第章多自由度系统的振动题解
第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法.doc
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。
本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。
6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。
在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。
式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。
显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。
下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。
第3章 振动系统的运动微分方程题解
45 / 2045习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为固定R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=题3-1图题3-2图46 / 2046用瞬心法求C v ：2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2CC m J ρ= 故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为 θθδd mge W sin -=应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
《振动力学》习题集(含问题详解)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
第1章多自由度系统的固有振动特性
2
项，此时质量阵不能保证正定。即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。
3.刚度矩阵的物理意义 势能
1t〜
au
u二{u} [ K ]{ u}_ 0
kijkji
(1-4)
2
ouicuj
(1)刚度矩阵反映了系统的势能
(2)刚度矩阵是半正定的(刚体位移对应的势能为零)
(3)刚度矩阵是对称的
(3)原系统任意两个相邻特征值之间必有一个新系统的特征值
(4)新系统任意两个相邻特征值之间必有一个原系统的特征值
(5)由有限元法给出的解是精确解的上界， 有限元的基本思想就是把一个 无穷维的问题“约束”为有限维。从而使频率提高。
(6)由瑞利假设模态法给出的解是精确解的上界，因为假设模态相当于对 结构增加约束得到的变形模态，从而使特征值增加。
1.瑞利法
(1)瑞利原理：
结构振动分析中，为了估计基频所使用的瑞利原理， 通常是对无阻尼系
(2)瑞利商R
11
Tmax2{X}T[M]{X}，Umax{ X }?[ K ]{ X }(1一52)
22
2.与粘性阻尼有关的几个基本概念
(1)刚度型阻尼和质量型阻尼
若:-0，1 =0，则［Cm］「［M ］称为质量型阻尼
若U0，：•=0，则［Ck］二■:［K］称为刚度型阻尼 对质量型阻尼，模态阻尼比 ：与’成反比；对刚度型阻尼, 与.r成正比。
定义振动位移响应的相邻两振幅之比
匕=_A^=e§Tdr
AsHr
©i=蛍j称国
i©j为重频，但相应有两个模态。
(8)
密频或近频：
i式j,«i
d通常当Oi-Oj<10-时，可以称为密频
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
05-第五章-多自由度系统振动的近似解法
1
X r1 l X r l
l 1,2,, n 向量中的任一元素
每次迭代后，将迭代向量归一化。即向量的最后一个元素为 1 。
迭代步骤：求一阶固有频率和一阶主振型
1、选取初始迭代向量{X}1，使其最后一个元素为 1 。
2、对{X}1作矩阵迭代， Y 1 AX 1 归一化：X 2
Y 1 Y 1 n
3、重复步骤2、，直到第 r 次迭代：Y r AX r 4、若收敛精度允许：X r1 X r
§5.4 矩阵迭代法 （利用位移方程求解）
1、第一阶固有频率和主振型
A A F M K1M Ai ii
设：X 1 为初始迭代向量 （各阶主振型的线性组合）
X 1 a11 a22 ann 第一次迭代：X 2 AX 1 即： X 2 AX 1 a111 a222 annn
1T M X 1 M p1 a1
a1
1 M p1
T 1
M
X
1
一次迭代后： 取：X 2 AX 1 a111
A
1
M p1
1
T 1
M
X
1
X 2 b111 b222 bnnn 有误差，仍含有 1
同样由正交性得到：b1
1 M p1
T 1
迭代后取： X 3 AX 2 b111
M
X 2
EJ ml 3
邓克莱解 精确解 误差为 2.6%
第五章 多自由度系统振动的近似解法
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§5.2 瑞利法 （能量法）
设：主振动 x X sinnt 系统的动能：T 1 xT M x
2
Tm a x
1 2
n2X T
M
X
系统的势能：U 1 xT Kx
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,
由频率方程 ,得
解出频率为
， ,
由特征矩阵 的伴随矩阵的第一列，
将 代入得系统的第一阶主振型为
满足如下关系：
,
展开以上二式得， 。取 , ,可得到 。即有
满足如下关系:
,
展开以上二式得, , ，联立得 。取 ， ，可得到 。即得
主振型矩阵为
，
由频率方程 ,得
因此可得到频率方程
解出
， ， ，
解出频率为 ， , 。
由特征矩阵 ,
特征矩阵的伴随矩阵的第一列，
将 代入，即得 归一化 得
将 代入,得 归一化 得
将 代入，得 归一化 得
将 代入,得 归一化 得
得系统的主振型矩阵为
各阶主振型如下图所示:
4-8题4-８图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设m1=m２=m3=m，ｈ1＝ｈ２=h３=h，EJ1＝3EJ，EＪ2＝２EJ,ＥJ３=ＥJ。用微小的水平平动x1、x２和ｘ3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。
整理得到,
则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，
，
系统的质量矩阵为
由频率方程 ，并代入已知条件得,
整理得到 ,求得 , 。
用刚度影响系数法求解刚度矩阵。令 ,分别由两杆的受力图，列平衡方程为
;
同理,令 得到
4-4题4-4图所示,滑轮半径为R,绕中心的转动惯量为2mR2,不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。
，
设 ,画出受力图,并施加物体力偶与力 ，由平衡条件得到，
，
得作用力方程为
由频率方程 ,得
４-3题４-3图所示的系统中，两根长度为l的均匀刚性杆的质量为ｍ1及ｍ２,求系统的刚度矩阵和柔度矩阵,并求出当ｍ1=ｍ２=ｍ和k1=ｋ2=k时系统的固有频率。
解:如图取 为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到，
4-10试计算题4-5的系统对初始条件 和 的响应。
解:在习题４-5中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为
,
主质量振型为
正则振型的第i列为 ,由此得到正则振型振型为
初始条件为
, = 0
正则坐标的响应为 , ,
由 ，展开得到
其中 , , 。
4－11试计算题4-７的系统对初始条件 和 的响应。
解：在习题4-7中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为
， ,
设 ，画出受力图，并施加物体 ，由平衡条件得到，
， ,
设 ，画出受力图,并施加物体 ，由平衡条件得到,
， ,
则刚度矩阵和质量矩阵分别得,
,
特征矩阵:
由频率方程 ,得 0，
展开为,
解出频率为 ， ， 。
由特征矩阵 的伴随矩阵的第一列,
并分别代入频率值,得系统的主振型矩阵为
４-６题4－６图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ，本身质量不计，以微小的平动x1、x2和x3为坐标,用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设m1＝m2=m3＝m。
解：如图取广义坐标,用柔度影响系数法求柔度矩阵。
首先，仅在质量 处施加竖直单位力F=1,其余各质量块处不受力,则 产生的静挠度是 ; 处产生的静挠度是 ； 处产生的静挠度是 。则由材料力学知识,得到
, ,
同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为
得到系统的位移方程为
由系统的特征矩阵 ，得频率方程 ,即
,
主质量振型为
正则振型的第i列为 ,由此得到正则振型振型为
正则坐标初始条件为
=０， =
正则坐标的响应为 , ， ， 其中频率为 。
系统的质量矩阵为
得到系统的位移方程为
由系统的特征矩阵 ，得频率方程 ,即
其中 ,展开频率方程为
解出 。
解出固有频率为
由特征矩阵的伴随矩阵的第一列 ,分别代入特征值，得到主振型为 。
主质量振型为
正则振型的第i列为 ,由此得到正则振型振型为
柔度矩阵还可以这样解出:
时:
, ,
：
,
时:
, ,
４-９在题4-９图所示的系统中,各个质量只能沿铅垂方向运动，假设m1=ｍ2=m3＝ｍ,k1=k2=ｋ3＝k4=k５＝k６=k,试求系统的固有频率及振型矩阵。
， ,
由特征矩阵 的伴随矩阵的第一列，
并分别代入频率值,得系统的主振型矩阵为
4－5三个单摆用两个弹簧联结,如题４-5图所示。令m１=ｍ2＝ｍ3=m及ｋ1＝k2=ｋ。试用微小的角 、 和 为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。
解：如图选 为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵 。
设 ，画出受力图,并施加物体于 ,由平衡条件得到,
解:由材料力学知,当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为 ,由此可将题4-11图等效为(a)图,其中
, ，
广义坐标如图(a）示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。即,对图（a)中的 施加单位力,其余不受力，此时第一个弹簧变形为 ，第二和第三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为,
, ,
同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为
, ， ，
代入 ， ,
可求出刚度矩阵K和质量矩阵M
;
由频率方程 ,得
,
为求系统主振型，先求出adjB的第一列
分别将频率值 代入,得系统的主振型矩阵为
4-2题４-2图所示的均匀刚性杆质量为ｍ1,求系统的频率方程。
解：设杆的转角 和物块位移x为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵 。
设 ,画出受力图,并施加物体力偶与力 ,由平衡条件得到,
其中 ，展开频率方程为
解出 。
由特征矩阵的伴随矩阵的第一列 ,分别代入特征值,得到主振型为 。
４-7如题4-7图所示,用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设ｍ1＝m2=ｍ3=m4=m和ｋ1＝k２＝k3＝k，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为
解:如图选x1，x2,x3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵 。
设 ，画出受力图，并施加物体 ，由平衡条件得到，
, ，
设 ,画出受力图，并施加物体 ,由平衡条件得到，
=0， ，
设 ，画出受力图,并施加物体 ，由平衡条件得到，
， ，
则刚度矩阵和质量矩阵分别得,
,
由频率方程 ，得
展开为 ,解出频率为
第章－多自由度系统的振动题解
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习题
4-1在题3-10中,设m1=m2＝m,l1=l2=ｌ，k1=ｋ２＝0，求系统的固有频率和主振型。
题4-1图
解：由题3-10的结果