积分变换习题.

p30 : 6.
解 : f (t) 1 sin e jtd
2
1 sin costd j sin sin td
2
2
1 1 sin costd
0
1
2 0
1
4
t t
1 1
1
2
u(1
t)
u(1 t) 1
1 t 1
t 1
4
t 1
p30 : 7.
解 : 2 ( 0 ) e j0t
积分变换习题
1：fourier变换
p10 :1
证： 依题意， 有：
f (t) 1
2
f
( )e j d e j d
1
2
(
f
( ) cosd ) cost
j(
f
( ) cosd )sin t
j(
f ( ) sin d ) cost (
f ( ) sin d ) sin t
(u cost
v sin t)
j(u sin t
v cost)dt
F() (u jv)(cost j sin t)dt
(u
c
ost
v sin t)
j(v cost
u sin tdt
F()
(u
c
ost
v sin t)
j(v cost
u sin tdt
v 0 即f (t) u为实值函数 .
p30
:13(2)证
:
u (t )
1, 0,
t t
0 0
t
t
t 0
(t)dt lim 0
(t)dt 0
t 0,总可取 t,使
t
(t)dt
0 (t)dt 1
t
(t)dt
u(t)
1, t 0, t
0 0
p30 :13(2)证 : 对任意 0, 有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u(t
)
u(t)
同理， 若f (t)为奇函数， 则F()为奇函数。
p30 : 5(1).证.必要性 : f (t) u iv u(v 0)为实值函数.
F () ue jtdt u cost ju sin tdt
F () 充分性: 若F() F()
F() (u jv)(cost j sin t)dt
2 ( 0 ) e j0t
F
()
1 2
2
(
0
)
2
(
0 )
1 2
(e
jt
e
jt
)
c os0t
f (t) cos0t
p30 :8.解 : sgnt 2u(t) 1 2u(t) 2 ()
2 2 () 2 () 2
j
j
p30 : 9.解 : 1 (t a) 1 e ja 1 (cosa j sin a)
0
A
j
0
e jt d ( jt)
A
j
(e
jt
)0
A(1 e jt )
j
p29 : 2.证.F () f (t)e jt dt
若f (t)为偶函数， 则f (t) f (t)
F()
tu
f (t)e jtdt
f (u)e ju (du)
f (u)e judu F () 故F ()为偶函数.
4
4
sin3 t
3 4
sin
t
1 4
sin
3t
3 4
sin
t
1 4
sin
3t
3 j ( 1) ( 1) 1 j ( 3) ( 3)
4
4
j ( 3) ( 3) 3 ( 1) 3 ( 1)
4
p30 :12.
解 : sin(5t ) sin 5t cos cos5t sin
0
0
1
(1 2 ) sin
1 0
1
sin (2 )d
0
2 2
1
d cos
0
2 2
(c os
1
sin
)
p11: 3(1)
解
F() f (t)
t
e e jtdt
e t (cost j sin t)dt
2 et costdt 2I (I et costdt) 2 etd sin t
d
再利用奇， 偶函数的积分性质 ， 有：
f (t) 1
(
f ( ) c osd ) c ostd
0
1
(
f ( ) sin ) sin t d
0
0 a() costd 0 b() sin td
p10 : 2(1)
解 : f (t) 1
2
1 1
(1
2
)e
j
d
e
jt
d
1
2
2
2
1 (t a) 1 e ja 1 (cosa j sin a)
2
2
2
1 (t
a)
1
1 ja
e2
1
(cosa
j sin
a )
2 22
22
2
1 (t
a)
1
1
e2
ja
1
(cosa
j sin
a )
2 22
22
2
f
(t)
1 2
(t
a)
(t
a)
(t
a 2
)
(t
a2 )
cosa cosa
2
2
1
(1
1
2 )(cos
j sin
)d
e
jt d
1
(
1(1 2 ) cosd )e jtd
0
1
2
2
(cos
1
sin
)e
jt d
2
sin
3
c
os
(
c
ost
j sin t)d
4
0
sin
3
cos
costd
而 1 (1 2 ) cos d 1 1 (1 2 )d sin
3
3
3
1 sin 5t 3 cos5t
2
2
sin(5t
3
)
1 2
(sin
5t)
3 (cos5t) 2
( 3 j) ( 5) ( 3 j) ( 5) 2
P30:13(1)
证.依本习题 2知F() 与f (t)有相同的奇偶性
又 1 (t) F() 1
F() 1是偶函数 , 故 (t)也是偶函数 ， 即 (t) (t)
(t)
1 , t
0,t 0或t
0;
u(t
)
u (t )
(t )
1 , 0 t ; 0,t 0,t .
又因当 0 时, (t)和 (t)都收敛于广义积分 (t),
0
0
0
2 2
1
I
I
2
2
F ()
2I
2 2
2
f (t) 1 F ()e jtd 1 2 (cost j sin t)d
2
2 2 2
2
0
cost 2 2
d
e t 2
0
cost 2 2
d
cost d e t
0 2 2
2
p29 :1
解 : F () Ae jt dt A e jtdt
p30 :10
解 : cost sin t 1 sin 2t 1 j ( 2) ( 2)
2
2
p30 :11.解 : sin3 t sin2 t sin t (1 cos2 t) sin t
1 (1 cos2t) sin t sin t 1 cos2t sin t
2
22
3 sin t 1 sin 3t