高中物理竞赛_话题8：抛体运动的分解和轨道方程

话题8：抛体运动的分解和轨道方程一、抛体运动的分解抛体运动是曲线运动。

由于质点在运动中加速度始终为方向竖直向下的重力加速度g ， 因此，抛体运动是匀变速曲线运动。

又因为抛体运动中抛射物始终运动在初速度与重力加速 度所决定的平面内，所以抛体运动是一个平面运动。

运动方程很容易由方程类似给出：0v v gt =+20012r r v t gt -=+其中0r 、0v 分别为质点在刚抛出(0)t =时的位矢和速度。

若把抛出点作为坐标原点，则00r =。

根据运动叠加原理，可以把抛体运动看作由两个直线运动叠加而成，即把一个曲线运动分解成两个直线运动的叠加来讨论。

通常采用两种分解方法： (1)速度为0v 匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动。

(2)以抛射点为坐标原点，在抛射平面(竖直平面)内建立直角坐标系()oxy ，再把前面方程)中各矢量沿x 、y 轴方向分解。

如果在抛射平面内分别取水平方向和竖直向上方向分别为x 、y 轴方向，那么抛体运动方程的分量形成为：0cos x v v θ= 0sin y v v gt θ=-0(cos )x v t θ= 201(sin )2y v t gt θ=-这表示，抛体运动可以看成：沿水平x 方向的速度为0cos v θ的匀速直线运动和沿竖直向上y 方向的初始为0sin v θ、加速度为g -的匀变速直线运动(即竖直上抛运动)。

式中θ为初始抛射角。

如果在讨论沿斜面向上(或向下)抛掷物体的抛体运动时，通常令直角坐标的x 、y 轴分别指向沿斜面向上(或向下)和垂直于斜面向上的方向更为方便。

此时，x 、y 方向的运动均为匀变速直线运动，它们在x 、y 方向的分运动方程分别为：0cos (sin )x v v g t θϕ=± 0sin (cos )y v v g t θϕ=-22πθϕ+=时，S 取最大值220021sin cos (1sin )M v v S g g ϕϕϕ-=⋅=+ 相应的M θ角为42M πϕθ=-3)在图()c 中，欲求沿斜坡方向抛射体的射程S ，也可以从方程中，取0y =时的x 值，得到2022cos()sin cos v S g θϕθϕ-=⋅若要进一步求0v 为确定值时的最大射程M S 以及相应的抛射角M θ，与2)中同样处理，得220021sin cos (1sin )M v v S g g ϕϕϕ+=⋅=-相应的M θ角为 42M πϕθ=+4)在图()a 中，欲求抛射体所达最大高度H ，可以从方程中，取0y v =时的y 值，得到220sin 2v H gθ=5)在图()b 中，若抛射体与斜面经无能量耗损的完全弹性碰撞后从原路返回抛射点，欲确定图中θ与斜面倾角ϕ应满足的关系，可以根据抛射体抵达斜面上落地点的运动特点：0x v =和0y =，再利用方程中相应的两个方程，消去时间得到cot cot 2θϕ⋅=这个结论与初速度大小无关。

二、抛体运动的轨道方程有时，我们关心的是轨道方程，尽管轨道方程包含的信息没有运动方程所含信息多，因为它没有给出物体何时在何处。

在讨论轨道方程时，通常采用前图()a 中坐标。

利用方程，联立消去时间t ，得到轨道方程：2220tan (1tan )2gx y x v θθ=-+在抛射速度0v 和抛射角θ确定的情况下，这个方程给出了x 与y 的关系，即给出了一条轨道。

但是，从更广泛的意义上来看，这是一个含有4个参量0(,,,tan )x y v θ的方程．为了准确理解这个方程，我们作一些与解题关系密切的讨论：设抛射点为坐标原点，抛射初速度大小0v 已知，而(,)x y 为竖直抛射面内的一确定点[这里0x >，而y 既可以大于零，也可以小于零，还可以等于零(属于图()a 的情况)]，假定这一点能被击中，我们来看一看，此时抛射角为何值?为此，把前方程改写为(1)、22200222tan tan (1)0v v y gx gxθθ-++= 解出tan θ： 20tan v gx θ=±通常，tan θ有两个解，这说明在此情况，同一个抛射体可以用两个不同的抛射角1θ和2θ均201212201222tan tan tan()cot tan()21tan tan 2v x gxv y y gx θθπθθββθθ++===-=-=+-⋅- 其中β为在抛射点所看到的点(,)x y 的视角(仰视角为正，俯视角为负)，在此2πβ<。

若y 为负，则β值也为负。

最后得到122πθθβ+=+当0β=时，显然是正确的。

这个关系式在解题中很有用。

(2)、我们再来看图()a ，在0v 一定的条件下，最大射程M S 给出2M v S g=此时124πθθ==。

一般情况下，一个射程S 对应于两个互不相等的抛射角1θ和2θ。

如果射程S 不变，能达射程S 的最小0v 值为多大?显然0min ()v =而且此时的抛射角必为4π。

与此类似，我们看图()b 。

如果0v 大小一定，击中(,)x y 点一般有两个抛射角，那么击中(,)x y 点的最小0v 值就是120θθθ==。

时，对应的0v 值可以由方程得到0v =或0v = 其中01()22πθβ=+ 显然0v 的表达式是相同的。

(3)、我们对方程重新整理，改写为222220022222222200022200022222002200tan tan 222tan tan 222tan 222gx gx y x v v v v v gx gx gx v gx gx v gx v v v gx gx v gx g v θθθθθ=-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭此式表示，当抛射体初速0v 和击中点x 坐标一定时，若抛射角满足20tan tan v gxθθ==y 得极大值220max2022v gx y y g v ==- 这个结论具有实际意义。

例1、如图，一人离墙距离x 处踢一足球，若足球初速0v 为定值，可以由此确定击中墙上可能的最高高度max y 。

我们进一步思考这个问题。

若墙换成一个竖直放置的大平板(设此平板与抛射面垂直)，足球的初始速度大小0v 和抛射点保持不变，大平板所在x 坐标可以调节，即x 可变，那么根据式220max2022v gx y y g v ==-，每个可能的x 必给出平板上相应的一个最高高度y 。

由此给出的x 与y 的关系式就是表达式220max2022v gx y y g v ==-， 改写为2202022v g y x v g=-+例2、在离墙靶距离为d 的地上用枪射击，子弹初速度为0v ，墙靶上标有一根离地面高h 的水平线MN 。

为使每次枪弹击中墙靶上水平线MN ，则应要求枪在墙上的瞄准点满足什么我们把子弹的抛体运动分解为以速度为0v 的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动，且子弹击中直线MN 上的F 点。

利用子弹匀速地从O 点到P 点的时间等于从P 点自由落体到达F 点的时间，写出方程0OP v =0=将此式两边平方，再整理得到22222220002()()v v v y z h d g g g-+=-- 这就是为击中墙上水平线MN ，要求枪在墙上的瞄准点所满足的关系。

这是一个圆方程，圆心坐标为2(,,0)v d g，圆半径r 为1/22222002()v v r h d g g ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦如图()b 中画出墙平面上的直线MN 和瞄准点构成的圆。

不难看出：(1)一般情况下，同一个击中点F ，对应有两个瞄准点1P 和2P ，即对应两个抛射角。

因此，为使墙上击中点高于直线MN ，在初速度0v 相同的情况下，其瞄准点应落在圆的内部。

(2)当子弹初速度0v 、墙与发射点距离d 、墙平面上直线MN 高度h 一定时，子弹只能击中此水平线的一部分，即从点(,,)d h r -到点(,,)d h r 一段，两点连线为一直线。

(3)瞄准点圆半径必须满足 0r ≥相应地，0v 不能太小。

代入的表达式，确定0v 的条件为120(v g h ⎡⎤≥⎣⎦例3、一辆汽车沿水平公路以速度v 无滑动地运动，如果车轮半径为R ，试求车轮抛出的水滴上升的最大高度和抛出点的位置。

解、汽车以速度v 前进，车轮轴的速度也就是v ，这是相对地面来说的，如果将坐标轴连在车轮的轴上，则车轮边缘的线速度相对轮轴来说就是v 。

而相对地面来讲，则要和轮轴对地面的水平速度v 矢量相加。

设水滴自A 抛出。

则抛出速度的竖直分量为y v ，如图所示，则 sin y v v α=⋅ 水平速度 (1cos )x v v α=-抛出点A 离地的高度为 (1cos )A h R α=-水滴上升的高度和竖直方向的分运动有关，设水滴上升的最大高度为H ，222222sin sin cos cos (1cos )222A v v v H h R R R R g g gααααα=+=-+=-+-由此可见，水滴上升达到的最大高度和α有关，也就是和水滴抛出时车轮边缘上的位置有关，车轮边缘上不同位置的水滴抛出后，可能达到的最大高度也是不同的。

整理上式得222cos cos ()022v v R H R g gαα++--= 解出cos α和H的关系2cos Rg v α=-±要保证cos α有意义，得满足两个条件：第一个条件是根式应是非负实数，即2222(1)0Rg gHv v+-≥也就是H 不可能过大，最大高度应满足222(1)2v Rg H g v ≤+ 说明不论水滴的位置如何，H 的最大可能值均由上式决定。

第二个条件是cos 1α≤，要满足这一条件，须分几种情况讨论。

(1)21Rgv ≥,在这种情况下，只有2cos Rg v α=-+根式等于零时，即222(1)2v RgH g v=+时无意义。

要使Hcos 1α=-时，得 max 2H R =,απ=.(2)21Rgv<,在这种情况下，2cos Rg v α=- 取正号解得H0=，2cos Rg v α=-,而 22max2(1)2v RgH g v=+ 将2cos Rgvα=-代入h 和α的关系，即可得A 的坐标，即 22cos A R gh R R R vα=-=+坐标为22sin A A A x R R g y R h v α⎧=-=-=⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩例4、求应该与水平方向成多大角度抛出石头，才能使整个飞行时间从石块到抛出点之间距离一直增大。

石头以不太大的速度抛出，空气阻力不计。

解、使用如图所示的坐标系，石头的运动可以由下式表示0(cos )x v t α= 201(sin )2y v t gt α=-0cos x v v α= 0sin y v v gt α=-当石头的速度垂直于其矢量时，石头距离原始位置最远。