伍德里奇《计量经济学导论》(第6版)复习笔记和课后习题详解-第三篇(第13~15章)【圣才出品】
伍德里奇计量经济学第六版答案Chapter-3
CHAPTER 3TEACHING NOTESFor undergraduates, I do not work through most of the derivations in this chapter, at least not in detail. Rather, I focus on interpreting the assumptions, which mostly concern the population. Other than random sampling, the only assumption that involves more than population considerations is the assumption about no perfect collinearity, where the possibility of perfect collinearity in the sample (even if it does not occur in the population) should be touched on. The more important issue is perfect collinearity in the population, but this is fairly easy to dispense with via examples. These come from my experiences with the kinds of model specification issues that beginners have trouble with.The comparison of simple and multiple regression estimates – based on the particular sample at hand, as opposed to their statistical properties – usually makes a strong impression. Sometimes I do not bother with the “partialling out” interpretation of multiple regression.As far as statistical properties, notice how I treat the problem of including an irrelevant variable: no separate derivation is needed, as the result follows form Theorem 3.1.I do like to derive the omitted variable bias in the simple case. This is not much more difficult than showing unbiasedness of OLS in the simple regression case under the first four Gauss-Markov assumptions. It is important to get the students thinking about this problem early on, and before too many additional (unnecessary) assumptions have been introduced.I have intentionally kept the discussion of multicollinearity to a minimum. This partly indicates my bias, but it also reflects reality. It is, of course, very important for students to understand the potential consequences of having highly correlated independent variables. But this is often beyond our control, except that we can ask less of our multiple regression analysis. If two or more explanatory variables are highly correlated in the sample, we should not expect to precisely estimate their ceteris paribus effects in the population.I find extensive t reatments of multicollinearity, where one “tests” or somehow “solves” the multicollinearity problem, to be misleading, at best. Even the organization of some texts gives the impression that imperfect collinearity is somehow a violation of the Gauss-Markov assumptions. In fact, they include multicollinearity in a chapter or part of the book devoted to “violation of the basic assumptions,” or something like that. I have noticed that master’s students who have had some undergraduate econometrics are often confused on the multicollinearity issue. It is very important that students not confuse multicollinearity among the included explanatory variables in a regression model with the bias caused by omitting an important variable.I do not prove the Gauss-Markov theorem. Instead, I emphasize its implications. Sometimes, and certainly for advanced beginners, I put a special case of Problem 3.12 on a midterm exam, where I make a particular choice for the function g(x). Rather than have the students directly comparethe variances, they should appeal to the Gauss-Markov theorem for the superiority of OLS over any other linear, unbiased estimator.SOLUTIONS TO PROBLEMS3.1 (i) hsperc is defined so that the smaller it is, the lower the student’s standing in high school . Everything else equal, the worse the student’s standing in high school, the lower is his/her expected college GPA.(ii) Just plug these values into the equation:colgpa = 1.392 - .0135(20) + .00148(1050) = 2.676.(iii) The difference between A and B is simply 140 times the coefficient on sat , because hsperc is the same for both students. So A is predicted to have a score .00148(140) ≈ .207 higher.(iv) With hsperc fixed, colgpa ∆ = .00148∆sat . Now, we want to find ∆sat such that colgpa ∆ = .5, so .5 = .00148(∆sat ) or ∆sat = .5/(.00148) ≈ 338. Perhaps not surprisingly, a large ceteris paribus difference in SAT score – almost two and one-half standard deviations – is needed to obtain a predicted difference in college GPA or a half a point.3.2 (i) Yes. Because of budget constraints, it makes sense that, the more siblings there are in a family, the less education any one child in the family has. To find the increase in the number of siblings that reduces predicted education by one year, we solve 1 = .094(∆sibs ), so ∆sibs = 1/.094 ≈ 10.6.(ii) Holding sibs and feduc fixed, one more year of mother’s education implies .131 years more of predicted education. So if a mother has four more years of education, her son is predicted to have about a half a year (.524) more years of education.(iii) Since the number of siblings is the same, but meduc and feduc are both different, the coefficients on meduc and feduc both need to be accounted for. The predicted difference in education between B and A is .131(4) + .210(4) = 1.364.3.3 (i) If adults trade off sleep for work, more work implies less sleep (other things equal), so 1β < 0.(ii) The signs of 2β and 3β are not obvious, at least to me. One could argue that more educated people like to get more out of life, and so, other things equal, they sleep less (2β < 0). The relationship between sleeping and age is more complicated than this model suggests, and economists are not in the best position to judge such things.(iii) Since totwrk is in minutes, we must convert five hours into minutes: ∆totwrk = 5(60) = 300. Then sleep is predicted to fall by .148(300) = 44.4 minutes. For a week, 45 minutes less sleep is not an overwhelming change.(iv) More education implies less predicted time sleeping, but the effect is quite small. If we assume the difference between college and high school is four years, the college graduate sleeps about 45 minutes less per week, other things equal.(v) Not surprisingly, the three explanatory variables explain only about 11.3% of the variation in sleep . One important factor in the error term is general health. Another is marital status, and whether the person has children. Health (however we measure that), marital status, and number and ages of children would generally be correlated with totwrk . (For example, less healthy people would tend to work less.)3.4 (i) A larger rank for a law school means that the school has less prestige; this lowers starting salaries. For example, a rank of 100 means there are 99 schools thought to be better.(ii) 1β > 0, 2β > 0. Both LSAT and GPA are measures of the quality of the entering class. No matter where better students attend law school, we expect them to earn more, on average. 3β, 4β > 0. The number of volumes in the law library and the tuition cost are both measures of the school quality. (Cost is less obvious than library volumes, but should reflect quality of the faculty, physical plant, and so on.)(iii) This is just the coefficient on GPA , multiplied by 100: 24.8%.(iv) This is an elasticity: a one percent increase in library volumes implies a .095% increase in predicted median starting salary, other things equal.(v) It is definitely better to attend a law school with a lower rank. If law school A has a ranking 20 less than law school B, the predicted difference in starting salary is 100(.0033)(20) =6.6% higher for law school A.3.5 (i) No. By definition, study + sleep + work + leisure = 168. Therefore, if we change study , we must change at least one of the other categories so that the sum is still 168.(ii) From part (i), we can write, say, study as a perfect linear function of the otherindependent variables: study = 168 - sleep - work - leisure . This holds for every observation, so MLR.3 violated.(iii) Simply drop one of the independent variables, say leisure :GPA = 0β + 1βstudy + 2βsleep + 3βwork + u .。
伍德里奇计量经济学导论第6版笔记和课后答案
伍德里奇计量经济学导论第6版笔记和课后答案
第1章计量经济学的性质与经济数据
1.1 复习笔记
考点一：计量经济学及其应用★
1计量经济学
计量经济学是在一定的经济理论基础之上，采用数学与统计学的工具，通过建立计量经济模型对经济变量之间的关系进行定量分析的学科。
进行计量分析的步骤主要有：①利用经济数据对模型中的未知参数进行估计；②对模型进行检验；③通过检验后，可以利用计量模型来进行相关预测。
2经济分析的步骤
经济分析是指利用所搜集的相关数据检验某个理论是否成立或估计某种关系的方法。
经济分析主要包括以下几步，分别是阐述问题、构建经济模型、经济模型转化为计量模型、搜集相关数据、参数估计和假设检验。
考点二：经济数据★★★
1经济数据的结构（见表1-1）
表1-1 经济数据的结构
2面板数据与混合横截面数据的比较（见表1-2）
表1-2 面板数据与混合横截面数据的比较
考点三：因果关系和其他条件不变★★
1因果关系
因果关系是指一个变量的变动将引起另一个变量的变动，这是经济分析中的重要目标之一。
计量分析虽然能发现变量之间的相关关系，但是如果想要解释因果关系，还要排除模型本身存在因果互逆的可能，
否则很难让人信服。
2其他条件不变
其他条件不变是指在经济分析中，保持所有的其他变量不变。
“其他条件不变”这一假设在因果分析中具有重要作用。
《计量经济学导论》考研伍德里奇考研复习笔记二
《计量经济学导论》考研伍德里奇考研复习笔记二第1章计量经济学的性质与经济数据1.1 复习笔记一、什么是计量经济学计量经济学是以一定的经济理论为基础，运用数学与统计学的方法，通过建立计量经济模型，定量分析经济变量之间的关系。
在进行计量分析时，首先需要利用经济数据估计出模型中的未知参数，然后对模型进行检验，在模型通过检验后还可以利用计量模型来进行预测。
在进行计量分析时获得的数据有两种形式，实验数据与非实验数据：（1）非实验数据是指并非从对个人、企业或经济系统中的某些部分的控制实验而得来的数据。
非实验数据有时被称为观测数据或回顾数据，以强调研究者只是被动的数据搜集者这一事实。
（2）实验数据通常是通过实验所获得的数据，但社会实验要么行不通要么实验代价高昂，所以在社会科学中要得到这些实验数据则困难得多。
二、经验经济分析的步骤经验分析就是利用数据来检验某个理论或估计某种关系。
1．对所关心问题的详细阐述问题可能涉及到对一个经济理论某特定方面的检验，或者对政府政策效果的检验。
2构造经济模型经济模型是描述各种经济关系的数理方程。
3经济模型变成计量模型先了解一下计量模型和经济模型有何关系。
与经济分析不同，在进行计量经济分析之前，必须明确函数的形式，并且计量经济模型通常都带有不确定的误差项。
通过设定一个特定的计量经济模型，我们就知道经济变量之间具体的数学关系，这样就解决了经济模型中内在的不确定性。
在多数情况下，计量经济分析是从对一个计量经济模型的设定开始的，而没有考虑模型构造的细节。
一旦设定了一个计量模型，所关心的各种假设便可用未知参数来表述。
4搜集相关变量的数据5用计量方法来估计计量模型中的参数，并规范地检验所关心的假设在某些情况下，计量模型还用于对理论的检验或对政策影响的研究。
三、经济数据的结构1横截面数据（1）横截面数据集，是指在给定时点对个人、家庭、企业、城市、州、国家或一系列其他单位采集的样本所构成的数据集。
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第1章计量经济学的性质与经济数据1.1复习笔记考点一:计量经济学★1计量经济学的含义计量经济学,又称经济计量学,是由经济理论、统计学和数学结合而成的一门经济学的分支学科,其研究内容是分析经济现象中客观存在的数量关系。
2计量经济学模型(1)模型分类模型是对现实生活现象的描述和模拟。
根据描述和模拟办法的不同,对模型进行分类,如表1-1所示。
(2)数理经济模型和计量经济学模型的区别①研究内容不同数理经济模型的研究内容是经济现象各因素之间的理论关系,计量经济学模型的研究内容是经济现象各因素之间的定量关系。
②描述和模拟办法不同数理经济模型的描述和模拟办法主要是确定性的数学形式,计量经济学模型的描述和模拟办法主要是随机性的数学形式。
③位置和作用不同数理经济模型可用于对研究对象的初步研究,计量经济学模型可用于对研究对象的深入研究。
考点二:经济数据★★★1经济数据的结构(见表1-3)2面板数据与混合横截面数据的比较(见表1-4)考点三:因果关系和其他条件不变★★1因果关系因果关系是指一个变量的变动将引起另一个变量的变动,这是经济分析中的重要目标之计量分析虽然能发现变量之间的相关关系,但是如果想要解释因果关系,还要排除模型本身存在因果互逆的可能,否则很难让人信服。
2其他条件不变其他条件不变是指在经济分析中,保持所有的其他变量不变。
“其他条件不变”这一假设在因果分析中具有重要作用。
1.2课后习题详解一、习题1.假设让你指挥一项研究，以确定较小的班级规模是否会提高四年级学生的成绩。
(i)如果你能指挥你想做的任何实验，你想做些什么?请具体说明。
(ii)更现实地，假设你能搜集到某个州几千名四年级学生的观测数据。
你能得到它们四年级班级规模和四年级末的标准化考试分数。
你为什么预计班级规模与考试成绩成负相关关系?(iii)负相关关系一定意味着较小的班级规模会导致更好的成绩吗?请解释。
答:(i)假定能够随机的分配学生们去不同规模的班级，也就是说，在不考虑学生诸如能力和家庭背景等特征的前提下，每个学生被随机的分配到不同的班级。
伍德里奇《计量经济学导论》（第6版）复习笔记和课后习题详解OLS用于时间序列数据的其他问题
伍德里奇《计量经济学导论》（第6版）复习笔记和课后习题详解OLS用于时间序列数据的其他问题第11章OLS用于时间序列数据的其他问题11.1复习笔记考点一：平稳和弱相关时间序列★★★★1．时间序列的相关概念（见表11-1）表11-1时间序列的相关概念2．弱相关时间序列（1）弱相关对于一个平稳时间序列过程{x t：t＝1，2，…}，随着h的无限增大，若x t和x t＋h“近乎独立”，则称为弱相关。
对于协方差平稳序列，如果x t和x t＋h之间的相关系数随h的增大而趋近于0，则协方差平稳随机序列就是弱相关的。
本质上，弱相关时间序列取代了能使大数定律（LLN）和中心极限定理（CLT）成立的随机抽样假定。
（2）弱相关时间序列的例子（见表11-2）表11-2弱相关时间序列的例子考点二：OLS的渐近性质★★★★1．OLS的渐近性假设（见表11-3）表11-3OLS的渐近性假设2．OLS的渐近性质（见表11-4）表11-4OLS的渐进性质考点三：回归分析中使用高度持续性时间序列★★★★1．高度持续性时间序列（1）随机游走（见表11-5）表11-5随机游走（2）带漂移的随机游走带漂移的随机游走的形式为：y t＝α0＋y t－1＋e t，t＝1，2，…。
其中，e t（t＝1，2，…）和y0满足随机游走模型的同样性质；参数α0被称为漂移项。
通过反复迭代，发现y t的期望值具有一种线性时间趋势：y t＝α0t＋e t＋e t－1＋…＋e1＋y0。
当y0＝0时，E（y t）＝α0t。
若α0＞0，y t的期望值随时间而递增；若α0＜0，则随时间而下降。
在t时期，对y t＋h的最佳预测值等于y t加漂移项α0h。
y t的方差与纯粹随机游走情况下的方差完全相同。
带漂移随机游走是单位根过程的另一个例子，因为它是含截距的AR（1）模型中ρ1＝1的特例：y t＝α0＋ρ1y t－1＋e t。
2．高度持续性时间序列的变换（1）差分平稳过程I（1）弱相关过程，也被称为0阶单整或I（0），这种序列的均值已经满足标准的极限定理，在回归分析中使用时无须进行任何处理。
伍德里奇《计量经济学导论》(第6版)复习笔记和课后习题详解-多元回归分析：OLS的渐近性【圣才出品】
第5章多元回归分析：OLS 的渐近性5.1复习笔记考点一：一致性★★★★1．定理5.1：OLS 的一致性（1）一致性的证明当假定MLR.1～MLR.4成立时，对所有的j＝0，1，2，…，k，OLS 估计量∧βj 是βj 的一致估计。
证明过程如下：将y i ＝β0＋β1x i1＋u i 代入∧β1的表达式中，便可以得到：()()()()11111111122111111ˆnni ii i i i n ni i i i xx y n x x u xxnxx ββ-==-==--==+--∑∑∑∑根据大数定律可知上式等式右边第二项中的分子和分母分别依概率收敛于总体值Cov （x 1，u）和Var（x 1）。
假定Var（x 1）≠0，因为Cov（x 1，u）＝0，利用概率极限的性质可得：plim ∧β1＝β1＋Cov（x 1，u）/Var（x 1）＝β1。
这就说明了OLS 估计量∧βj 具有一致性。
前面的论证表明，如果假定只有零相关，那么OLS 在简单回归情形中就是一致的。
在一般情形中也是这样，可以将这一点表述成一个假定。
即假定MLR.4′（零均值与零相关）：对所有的j＝1，2，…，k，都有E（u）＝0和Cov（x j1，u）＝0。
（2）MLR.4′与MLR.4的比较①MLR.4要求解释变量的任何函数都与u 无关，而MLR.4′仅要求每个x j 与u 无关（且u 在总体中均值为0）。
②在MLR.4假定下，有E（y｜x 1，x 2，…，x k ）＝β0＋β1x 1＋β2x 2＋…＋βk x k ，可以得到解释变量对y 的平均值或期望值的偏效应；而在假定MLR.4′下，β0＋β1x 1＋β2x 2＋…＋βk x k 不一定能够代表总体回归函数，存在x j 的某些非线性函数与误差项相关的可能性。
2．推导OLS 的不一致性当误差项和x 1，x 2，…，x k 中的任何一个相关时，通常会导致所有的OLS 估计量都失去一致性，即使样本量增加也不会改善。
《计量经济学导论》考研伍德里奇版考研复习笔记
《计量经济学导论》考研伍德里奇版考研复习笔记第1章计量经济学的性质与经济数据1.1 复习笔记一、计量经济学由于计量经济学主要考虑在搜集和分析非实验经济数据时的固有问题，计量经济学已从数理统计分离出来并演化成一门独立学科。
1．非实验数据是指并非从对个人、企业或经济系统中的某些部分的控制实验而得来的数据。
非实验数据有时被称为观测数据或回顾数据，以强调研究者只是被动的数据搜集者这一事实。
2．实验数据通常是在实验环境中获得的，但在社会科学中要得到这些实验数据则困难得多。
二、经验经济分析的步骤经验分析就是利用数据来检验某个理论或估计某种关系。
1．对所关心问题的详细阐述在某些情形下，特别是涉及到对经济理论的检验时，就要构造一个规范的经济模型。
经济模型总是由描述各种关系的数理方程构成。
2．经济模型变成计量模型先了解一下计量模型和经济模型有何关系。
与经济分析不同，在进行计量经济分析之前，必须明确函数的形式。
通过设定一个特定的计量经济模型，就解决了经济模型中内在的不确定性。
在多数情况下，计量经济分析是从对一个计量经济模型的设定开始的，而没有考虑模型构造的细节。
一旦设定了一个计量模型，所关心的各种假设便可用未知参数来表述。
3．搜集相关变量的数据4．用计量方法来估计计量模型中的参数，并规范地检验所关心的假设在某些情况下，计量模型还用于对理论的检验或对政策影响的研究。
三、经济数据的结构1．横截面数据（1）横截面数据集，就是在给定时点对个人、家庭、企业、城市、州、国家或一系列其他单位采集的样本所构成的数据集。
有时，所有单位的数据并非完全对应于同一时间段。
在一个纯粹的横截面分析中，应该忽略数据搜集中细小的时间差别。
（2）横截面数据的重要特征①假定它们是从样本背后的总体中通过随机抽样而得到的。
当抽取的样本（特别是地理上的样本）相对总体而言太大时，可能会导致另一种偏离随机抽样的情况。
这种情形中潜在的问题是，总体不够大，所以不能合理地假定观测值是独立抽取的。
伍德里奇《计量经济学导论》（第6版）复习笔记和课后习题详解-多元回归分析：推断【圣才出品】
伍德⾥奇《计量经济学导论》（第6版）复习笔记和课后习题详解-多元回归分析：推断【圣才出品】第4章多元回归分析：推断4.1复习笔记考点⼀：OLS估计量的抽样分布★★★1．假定MLR.6（正态性）假定总体误差项u独⽴于所有解释变量，且服从均值为零和⽅差为σ2的正态分布，即：u～Normal（0，σ2）。
对于横截⾯回归中的应⽤来说，假定MLR.1～MLR.6被称为经典线性模型假定。
假定下对应的模型称为经典线性模型（CLM）。
2．⽤中⼼极限定理（CLT）在样本量较⼤时，u近似服从于正态分布。
正态分布的近似效果取决于u中包含多少因素以及因素分布的差异。
但是CLT的前提假定是所有不可观测的因素都以独⽴可加的⽅式影响Y。
当u是关于不可观测因素的⼀个复杂函数时，CLT论证可能并不适⽤。
3．OLS估计量的正态抽样分布定理4.1（正态抽样分布）：在CLM假定MLR.1～MLR.6下，以⾃变量的样本值为条件，有：∧βj～Normal（βj，Var（∧βj））。
将正态分布函数标准化可得：（∧βj－βj）/sd（∧βj）～Normal（0，1）。
注：∧β1，∧β2，…，∧βk的任何线性组合也都符合正态分布，且∧βj的任何⼀个⼦集也都具有⼀个联合正态分布。
考点⼆：单个总体参数检验：t检验★★★★1．总体回归函数总体模型的形式为：y＝β0＋β1x1＋…＋βk x k＋u。
假定该模型满⾜CLM假定，βj的OLS 量是⽆偏的。
2．定理4.2：标准化估计量的t分布在CLM假定MLR.1～MLR.6下，（∧βj－βj）/se（∧βj）～t n－k－1，其中，k＋1是总体模型中未知参数的个数（即k个斜率参数和截距β0）。
t统计量服从t分布⽽不是标准正态分布的原因是se（∧βj）中的常数σ已经被随机变量∧σ所取代。
t统计量的计算公式可写成标准正态随机变量（∧βj－βj）/sd（∧βj）与∧σ2/σ2的平⽅根之⽐，可以证明⼆者是独⽴的；⽽且（n－k－1）∧σ2/σ2～χ2n－k－1。
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第三篇高级专题
第13章跨时横截面的混合：简单面板数据方法
13.1 复习笔记
考点一：跨时独立横截面的混合★★★★★
1．独立混合横截面数据的定义
独立混合横截面数据是指在不同时点从一个大总体中随机抽样得到的随机样本。
这种数据的重要特征在于：都是由独立抽取的观测所构成的。
在保持其他条件不变时，该数据排除了不同观测误差项的相关性。
区别于单独的随机样本，当在不同时点上进行抽样时，样本的性质可能与时间相关，从而导致观测点不再是同分布的。
2．使用独立混合横截面的理由（见表13-1）
表13-1 使用独立混合横截面的理由
3．对跨时结构性变化的邹至庄检验
（1）用邹至庄检验来检验多元回归函数在两组数据之间是否存在差别（见表13-2）表13-2 用邹至庄检验来检验多元回归函数在两组数据之间是否存在差别
（2）对多个时期计算邹至庄检验统计量的办法
①使用所有时期虚拟变量与一个（或几个、所有）解释变量的交互项，并检验这些交互项的联合显著性，一般总能检验斜率系数的恒定性。
②做一个容许不同时期有不同截距的混合回归来估计约束模型，得到SSR r。
然后，对T个时期都分别做一个回归，并得到相应的残差平方和，有：SSR ur＝SSR1＋SSR2＋…＋SSR T。
若有k个解释变量（不包括截距和时期虚拟变量）和T个时期，则需检验（T－1）k 个约束。
而无约束模型中有T＋Tk个待估计参数。
所以，F检验的df为（T－1）k和n－T －Tk，其中n为总观测次数。
F统计量计算公式为：[（SSR r－SSR ur）/SSR ur][（n－T－Tk）/（Tk－k）]。
但该检验不能对异方差性保持稳健，为了得到异方差-稳健的检验，必须构造交互项并做一个混合回归。
4．利用混合横截面作政策分析
（1）自然实验与真实实验
当某些外生事件改变了个人、家庭、企业或城市运行的环境时，便产生了自然实验（准
实验）。
一个自然实验总有一个不受政策变化影响的对照组和一个受政策变化影响的处理组。
自然实验中，政策发生后才能确定处理组和对照组。
在真实实验中，处理组和对照组是随机而明确地抽取的。
为了控制对照组和处理组之间的系统差异，可以按照使用目的将样本分为：变化前的对照组、变化后的对照组、变化前的处理组和变化后的处理组。
对照组称为C，处理组称为T，并设置虚拟变量dT，如果样本属于处理组，则dT＝1，否则等于0。
令d2为第2个时期的虚拟变量，模型方程为y＝β0＋δ0d2＋β1dT＋δ1d2·dT＋其他因素。
其中，y是结果变量；δ1度量政策效应。
当回归中没有其他因素时，δ∧1是倍差估计量，满足：δ∧1＝（y＿2，T－y＿2，C）－（y＿1，T－y＿1，C）。
（2）政策的平均处理效应及其估计方法
平均处理效应度量的是对y的平均结果的“处理”或政策效应。
估计值为：δ∧1＝（y＿2，
－y＿1，T）－（y＿2，C－y＿1，C），该值不会依赖于进行差分的方式。
估计方法主要有：
T
①在每个时期都计算处理组与控制组的平均值之差，再对不同时期的上述差值做差分。
②分别计算处理组和控制组不同时期的平均值变化，然后再将这些变化做差分。
考点二：两时期面板数据分析★★★★
1．面板数据的定义
面板数据具有横截面和时间序列的特征，区别于独立混合横截面。
面板数据是指在不同时间跟踪的相同个体的数据，即每个样本个体在不同时间都有观测值。
如果对于n个个体，每个变量的时间跨度都一致，则称为平衡面板，否则称为非平衡面板。
2．固定效应模型
令i表示横截面单位，t表示时期，可将含有单个可观测解释变量的模型写成：y it＝β0＋δ0d2t＋β1x it＋a i＋u it，t＝1，2。
其中，变量d2t是一个在t＝1时取值为零而在t＝2时取值为1的虚拟变量，它不随i而变化；变量a i包含影响y it但又不随时间而变化的所有无法观测的因素，一般都被称为非观测效应或固定效应；误差u it通常被称为特异误差或时变误差。
因此，上述模型被称为非观测效应模型或固定效应模型，a i被称为非观测异质性。
3．估计β1的方法
给定两年的面板数据，估计参数β1的方法是：直接把两年的数据混合起来用OLS估计。
为了得到一致的估计量，必须假定非观测效应a i与x it无关。
将模型写成：y it＝β0＋δ0d2t＋β1x it＋v it，t＝1，2。
其中，v it＝a i＋u it常被称为复合误差。
即使假定特异误差u it与x it无关，如果a i与x it相关，混合OLS估计就是偏误且不一致的。
由此造成的偏误有时被称为异质性偏误，这是由于遗漏了一个不随时间而变化的变量所导致的。
4．一阶差分方程
在大多应用中，收集面板数据主要是为了考虑非观测效应a i与解释变量相关。
因为a i 是不随着时间而变化的常数，所以可以取两个年份的数据之差。
对横截面的第i个观测值，把两年的方程分别写为：y i2＝（β0＋δ0）＋β1x i2＋a i＋u i2（t＝2），y i1＝β0＋β1x i1＋a i＋u i1（t＝1）。
两个方程相减可得：y i2－y i1＝δ0＋β1（x i2－x i1）＋（u i2－u i1），简化为：∆y i＝δ0＋β1∆x i＋∆u i。
该式称为一阶差分方程，它是由单个横截
面方程对每个变量都取时间上的差分所得到的。
如果容许x it 与不随时间而变化的无法观测因素相关，则∆u i 与∆x i 无关，这就是在时间序列模型中的严格外生性假定。
此时对β1进行OLS 估计，得到β1的OLS 估计量为一阶差分估计量。
另一个关键条件是，∆x i 必须因i 的不同而有所变化。
要用通常的OLS 得到精确的无偏估计，还需要满足同方差性。
考点三：用面板数据作政策分析 ★★★★
1．两期面板数据
面板数据对于政策分析是非常有用的，特别是项目评估。
在第一个时期先得到个人、企业或城市等单位的一个样本，然后让一部分横截面单位参与下一个时期举办的某个项目，剩余的单位则作为对照组。
这样通过一阶差分估计量可以去做政策分析。
在项目评估模型中，令y it 为结果变量，prog it 为项目参与虚拟变量。
最简单的非观测效应模型为：y it ＝β0＋δ0d2t ＋β1prog it ＋a i ＋u it 。
（1）如果项目参与仅发生在第二个时期，则β1的OLS 估计量为：
有了面板数据，便可以对同样的横截面单位取y 在不同时期的差分，从而控制个人、企业或城市特有的效应。
（2）如果项目参与发生在两个时期。
β∧1代表着控制随时间而变化之后，因项目参加所致的Y 的均值的变化。
这样就可以控制那些可能与项目相关且随着时间而变化的变量。
2．多于两期的差分法
扩展到多期的固定效应模型为：y it ＝δ1＋δ2d2t ＋δ3d3t ＋β1x it1＋…＋βk x itk ＋a i ＋u it 。
1ˆtreat control
y y β=∆-∆。