材料力学第十一章压杆稳定分析
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质内部力的作用和变形规律的一门学科。
在材料力学中，压杆稳定是一个重要的概念，它涉及到杆件在受压作用下的稳定性问题。
本文将围绕材料力学中的压杆稳定问题展开讨论，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要了解什么是压杆稳定。
在材料力学中，压杆稳定是指杆件在受到压力作用时不会发生失稳现象，保持原有形状和结构的能力。
对于一个长细杆件来说，当受到外部压力作用时，如果其稳定性不足，就会出现侧向挠曲或屈曲等失稳现象，这将导致结构的破坏。
因此，压杆稳定是材料力学中一个至关重要的问题。
接下来，我们将从材料的选择、截面形状和支撑条件等方面来探讨如何提高压杆的稳定性。
首先，材料的选择对于压杆稳定至关重要。
一般来说，高强度、高刚度的材料更有利于提高压杆的稳定性。
此外，材料的表面质量和加工工艺也会对压杆的稳定性产生影响，因此在实际工程中需要对材料的选择和加工过程进行严格控制。
其次，截面形状也是影响压杆稳定性的重要因素。
通常情况下，圆形截面是最有利于抵抗压力的，因为圆形截面能够均匀分布受力，减小局部应力集中的可能性。
相比之下，矩形或其他非圆形截面的压杆在受到压力作用时往往稳定性较差，容易发生失稳现象。
最后，支撑条件也是影响压杆稳定性的关键因素之一。
压杆的支撑条件直接影响其在受力时的变形和稳定性。
合理的支撑设计能够有效地提高压杆的稳定性，减小失稳的可能性。
综上所述，材料力学中的压杆稳定是一个复杂而重要的问题，需要综合考虑材料的选择、截面形状和支撑条件等因素。
只有在这些方面都做到合理设计和严格控制，才能保证压杆在受力时不会发生失稳现象，从而确保结构的安全可靠。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握材料力学中压杆稳定的相关知识，为工程实践提供一定的参考价值。
同时，也希望读者能够在实际工程中注重压杆稳定性的设计和控制，确保结构的安全可靠。
材料力学压杆的稳定性教学课件
如铸铁、玻璃等，其压杆稳定性 主要受材料强度和截面形状影响
，临界载荷较高。
塑性材料
如钢材、铜材等，其压杆稳定性受 材料屈服点和截面形状影响，临界 载荷较低。
复合材料
如玻璃纤维增强塑料等，其压杆稳 定性受材料性能和结构参数影响较 大，临界载荷取决于材料和结构的 设计。
04
压杆的稳定性实验
实验目的与要求
案例三：机械零件中的压杆稳定性分析
总结词
机械零件中的压杆稳定性分析是确保机械设备正常运转的关键因素，通过对机械零件中压杆的稳定性进行分析， 可以提高机械设备的可靠性和安全性。
详细描述
在机械设备中，压杆通常用于传递载荷或支撑部件，其稳定性对机械设备的性能和寿命具有重要影响。通过分析 机械零件中压杆的受力情况、材料特性等因素，可以评估其稳定性，并优化设计以提高机械设备的可靠性和安全 性。
定义
材料力学是研究材料在各种力和 力矩作用下的应力和应变行为的 科学。
重要性
材料力学为工程设计和结构分析 提供了理论基础，确保了工程结 构的稳定性和安全性。
材料力学的基本假设与理论
假设
材料是连续的、均匀的、各向同性的。
理论
胡克定律、弹性力学、塑性力学等。
材料力学在工程中的应用
01
02
03
建筑
建筑设计中的结构分析， 如梁、柱、板等。
本课件旨在帮助学生深入理解材料力学压杆稳定性的基本概念、原理和方法，提高 解决实际问题的能力。
课程目标
01
02
03
04
掌握压杆稳定性的基本概念、 原理和方法。
了解不同类型压杆的稳定性分 析方法。
掌握临界载荷和失稳形式的计 算方法。
材料力学-压杆稳定
1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
材料力学09第十一章 压杆稳定问题
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x Fcr
A
Fcr 2 k 令 EI
w' ' k 2 w 0
与前面获得的结果相同。
w
w l 2 x
2）计算许可载荷[P]
1.5 y 0 : [ P ] P 2 0 [ P] 2.82( KN)
BC cr
§11-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
1. 欧拉公式的应用范围
欧拉临界应力
I 2 EI 2 i Fcr 2 ( l ) A 2 2 2 E E EI Fcr cr 2 ( l ) A ( l ) 2 A ( l ) 2 A
约束越弱，μ系数越大， 临界力Fcr越低，稳定性越差。
其他支座条件下细长压杆的临界压力
由于边界条件不同，则：
2 EI Fcr ( l ) 2
I：最小惯性矩
称为长度系数。
一端固定一端自由：
2
1
两端铰支：
一端铰支一端固定：
临界应力
cr
Fcr A
0.7 0.5
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳（屈曲）：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态； 临界力 压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
材料力学-压杆的稳定性
11.5 压杆的稳定计算
一、安全系数法
Fcr F [F ] nst
I A
•临界柔度
s — 屈服极限
2E 1 欧拉公式 (大柔度杆) cr 2 1 2 (中柔度杆) cr a b 直线公式
•临界应力
2
(小柔度杆)
cr s
强度问题
临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。
cr
S P
许可外力 [ P ] 。
a
A
30
0
b
P B
C
D
例题：
11.6 提高压杆稳定性的措施
FPcr
2 EI ( l )2
欧拉公式
FPcr 越大越稳定
1) 减小压杆长度 l 2) 减小长度系数μ（增强约束）
3) 增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
4) 增大弹性模量 E（合理选择材料）
1) 减小压杆长度 l
（绕哪个轴转动）
对于矩形截面：
y
压杆的稳定性
y
h b z
x h z b
1 3 I z bh , 12
1 3 I y hb 12
hb
Iz Iy
所以该矩形截面压杆应在xz平面内 失稳弯曲；即，绕 y 轴转动。
11.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：
材料力学-压杆的稳定性
压杆的平衡条件
压杆在平衡状态下需要满足一定的条件，包括受力平衡和挠度平衡。我们将详细讨论这些条件，并是否能够保持稳定的重要方法。我们将介绍常用的稳 定性分析方法，包括欧拉稳定性理论和能量法。
影响压杆稳定性的因素
压杆的稳定性受到多种因素的影响，包括几何形状、材料性质、外部载荷等。我们将讨论这些因 素，并分析它们对压杆稳定性的影响。
建筑
压杆在建筑结构中起着支撑和 稳定的作用，使得建筑物能够 抵抗外部压力。
机械
压杆在机械设计中用于传递力 量和实现稳定性，使得机械装 置能够正常运行。
航空航天
压杆在航空航天工程中起着支 撑和稳定的作用，使得飞机和 航天器能够在飞行过程中保持 结构的完整性。
材料力学基础知识回顾
在开始讨论压杆的稳定性之前，让我们回顾一些材料力学的基础知识，包括材料的应力和应变，杨氏模 量等。
总结和展望
通过本次演讲，我们深入了解了压杆的定义和应用，回顾了材料力学的基础知识，讨论了压杆的平衡条 件和稳定性分析方法，并分析了影响压杆稳定性的因素。希望这些知识能对大家的学习和实际工程应用 有所帮助。
几何形状
压杆的几何形状对其稳定性有重要影响，包括长度、直径等。
材料性质
材料的强度和刚度对压杆稳定性起着关键作用。
外部载荷
外部载荷会改变压杆的受力状态，从而影响其稳定性。
实际工程中的应用案例
在实际工程中，压杆的稳定性是一个重要的设计考虑因素。我们将介绍一些真实的工程案例，并探讨如 何应用稳定性分析来改进设计。
材料力学-压杆的稳定性
欢迎大家来到本次关于材料力学中压杆的稳定性的演讲。在这个演讲中，我 们将探讨压杆的定义和应用，材料力学基础知识回顾，压杆的平衡条件，稳 定性分析的方法，影响压杆稳定性的因素，实际工程中的应用案例，以及对 这个话题的总结和展望。
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
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§asic concepts of columns)
一、引言 (Introduction)
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为
σmax
FN max A
四、压杆稳定的基本概念 (The basic concepts of columns)
1.平衡的稳定性（Stability of equilibrium ）
随遇平衡
2.弹性压杆的稳定性 (Stability of Equilibrium applies to elastic compressive members)
§11-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Euler’s Formula for other end conditions
§11-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 (Applicable range for Euler’s formula • the experimental formula ) §11-5 压杆的稳定校核 (Check the stability of columns)
w Asinkx Bcos kx (c) （A、B为积分常数）
边界条件
x 0, w 0
x
x l, w 0
F
由公式(c)
Asin 0 Bcos 0 0 B 0
l
A0 Asin kl 0
m
m
w
x
sin kl 0 y
B
讨论： 若
A 0, w 0
则必须 sin kl 0 kl nπ(n 0,1,2,)
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
关键
确定压杆的临界力 Fcr
临界状态
稳 定 平 衡
对应的
过
度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
五、稳定问题与强度问题的区别(Distinguish between stable problem and strength problem)
明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
构件的承载能力
① 强度 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全可 靠地工作.
二、工程实例（Example problem）
三、失稳破坏案例 (Bucking examples)
案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge)1907 年8月29日，发生稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大 工程惨剧之一.
压杆
强度问题
稳定问题
平衡状态
直线平衡状态不变
应力
达到限值
平衡方程
变形前的形状、尺寸
极限承载能力
实验确定
平衡形式发生变化
小于限值
变形后的形状、尺寸 理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
§11-2 两端绞支细长压杆的临界压力 (The Critical Load for a straight, uniform, axially loaded, pin-ended columns)
End Conditions)
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
Fcr
2 EI l2
欧拉公式
l
2l
Fcr
2 EI (2l )2
Fcr
π2 EI
(l )2
l/4 l/2 ll l/4
0.7l l
0.3l
Fcr
2 EI (l / 2)2
2 EI Fcr (0.7l)2
l—相当长度
—长度因数
表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
[σ]
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1
mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所
能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是
与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发
Chapter11 Buckling of Columns
第十一章 压杆稳定 （Buckling of Columns ）
§11-1 压杆稳定的概念 (The basic concepts of columns)
§11-2 两端铰支细长压杆的临界压力 (The Critical Load for a straight, uniform, axially loaded, pin-ended columns)
k2 F kl nπ(n 0,1,2,) EI
F
n2π l
2 2
EI
(n 0,1,2,)
令 n = 1, 得
Fcr
2 EI l2
x
F
l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆临
m
m
w
界力的计算公式（欧拉公式）.
x
y
B
挠曲线方程为
w
sin
kl
sin
kx
2
当 kl π 时， w sin πx 挠曲线为半波正弦曲线.
l
§11-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Euler’s Formula for other end conditions )
1.细长压杆的形式（Different end conditions of a straight columns)
两
一端
端
自由
铰
一端
支
固定
两
一端
端
固定
固
一端
定
铰支
2.其它支座条件下的欧拉公式(Euler’s Formula for Other
案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲 目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏 使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人.
案例3 2000年10月25日上午10时南 京电视台演播中心由于脚手架失稳 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.
研究压杆稳定性问题尤为重要
x
F
l
m
m
w
x
y
B
m
y
B
F M(x)=-Fw
m x
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x)
该截面的弯矩 M ( x) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw'' M ( x) Fw（a) 令 k2 F
EI
m
y
B
得 w'' k 2w 0
(b)
F M(x)=-Fw
m x
(b)式的通解为
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由