进制数转换(3)

5. 八进制数与十六进制数的互换 八进制数与十六进制数之间不存在直接的转换方法。利用 它 们与二进制数的转换比较简单的特点，可以先将八进制数（或 十六进制数）转换成二进制数，然后再将二进制数转换成十六 进制（或八进制数），这种转换方法可简述为口诀：“以二进 制为桥”。 例1.19 八进制数1325.72转换成十六进制数。 解：（1325.72)8=（1011010101.11101)2=（2D5.E8)16
3. 八进制数、十六进制数转换为二进制数 转换规则：将每位八进制（或十六进制）数码用相应的三位 （或四位）二进制数来代替，再删除整数部分首部的零和小数 部分尾部的零即可。这种转换方法可简述为口诀：“逐位转 换，一位拆三位（或四位）”。
表1.5 八进制基本数码与二进制数的对应关系表
八进制数 二进制数 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111
例1.11 把十进制整数(35.6875)10转换成二进制数。 解：转换过程如下： 第一步：用除2取余法将整数部分(35)10转换为二进制整数；
即：（35)10=（100011)2。
第二步：用乘2取整法将小数部分(0.6875) 10转换为二进制形式； 0. 6875×2=1.3750 ………… 取整数部分1 高位 0. 3750×2=0. 7500 ………… 取整数部分0 0. 7500×2=1. 5000 ………… 取整数部分1 0. 5000×2= 1. 0000 ………… 取整数部分1 低位 即：（0.6875)10=（0.1011)2。 第三步：将整数部分与小数部分合并，可得： (35.6875)10 = (100011.1011)2
2. 十进制数转换为R（R=2、8、16）进制数 将一个十进制数转换为R（R=2、8、16）进制数时，十进 制数的整数部分和小数部分的转换方法各不同，其整数部分 和小数部分分别用“除R取余法”和“乘R取整法”转换， 然后将结果与小数点共三部分合在一起。转换规则如下： 整数部分：用“除R取余法”转换。将十进制的整数部分除以 R，得到一个商数和余数；再将这个商除以R，又得到一个商 和余数；反复执行这个过程，直到商为0为止。将每次所得 的余数从后往前读（先得的余数为低位，后得的余数为高位） 即为等值的二进制数。这种转换方法可简述为口诀：“除基 取余，倒序排列”。
3. 十进制（Decimal，D） 十进制数P一般简记为（P）10或PD，也可省略记为P。 如十进制数123，简记为（123）10或123D或123。 十进制的基本特点是： 基数R为10，即有十个基本数码：0、1、2、3、4、5、6、 7、8、9； 位权为10i（i=-m～n-1，m和n为自然数）； 借进位规则：逢十进一，借一当十。
4. 借进位规则 有关进行加法（或乘法）运算，达到多少值需向高位进 位“1”，进行减法（或除法）运算，何时需从高位借 “1”，借来的“1”在本位当成几的运算规则，称为借进 位规则。同一种进制的所有数位都应遵从统一的借进位 规则。这就是“逢基数进一，借一当基数”。 例如，十进制的基数为十，因此它的借进位规则是“逢 十进一，借一当十”
4. 十六进制（Hexadecimal，H） 十六进制数P一般简记为（P）16或PH。如十六进制数1F， 记为（1F）16或1FH。 十六进制的基本特点是： 基数R为16，即有16个基本数码，符号为：0、1、2、3、 4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。注意使用字 母A、B、C、D、E、F分别表示十进制数10、11、12、 13、14、15，以示区别； 位权为16i（i=-m～n-1，m和n为自然数）； 借进位规则：逢16进1，借1当16。
i
0，1 2p-1 2-q 逢二进一 借一当二
( B) R
按权展开式
i m
(A 2 )
i i
n 1
i m
(A 8 )
i
n 1
( D) R
i m
( A 10 )
i
n 1
(H ) R
i m
( A 16 )
i i
n 1
（Ai∈{0,1}） (101101.101)2 或 101101.101B
表1.6 十六进制基本数码与二进制数的对应关系表
十六进制数 二进制数 十六进制数 二进制数 0 0000 8 1000 1 0001 9 1001 2 0010 A 1010 3 0011 B 1011 4 0100 C 1100 5 0101 D 1101 6 0110 E 1110 7 0111 F 1111
表1.3
数制 基本要素 基数 数码 小数点前第 p 位整数的位权 小数点后第 q 位小数的位权 借（进）位规 则 2
常用数制基本要素和表示方法
二进制 八进制
8 0～7 8p-1 8-q 逢八进一 借一当八
(Q) R
十进制
10 0～9 10p-1 10-q 逢十进一 借一当十
i
十六进制
16 0～9，A～F 16p-1 16-q 逢十六进一 借一当十六
在计算机内部，所有数据、信息都是以二进制的形式编码 表示的，这是因为二进制具有如下优点： （1）简单可行，容易实现。 （2）运算规则简单。 （3）运算速度快。 （4）容易实现逻辑运算。 缺点：数字冗长、书写繁复且容易出错、不便阅读。所以， 在计算机技术文献的书写中，常用十六进制数表示。
2. 八进制（Octal，O） 八进制数P一般简记为（P）8或PO。如八进制数17记为 （17）8或17O。 八进制的基本特点是： 基数R为8，即有八个基本数码：0、1、2、3、4、5、6、7； 位权为8i（i=-m～n-1，m和n为自然数）； 借进位规则：逢8进1，借1当8。
m——(N)R的小数位数，（m∈{0,Z}）。
例1.1 写出按权展开十进制数9876.54的表达式。 9876.54=9×103＋8×102＋7×101＋6×100＋5×10－1＋4×10－2。 例1.2 写出按权展开二进制数111011.1010的多项式。 （111011.1010）2=1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋ 1×2－1＋0×2－2＋1×2－3＋0×2－4
小结
表1.7 常用进制间的转换方法
目标进制 源进制
十进制
二进制
0 1 2 3 4 5 6 7 8
二进制
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000
八进制
0 1 2 3 4 5 6 7 10
十进制
9 10 11 12 13 14 15 16 17
二进制
1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001
例1.18 把二进制数11010111100.11011转换成十六进制数。 解：
分组 补零 转换 连接 110 0110 6 1011 1011 B 1100 1100 C . . . 1101 1101 D 1 1000 8
6BC.D8H
所以，（11010111100.11011)2=（6BC.D8)16
八进制
11 12 13 14 15 16 17 20 21
十六进制
9 A B C D E F 10 11
2.3 常用记数制之间的转换
1. R（R=2、8、16）进制数转换为十进制 转换规则：将R进制数转换为十进制数一般使用按权展开多 项式的形式，然后计算求和得到对应的十进制数据。可简述为 口诀：“利用按权展开式展开”。 例1.8 把（1100101.101)2转换成十进制数。 解：(1100101.101)2=1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+ 1×20+1×2-1 +0×2-2+1×2-3 =64+32+0+0+4+0+1+0+0.5+0.125=（101.625)10 例1.10 把（19BF.8)16转换成十进制数。 解：（19BF.8)16=1×163＋9×162＋B×161＋F×160＋ 8×16-1=4096＋2304＋176＋15＋0.5=（6 591.5)10
进制的基本要素： 1. 数码 表示一个数位所使用的数字符号被称为数码。例如，十进制 中使用的0，1，2，3，…，9都是数码。 2. 基数 一种数制所使用的数码符号的个数称为该数制的基数。R进 制的基数为R。例如，十进制允许使用0～9这十个数码，因 此十进制的基数就为10。 3. 位权 某个数位的单位称为该数位的位权（例如，在十进制中，个 位、十位、百位的单位分别为个、十、百，因此个位、十位、 百位的位权分别为100、101、102）。
5. 按权展开式 按权展开式可以表述如下：
(N )R
i m
(A R )
i
n 1
其中，(N)R——R进制数N； R——基数； Ri——第i位的位权，（i∈{Z},且n-1≥i≥-m）； Ai——位权为Ri的数位上的数码符号，（Ai∈{0,1,…,R-1}）；
n——(N)R的整数位数，（n∈{0,Z}）；
小数部分：用“乘R取整法”转换。将小数部分乘以R，记 下 乘积的整数部分，再用余下的纯小数部分乘以R，记下乘积的 整数部分；不断重复此过程，直至乘积小数部分为0或已满足 要求的精度为止。将所得各乘积的整数部分顺序排列（先得的 整数为高位，后得的整数为低位）即可。这种转换方法可简述 为口诀：“乘基取整，顺序排列”。
例1.16 把十六进制数1C2.A4转换成二进制数。 解：
转换 删零 1 0001 C 1100 . 111000010.101001B 2 0010 . A 1010 4 0100
所以，（1C2.A4)16=（111000010.101001)2