自动控制拉氏变换
t
s0
（4）位移定理
设F(s)=L[f(t)]，则有
L f (t 0 ) e0s F (s)
L eat f (t) F(s a)
分别为实域中的位移定理和复域中的位移定理
中新口腔
4. 拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换的定义已经给出，即
L1[F(s)] 1
j
F
(s)e
st
ds
f (t)
得到一组包含拉氏算子 s 的代数方程；
② 由代数方程解出输出量的拉氏变换表达式。 ③ 求输出量的拉氏反变换，即得到所求结果。
中新口腔
三、 拉普拉斯变换基本知识
1. 拉普拉斯变换定义 对于函数f（t），t为实变量，如果线性积分
f (t)est dt （s为复变量 j） 0
存在，则称其为函数f(t)的拉普拉斯变换，简 称拉氏变换，记作F(s)或L[f(t)],即
t est 1 est dt s 0 0s
1 s2
t
中新口腔
➢指数函数
0 t 0 f (t) eat t 0
L[f (t)] eat estdt esatdt
0
0
1 sa
e (sa ) t
0
1 (0 1) sa
1 sa
中新口腔
• 正弦函数： 0
f (t) sint
Lf (t) sin t estdt
t 0 t0
0
1 e jt e jt estdt 0 2j
1 e-(s- j )t e(s j )t dt 0 2j
1
2j
s
1
j
e(s j ) t
0
s
1
j
e(s j ) t
0
1
2j
s
1
j
s
1
j
1 2j
2j s2
式中 a1，a2， ，an；b0，b1， ，bm
均为实数，m、n为 正数，且m<n。 首先将A(s)因式分解，即写为
A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
然后将F(s) 写成n个部分分式之和，即
中新口腔
F(s) C1 C2 Ci Cn
s s1 s s2
s si
线性微分方 程（t）
代数方程（s）
求 解
拉氏反变换
线性微分方程 的解（t）
代数方程的 解（s）
中新口腔
第一节 控制系统的微分方程
例2-1 设系统的微分方程式为
d 2c(t) dc(t) dt 2 2 dt 2c(t ) r(t )
已知 r(t) (t) c(0) c'(0) 0 求系统的输出响应。 解： 将方程两边求拉氏变换得：
（2）微分法则
设 F(s) L[ f (t)] ，则有
L
df (t dt
)
sF (s)
f (0)
中新口腔
d 2 f (t)
L
dt 2
s2F(s)
sf
(0)
f
' (0)
……
d n f (t)
L
dt n
s n F (s) s n1 f (0) s n2
f
' (0)
f
(n1) (0)
中新口腔
第二章 自动控制系统的数学模型
第一节 控制系统的微分方程
一、 建立微分方程的一般步骤 二、 常见环节和系统的微分方程的建立 三、 拉普拉斯变换基本知识 四、 线性微分方程式的求解
中新口腔
第一节 控制系统的微分方程
一、 建立系统微分方程的一般步骤
（2）一个建系立统初通始常微是分由方一程些组环。节连接而成 的根，据将系各统环中节的所每遵个循环的节基的本微物分理方规程律求，出分 来 别列，写便出可相求应出的整微个分系方统程的，微并分构方成程微。分方 程组。 （列3）写消系除统中微间分变方量程，的将一式般子步标骤准：化。 ，与将（输与1）出输确量入定有量系关有统的关的项的输写项入在写变等在量号方和的程输左式出边等变。号量若右。是边 线性方程，方程左右两边导数项按降幂排列
f (t) (t) 1 et 1 e3t
22
中新口腔
四、 线性微分方程式的求解
拉氏变换求解线性常微分方程的步骤是： （1）将微分方程进行拉氏变换，求出以s为
变量的变换方程，又称象方程。 （2） 解象方程，求出输出量的象函数。 （3）对象函数进行反变换，求出微分方程的
解。
中新口腔
拉氏变换
lim C1
x1
(s 1) s 2 (s 1)(s 3)
1 2
C2
lim (s
x3
3)
(s
s2 1)(s
3)
1 2
11
Fs 2 2 进行反变换，求得原函数
s 1 s 3
F (t) 1 et 1 e3t
22
中新口腔
例2 求F(s)的反变换
F (s)
s2 s2
5s 4s
5 3
解：F(s) 1 s 2 s2 4s 3
2020/5/11
第二讲 控制系统的数学模型（1）
中新口7 腔
第一节 控制系统的微分方程
2．机械位移系统
系统组成： 质量 弹簧 阻尼器
输入量 输出量
初始微分方程组:
根据牛顿第二定律 F = ma
F(t) –FB(t) – FK(t) = ma
弹簧系数k F(t)
m y(t)
阻尼系数f
中新口腔
第一节 控制系统的微分方程
简化系统的假设
数学描述
实际系统
物理模型
数学模型
理想化的简化假设的目的是为于便于分析设计,但这将 影响模型的精度,所以必须在模型的简单性及分析结果的精 确性之间折衷。
建模过程实质上是对控制系统,首先是对被控对象调查 研究的过程,只有通过对系统的仔细调研忽略掉一些非本质 因素，才能建立起既简单又能反映实际物理过程的模型。
则积分法则化简为
L
t 0
f
(t)dt
1 s
F (s)
L f (t)(dt)2
1 F(s)
s2
……
L n
f
(t
)
(dt)
n
1 sn
F (s)
中新口腔
（3）终值定理
若函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且F(s)在
s平面的右半面及除原点外的虚轴上解析，
则有终值 lim f (t) limsF (s)
L( f (t) f (t)est dt F (s) 0
中新口腔
2、几种常见函数的拉氏变换
➢单位阶跃：
1t
0 1
t0 t0
L1t
1 estdt
0
1 s
est
0
1 0 1
s
1 s
中新口腔
f（t）
➢单位斜坡函数
t(t 0) f (t) t 1(t) 0(t 0)
L[t 1(t)] t 1(t)estdt 0
中新口腔
第一节 控制系统的微分方程
二、常见环节和系统微分方程的建立
1． RC电路
（2） 建立初始微 分方程组
ur= Ri + uc
i
=C
duc dt
（3）消除中间变量， 使式子标准化
R
+
+
i
ur
C uc
-
-
（R1C）量dd确ut和c定输+输u出入c=量ur
RC电输路入是量一：阶u常r 系 数线输性出微量分：方u程c 。
中新口腔
电工电子系统的特点
• 在电工电子系统中，通常研究电压与电流之间的 因果关系。
• 组成电工电子系统的基本元件有：电阻、电感、 电容和运算放大器等。
• 电阻将电能转化为热能消耗掉，电感通过磁场储 能，电容通过电场储能，运算放大器则通过与电 阻、电容、电感等组成不同的电路拓扑，实现对 电压和电流的变换。
2j j
此积分很难直接计算。因此，求f(t)一般用 部分分式法：先将F(s)分解成一些简单的有理 分式函数之和，然后由拉式变换表一一查出对 应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。
中新口腔
F(s)的一般式为
F(s) B(s) b0sm b1sm1 bm1s bm A(s) sn a1sn1 an1s an
s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)
R(s) = 1
中新口腔
第一节 控制系统的微分方程
整理后可得输出量的拉式变换
1
1
C(s) S 2 2S 2 (S 1)2 1
对上式求拉氏反变换得
c(t) = e –t sin t
系统输出响应曲线 c(t) 如下图所示。
0
t
中新口腔
+
···+
an-1
dc(t) dt
+
anc(t)
=
b0
dmr(t) dtm
+
b1
dm-1r(t) dtm-1
+···+
bm-1
dr(t) dt
+bmr(t)
解线性定常微分方程的方法：
经典法(微积分方法) 拉氏变换法(Laplace)
中新口腔
拉氏变换法解微分方程的步骤：
① 对微分方程中的每一项取拉氏变换(要考虑初始条件),
2
s2
2
中新口腔
其他一些常见函数的拉氏变换值可查阅拉氏 变换表（P173）
3. 拉氏变换的基本法则
（1）线性性质 设 F1(s) L[ f1(t)] F2 (s) L[ f2 (t)] a和b为常数，则有
自动控制原理(拉氏变换)
置信号。
精品PPT
§3-1控制系统的暂态响应分析
② 斜坡（匀速）输入
xr(t)
0 t0
A
xr
(t)
At
t0
0
t
相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号， 该恒速度为A。
精品PPT
§3-1控制系统的暂态响应分析
③抛物线（匀加速）输入
xr(t)
0 t0
xr
(t
)
At2
t0
0
t
相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置 信号，该恒加速度为A。
tu(t)
1 s2
精品PPT
例5正弦函数
精品PPT
周期函数的拉普拉斯变换
可以证明:若 f (t)是周期为T 的周期函数,即
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
精品PPT
§2-2非线性数学模型的线性化
2. 数学描述 设系统的输入为x(t),输出为y（t）， 且满足y(t)=f(x),其中f(x)为非线性函数。 设t=t0时，x=x0,y=y0为系统的稳定工作点
（x0,y0）, y(t)
y(t) f (x)
y0
x0
精品PPT
x(t)
§2-2非线性数学模型的线性化
k R.
解
ℒ
f (t)
ektest dt e(sk )t dt 1
0
0
sk
ekt 1
sk
Res k
例4
求单位斜坡函数
自动控制拉氏变换
22
例2 求F(s)的反变换
F(s)
ss22
5s5 4s3
解F ： (s)1 s2 s24s3
f(t)(t)1et 1e3t
22
四、 线性微分方程式的求解
拉氏变换求解线性常微分方程的步骤是：
（1）将微分方程进行拉氏变换，求出以s为 变量的变换方程，又称象方程。
（2） 解象方程，求出输出量的象函数。 （3）对象函数进行反变换，求出微分方程的
为函数f(t)及其各阶导数在t=0时的值。
零初始条件下有
dn f(t)
L
dtn
snF(s)
（3）积分法则 设 F(s)L[f(t)]，则有
L 0 t f(t)d t1 sF (s)1 sf( 1)(0)
Lf( t)d ) ( 2 ts 1 2 F ( s ) s 1 2f( 1 ) ( 0 ) 1 s f( 2 ) ( 0 )
+
···+
an-1
dc(t) dt
+
anc(t)
=
b0
dmr(t) dtm
+
b1
dm-1r(t) dtm-1
+···+
bm-1
dr(t) dt
+bmr(t)
解线性定常微分方程的方法：
经典法(微积分方法)
拉氏变换法(Laplace)
拉氏变换法解微分方程的步骤：
① 对微分方程中的每一项取拉氏变换(要考虑初始条件),
2021/3/29
第二讲 控制系统的数学模型（1）
6
第一节 控制系统的微分方程
2．机械位移系统
系统组成： 质量 弹簧 阻尼器
输入量 输出量
自动控制理论基础知识拉氏变换
∫ 一域内收敛，则由此积分所确定的函数 F (s) = ∞ f (t)e−stdt ，称为函数 f(t)的拉氏变换，记 0
作 F (s) = L[ f (t)] 。
拉氏变换是一种单值变换。f(t)和 F(s)之间具有一一对应关系。
=
b3 (s +1)3
+
b2 (s +1)2
+
b1 + s +1
c4 s
b3
=
1 [ s(s +1)3
(s
+1)3 ]s=−1
=
−1
b2
=
⎧d
⎨ ⎩
ds
[1 s(s +1)3
(s
+
1)3
⎫ ]⎬
⎭s=−1
=
[d ds
(
1 s
)]s
=−1
=
(−s−2 )
s = −1
=
−1
b1
=
1 (2s−3 ) 2!
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
s→0
上式表明：原函数 f(t)在 t →∞ 时的数值（稳态值），可以通过将象函数 F(s)乘以 s 后，再
求 s→ 0 的极限求得。
（6）延迟定理： L[ f (t −τ )] = e−sτ F (s)
（7）位移定理： L[e−α t f (t)] = F (s + α )
=
(l
1 {d l−1 −1)! ds
[M (s) D(s)
(s
拉普拉斯的逆变换及其性质
L1[
2! p3 ]
1 t 2e2t 2
(2) f (t) L1[2 pp25]
2L1[
1p
]
5L1[
1 p2
]
2 5t
(3) f (t) L1[ 4p2p34]
4L1[
p2p4]
3 2
L1[
p224]
4
cos
2t
3 2
sin
2t
(4)
f
(t )
三、进一步的练习
练习1
求下列象函数的逆变换
(1)
F
(
p)
(
1 p3)3
(2)
F( p)
2 p5 p2
(3)
F
(
p)
4 p3 p24
(4)
F( p)
2 p3 p22 p5
解 (1) 由性质2及拉氏变换表得
f
(t)
L1[ (P
1 3)3
]
e
2t
L1[
1 P3
]
e2t 2
再用拉氏逆变换还原为满足初始条件 y(0) 2, y(0) 1
的微分方程解为
y(t) 1 et 4et 7 e2t
3
3
第一节 函数及其图形
精品课件！
第一节 函数及其图形
精品课件！
将初始条件 y(0) 2, y(0) 1 代入上式，得
代数方程的解 ( p2 3 p 2)Y 2 2P 7 P 1
即
Y 2p2 5p 5
( p 1)( p 1)( p 2)
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换复习课程
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换附录1. 拉普拉斯变换附录1.1拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3） 0()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。
式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。
为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2）式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。
同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。
表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。
一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。
单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。
它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。
自动控制拉氏变换
c +jw
c-jw
F ( s ) × st d s e
二、 相关定理
1 微分定理
d - 0 L[ f（t）= sF（s） f（ ） ] dt
当t=0时，f(t)及其各阶导数均为零时，即 = f ( 0 ) = L = f ( n -1 ) ( 0 ) = 0 f (0) & 则
d L[ f ( t )] = sF ( s ) dt d2 L[ dt2 f ( t )] = s 2 F ( s )
只包含不同极点的F（s）的部分分式展开式
a1 a2 B(s) L + an = + + F ( s) = A(s) s + p1 s + p2 s + pn
ak称为留数， pk
称为极点
B( s) ak = [ ( s + pk )]s =- pk A( s)
A(s) = 0 有重根时：
设 p1 为m阶重根， s m+1 ,Ls n 为单根.则 F(s) 可表示为：
拉普拉斯反变换练习
s+3 F ( s) = ( s + 1)(s + 2)
部分分式展开为
s+3 a1 a2 F ( s) = = + ( s + 1)(s + 2) s + 1 s + 2
s+3 s + 3 a1 = ( s + 1) = =2 ( s + 1)( s + 2) s = -1 s + 2 s = -1 s+3 s + 3 a 2 = ( s + 2) = = -1 ( s + 1)( s + 2) s = -2 s + 2 s = -2
自控原理拉氏变换
d n c( t ) d n 1c ( t ) dc( t ) an a n 1 ... a1 a0 c( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r ( t ) dr ( t ) bm bm 1 ... b1 b0 r ( t ) m m 1 dt dt dt
La f1(t) b f 2(t) a F1(s) b F2(s)
L f t s F s f 0
-st st st st 左 证明： f t e dt e df t e f t 0 f t de
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数 1 y( x ) y( x0 ) y( x0 )( x x0 ) y( x0 )( x x0 )2 2!
取一次近似，且令
y( x ) y( x ) y( x0 ) E0 sin x0 ( x x0 )
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：左
L f ( t 0 ) e τ 0 s F ( s )
0
f (t 0 ) e t s dt
t 0
令
例6
0
f ( ) e
s ( 0 )
1 L K 1 K 2 K 3 K 4 K m L K 1 K 2 K 3 K 4 K m u L r Tm Tm Tm
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1）
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
自动控制原理拉氏变换
s
δ(t )
d [
ε(t )]
S
1
1
dt
S
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
3.积分性质
重点！
设： [ f (t)] F(s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
F(s) s
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ(s)
[ f (t)]
dt
F(s) K - Ke-t
K K Ka s s a s(s a)
2. 微分性质
若： f (t) F(S) udv uv vdu
则
df ( t dt
)
sF ( s )
f
(0 )
重点！
证：
df ( t dt
例13-8
求：F(s)
s2
1 (s 1)3
的原函数f
(t)
解
F(s)
K22 s
K21 s2
K13 (s 1)
K12 (s 1)2
K11 (s 1)3
以(s+1)3乘以F（s）
(s
1)3
F (s)
1 s2
1
K11 s2 s1 1
K12
d ds
1 s2
s1
注 f (t t0) 0 当 t t0
证：
f(t - t0 )
0
f (t t0 )estdt
自动控制原理拉氏变换
3.拉氏变换的基本定理 ¾线性定理
若函数分别有其拉氏变换：
f1(t) ⇒ F1(s) f2 (t) ⇒ F2 (s) 则
L[af1(t) + bf2 (t)] = aF1 (s) + bF2 (s)
¾延迟定理
若 f (t) ⇒ F (s)
则
L[ f (t −τ )] = e−τs F (s)来自根据拉氏变换的 基本定理
部
分
分母全部为单根
分
式
法
分母有重根
¾A(s)=0 全部为单根
ai 为F (s) 对应于极点 si 的留数。
例:已知 解：
求 F (s) 拉氏反变换。
¾A (s) =0 有重根
。。。。。。
例：求
解：
的拉氏反变换 f (t) 。
例：已知
解：
，试求其 f (t)
6. 应用拉氏变换解微分方程
¾ 方程两边作拉氏变换 ¾代入初始条件和输入信号 ¾写出输出量的拉氏变换
¾作拉氏反变换求出系统输出的时间解
例 RC滤波电路如图所示，输入电压信号Ui(t)=5V，
电容的初始电压 Uc(0) 分别为 0V 和1V 时，分
别求时间解Uc(t)。
解：
¾Uc(0)=0V 时 ¾Uc(0)=1V 时
¾终值定理
若 f (t) ⇒ F (s) 且 f (∞) 存在，则
¾卷积定理
若 f1(t) ⇒ F1(s) f2 (t) ⇒ F2 (s) 则
求 ？
4. 拉氏变换的优点：
¾简化函数
¾简化运算
5. 拉氏反变换
拉氏变换： 已知 f ( t ) → 求 F (s) 拉式反变换： 已知 F (s) → 求 f ( t )
自动控制原理-附录拉氏变换
附录1： 拉普拉斯（LapLace ）变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
一、拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t 为自变量的实变函数)(t f ，它的定义域是0≥t ，那么)(t f 的拉普拉斯变换定义为⎰∞-==0)()()]([dt e t f s F t f L st （1-1）式中，s 是复变数， ωσj s +=（σ、ω均为实数），⎰∞-0st e 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称)(s F 为)(t f 的象函数，而称)(t f 为)(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（1-1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数)(s F 。
二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数)(1t 的拉氏变换)(t f 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为)0()0(101≥<⎩⎨⎧∆t t t ）（图1-1 单位阶跃函数单位阶跃函数如图1-1所示，它表示在0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为∞--∞-===⎰00|1)(1)](1[)(st st e sdt e t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0lim →-∞→stt e所以 ss e ss F st1)]1(0[1)(0=--=-=∞-（1-2）2.指数函数atet f -=)(的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
dt e dt ee eL s F t s a atst at⎰⎰∞+--∞--===0)(0][)(令a s s +=1则与求单位阶跃函数同理，就可求得 as e L s F sat+===-11][)(1（1-3） 3．正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设t t f ωsin )(1=， t t f ωcos )(2=，则dt te t L s F st ⎰∞-==01sin ][sin )(ωω由欧拉公式，有je e t tj t j 2sin ωωω--=所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞---001j 21)(dt e e dt e e s F stt j st t j ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞∞+---00)()(j 21dt e dt e t j s t j s ωω ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=∞+-∞--0)(0)(j s 1j -s 1j 21t j s t j s e e ωωωω22s j s 1j -s 1j 21ωωωω+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=（1-4）同理 222][cos )(ωω+==s st L s F （1-5）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间)0(→=εεt 期间幅值为ε1的矩形波。