独立性检验原理
3.2 独立性检验
（3）两个临界值：3.841与6.635.
经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了 两个临界值：3.841与6.635。
当根据具体的数据算出的χ2>3.841时，有 95%的把握说事件A与事件B有关； 当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与事 件B有关； 当χ2<3.841时，认为事件A与事件B无关；
对于人力资源部的研究项目，根据上述数 据能得出什么结论？
解：这是一个2×2列联表的独立性检验问 题，由公式
189(54 63 32 40) 2 2 10.759 94 95 86 103
因为10.759>6.635，所以有99%的把握说： 员工“工作积极”与“积极支持企业改革” 是有关的。可以认为企业的全体员工对待 企业改革的态度与其工作积极性是有关的。
也应该比较小。 （2）卡方统计量： 为了消除样本对上式的影响，通常用卡方 2 2 (观测值 预期值) ）来进行估 统计量（χ 预期值 计．
卡方χ2统计量公式：
2
n n11n22 n12 n21 n1 n 2 n1n2
2
用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计 假设H0，如果算出的χ2值较大，就拒绝 H0，也就是拒绝“事件A与事件B无关”， 从而就认为它们是有关的了
因为1.780<3.841，我们没有理由说“心脏 搭桥手术”与“又发生过心脏病”有关， 可以认为病人又发作心脏病与否跟他做过 何种手术无关。
3．某大型企业人力资源部为了研究企业员 工工作积极性和对待企业改革态度的关系， 随机抽取了189名员工进行调查，所得的数 据如下表所示：
工作积极 工作一般 合计 积极支持企业 改革 54 32 86 不太赞成企业 改革 40 63 103 合计 94 95 189
《独立性检验》
《独立性检验》一、内容与内容解析《独立性检验》为新课标教材中新增加的内容. 虽然本节是新增内容，理论比较复杂，教学时间也不长(1-2课时)，但由于它贴近实际生活，在整个高中数学中，地位不可小视.在近几年各省新课标高考试题中，本节内容屡屡出现，而且多以解答题的形式呈现，其重要性可见一斑.该内容是前面学生在《数学3》(必修)中的统计知识的进一步应用，并与本册课本前面提到的事件的独立性一节关系紧密，此外还涉及到与《数学2-2》(选修)中讲到的“反证法”类似的思想.本小节的知识内容如右图。
“独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否具有相关性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的思路，即借助等高条形图的方法，随后引出相对更精确地解决办法——独立性检验。
独立性检验的思想，建立在统计思想、假设检验思想(小概率事件在一次试验中几乎不可能发生)等基础之上，通常按照如下步骤对数据进行处理：明确问题→确定犯错误概率的上界α及2K 的临界值0k →收集数据→整理数据→制列联表→计算统计量2K 的观测值k →比较观测值k 与临界值0k 并给出结论.本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤.二、目标与目标解析本节课的教学目标是主要有：1.理解分类变量(也称属性变量或定性变量)的含义，体会两个分类变量之间可能具有相关性；2.通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗?）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法、步骤及应用。
3.鼓励学生体验用多种方法(等高条形图法与独立性检验法)解决同一问题，并对各种方法进行比较。
4.让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性（如统计可能犯错误，原因可能是收集的数据样本容量小或样本采集不合理，也可能是理论上的漏洞，如在一次实验中，我们假设小概率事件不发生，这一点本身就值得质疑）. 其中第2条是重点目标，也是《课程标准》中明确指出的教学要求之一. 三、教学问题诊断分析基于对学生已有数学水平的分析，在本节新学内容时，有以下几点是初学者不易理解或掌握的：1.2K 的结构比较奇怪，来的也比较突然，学生可能会提出疑问.关于这个问题的处理，要首先利用好前面对“比例”或者两个分类变量“独立”的分析。
独立性检验原理
独立性检验原理独立性检验是统计学中一项非常重要的工具，它用于检验样本数据是否来自于一个符合特定分布的总体，或者来自于不同总体。
在实际应用中，独立性检验可以帮助我们判断数据之间是否存在相关性，以及是否可以进行进一步的统计分析。
本文将介绍独立性检验的原理及其常见的应用。
首先，我们来了解一下独立性检验的原理。
独立性检验通常基于两个变量之间的关系展开，其中一个变量被认为是自变量，另一个变量被认为是因变量。
我们的目标是通过收集样本数据来判断这两个变量之间是否存在某种关联。
在进行独立性检验时，我们通常会使用卡方检验、t检验、F检验等方法来进行统计分析，从而得出样本数据是否具有独立性的结论。
在实际应用中，独立性检验可以被广泛用于不同领域。
例如，在医学研究中，我们可以利用独立性检验来判断某种治疗方法是否对疾病的治疗效果产生影响；在市场调研中，我们可以利用独立性检验来判断不同产品的销售情况是否存在相关性；在质量控制中，我们可以利用独立性检验来判断生产线上的不良品率是否受到某些因素的影响。
除了上述的应用外，独立性检验还可以帮助我们进行决策分析。
通过对样本数据进行独立性检验，我们可以更好地理解数据之间的关系，从而为决策提供科学依据。
例如，在制定营销策略时，我们可以利用独立性检验来判断不同市场营销手段对销售业绩是否产生影响，从而选择最有效的营销方式。
在进行独立性检验时，我们需要注意一些问题。
首先，样本数据的收集需要具有代表性，以确保独立性检验的结果具有统计学意义。
其次，我们需要选择合适的检验方法，以确保能够得出准确的结论。
最后，我们需要对检验结果进行合理解释，避免盲目地进行数据分析。
总的来说，独立性检验是统计学中一项非常重要的工具，它可以帮助我们判断数据之间是否存在相关性，从而为决策提供科学依据。
在实际应用中，独立性检验具有广泛的应用价值，可以帮助我们更好地理解数据之间的关系，为实际问题的解决提供支持。
希望本文对独立性检验的原理及其应用有所帮助，谢谢阅读！。
统计学中的独立性检验
统计学中的独立性检验统计学中的独立性检验（Test of Independence）是一种常用的统计方法，用于研究两个或多个分类变量之间是否存在相互独立的关系。
通过对随机抽样数据进行分析，可以判断不同变量之间是否有关联，并衡量关联的强度。
本文将介绍独立性检验的基本原理、常用的检验方法以及实际应用。
一、独立性检验的基本原理独立性检验的基本原理是基于统计学中的卡方检验（Chi-Square Test）。
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较观察值频数与期望频数之间的差异。
在独立性检验中，我们首先建立一个原假设，即所研究的两个或多个变量之间不存在关联，然后通过计算卡方统计量来判断观察值与期望值之间的差异是否显著。
二、常用的独立性检验方法1. 皮尔逊卡方检验（Pearson's Chi-Square Test）：这是最常见的独立性检验方法，适用于有两个以上分类变量的情况。
它基于观察频数和期望频数之间的差异，计算出一个卡方统计量，并根据卡方分布表给出显著性水平。
2. Fisher精确检验（Fisher's Exact Test）：当样本量较小或者某些期望频数很小的情况下，皮尔逊卡方检验可能存在一定的偏差。
在这种情况下，可以使用Fisher精确检验来代替皮尔逊卡方检验，得到更准确的结果。
3. McNemar检验：适用于配对数据比较的独立性检验，例如一个样本在两个时间点上的观察结果。
三、独立性检验的实际应用独立性检验在各个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景：1. 医学研究：独立性检验可以用于研究某种药物治疗方法是否具有显著的疗效，或者判断不同年龄组和性别之间是否存在患病率的差异。
2. 教育领域：独立性检验可用于研究学生成绩与家庭背景、教育水平之间是否存在关联。
3. 市场调研：在市场调研中，可以通过独立性检验来分析不同年龄、性别、收入水平等因素对消费者购买习惯的影响。
4. 社会科学研究：独立性检验可以帮助社会科学研究人员探索个体特征与社会行为之间的关系，例如政治倾向与不同年龄群体之间的关联性等。
高考必备——独立性检验-独立性检验
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.82
P( K 2 k0 )
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
例 1：研究吸烟与患肺癌的关系. 1.确定研究对象：吸烟与患肺癌的关系. 2.采集数据——列联表： 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965
不吸烟不患肺癌 吸烟不患肺癌 a c .即“ ” ab cd 不吸烟总数 吸烟总数
得 ad bc 0 ，所以 | ad bc | 越小，说明吸烟与患肺癌关系越弱，反之越强. （2）构造随机变量 K 2
n(ad bc) 2 （其中 n a b c d ） (a b)(c d )(a c)(b d )
2 2
0.15 2.072
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
，其中 n=a+b+c+d）
5.某校在规划课程设置方案的调研中， 随机抽取 160 名理科学生， 想调查男生、 女生对 “坐标系与参数方程” 与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等 式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多 25 人，根据调研情况制成如下图所示的列联表： 选择坐标系与参数方程 男生 女生 合计 160 60 选择不等式选讲 合计
3-1独立性检验
是否有关？ 解 根据题目所给的数据作出如下的列联表：
色盲 不色盲 合计
男 38 442
480
女 6 514
520
合计 44 956
1 000
根据列联表中所给的数据可得
n1514， n11＋n12＝480，n21＋n22＝520， n11＋n21＝44，n12＋n22＝956，n＝1 000，
代入公式 χ2＝nnn111＋nn222＋－n＋n11n2n＋2212， 得 χ2＝1 00408×0×385×205×144－4×6×9546422≈27.139， 由于 χ2＝27.139>6.635， 所以我们有 99%的把握认为性别与患色盲有关系．
例2．在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的 情况如下表所示，根据此资料你是否认为在恶劣气候飞行中男 性比女性更任意晕机？
2.列联表
判断两个事件 A、B 是否有关，我们可以把 A 发生、A 不发生
( A )、B 发生、B 不发生( B )的数据列成以下表格
B
B
合计
A
n 11
n12
n 1＋
A
n21
n22
n 2＋
合计
n ＋1
n ＋2
n
这个表格称为 2×2 列联表．
如果 A，B 无关，那么n11与n1＋·n＋1应该很接近，n22与n2＋·n＋2应
2
n
n11n22 n12n21
2
n1n 2n1n2
P(χ2≥x0) 事件A 0.05 有95%的把握认 0.01
x0 与B无关 3.841 为A与B有关 6.635
99%的把握认为
A与B有关
例 1 在调查的 480 名男士中有 38 名患有色盲，520 名女士中
高中数学选修课件第一章：独立性检验
注意事项与误区提示
在进行独立性检验前，需要确保样本 的随机性和代表性，以避免因样本偏 差导致结果失真。
需要注意的是，独立性检验只能判断 两个变量之间是否存在统计上的独立 性，并不能说明它们之间是否存在因 果关系或其他形式的关联。
在解读结果时，需要注意概率值（p 值）或临界值表的具体含义和适用条 件，避免误用或滥用。
高中数学选修课件第一 章：独立性检验
汇报人：XX 20XX-01-30
contents
目录
• 独立性检验基本概念 • 独立性检验基本思想解读 • 独立性检验方法介绍及应用场景分析 • 独立性检验结果解读与注意事项 • 独立性检验在统计学中地位和作用 • 高中数学选修课程中其他相关知识点回
顾与拓展
01
在实际应用中，还需要结合其他统计 方法和专业知识进行综合分析和判断 。
05
独立性检验在统计学中地位和作用
独立性检验在统计学中地位
独立性检验是统计学 中一种重要的假设检 验方法。
在数据分析、市场调 研、医学研究等领域 具有广泛应用。
它用于判断两个或多 个分类变量之间是否 相互独立。
独立性检验对后续统计分析影响
高中数学选修课程中其他相关知识点梳理
排列组合与二项式定理
回顾排列组合的基本概念、计算公式及应用，掌握二项式定理的展开式及通项公式的应 用。
概率与统计的综合应用
梳理概率与统计在高中数学选修课程中的综合应用，如概率与统计在解决实际问题中的 结合，以及概率与统计在其他数学知识点中的交叉应用等。
数学建模与数学探究
独立性检验的基本思想
通过抽样调查获取数据，根据样本数据来判断两个分类变量 是否独立。
独立性检验的方法
通常采用列联表的形式整理数据，然后计算相关统计量的值 （如χ²值），并根据统计量的值及给定的显著性水平作出判 断。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
2．下列是一个2×2列联表：
y1
x1
a
x2
2
总计
b
则该表中a，b的值分别为( C )
A．94,96
B．52,50
y2
总计
21
73
25
27
46
100
C．52,54
解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54.
D．54,52
——能力提升——
14．(5分)假设两个分类变量X与Y，它们的取值分别为{x1，x2}，
样方法在校园内调查了 120 位学生，得到如下 2×2 列联表：
男 女 总计
爱好
a
b
73
不爱好
c
25
总计
74
则 a－b－c 等于( D )
A．6
B．7
C．8
D．9
13．(13分)某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高 一年级和高二年级各选取100名同学参加紧急避险常识知识竞赛．图 ①和图②分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按 [40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组后得到的频率分布直方图．
高二年级学生竞赛的平均成绩为(45×15＋55×35＋65×35＋ 75×15)÷100＝60(分)．
(2)补全2×2列联表如下：
成绩小于60分 成绩不小于60
总计
的人数
分的人数
高一年级
70
30
100
高二年级
50
50
100
总计
120
80
200
∴K2的观测值k＝20100×0×501×007×0－12500××83002≈8.333>7.879，
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第一课时
学习目标
• 1.了解分类变量的定义 • 2.会画2x2列联表和等高条形图 • 3.了解独立性检验原理，会用独立 性检验原理来判断两个变量之间是 否有关系。
自学指导1 • 阅读课本第91页至--92图3-8的 内容，注意下列问题 • 1.列联表的画法 • 2.等高条形图的画法
独立性检验的原理：
首先，假设结论不成立，即 H ：两个分类变量没有关系
（在这种假设下k应该很小）
其次，由观测数据计算K 的观测值k，
（如果k很大，则在一定可信程度上说明H 不 成立,即两个分类变量之间有关系）
2
最后，根据k的值判断假设是否成立
临界值表：
P(K 2 k0 ) 0.50
0.40 0.70 8 0.25 1.32 3 0.15 2.07 2 0.10 2.70 6 0.05 3.84 1 0.02 5 5.02 4 0.01 0 6.63 5 0.005 7.879 0.001 10.82 8
系，是指有对
2. 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性 病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为 患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分 别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心 脏病是否有关系？
解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：
k0
0.44 5
临界值
P( K 2 k ) 0.50
0.40
0.5
0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）如果k2>10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系” （2）如果k2>7.879，就有99.5%的把握认为“X与Y有关系” （3）如果k2>6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”； （4）如果k2>5.024，就有97.5%的把握认为“X与Y有关系” （5）如果k2>3.841，就有95%的把握认为“X与Y有关系”； （6）如果k2>2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”； （7）如果k2≤2.706，就认为没有充分的证据显示 “X与Y有关系”.
时间3分钟，同桌之间可以相互讨论
自学检测1
1.画等高条形图的目的是________ a 2.观察等高条形图，如果 发现 和 ab c 差距很大，就说两个分 类变量 cd 之间 _________
自学指导2
• 阅读课本第93页---第95页的内容，注意下 列问题： • 1.记忆随机变量K2的计算公式。 • 2. 注意K2的大小对相关关系强弱的影响。 • 3. 独立性检验的原理是什么？ • 4.用自己的话总结用独立性检验原理判断相 关关系的具体过程。 时间6分钟，同桌之间可以相互商量
秃顶 不秃顶 总计
患心脏病 不患心脏 病 214 175 451 597 665 772 总计
389 1048 1437
假设秃顶和患心脏病之间没有关系 根据联表1-13中的数据，得到
1437 (214 597 175 451 ) k 16.373 10.828 3891048 665 772 所以有99.9%的把握认为“秃顶与患心脏病有
自学检测2
1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正
确的是（
c
）
A、若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患 肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99个患肺病 B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关 系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病 C、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关
解：在假设“吃零食与是否患胃病之间没有 关系”的前提下K2应该很小，并且
P( K 3.841) 0.05,
2
而我们所得到的K2 的观测值k≈4.513超过 3.841，这就意味着“吃零食与是否患胃病 之间的关系”这一结论错误的可能性约为 0.05（或小于 0.05 ） ，即有95%（或大于 95%）的把握认为“吃零食与是否患胃病 之间有关系”。
或者：k>10.828，表示在犯错的概率不 超过0.001的前提下，X和Y有关系。
用独立性检验思想的步骤
• • • • 1.列2x2列联表 2. 假设两个分类变量之间没有关系 3.根据K2的计算公式计算K2 4.如果K2 ≥k0（临界值），下结论：“在推 断错误的概率不超过P的前提下，可以判断 ‘两个变量有关系’”，或者说“我们有 （1-P）x100%的把握认为‘两个变量有关 系’。 如果K2≤2.072，就说“没有足够的证据证 明两个变量有关系”。
2
2
例2 为考察高中生的吃零食与是否患胃病之间的 关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学 生，得到如下联表：
患胃病 不患胃病 总计
吃零食 不吃零食 总计
37 35 72
85 143 228
122 178 300
由表中数据计算K2的观测值k≈4.513。在 多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜 欢数学课程之间有关系？为什么？