函数的表示形式,其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要,而且是为加深理解函数概念的形成过程.3.让学生感受到学习函数表示的必要性,渗透数形结合思想方法.教学重点难点:重点:分段函数的概念; 映射的概念.难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,分段函数的表示及其图象.教法与学法:1教学方法:(1)以实例创设教学情景,引导学生感悟到知识的生成。
(2)层层设问启发引导学生发现规律,总结规律。
(3)让学生在教师指导下通过动手实践自主探究解决问题。
2学习指导:学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标.教学过程:(一)实例引入新课:二、作法总结,变式演练}090α<≤,B =对应法则是“求余弦”.三、思维拓展,课堂交流四、归纳小结,课堂延展巩固创新课堂延展1、设函数⎩⎨⎧<≤++=)0(2)0()(2xxcbxxxf,若2)2(),0()4(-=-=-fff,则关于x的方程xxf=)(的解的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43、设函数3,(10)()((5)),(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f=。
4、已知函数)(xf的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=)1(82)10(5)0(53)(xxxxxxxf(1)画出这个函数的图象;(2)求函数)(xf的最大值。
5、等腰梯形ABCD的两底分别为aAD2=,aBC=,45=∠BAD,作直线ADMN⊥交AD于M,交折线ABCD于N,记xAM=,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域.既能保证全体学生的巩固应用,又兼顾学有余力的学生,同时将探究的空间由课堂延伸到课外。
2019-2020年高中数学1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法(二)教学案(无答案)新人教A版必修1

2019-2020年高中数学1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法(二)教学案(无答案)新人教A
版必修1
【教学目标】
1.知识与技能
巩固求函数解析式的方法,了解映射的概念及表示方法,结合简单的对应图表理解映射的概念. 明确函数与映射的关系,能正确判断对应关系是否为映射.
2.过程与方法
(1)通过函数概念与映射概念对照,理解映射概念;
(2)通过阅读课本实例进一步理解映射的概念.
3. 情感、态度、价值观
映射是近代数学中一个重要概念,是进一步学习各类映射的基础.
【预习任务】
阅读课本p22-23,完成下列任务:
1.试写出映射的概念;理解函数基础上的映射,只是把函数中的两个非空数集推广为两个非空集合.
2.(1)认真体会例7中的第(1)、(2)小题在数形结合中的应用价值;
(2)自己举两个映射的例子;
(3)如何判断一个对应是映射?
(4)指出“函数”与“映射”的区别与联系:
3.回忆上节课例题,归纳求函数解析式的常用方法:
【自主检测】
1.设A={x|x是锐角},B=(0,1),从A到B的映射是“求正弦”,与A的元素600相对应的B中的
元素是什么?与B中的元素
2
2
相对应的A中的元素是什么?
2.设集合M={a,b,c},N={1,-1},试问从M到N的映射共有几个?并将它们分别表示出来。
3.在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着折线BCDA由点B开始向点A运动,设点P运动的路程为x,∆APB的面积为y,试写出y与x的函数关系,并画图.
【组内互检】
1.映射的含义;
2.指出“函数”与“映射”的区别与联系:。
高一数学1.2.2函数的表示法(二)教案

高一数学1.2.2函数的表示法(二)教案【课型】新授课【教学目标】(1)了解映射的概念及表示方法;(2)掌握求函数解析式的方法:换元法,配凑法,待定系数法,消去法,分段函数的解析式。
【教学重点】求函数的解析式。
【教学难点】对函数解析式方法的掌握。
【教学过程】一、复习准备:1.举例初中已经学习过的一些对应,或者日常生活中的一些对应实例:对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应;对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应;对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应;某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应;2.讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点?3.导入:函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,即映射。
二、讲授新课:(一)映射的概念教学:定义:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。
记作:(四)、归纳小结:本节课系统地归纳了映射的概念,并进一步学习了求函数解析式的方法。
(五)、作业布置:1.课本P24习题1.2B组题3,4;2.阅读P26 材料。
1.2.2函数的表示法(三)【课型】新授课【教学目标】(1)进一步了解分段函数的求法;(2)掌握函数图象的画法。
【教学重点】函数图象的画法。
【教学难点】掌握函数图象的画法。
【教学过程】一、复习准备:1.举例初中已经学习过的一些函数的图象,如一次函数,二次函数,反比例函数的图象,并在黑板上演示它们的画法。
2.讨论:函数图象有什么特点?四、归纳小结:函数图象的画法。
五、作业布置:课本P24习题1.2A组题7,B组题2;。
高中数学人教A版必修一1.2.2 函数的表示法 第2课时 教案 (1)

1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射●三维目标1.知识与技能(1)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;(2)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识;(3)了解映射的概念及表示方法.2.过程与方法(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养;(2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造性地解决问题;(3)通过教师指导发现知识结论,培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感、态度与价值观(1)培养辨证地看待事物的观念和数形结合的思想;(2)使学生认识到事物间是有联系的,对应、映射是一种联系方式;(3)激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.●重点难点重点:分段函数的概念.难点:分段函数的表示及映射的概念(1)重点的突破:首先以两个例题为依据,通过学生的研习,组内讨论等活动,让学生先从感性上认识分段函数,再结合生活中的其他实例充分理解分段函数是一个函数,而不是几个函数.最后通过习题,利用师生合作探究的方式,让学生掌握分段函数问题的解法,在此过程中培养学生分析问题和归纳总结的能力,强化训练学生数形结合、分类讨论的思想意识,突出重点的同时化解分段函数的表示这一难点;(2)难点的解决:在映射概念引入时,可先从学生熟悉的对应入手,选择一些具体的生活例子,然后列举一些数学例子,分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况,让学生认真观察、比较,再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射,逐步归纳概括出映射的基本特征,让学生的认识从感性认识到理性认识,体会出映射是函数的推广,函数是一种特殊的映射.分段函数【问题导思】在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比如:国内邮寄信函(本埠),每封信函的重量和对应邮资如下表:(1)邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么?【提示】 据函数定义知M 是m 的函数,其解析式为:M =⎩⎪⎨⎪⎧0.80,m ∈ 0,20]1.60,m ∈ 20,40]2.40,m ∈ 40,60]3.20,m ∈ 60,80]4.00,m ∈ 80,100](2)在(1)中有几个函数?为什么?【提示】 一个.因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分,但不是5个函数,只不过在定义域的不同子集内,对应关系不同而已.如果函数y =f (x ),x ∈A ,根据自变量x 在A 中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.【问题导思】在某次数学测试中,高一 1 班的60名同学都取得了较好的成绩,把该班60名同学的名字构成集合A ,他们的成绩构成集合B .1.A 中的每一个元素,在B 中有且只有一个元素与之对应吗? 【提示】 是的.2.从集合A 到集合B 的对应是函数吗?为什么? 【提示】 不是.因为集合A 不是数集. 映射设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.映射已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x ≤-12x ,-1<x <2x22,x ≥2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值;(2)若f (a )=2,求a 的值.【思路探究】 (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32→求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32(2)就(a )的取值范围分三种情形分别求解.【自主解答】 (1)∵-1<32<2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=2×32=3.又3>2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f (3)=92.(2)当a ≤-1时,由f (a )=2,得a +2=2,a =0,舍去; 当-1<a <2时,由f (a )=2,得2a =2,a =1;当a ≥2时,由f (a )=2,得a 22=2,a =2或a =-2(舍去). 综上所述,a 的值为1或2.1.求分段函数函数值的方法分段函数求值(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f (f (x 0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出字母的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.已知n ∈N *,且f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧n -2, n ≥10f n +5 , n <10 ,则f (4)=________.【解析】 由分段函数定义,f (4)=f (4+5)=f (9)=f (9+5)=f (14)=14-2=12【答案】 12画出函数y =|x +1|+|x -3|的图象,并写出该函数的值域.【思路探究】y =|x +1|+|x -3|――→绝对值定义 零点分段法 去绝对值 ――→分段分段函数―→作图分段函数的图象【自主解答】由y =|x +1|+|x -3|={ -2x +2,x ≤-1 4,-1<x ≤3 2x -2,x >3∴函数图象如图由图象易知函数的值域为[4,+∞)1.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数的图象.2.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.下列图形是函数y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x <0x -1,x ≥0的图象的是()【解析】 由于f (0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1);当x <0时,y =x 2,则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分.因此只有图形C 符合.【答案】 C下列对应关系中,哪些是从集合A 到集合B 的映射?映射的判断(1)A =B =N *,对应关系f :x →y =|x -3|;(2)A =R ,B ={0,1},对应关系f :x →y ={ 1,x ≥0 0,x <0; (3)设A ={矩形},B ={实数},对应关系f :矩形的面积.【思路探究】 紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断. 【自主解答】 (1)集合A 中的3,在f 作用下得0,但0∉B ,即3在集合B 中没有相对应的元素,所以不是映射.(2)对于集合A 中任意一个非负数都唯一对应元素1,对于集合A 中任意一个负数都唯一对应元素0,所以是映射.(3)对于每一个矩形,它的面积是唯一确定的,所以f 是从集合A 到集合B 的映射.判断一个对应是否是映射,关键有两点:(1)对于A 中的任意一个元素,在B 中是否有元素对应; (2)B 中的对应元素是否是唯一的.注意:“一对一”或“多对一”的对应都是映射.已知点(x ,y )在映射f 作用下对应的元素是(2x ,x +y ),则(1,3)在f 作用下对应的元素是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,52 B .(2,4) C .(3,5)D .(4,6)【解析】 由题意知,x →2x ,y →x +y ,故(1,3)在f 作用下对应的元素是(2,4).【答案】 B与分段函数有关的实际问题的解法(12分)如图1-2-4在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,图1-2-4沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动.设点P运动的路程为x,△APB 的面积为y.试求:(1)y与x之间的函数关系式;(2)画出y=f(x)的图象.【思路点拨】当点P在线段BC上时△APB的面积随点P的变化而变化,当点P在线段CD上时,△APB的面积是一个定值,当点P在线段AD上时,△APB 的面积随点P的变化而变化,可见应分三段考虑面积计算.【规范解答】(1)①当点P在线段BC上运动时,S△APB=12×4x=2x(0≤x≤4).2分②当点P在线段CD上运动时,S△APB=12×4×4=8(4<x≤8).4分③当点P在线段AD上运动时,S△APB=12×4×(12-x)=24-2x(8<x≤12).6分∴y 与x 之间的函数关系式为y =⎩⎪⎨⎪⎧2x , 0≤x ≤4 8, 4<x ≤824-2x , 8<x ≤12 .8分(2)画出y =f (x )的图象,如图所示:12分1.本题因点P 所在的位置不同,得到的面积表达式不同,因而应分段计算,得出分段函数表达式.2.解决这类问题的关键点是根据自变量的取值情况决定其对应的运算法则,即保持自变量的取值范围与对应法则的一致性,一般需要分类讨论求解.1.分段函数求值要先找准自变量所在的区间;分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.2.判断一个对应是不是映射,先看第一集合A :看集合A 中的每一个元素是否都有对应元素,若有,再看对应元素是否唯一;至于集合B 中的元素不作任何要求.1.已知集合A ={a ,b },B ={0,1},则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )【解析】 在映射中允许“多对一”,但不允许“一对多”. 【答案】 C2.下列图形是函数y =-|x |(x ∈[-2,2])的图象的是( )【解析】 ∵x ∈[-2,2],故函数y =-|x |在x =±2处均有意义,排除C 、D 两选项.又当x =1时,y =-1<0,从而排除A 选项,故选B.【答案】 B3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≥0-2x +1,x <0,则f (1)+f (-1)=________.【解析】∵f (1)=2×1+1=3,f (-1)=-2×(-1)+1=3,∴f (1)+f (-1)=3+3=6.【答案】 64.已知函数f (x )=1+|x |-x2(-2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.【解】 (1)当0≤x ≤2时,f (x )=1+x -x2=1,当-2<x <0时,f (x )=1+-x -x2=1-x .∴f (x )={ 1 0≤x ≤2 1-x -2<x <0 . (2)函数f (x )的图象如图所示,(3)由(2)知,f (x )在(-2,2]上的值域为[1,3).一、选择题1.设集合A ={x |1≤x ≤2},B ={y |1≤y ≤4},则下述对应法则f 中,不能构成A 到B 的映射的是( )A .f :x →y =x 2B .f :x →y =3x -2C .f :x →y =-x +4D .f :x →y =4-x 2【解析】 当x ∈[1,2]时,y =4-x 2∈[0,3],故选项D 中的“f ”不能构成A 到B 的映射.【答案】 D2.函数f (x )=|x -1|的图象是( )【解析】 f (x )=|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x ≥11-x ,x <1.由f (x )的解析式易知应选B.【答案】 B3.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2,x ≤1x 2+x -2,x >1,则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 的值为( )A.1516 B .-2716C.89D .18【解析】 ∵f (2)=22+2-2=4,∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=1-116=1516. 【答案】 A4.映射f :A →B ,在f 作用下A 中元素(x ,y )与B 中元素(x -1,3-y )对应,则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A .(-1,2)B .(0,3)C .(1,2)D .(-1,3)【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x -1=03-y =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =2,∴A 中的元素为(1,2).【答案】 C图1-2-55.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图1-2-5,不含端点),则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A .-13 B.13C .-23D.23【解析】 由图可知,函数f (x )的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1, 0<x <1 x +1, -1<x <0 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=13-1=-23,∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23=-23+1=13.【答案】 B 二、填空题6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1 x >0 π x =00 x <0 ,则f (f (-2))=________.【解析】 ∵f (-2)=0,∴f (f (-2))=f (0)=π. 【答案】 π7.(2014·镇江高一检测)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x +2,x <1x 2+ax ,x ≥1,若f (f (0))=4a ,则实数a =________.【解析】 由题意知f (0)=2,又f (2)=22+2a ∴22+2a =4a ∴a =2 【答案】 28.函数y =f (x )的图象如图1-2-6所示,那么,f (x )的定义域是________;值域是________;其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________.图1-2-6【解析】 由图象可知,函数y =f (x )的定义域为[-3,0]∪[2,3],值域为[1,5].其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5].【答案】 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]三、解答题9.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +a ,x ≤1x 2-2x ,x ≥1.(1)求a 的值; (2)求f (f (2))的值; (3)若f (m )=3,求m 的值.【解】 (1)由函数定义,得当x =1时, 应有1+a =12-2×1, 即a =-2.(2)由(1),得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -2,x ≤1x 2-2x ,x ≥1.因为2>1,所以f (2)=22-2×2=0, 因为0<1,所以f (f (2))=f (0)=0-2=-2. (3)当m ≤1时,f (m )=m -2,此时m -2=3得m =5,与m ≤1矛盾,舍去; 当m ≥1时,f (m )=m 2-2m , 此时m 2-2m =3得m =-1或m =3. 又因为m ≥1,所以m =3. 综上可知满足题意的m 的值为3.10.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2, x >0x 2+bx +c , x ≤0 ,若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,求f (x )的解析式.【解】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16-4b +c =c4-2b +c =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =4c =2,∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2, x >0x 2+4x +2, x ≤0 .11.为减少空气污染,某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤),采用分段计费的方法计算.电费每月用电不超过100度时,按每度0.57元计算,每月用电量超过100度时,其中的100度仍按原标准收费,超过的部分每度按0.5元计算.(1)设月用电x 度时,应交电费y 元,写出y 关于x 的函数关系式; (2)小明家第一季度缴纳电费情况如下:【解】 (1)由题可得y =⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ,0≤x ≤10057+12 x -100 =12x +7,x >100.(2)一月用电12x +7=76,即x =138;二月用电12x +7=63,即x =112;三月用电0.57x =45.6,即x =80; ∴138+112+80=330(度) ∴第一季度共用电330度。
高中数学 1.2.2 函数的表示法 第二课时教案精讲 新人教A版必修1

1.2.2 函数的表示法 第二课时 第二课时 分段函数及映射[读教材·填要点]1.分段函数如果函数y =f (x ),x ∈A ,根据自变量x 在A 中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.2.映射设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.[小问题·大思维]1.分段函数中,分几段就是几个函数,对吗?提示:不对.分段函数是一个函数,只不过它的解析式是(对应关系)是分段表示的,其图象是由几段图象构成.2.函数y =⎩⎪⎨⎪⎧x +1 x ≥1x -1 x <0的定义域是什么?提示:定义域为(-∞,0)∪[1,+∞). 3.函数与映射有哪些联系与区别?提示:(1)联系:映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的;函数是一个特殊的映射,反过来,要善于用映射的语言来叙述函数的问题.(2)区别:函数是非空数集A 到非空数集B 的映射;而对于映射而言,A 和B 不一定是数集.分段函数求值问题[例1] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1, x ≤-2,x 2+2x , -2<x <2,2x -1, x ≥2.求f (-5),f (-3),f (f (-52))的值.[自主解答] 由-5∈(-∞,-2],-3∈(-2,2),-52∈(-∞,-2],知f (-5)=-5+1=-4,f (-3)=(-3)2+2(-3)=3-2 3.∵f (-52)=-52+1=-32,-2<-32<2,∴f (f (-52))=f (-32)=(-32)2+2×(-32)=94-3=-34.在本例中,若f (a )=3,则a 为何值? 解:①当a ≤-2时,f (a )=a +1, ∴a +1=3.∴a =2>-2不合题意,舍去. ②当-2<a <2时,a 2+2a =3,即a 2+2a -3=0. ∴(a -1)(a +3)=0,∴a =1或a =-3.∵1∈(-2,2),-3∉(-2,2),∴a =1符合题意. ③当a ≥2时,2a -1=3,∴a =2符合题意.综合①②③知,当f (a )=3时,a =1或a =2.——————————————————解决分段函数问题,应注意以下两点:(1)给定自变量求函数值时,应根据自变量所在的范围,利用相应的解析式直接求值; (2)若给函数值求自变量,应根据每一段的解析式分别求解,但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内.————————————————————————————————————————1.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x , -1≤x ≤1,x 2-4x +6, 1<x <5,求f (f (1))的值.解:∵f (1)=3×1=3,∴f (f (1))=f (3)=32-4×3+6=3.分段函数的应用[例2] 某汽车以52 km/h 的速度从A 地运行到260 km 处的B 地,在B 地停留1.5 h 后,再以65 km/h 的速度返回A 地,试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数.[自主解答] 因为260÷52=5(h),260÷65=4(h), 所以,当0≤t ≤5时,s =52t ; 当5<t ≤6.5时,s =260;当6.5<t ≤10.5时,s =260+65(t -6.5). 所以s =⎩⎪⎨⎪⎧52t , 0≤t ≤5,260, 5<t ≤6.5,260+65t -6.5, 6.5<t ≤10.5.——————————————————1从实际问题中抽象出函数模型,除了考虑函数解析式自身的限制条件,还要注意实际问题对自变量取值范围的限制.2求分段函数的解析式,应注意“先分后合”,根据不同的定义域写出相应的函数解析式,最后合并.3最后应把数学问题转化到实际问题中.————————————————————————————————————————2.如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD ,底边BC 长为7 cm , 腰长为2 2 cm ,当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l 把梯形分成两部分,令BF =x ,试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式,并画出大致图象.解:过点A ,D 分别作AG ⊥BC ,DH ⊥BC ,垂足分别是G ,H . 因为ABCD 是等腰梯形, 底角为45°,AB =2 2 cm , 所以BG =AG =DH =HC =2 cm. 又BC =7 cm ,所以AD =GH =3 cm. (1)当点F 在BG 上时, 即x ∈[0,2]时,y =12x 2;(2)当点F 在GH 上时,即x ∈(2,5]时,y =x +x -22×2=2x -2;(3)当点F 在HC 上时,即x ∈(5,7]时,y =S 五边形ABFED =S 梯形ABCD -S Rt ΔCEF=12(7+3)×2-12(7-x)2=-12(x-7)2+10.综合(1)(2)(3)得函数解析式为y=⎩⎪⎨⎪⎧12x2x∈[0,2]2x-2 x∈2,5].-12x-72+10 x∈5,7]函数图象如图所示.映射概念及应用[例3] 下列对应是A到B的映射的有( )①A=R,B=R,f:x→y=1-xx+1;②A={2012年伦敦奥运会的火炬手},B={2012年伦敦奥运会的火炬手的体重},f:每个火炬手对应自己的体重;③A={非负实数},B=R,f:x→y=±x.A.0个B.1个C.2个 D.3个[自主解答] ①中,对于A中元素-1,在B中没有与之对应的元素,则①不是映射;②中,由于每个火炬手都有唯一的体重,则②是映射;③中,对于A中元素4,在B中有两个元素2和-2与之对应,则③不是映射.[答案] B——————————————————判断一个对应是否为映射,依据是映射的定义.判断方法为:先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若有,看对应元素是否唯一;集合B中有剩余元素不影响映射的成立.说明一个对应不是映射,只需寻找一个反例即可. ————————————————————————————————————————3.下列集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A .A =B =N *,对应法则f :x →y =|x -3|B .A =R ,B ={0,1},对应法则f :x →y =⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,0,x <0C .A =B =R ,对应法则f :x →y =±xD .A =Z ,B =Q ,对应法则f :x →y =1x解析:判断两个集合之间的对应是否为映射,只要按照对应法则f 判断,对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中是否有唯一的元素与它对应即可.在A 中,当x =3时,|x -3|=0,于是A 中有一个元素在B 中没有元素和它对应,故不是映射;在C 中,集合A 中的负数是在B 中没有元素和它对应,故不是映射(或者x >0时,B 中对应元素不唯一);在D 中,集合A 中元素为0时,其倒数不存在,因而0在B 中无对应元素,故同样不是映射;B 符合定义.答案:B解题高手易错题审题要严,做题要细,一招不慎,满盘皆输,试试能否走出迷宫!某农户计划建一矩形羊圈,现有可作为围墙的材料总长度为100米,求羊圈的面积S 与长x 的函数关系.[错解] 设羊圈的长为x 米,则宽为(50-x )米,由题意,得S =x (50-x ). 故函数关系式为S =x (50-x ).[错因] 错解中函数关系式不完整,缺少自变量x 的取值范围.[正解] 设羊圈的长为x 米,则宽为(50-x )米,由题意,得S =x (50-x ). 因为当自变量x 取非正数或不小于50的数时,S 的值是0或负数,即羊圈的面积为0或负数,这不符合实际情况,所以自变量x 的取值范围为0<x <50.故函数关系式为S =x (50-x )(0<x <50).1.以下几个论断:①从映射角度看,函数是其定义域到值域的映射;②函数y =x -1,x ∈Z 且x ∈(-3,3]的图象是一条线段;③分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集; ④若D 1,D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域,则D 1∩D 2=∅. 其中正确的论断有( ) A .0个 B .1个 C .2个D .3个解析:函数是特殊的映射,所以①正确;②中的定义域为{-2,-1,0,1,2,3},它的图象是直线y =x -1上的六个孤立的点;因此②不正确;由分段函数的概念可知③正确,④不正确.答案:C2.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤12x,x >1,则f (f (3))=( )A.15 B .3 C.23D.139解析:∵f (3)=23,∴f (f (3))=(23)2+1=139.答案:D3.下列图形是函数y =x |x |的图象的是( )解析:∵g =x ·|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,-x 2, x <0,∴其图象为D. 答案:D4.某客运公司确定车票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元;如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________.解析:根据行程是否大于100千米来求出解析式,由题意得,当0≤x ≤100时,y =0.5x ;当x >100时y =100×0.5+(x -100)×0.4=10+0.4x .答案:y =⎩⎪⎨⎪⎧0.5x , 0≤x ≤10010+0.4x , x >1005.已知从集合A 到集合B 的映射是f 1:x →2x -1,从B 到C 的映射是f 2:y →11+y 2,则从A →C 的映射为________.解析:由已知可得11+2x -12=14x 2-4x +2, ∴A →C 的映射为x →14x 2-4x +2.答案:x →14x 2-4x +26.在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此地段内,车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一半.现假定车速为50公里/小时,车距恰好等于车身长,试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数).解:根据题意可得d =kv 2S .∵v =50时,d =S ,代入d =kv 2S 中,解得k =12 500.∴d =12 500v 2S .当d =S2时,可解得v =25 2.∴d =⎩⎪⎨⎪⎧S 2, 0≤v <252,12 500v 2S , v ≥252.一、选择题1.下列集合A 到集合B 的对应关系f 是映射的是( ) A .A ={-1,0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数平方 B .A ={0,1},B ={-1,0,1,},f :A 中的数开方 C .A =Z ,B =Q ,f :A 中的数取倒数D .A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值解析:B 中元素1在f 下有两个元素±1与之对应,不是映射;C 中元素0无倒数,不是映射;D 中元素0在B 中无元素与之对应,不是映射.答案:A2.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10,x <0,10x , x ≥0则f (f (-7))的值为( ) A .100 B .10 C .-10D .-100解析:f (-7)=10,f (f (-7))=f (10)=10×10=100. 答案:A3.给出下列四个对应,其中是映射的是( )解析:B 项中M 中元素2、4在N 中没有元素与之对应;C 项,M 中元素1、2在N 中对应不唯一;D 项,M 、N 中元素重复,而且,M 中元素3在N 中对应不唯一.答案:A4.若定义运算a ⊙b =⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b a a <b,则函数f (x )=x ⊙(2-x )的值域是( )A .(-∞,1]B .(-∞,1)C .(-∞,+∞) D.(1,+∞)解析:∵f (x )=x ⊙(2-x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≥1x ,x <1∴f (x )的值域为(-∞,1]. 答案:A 二、填空题5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2, x ≤-1,2x , -1<x <2,x 22, x ≥2,若f (a )=3,则a 等于________.解析:由f (a )=3,当a ≤-1时,a +2=3, ∴a =1>-1(舍去).当-1<a <2时,2a =3,∴a =32∈(-1,2).当a ≥2时,a 22=3,∴a =6≥2或a =-6<2(舍).答案:32或 66.设集合A =B ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },点(x ,y )在映射f :A →B 的作用下对应的点是(x -y ,x +y ),则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________.解析:设A 中点的坐标为(x ,y ),则B 中为(x -y ,x +y )且有⎩⎪⎨⎪⎧x -y =3x +y =2得⎩⎪⎨⎪⎧x =52,y =-12答案:(52,-12)7.已知y =f (x )的图象如图所示:则f (x )的定义域为________,值域为________.解析:由图象易知f (x )的定义域为:(-∞,-1]∪(1,+∞),值域为(-∞,-1]∪(1,3).答案:(-∞,-1]∪(1,+∞) (-∞,-1]∪(1,3)8.规定:区间[m ,n ]的长度为n -m (n >m ).设集合A =[0,t ](t >0),集合B =[a ,b ](b >a ),从集合A 到集合B 的映射f :x →y =2x +t ,若集合B 的长度比集合A 的长度大5,则实数t =________.解析:由于集合A 和集合B 均是数集,则该映射f :x →y 是函数,且f (x )=2x +t .当x ∈A 时,f (x )的值域为[f (0),f (t )],即[t,3t ],所以集合B 的长度为3t -t =2t ,又集合A 的长度为t -0=t ,则2t -t =5,解得t =5.答案:5 三、解答题9.已知在函数f (x )=1+|x |-x2(-2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 解:当0≤x ≤2时,f (x )=1+x -x2=1;当-2<x <0时,f (x )=1+-x -x2=1-x ,∴f (x )=⎩⎨⎧1-x , -2<x <0,1, 0≤x ≤2.(2)函数f (x )的图象如图所示.(3)由(2)知,f (x )在(-2,2]上的值域为[1,3).10.根据如图所示的函数y =f (x )的图象,写出函数的解析式.解:当-3≤x <-1时,函数y =f (x )的图象是一条线段, 设f (x )=ax +b (a ≠0). 将点(-3,1),(-1,-2)代入, 可得a =-32,b =-72,即f (x )=-32x -72.当-1≤x <1时,同理可设f (x )=cx +d (c ≠0). 将点(-1,-2),(1,1)代入, 可得c =32,d =-12,即f (x )=32x -12;当1≤x <2时, f (x )=1.所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-32x -72,-3≤x <-1,32x -12,-1≤x <1,1,1≤x <2.。
2019-2020年高中数学 1.2.2函数的表示法教案 新人教版必修1

2019-2020年高中数学 1.2.2函数的表示法教案新人教版必修1.教学目标1.知识与技能(1)明确函数的三种表示方法;(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数;(3)通过具体实例,了解简单的分段函数及应用.2.过程与方法:学习函数的表示形式,其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要,而且是为加深理解函数概念的形成过程.3.情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性,渗透数形结合思想方法。
二.教学重点和难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.教学难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.三.学法及教学用具1.学法:学生通过观察、思考、比较和概括,从而更好地完成本节课的教学目标.2.教学用具:圆规、三角板、投影仪.四.教学思路(一)创设情景,揭示课题.我们在前两节课中,已经学习了函数的定义,会求函数的值域,那么函数有哪些表示的方法呢?这一节课我们研究这一问题.(二)研探新知1.函数有哪些表示方法呢?(表示函数的方法常用的有:解析法、列表法、图象法三种)2.明确三种方法各自的特点?(解析式的特点为:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域.列表法的特点为:不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是:能直观形象地表示出函数的变化情况)(三)质疑答辩,排难解惑,发展思维.例1.某种笔记本的单价是5元,买个笔记本需要元,试用三种表示法表示函数.分析:注意本例的设问,此处“”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.解:(略)注意:①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域;③图象法:是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.例2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析:本例应引导学生分析题目要求,做学情分析,具体要分析什么?怎么分析?借助什么工具?解:(略)注意:①本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样更便于研究成绩的变化特点:②本例能否用解析法?为什么?例3.画出函数的图象解:(略)例4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5公里以内,票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算),已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里,如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.分析:本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.解:(略)注意:①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;②象例3、例4中的函数,称为分段函数.③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(四)巩固深化,反馈矫正.(1)课本P27练习第1,2,3题(2)国内投寄信函(外埠),假设每封信函不超过20,付邮资80分,超过20而不超过40付邮资160分,每封(0<≤100=的信函应付邮资为(单位:分)(五)归纳小结理解函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数,注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
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2019-2020年高中数学 1.2.2 函数的表示法 第二课时教案精讲 新人教A 版必修11.分段函数如果函数y =f (x ),x ∈A ,根据自变量x 在A 中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.2.映射设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.[小问题·大思维]1.分段函数中,分几段就是几个函数,对吗?提示:不对.分段函数是一个函数,只不过它的解析式是(对应关系)是分段表示的,其图象是由几段图象构成.2.函数y =⎩⎪⎨⎪⎧x +1 x ≥1x -1 x <0的定义域是什么?提示:定义域为(-∞,0)∪[1,+∞). 3.函数与映射有哪些联系与区别?提示:(1)联系:映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的;函数是一个特殊的映射,反过来,要善于用映射的语言来叙述函数的问题.(2)区别:函数是非空数集A 到非空数集B 的映射;而对于映射而言,A 和B 不一定是数集.[例1] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1, x ≤-2,x 2+2x , -2<x <2,2x -1, x ≥2.求f (-5),f (-3),f (f (-52))的值.[自主解答] 由-5∈(-∞,-2],-3∈(-2,2),-52∈(-∞,-2],知f (-5)=-5+1=-4,f (-3)=(-3)2+2(-3)=3-2 3.∵f (-52)=-52+1=-32,-2<-32<2,∴f (f (-52))=f (-32)=(-32)2+2×(-32)=94-3=-34.在本例中,若f (a )=3,则a 为何值? 解:①当a ≤-2时,f (a )=a +1, ∴a +1=3.∴a =2>-2不合题意,舍去. ②当-2<a <2时,a 2+2a =3,即a 2+2a -3=0. ∴(a -1)(a +3)=0,∴a =1或a =-3.∵1∈(-2,2),-3∉(-2,2),∴a =1符合题意. ③当a ≥2时,2a -1=3,∴a =2符合题意.综合①②③知,当f (a )=3时,a =1或a =2.—————————————————— 解决分段函数问题,应注意以下两点:(1)给定自变量求函数值时,应根据自变量所在的范围,利用相应的解析式直接求值; (2)若给函数值求自变量,应根据每一段的解析式分别求解,但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内.————————————————————————————————————————1.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x , -1≤x ≤1,x 2-4x +6, 1<x <5,求f (f (1))的值.解:∵f (1)=3×1=3,∴f (f (1))=f (3)=32-4×3+6=3.[例2] 某汽车以52 km/h 的速度从A 地运行到260 km 处的B 地,在B 地停留1.5 h 后,再以65 km/h 的速度返回A 地,试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数.[自主解答] 因为260÷52=5(h),260÷65=4(h), 所以,当0≤t ≤5时,s =52t ; 当5<t ≤6.5时,s =260;当6.5<t ≤10.5时,s =260+65(t -6.5). 所以s =⎩⎪⎨⎪⎧52t , 0≤t ≤5,260, 5<t ≤6.5,260+t -, 6.5<t ≤10.5.——————————————————从实际问题中抽象出函数模型,除了考虑函数解析式自身的限制条件,还要注意实际问题对自变量取值范围的限制.求分段函数的解析式,应注意“先分后合”,根据不同的定义域写出相应的函数解析式,最后合并.最后应把数学问题转化到实际问题中.————————————————————————————————————————2.如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD ,底边BC 长为7 cm ,腰长为2 2 cm ,当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l 把梯形分成两部分,令BF =x ,试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式,并画出大致图象.解:过点A ,D 分别作AG ⊥BC ,DH ⊥BC ,垂足分别是G ,H . 因为ABCD 是等腰梯形, 底角为45°,AB =2 2 cm , 所以BG =AG =DH =HC =2 cm. 又BC =7 cm ,所以AD =GH =3 cm. (1)当点F 在BG 上时, 即x ∈[0,2]时,y =12x 2;(2)当点F 在GH 上时,即x ∈(2,5]时,y =x +x -2×2=2x -2;(3)当点F 在HC 上时,即x ∈(5,7]时,y =S 五边形ABFED =S 梯形ABCD -S Rt ΔCEF=12(7+3)×2-12(7-x )2 =-12(x -7)2+10.综合(1)(2)(3)得函数解析式为y =⎩⎪⎨⎪⎧12x 2x ∈[0,2]2x -2 x ∈,5].-12x -2+10 x ∈,7]函数图象如图所示.[例3] 下列对应是A 到B 的映射的有( )①A =R ,B =R ,f :x →y =1-xx +1;②A ={xx 年伦敦奥运会的火炬手},B ={xx 年伦敦奥运会的火炬手的体重},f :每个火炬手对应自己的体重;③A ={非负实数},B =R ,f :x →y =±x .A .0个B .1个C .2个D .3个[自主解答] ①中,对于A 中元素-1,在B 中没有与之对应的元素,则①不是映射;②中,由于每个火炬手都有唯一的体重,则②是映射;③中,对于A 中元素4,在B 中有两个元素2和-2与之对应,则③不是映射.[答案] B——————————————————判断一个对应是否为映射,依据是映射的定义.判断方法为:先看集合A 中每一个元素在集合B 中是否均有对应元素.若有,看对应元素是否唯一;集合B 中有剩余元素不影响映射的成立.说明一个对应不是映射,只需寻找一个反例即可.————————————————————————————————————————3.下列集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A .A =B =N *,对应法则f :x →y =|x -3|B .A =R ,B ={0,1},对应法则f :x →y =⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,0,x <0C .A =B =R ,对应法则f :x →y =±xD .A =Z ,B =Q ,对应法则f :x →y =1x解析:判断两个集合之间的对应是否为映射,只要按照对应法则f 判断,对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中是否有唯一的元素与它对应即可.在A 中,当x =3时,|x -3|=0,于是A 中有一个元素在B 中没有元素和它对应,故不是映射;在C 中,集合A 中的负数是在B 中没有元素和它对应,故不是映射(或者x >0时,B 中对应元素不唯一);在D 中,集合A 中元素为0时,其倒数不存在,因而0在B 中无对应元素,故同样不是映射;B 符合定义.答案:B 高手易错题走出迷宫!某农户计划建一矩形羊圈,现有可作为围墙的材料总长度为100米,求羊圈的面积S 与长x 的函数关系.[错解] 设羊圈的长为x 米,则宽为(50-x )米,由题意,得S =x (50-x ). 故函数关系式为S =x (50-x ).[错因] 错解中函数关系式不完整,缺少自变量x 的取值范围.[正解] 设羊圈的长为x 米,则宽为(50-x )米,由题意,得S=x (50-x ). 因为当自变量x 取非正数或不小于50的数时,S 的值是0或负数,即羊圈的面积为0或负数,这不符合实际情况,所以自变量x 的取值范围为0<x <50.故函数关系式为S =x (50-x )(0<x <50).1.以下几个论断:①从映射角度看,函数是其定义域到值域的映射; ②函数y =x -1,x ∈Z 且x ∈(-3,3]的图象是一条线段;③分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集; ④若D 1,D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域,则D 1∩D 2=∅. 其中正确的论断有( )A .0个B .1个C .2个D .3个解析:函数是特殊的映射,所以①正确;②中的定义域为{-2,-1,0,1,2,3},它的图象是直线y =x -1上的六个孤立的点;因此②不正确;由分段函数的概念可知③正确,④不正确.答案:C2.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤12x,x >1,则f (f (3))=( )A.15 B .3 C.23D.139解析:∵f (3)=23,∴f (f (3))=(23)2+1=139.答案:D3.下列图形是函数y =x |x |的图象的是( )解析:∵g =x ·|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,-x 2, x <0,∴其图象为D. 答案:D4.某客运公司确定车票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元;如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________.解析:根据行程是否大于100千米来求出解析式,由题意得,当0≤x ≤100时,y =0.5x ;当x >100时y =100×0.5+(x -100)×0.4=10+0.4x .答案:y =⎩⎪⎨⎪⎧0.5x , 0≤x ≤10010+0.4x , x >1005.已知从集合A 到集合B 的映射是f 1:x →2x -1,从B 到C 的映射是f 2:y →11+y 2,则从A →C 的映射为________.解析:由已知可得11+x -2=14x 2-4x +2,∴A →C 的映射为x →14x 2-4x +2. 答案:x →14x 2-4x +26.在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此地段内,车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一半.现假定车速为50公里/小时,车距恰好等于车身长,试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数).解:根据题意可得d =kv 2S .∵v =50时,d =S ,代入d =kv 2S 中,解得k =12 500.∴d =12 500v 2S .当d =S2时,可解得v =25 2.∴d =⎩⎪⎨⎪⎧S 2, v <252,12 500v 2S ,v ≥252一、选择题1.下列集合A 到集合B 的对应关系f 是映射的是( ) A .A ={-1,0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数平方 B .A ={0,1},B ={-1,0,1,},f :A 中的数开方 C .A =Z ,B =Q ,f :A 中的数取倒数D .A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值解析:B 中元素1在f 下有两个元素±1与之对应,不是映射;C 中元素0无倒数,不是映射;D 中元素0在B 中无元素与之对应,不是映射.答案:A2.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10, x ,10x , x则f (f (-7))的值为( ) A .100 B .10 C .-10D .-100解析:f (-7)=10,f (f (-7))=f (10)=10×10=100.答案:A3.给出下列四个对应,其中是映射的是( )解析:B 项中M 中元素2、4在N 中没有元素与之对应;C 项,M 中元素1、2在N 中对应不唯一;D 项,M 、N 中元素重复,而且,M 中元素3在N 中对应不唯一.答案:A4.若定义运算a ⊙b =⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b a a <b,则函数f (x )=x ⊙(2-x )的值域是( )A .(-∞,1]B .(-∞,1)C .(-∞,+∞) D.(1,+∞)解析:∵f (x )=x ⊙(2-x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,xx ,x <∴f (x )的值域为(-∞,1]. 答案:A 二、填空题5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2, x ≤-1,2x , -1<x <2,x 22, x ≥2,若f (a )=3,则a 等于________.解析:由f (a )=3,当a ≤-1时,a +2=3, ∴a =1>-1(舍去).当-1<a <2时,2a =3,∴a =32∈(-1,2).当a ≥2时,a 22=3,∴a =6≥2或a =-6<2(舍).答案:32或 66.设集合A =B ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },点(x ,y )在映射f :A →B 的作用下对应的点是(x -y ,x +y ),则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________.解析:设A 中点的坐标为(x ,y ),则B 中为(x -y ,x +y )且有⎩⎪⎨⎪⎧x -y =3x +y =2得⎩⎪⎨⎪⎧x =52,y =-12答案:(52,-12)7.已知y =f (x )的图象如图所示:则f (x )的定义域为________,值域为________.解析:由图象易知f (x )的定义域为:(-∞,-1]∪(1,+∞),值域为(-∞,-1]∪(1,3).答案:(-∞,-1]∪(1,+∞) (-∞,-1]∪(1,3)8.规定:区间[m ,n ]的长度为n -m (n >m ).设集合A =[0,t ](t >0),集合B =[a ,b ](b >a ),从集合A 到集合B 的映射f :x →y =2x +t ,若集合B 的长度比集合A 的长度大5,则实数t =________.解析:由于集合A 和集合B 均是数集,则该映射f :x →y 是函数,且f (x )=2x +t .当x ∈A 时,f (x )的值域为[f (0),f (t )],即[t,3t ],所以集合B 的长度为3t -t =2t ,又集合A 的长度为t -0=t ,则2t -t =5,解得t =5.答案:5 三、解答题9.已知在函数f (x )=1+|x |-x2(-2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 解:当0≤x ≤2时,f (x )=1+x -x2=1;当-2<x <0时,f (x )=1+-x -x2=1-x ,∴f (x )=⎩⎨⎧1-x , -2<x <0,1, 0≤x ≤2.(2)函数f (x )的图象如图所示.(3)由(2)知,f (x )在(-2,2]上的值域为[1,3).10.根据如图所示的函数y =f (x )的图象,写出函数的解析式.解:当-3≤x <-1时, 函数y =f (x )的图象是一条线段, 设f (x )=ax +b (a ≠0). 将点(-3,1),(-1,-2)代入, 可得a =-32,b =-72,即f (x )=-32x -72.当-1≤x <1时,同理可设f (x )=cx +d (c ≠0). 将点(-1,-2),(1,1)代入, 可得c =32,d =-12,即f (x )=32x -12;当1≤x <2时, f (x )=1.所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-32x -72,-3≤x <-1,32x -12,-1≤x <1,1,1≤x <2.2019-2020年高中数学 1.2应用举例教案教案(1)新人教A版必修5教学要求:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语.教学重点:熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点:根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程:一、复习准备:1.在△ABC中,∠C=60°,a+b=2(+1),c=2,则∠A为 .2.在△ABC中,sin A=,判断三角形的形状.解法:利用正弦定理、余弦定理化为边的关系,再进行化简二、讲授新课:1. 教学距离测量问题:①出示例1:如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,BAC=,ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).分析:实际问题中已知的边与角?选用什么定理比较合适?→师生共同完成解答. →讨论:如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离?③出示例2:如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析得出方法:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA =.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算?→写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下:在ADC和BDC中,应用正弦定理得AC= =,BC ==.计算出AC和BC后,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB④练习:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测得BCA=60,ACD=30,CDB=45,BDA=60. (答案:AB=20).2. 小结:解斜三角形应用题的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.三、巩固练习:1. 隔河可以看到两个目标,但不能到达,在岸边选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°. A、B、C、D在同一个平面,求两目标A、B间的距离. (答案:km)2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30,灯塔B在观察站C南偏东60,则A、B之间的距离为多少?(答案:a km)3. 作业:教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例(二)教学要求:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点:结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题.教学难点:能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件.教学过程:一、复习准备:1. 讨论:测量建筑物的高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?2. 讨论:怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?二、讲授新课:1. 教学高度的测量:①出示例1:AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析:测量方法→计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC=,AB= AE+h=AC+h=+h.②练习:如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54,在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)③出示例2:如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.分析:已知条件和问题分别在哪几个三角形中?分别选用什么定理来依次解各三角形?→师生共同解答.解答:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理, = ,BC ==≈7.4524(km),CD=BC tan DBC≈BC tan8≈1047(m).2. 练习:某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标,测得目标A在南偏西57°,俯角是60°,测得目标B在南偏东78°,俯角是45°,试求山高.解法:画图分析,标出各三角形的有关数据,再用定理求解. 关键:角度的概念3. 小结:审题;基本概念(方位角、俯角与仰角);选择适合定理解三角形;三种高度测量模型(结合图示分析).三、巩固练习:1. 为测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30,测得塔基B的俯角为45,则塔AB的高度为多少m?答案:20+(m)2. 在平地上有A、B两点,A在山的正东,B在山的东南,且在A的南25°西300米的地方,在A侧山顶的仰角是30°,求山高. (答案:230米)3. 作业:P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例(三)教学要求:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点:熟练运用定理.教学难点:掌握解题分析方法.教学过程:一、复习准备:1. 讨论:如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离?又如何测量两个不可到达点的距离?如何测量底部不可到达的建筑物高度?与前者有何相通之处?2. 讨论:在实际的航海生活中,如何确定航速和航向?通法:转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课:1. 教学角度的测量问题:①出示例1:甲、乙两船同时从B点出发,甲船以每小时10(+1)km的速度向正东航行,乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行,1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点,求A、C两点的距离,以及在A点观察C点的方向角.分析:根据题意,如何画图?→解哪个三角形?用什么定理?如何列式?→学生讲述解答过程(答案:)→小结:解决实际问题,首先读懂题意,画出图形→再分析解哪个三角形,如何解?②练习:已知A、B两点的距离为100海里,B在A的北偏东30°,甲船自A以50海里/小时的速度向B航行,同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行,问航行几小时,两船之间的距离最小?画出图形,并标记已知和要求的→解哪个三角形?用什么定理解?如何列式?③出示例2:某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?分析:如何画出方位图?→寻找三角形中的已知条件和问题?→如何解三角形.→师生共同解答. (答案:北偏东83方向;1.4小时)④练习:某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群,离渔轮9海里,并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去,渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕,问渔轮应沿什么方向,需几小时才能追上渔群?2. 小结:(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习:1. 我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰?2. 某时刻A点西400千米的B处是台风中心,台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进,以台风中心为圆心,300千米为半径的圆称为“台风圈”,从此时刻算起,经过多长时间A 进入台风圈?A处在台风圈中的时间有多长?3. 作业:教材P22 习题1.2 A组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例(四)教学要求:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用,能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点:三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明.教学难点:利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程:一、复习准备:1. 提问:接触过哪些三角形的面积公式?2. 讨论:已知两边及夹角如何求三角形面积?二、讲授新课:1. 教学面积公式:①讨论:ABC中,边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h,那么它们如何用已知边和角表示?→如何计算三角形面积?②结论:三角形面积公式,S=absinC,S=bcsinA, S=acsinB③练习:已知在ABC中,B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.(解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数)④出示例1:在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到0.1cm)?分析:由已知条件可得到什么结论?根据三角形面积公式如何求一个角的正弦?→师生共同解答. →小结:余弦定理,诱导公式,面积公式.→讨论:由三边如何直接求面积?(海仑公式)2. 教学恒等式证明:①讨论:射影定理:a = b cos C + c cos B;b = a cos C + c cos A;c = a cos B + b cos A.分析:如何证明第一个式子?证一:右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二:右边 = 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2:在ABC中,求证:(1)(2)++=2(bc cos A+ca cos B+abcosC)分析:观察式子特点,讨论选用什么定理?3. 小结:利用正弦定理或余弦定理,“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习:1. 在△ABC中,若,判断△ABC的形状. (两种方法)2. 某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40. 开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?(15千米)3. 作业:教材P24 14、15题.。