人教版八年级数学上全等三角形课时练习及答案 2

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人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》练习题(附答案)

人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》练习题(附答案)一选择题1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )A. 斜边和一直角边对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一锐角和斜边对应相等D. 两条直角边对应相等2.一块三角形玻璃被打碎后店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来全等的三角形玻璃能够全等的依据是( )A. ASAB. AASC. SASD. SSS3.如图OD⊥AB于点D OP⊥AC于点P且OD=OP则△AOD与△AOP全等的理由是( )A. SSSB. ASAC. SSAD. HL4.如图为6个边长相等的正方形的组合图形则∠1+∠2+∠3的度数为( )A. 90°B. 135°C. 150°D. 180°5.如图AC是△ABC和△ADC的公共边下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是( )A. AB=AD，∠2=∠1B. AB=AD，∠3=∠4C. ∠2=∠1，∠3=∠4D. ∠2=∠16.如图已知点B、E、C、F在同一直线上且BE=CF，∠ABC=∠DEF那么添加一个条件后．仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )A. AC=DFB. AB=DEC. AC//DFD. ∠A=∠D7.如图点C D在AB同侧∠CAB=∠DBA下列条件中不能判定△ABD≌△BAC的是( )A. ∠D=∠CB. BD=ACC. AD=BCD. ∠CAD=∠DBC8.如图D是AB上一点DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB若AB=4，CF=3则BD的长是( )A. 0.5B. 1C. 1.5D. 29.如图△ABC中AB=AC，AD是角平分线BE=CF则下列说法中正确的有( )①AD平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD=CD；④AD⊥BC．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图四边形ABCD是一个筝形其中AD=CD AB=CB 在探究筝形的性质时得到如下结论：③四边形ABCD的面积其中正确的结论有．( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二填空题11.如图在3×3的正方形网格中∠1+∠2=_______度．12.如图已知AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D则图中全等的三角形共有______对．13.如图所示的网格是正方形网格点A，B，C，D均落在格点上则∠BAC+∠ACD=____°．14.如图∠A=∠E，AC⊥BE，AB=EF，BE=10，CF=4则AC=______．15.如图在△ABC和△DEF中点B，F，C，E在同一直线上BF=CE，AB//DE请添加一个条件使△ABC≌△DEF这个添加的条件可以是______(只需写一个不添加辅助线)．16.如图在△ABC中高AD和BE交于点H且DH=DC则∠ABC=°.17.如图在四边形ABCD中AB=AD，∠BAD=∠BCD=90∘连接AC若AC=6则四边形ABCD的面积为．18.如图∠C=90°，AC=20，BC=10，AX⊥AC点P和点Q同时从点A出发分别在线段AC和射线AX上运动且AB=PQ当AP=______时以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．19.如图△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D点DE⊥AB于点E BF⊥AC于点F，DE=3cm则BF=cm．20.如图所示∠E=∠F=90∘，∠B=∠C，AE=AF结论：①EM=FN②AF//EB③∠FAN=∠EAM④△ACN≌△ABM.其中正确的有______ ．三解答题21.如图点A，D，C，F在同一条直线上AD=CF，AB=DE，AB//DE.求证：BC=EF．22.如图点C、F、E、B在一条直线上∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE写出CD与AB之间的关系并证明你的结论．23.如图B、C、E三点在同一条直线上AC//DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE24.已知：如图在△ABC中BE⊥AC垂足为点E，CD⊥AB垂足为点D且BD=CE．求证：∠ABC=∠ACB．25.如图在△ABC中AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点点E在BC边上且BE=BD 连接AE，DE，DC．(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°求∠BDC的度数．答案和解析1.【答案】B【解析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【解答】解：A.符合判定HL故本选项正确不符合题意；B.全等三角形的判定必须有边的参与故本选项错误符合题意；C.符合判定AAS故本选项正确不符合题意；D.符合判定SAS故本选项正确不符合题意．故选B．2.【答案】A【解析】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法中选用哪一种方法取决于题目中的已知条件若已知两边对应相等则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等则必须再找一组对边对应相等若已知一边一角则找另一组角或找这个角的另一组对应邻边．利用全等三角形判定方法进行判断．【解答】解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．故选：A．3.【答案】D【解析】本题考查了直角三角形全等的判定的知识点解题关键点是熟练掌握直角三角形全等的判定方法HL.根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．【解答】解：∵OD⊥AB且OP⊥AC∴△AOD和△AOP是直角三角形又∵OD=OP且AO=AO∴△AOD≌△AOP(HL)．故选D．4.【答案】B【解析】本题考查了全等图形准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键标注字母利用“边角边”证明△ABC和△DEA全等根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4从而求出∠1+∠3=90°再判断出∠2=45°进而计算即可得解．【解答】解：如图在△ABC和△DEA中{AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA,∴△ABC≌△DEA(SAS)∴∠1=∠4∵∠3+∠4=90°∴∠1+∠3=90°又∵∠2=45°∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．故选B．5.【答案】A【解析】本题考查三角形全等的判定方法判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS等．利用全等三角形的判定定理：SSS SAS ASA AAS等逐项进行分析即可．判定两个三角形全等时必须有边的参与若有两边一角对应相等时这个角必须是两边的夹角．【解答】解：A.AB=AD∠2=∠1再加上公共边AC=AC不能判定△ABC≌△ADC故此选项符合题意；B.AB=AD∠3=∠4再加上公共边AC=AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC故此选项不合题意；C.∠2=∠1∠3=∠4再加上公共边AC=AC可利用ASA判定△ABC≌△ADC故此选项不合题意；D.∠2=∠1∠B=∠D再加上公共边AC=AC可利用AAS判定△ABC≌△ADC故此选项不合题意；故选A．6.【答案】A【解析】解：∵BE=CF∴BE+EC=EC+CF即BC=EF且∠ABC=∠DEF∴当AC=DF时满足SSA无法判定△ABC≌△DEF故A不能；当AB=DE时满足SAS可以判定△ABC≌△DEF故B可以；当AC//DF时可得∠ACB=∠F满足ASA可以判定△ABC≌△DEF故C可以；当∠A=∠D时满足AAS可以判定△ABC≌△DEF故D可以；故选：A．根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．本题主要考查全等三角形的判定方法掌握全等三角形的判定方法是解题的关键即SSS SAS ASA AAS 和HL ．7.【答案】C【解析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS 符合SSA 和AAA 不能推出两三角形全等．根据图形知道隐含条件BC =BC 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A 添加条件∠D =∠C 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 符合全等三角形的判定定理AAS 能推出△ABD ≌△BAC 故本选项错误；B 添加条件BD =AC 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 符合全等三角形的判定定理SAS 能推出△ABD ≌△BAC 故本选项错误；C 添加条件AD =BC 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 不符合全等三角形的判定定理不能推出△ABD ≌△BAC 故本选项正确；D ∵∠CAB =∠DBA ∠CAD =∠DBC∴∠DAB =∠CBA 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 符合全等三角形的判定定理ASA 能推出△ABD ≌△BAC 故本选项错误；故选C ．8.【答案】B【解析】解：∵CF//AB∴∠A =∠FCE ∠ADE =∠F∴在△ADE 和△CFE 中{∠A =∠FCE∠ADE =∠F DE =FE∴△ADE ≌△CFE(AAS)∴AD =CF =3∵AB =4∴DB =AB −AD =4−3=1．故选B ．根据平行线的性质得出∠A =∠FCE ∠ADE =∠F 再根据全等三角形的判定证明△ADE ≌△CFE得出AD=CF根据AB=4CF=3即可求线段DB的长．本题考查了全等三角形的性质和判定平行线的性质的应用能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键解题时注意运用全等三角形的对应边相等对应角相等．9.【答案】C【解析】解：∵AB=AC AD平分∠BAC∴BD=DC AD⊥BC故③④正确在RT△BDE和RT△CDF中{BE=CFBD=CD∴RT△BDE≌RT△CDF故②正确∵AD⊥BC∴∠ADC=∠CDF=90°∴BC平分∠EDF.故①错误．故选：C．根据等腰三角形的三线合一可以判断③④正确根据HL可以证明RT△BDE≌RT△CDF可以判断②正确由BC平分∠EDF得出①错误故不难得到结论．本题考查全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质角平分线的定义等知识解题的关键是等腰三角形三线合一的性质的应用属于中考常考题型．10.【答案】C【解析】此题考查全等三角形的判定和性质关键是根据SSS证明△ABD与全等和利用SAS证明与全等．【解答】解：如图在△ABD与中故①正确；∴∠ADB=∠CDB在与中∴∠AOD=∠COD=90°∴AC⊥DB故②正确；故③错误．故选C．11.【答案】90【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质能看懂图形是解题的关键.首先判定两个三角形全等然后根据全等三角形的性质及直角三角形的性质即可判断得出结论．【解答】解：如图所示：∵∠ACB=∠DCE=90°AC=DC BC=EC∴Rt△ACB≌Rt△DCE∴∠2=∠EDC在Rt△DCE中∠1+∠EDC=90°∴∠1+∠2=90°．12.【答案】3【解析】解：①△ABE≌△ACE∵AB=AC EB=EC∴△ABE≌△ACE；②△EBD≌△ECD∵△ABE≌△ACE∴∠ABE=∠ACE∴∠EBD=∠ECD∵EB=EC∴△EBD≌△ECD；③△ABD≌△ACD∵△ABE≌△ACE△EBD≌△ECD∴∠BAD=∠CAD∵∠ABC=∠ABE+∠BED∴∠ABC=∠ACB∵AB=AC∴△ABD≌△ACD∴图中全等的三角形共有3对．在线段AD的两旁猜想所有全等三角形再利用全等三角形的判断方法进行判定三对全等三角形是△ABE≌△ACE△EBD≌△ECD△ABD≌△ACD．本题考查学生观察猜想全等三角形的能力同时也要求会运用全等三角形的几种判断方法进行判断．13.【答案】90【解析】【解答】解：在△DCE和△ABD中∵{CE=BD=1∠E=∠ADB=90°DE=AD=3∴△DCE≌△ABD(SAS)∴∠CDE =∠DAB∵∠CDE +∠ADC =∠ADC +∠DAB =90°∴∠AFD =90°∴∠BAC +∠ACD =90°故【答案】90．【分析】本题网格型问题考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系本题构建全等三角形是关键．证明△DCE ≌△ABD(SAS) 得∠CDE =∠DAB 根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 14.【答案】6【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质有关知识由AAS 证明△ABC ≌△EFC 得出对应边相等AC =EC BC =CF =4 求出EC 即可得出AC 的长．【解答】解：∵AC ⊥BE∴∠ACB =∠ECF =90°在△ABC 和△EFC 中{∠ACB =∠ECF ∠A =∠E AB =EF∴△ABC ≌△EFC(AAS)∴AC =EC BC =CF =4∵EC =BE −BC =10−4=6∴AC =EC =6；故答案为6． 15.【答案】AB =ED【解析】解：添加AB =ED∵BF =CE∴BF +FC =CE +FC即BC =EF∵AB//DE∴∠B =∠E在△ABC 和△DEF 中{AB =ED∠B =∠E CB =FE,∴△ABC ≌△DEF(SAS)故【答案】AB =ED ．根据等式的性质可得BC =EF 根据平行线的性质可得∠B =∠E 再添加AB =ED 可利用SAS 判定△ABC ≌△DEF ．本题考查三角形全等的判定方法判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL ．注意：AAA SSA 不能判定两个三角形全等判定两个三角形全等时必须有边的参与若有两边一角对应相等时角必须是两边的夹角．16.【答案】45【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质余角的性质等腰直角三角形由三角形的高得到∠ADB =∠ADC =∠BEC =90° 结合余角的性质得到∠HBD =∠CAD 易证△HBD ≌△CAD 得到AD =BD 根据等腰直角三角形得到∠ABD =45° 即可得出结论．【解答】解：∵AD ⊥BC BE ⊥AC∴∠ADB =∠ADC =∠BEC =90°∴∠HBD +∠C =∠CAD +∠C =90°∴∠HBD =∠CAD∵在△HBD 和△CAD 中{∠HBD =∠CAD,HDB =∠CDA,DH =DC,∴△HBD ≌△CAD(AAS)∴AD =BD∵∠ADB =90°∴△ABD 为等腰直角三角形∴∠ABD =45° 即∠ABC =45°故答案为45．17.【答案】18【解析】本题考查全等三角形的判定和性质和三角形的面积.过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E.做出辅助线是解答本题的关键．过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E 证明△AED ≌△ACB 将四边形ABCD 的面积转化为△ACE 的面积利用三角形面积公式求解即可．【解答】解：过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E∵∠EAC =∠BAD =90°∴∠EAD =∠CAB∵∠BAD =∠BCD =90∘∴∠ADC +∠ABC =360°−(∠BAD +∠BCD)=180°又∵∠ADE +∠ADC =180∘∴∠ADE =∠ABC在△AED 与△ACB 中{∠EAD =∠CABAD =AB ∠ADE =∠ABC∴△AED ≌△ACB(ASA)∴AE =AC =6 四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积故S 四边形ABCD =12AC ⋅AE =12×6×6=18．故答案为18． 18.【答案】10或20【解析】解：∵AX ⊥AC∴∠PAQ =90°∴∠C=∠PAQ=90°分两种情况：①当AP=BC=10时在Rt△ABC和Rt△QPA中{AB=PQBC=AP∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；②当AP=CA=20时在△ABC和△PQA中{AB=PQAP=AC∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)；综上所述：当点P运动到AP=10或20时△ABC与△APQ全等；故【答案】10或20．分两种情况：①当AP=BC=10时；②当AP=CA=20时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)；即可得出结果．本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法本题需要分类讨论难度适中．19.【答案】6【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质三角形的面积利用面积公式得出等式是解题的关键．先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC得出S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=3AB又S△ABC=12AC⋅BF将AC=AB代入即可求出BF．【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中{AB=ACAD=AD ∴Rt△ADB≌Rt△ADC∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=3AB∵S△ABC=12AC⋅BF∴12AC⋅BF=3AB ∵AC=AB∴12BF=3cm∴BF=6cm．故【答案】6．20.【答案】①③④【解析】此题考查了全等三角形的性质与判别考查了学生根据图形分析问题解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS SAS ASA AAS及HL.学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．由∠E=∠F=90°∠B=∠C AE=AF利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等AE与AF相等AB与AC相等然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN得到∠EAM与∠FAN相等然后再由∠E=∠F=90°AE=AF∠EAM=∠FAN利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等利用全等三角形的对应边相等对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B AC=AB∠CAN=∠BAM利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等故选项④正确；若选项②正确得到∠F与∠BDN相等且都为90°而∠BDN不一定为90°故②错误．【解答】解：在△ABE和△ACF中∠E=∠F=90°AE=AF∠B=∠C∴△ABE≌△ACF(AAS)∴∠EAB=∠FAC AE=AF AB=AC∴∠EAB−∠MAN=∠FAC−∠NAM即∠EAM=∠FAN在△AEM和△AFN中∠E=∠F=90°AE=AF∠EAM=∠FAN∴△AEM≌△AFN(ASA)∴EM=FN∠FAN=∠EAM故选项①和③正确；在△ACN和△ABM中∠C=∠B∠CAN=∠BAM AC=AB∴△ACN≌△ABM(ASA)故选项④正确；若AF//EB∠F=∠BDN=90°而∠BDN不一定为90°故②错误则正确的选项有：①③④．21.【答案】解：∵AB//DE∴∠A =∠EDF∵AC =AD +DC DF =DC +CF 且AD =CF∴AC =DF在△ABC 和△DEF 中{AB =DE∠A =∠EDF AC =DF∴△ABC ≌△DEF(SAS)∴BC =EF ．【解析】先证明AC =DF 再根据SAS 推出△ABC ≌△DEF 便可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质的应用证明三角形的边相等往往转化证明三角形的全等． 22.【答案】解：CD//AB CD =AB理由是：∵CE =BF∴CE −EF =BF −EF∴CF =BE在△CFD 和△BEA 中{CF =BE∠CFD =∠BEA DF =AE∴△CFD ≌△BEA(SAS)∴CD =AB ∠C =∠B∴CD//AB ．【解析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角对应相等的重要工具．在判定三角形全等时关键是选择恰当的判定条件．求出CF =BE 根据SAS 证△CFD ≌△BEA 推出CD =AB ∠C =∠B 根据平行线的判定推出CD//AB ．23.【答案】证明：∵AC//DE∴∠ACB =∠E ∠ACD =∠D∵∠ACD =∠B∴∠D =∠B在△ABC 和△EDC 中{∠B =∠D∠ACB =∠E AC =CE∴△ABC ≌△CDE(AAS)．【解析】此题主要考查了全等三角形的判定平行线的性质．首先根据AC//DE 利用平行线的性质可得：∠ACB =∠E ∠ACD =∠D 再根据∠ACD =∠B 证出∠D =∠B 然后根据全等三角形的判定定理AAS 证出△ABC ≌△CDE 即可．24.【答案】证明：∵BE ⊥AC CD ⊥AB∴∠BDC =∠CEB =90°在Rt △BCD 和Rt △CBE 中{BC =CB BD =CE∴Rt △BCD ≌Rt △CBE(HL)∴∠DBC =∠ECB即∠ABC =∠ACB ．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．证明Rt △BCD ≌Rt △CBE(HL) 即可得出结论．25.【答案】(1)证明：∵∠ABC =90°∴∠DBC =90°在△ABE 和△CBD 中{AB =CB∠ABE =∠CBD BE =BD∴△ABE ≌△CBD(SAS)；(2)解：∵AB =CB ∠ABC =90°∴∠BCA =45°∴∠AEB =∠CAE +∠BCA =30°+45°=75°∵△ABE ≌△CBD∴∠BDC =∠AEB =75°．【解析】(1)由条件可利用SAS证得结论；(2)由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA利用三角形外角的性质可求得∠AEB再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．本题主要考查全等三角形的判定和性质掌握全等三角形的判定方法(即SSS SAS ASA AAS和HL)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等对应角相等)是解题的关键．。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．1B解析：B【分析】先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中，∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确在△ABO 与△ADO 中AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABO ≌△ADO （SAS ），∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA∵∠BOA+∠DOA=180°∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥故①④正确；∵AD≠CD∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误所以，正确的结论是①②④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，根据角平分线的性质得：OE ＝OF ＝OD 然后根据△ABC 的面积是12，周长是8，即可得出点O 到边BC 的距离．【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12 OD=3故选：C【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．3．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9D解析：D【分析】求出DE的值，代入面积公式得出关于AB的方程，求出即可．【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF，∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．4．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（）A．AE=CE；SAS B．DE=BE；SASC．∠D=∠B；AAS D．∠A=∠C；ASA C解析：C【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．5．如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDCD ．ED ＋AC >AD B解析：B【分析】利用角平分线的性质定理判断A ；利用直角三角形两锐角互余判断B ；证明△AED ≌△ACD ，由此判断C ；利用三角形三边关系得到AC+CD>AD ，由此判断D ．【详解】∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DC ，∠BAD=∠DAC ，∵BD+DC=BC ，∴BD+ED=BC ，故A 正确；∵∠C=90︒，∴∠B+∠BAC=90︒，∴∠B+2∠DAC=90︒，故B 错误；∵DE ⊥AB ，∴∠AED=∠C=90︒,又∵∠BAD=∠DAC ，DE=CD ，∴△AED ≌△ACD ，∴∠ADE=∠ADC ，∴AD 平分∠EDC ，故C 正确；在△ACD 中，AC+CD>AD ，∴ED ＋AC >AD ，故D 正确；故选：B ．【点睛】此题考查三角形的三边关系，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．6．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ C解析：C【分析】先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．【详解】解：在ABC ∆和CED ∆中，AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC CED SSS ∴∆≅∆，B E ∴∠=∠，FCD FDC ∠=∠1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，2CFE x ∴∠=︒，2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，FDC x ∴∠=︒．故答案为C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．7．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL D解析：D直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.8．如图，在△ABC 中，点E 和F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（）A ．β＝α+γB ．β＝2γ﹣αC ．β＝α+2γD ．β＝2α﹣2γB解析：B【分析】根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD ，根据∠ADC 是△BDC 的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD ，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB ，于是得到结果．【详解】解：∵EF ∥AB ，∠EFC=β，∴∠B=∠EFC=β，∵CD 平分∠BCA ，∴∠ACB=2∠BCD ，∵∠ADC 是△BDC 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BCD ，∵∠ADC=γ，∴∠BCD=γ-β，∵∠MAC 是△ABC 的外角，∴∠MAC=∠B+∠ACB ，∵∠MAC=α，∴α=β+2（γ-β），∴β=2γ-α，故选：B ．本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．9．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5D解析：D【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，②AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设点Q的运动速度是x cm/s，∵∠CAB=∠DBA，∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，则1×t=4-1×t，则3=2x，解得：t=2，x=1.5；②AP=BQ，AC=BP，则1×t=tx，4-1×t=3，解得：t=1，x=1，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，以及一元一次方程的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．10．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键．二、填空题11．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时，CE 的长度最小，∵点C 在 ∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．12．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理解析：100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．【详解】解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，2100α∴∠=∠=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．13．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____1＜AC ＜17【分析】作出图形延长AD 至E 使DE ＝AD 然后利用边角边证明△ABD 和△ECD 全等根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE 再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边解析：1＜AC ＜17【分析】作出图形，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC 的取值范围．【详解】如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝CE ，∵AD ＝4，∴AE ＝4+4＝8，∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，∴9-8＜AC ＜8+9，∴1＜AC ＜17，故答案为：1＜AC ＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=延长CD 到H使DH=CD 由线段中点的定义得到AD=BD 根据全等三角形的性质得到AH=BC=4【详解】∵DC ⊥BC ∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=如图延长CD解析：4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=90︒，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．【详解】∵ DC ⊥BC ，∴ ∠BCD=90︒，∵ ∠ACB=120︒，∴ ∠ACD=30︒，如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，∵ D 为 AB 的中点，∴ AD=BD ，在 ΔADH 与 ΔBCD 中，CD DH ADH BDC AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ΔADH ≅ΔBCD(SAS)，∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，∴点A 到CD 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ∠ACE ＝2∠DCE 再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC 即得出∠A ＝2∠D 即得出答案【详解】∵∠ABC 解析：40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ．再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ．即得出∠A ＝2∠D ，即得出答案．【详解】∵∠ABC 的平分线交∠ACE 的外角平分线∠ACE 的平分线于点D ，∴∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ，∵∠DCE 是△BCD 的外角，∴∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∵∠ACE 是△ABC 的外角，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ＝2∠DCE ﹣2∠DBE ＝2（∠DCE ﹣∠DBE ），∴∠A ＝2∠D ＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．16．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共解析：10【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，∴OM OE ON 5===，又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，∴M ，O ，N 三点共线，∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．17．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时PM 最小∵OP 平分PD=5∴PM=PD=5故答案为：5【点睛】此题考查角平分线的性质垂线段最短掌握点到直线的所有解析：5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答.【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，∵OP 平分AOC ∠，PD OA ⊥，PD=5，∴PM=PD=5，故答案为：5.【点睛】此题考查角平分线的性质，垂线段最短，掌握点到直线的所有连线中垂线段最短是解题的18．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．ASA 【分析】根据全等三角形的判断方法解答【详解】解：由图可知带第4块去符合角边角可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃故答案为：4；ASA 【点睛】本题考查了全等三角形的应用是基础题熟记三角形全等的判解析：ASA【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．故答案为：4；ASA【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．20．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．或【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确解析：1或72【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：PEC ∆与QFC ∆全等，PC QC ，683∴-=-t t ，解得:1t =；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t=；故答案为:1或72．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边BC上（不与点B，C重合），过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB于点F，连接DF．（1）请直接写出∠CAD与∠BCF的数量关系；（2）若点D是BC中点，在图2中画出图形，猜想线段AD，CF，FD之间的数量关系，并证明你的猜想．解析：（1）∠BCF＝∠CAD；（2）AD＝CF+DF，证明见解析【分析】（1）由余角的性质可求解；（2）过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得CD＝BG，AD＝CG，由“SAS”可证△BDF≌△BGF，可得DF＝GF，可得结论．【详解】解：（1）∠BCF＝∠CAD，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠BCF，∴∠CAD＝∠BCF；（2）如图所示：猜想：AD ＝CF +DF ，理由如下：过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，则∠ACB +∠CBG ＝180°，∴∠CBG ＝∠ACD ＝90°，在△ACD 和△CBG 中，∵CAD BCF AC BC ACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACD ≌△CBG （ASA ），∴CD ＝BG ，AD ＝CG ，∵D 是BC 的中点，∴CD ＝BG ＝BD ，∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴∠CBA ＝45°，∴∠FBG ＝∠CBG ﹣∠CBA ＝90°﹣45°＝45°，∴∠FBG ＝∠FBD ，在△BDF 和△BGF 中，BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△BGF （SAS ），∴DF ＝GF ，∵AD ＝CG ＝CF +FG ，∴AD ＝CF +DF ．【点睛】本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．22．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．解析：（1）PA=PB ；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC【分析】（1）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（2）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；（3）仿照（2）的解法得出△APD ≌△BPC ，从而得出AD=BC ，再根据HL 得出Rt △OPD ≌△RtOPC ，得出OC=OD ，继而得出结论．【详解】（1）作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（2）（1）中的结论还成立理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，∵∠MON=60°，∴∠APB=120°，在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°∴∠APD=∠BPC ，∵∠PDA=∠PCB=90°，在△APD 和△BPC 中，APD BPC PD PCADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△BPC （ASA ），∴AP=BP ．（3）OA=2BC-OB ．理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，同（2），可证△APD ≌△BPC ，∴AD=BC ，点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，∴PC=PD ，在Rt △OPD 和RtOPC 中，PC PD OP OP =⎧⎨=⎩∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，∴OC=OD ，∴OA-AD=OD=OC ，∴OA-BC=OC ，∴OA=BC+OC ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．23．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1）（2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．解析：（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6，故答案为：6；（2）①如图，'A BC 即为所求，②如图，''AB C 即为所求，【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．24．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD =80°，试求：（1）∠EDC 的度数．（2）若∠BCD =n °，试求∠BED 的度数．（用含n 的式子表示）（3）类比探究：已知AB ∥CD ，BE 、DE 分别是∠ABC 、∠ADC 的n 等分线，ABE ∠=1ABC n ∠，1CDE ADC n∠=∠，∠BAD =α，∠BCD =β，请猜想∠BED = ．解析：（1）40︒；（2）1402BED n ∠=︒+︒；（3）1()αβ+n 【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的性质即可得解；（2）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，由AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，推出12BEF ABE n ∠=∠=︒，利用EF ∥CD ，求得∠FED =∠EDC =40°，即可得到 1402BED n ∠=︒+︒；（3）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，利用AB ∥CD 推出∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，求得1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=，利用EF ∥AB ，求出1BEF ABE n β∠=∠=，即可得到1()BED n αβ∠=+．【详解】解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ADC =∠BAD =80°，又∵DE 平分∠ADC ，∴1402EDC ADC ∠=∠=︒；（2）如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =n °，又∵BE 平分∠ABC ，∴12ABE n ∠=︒， ∵EF ∥AB ， ∴12BEF ABE n ∠=∠=︒， ∵EF ∥CD ，∴∠FED =∠EDC =40°，∴1402BED n ∠=︒+︒．（3）1()αβ+n．如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α，∴1ABE n β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=， ∵EF ∥AB ， ∴1BEF ABE n β∠=∠=， ∴1()BED nαβ∠=+．故答案为：1()αβ+n ．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记平行线的性质并正确引出辅助线解决问题是解题的关键．25．已知ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =．直角顶点C 在x 轴上，锐角顶点B 在y 轴上，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．当点B 不动，点C 在x 轴上滑动的过程中．（1）如图1，当点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-时，请求出点B 的坐标；（2）如图2，当点C 的坐标是()1,0时，请写出点A 的坐标；（3）如图3，过点A 作直线AE y ⊥轴，交y 轴于点E ，交BC 延长线于点F ．AC 与y 轴交于点G ．当y 轴恰好平分ABC ∠时，请写出AE 与BG 的数量关系．解析：（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由见详解【分析】（1）先证明Rt∆ADC ≅Rt∆COB ，结合条件，即可得到答案；（2）先证明∆ADC ≅∆COB ，结合点B ，C 的坐标，求出AD ，OD 的长，即可得到答案；（3）先证明∆BGC ≅∆AFC ，再证明∆ABE ≅∆FBE ，进而即可得到答案．【详解】（1）∵点C 的坐标是()1,0-，点A 的坐标是()3,1-，∴AD=OC ，又∵AC=BC ，∴Rt∆ADC ≅ Rt∆COB （HL ），∴OB=CD=2，∴点B 的坐标是（0，2）；（2）∵AD ⊥x 轴，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB ，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC ，∴∆ADC ≅ ∆COB （AAS ），∵点C 的坐标是()1,0∴AD=OC=1，∵点B 的坐标是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴点A 的坐标是（-1，-1）；（3）BG=2AE ，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BC AC =，AE y ⊥轴，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE ，∴∠GBC=∠FAC ，在∆BGC 和 ∆AFC 中，∵∠GBC=∠FAC ，BC AC =， ∠GBC=∠FAC ，∴∆BGC ≅∆AFC （ASA ），∴BG=AF ，∵BE ⊥AF ，y 轴恰好平分ABC ∠，∴∠ABE=∠FBE ，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE ，∴∆ABE ≅∆FBE ，∴AE=FE ，∴AF=2AE∴BG=2AE ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三垂直”模型，是解题的关键．26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB ＞AC 时，∠C ＞∠B ．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图2，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ，∴ （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD ∠CAD ．（2）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；②如图3，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，∠BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）证明：解析：（1）①见解析，②∠B<∠C ，>；（2）①见解析；②＜【分析】（1）①由HL 证明Rt △ABD ≌Rt △ACD 可得结论；②由AB ＞AC 得∠C ＞∠B 即可得出结论；（2）①由SSS 证明△ABD ≌△ACD 可得结论；②作辅助线证明△BDE CDA ≅∆，得BE CA =，∠BED CAD =∠，证得∠BAD BED <∠，即可得到结论．【详解】解：（1）①证明：∵AD 是BC 边上的高线∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中AB AC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △ACD∴∠BAD =∠CAD ；②证明：∵ AD 是BC 边上的高线，∴∠ADB =∠ADC =90°．∴ ∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．∵AB ＞AC ， ∴ ∠B<∠C （在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD > ∠CAD ．故答案为：∠B<∠C ，>；（2）①证明：∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD∴∠BAD=∠CAD②如图，延长AD 至点E ，使AD=ED ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD CD =在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE CDA ≅∆∴BE CA =，∠BED CAD =∠，又AB AC >，则AB BE >∴∠BAD BED <∠∴∠BAD CAD <∠．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．27．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，根据AAS 证出△BAC ≌△EDF ，可得AC=DF ；．（2）由△BAC ≌△EDF ，可证BC=EF ，进而可得FB=CE ．【详解】证明：（1）∵AB//ED ，AC//FD ，∴∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE ，在△BAC 和△EDF 中ACB DFE B EAB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAC ≌△EDF （AAS ），∴AC=DF ；（2）∵△BAC ≌△EDF ，∴BC=EF ，∴BC-FC=EF-FC ，∴FB=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：①全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．28．如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE//BC ，点F 是AD 上一点，FE 的延长线交BC 延长线BH 于点G ．（1）若∠DBE ＝40°，∠EBC ＝35°，求∠BDE 的度数；（2）求证：∠EGH ＞∠ADE ；（3）若点E 是AC 和FG 的中点，△AFE 与△CEG 全等吗？请说明理由．解析：（1）∠BDE ＝105°；（2）见解析；（3）全等，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEB=∠EBC=35°，再根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的外角性质得出∠EGH ＞∠ABC ，又根据平行线的性质得出∠ABC=∠ADE ，即可得出答案；（3）根据全等三角形判定的“SAS”定理即可得到结论．【详解】（1）解：∵DE//BC ，∠EBC ＝35°，∴∠DEB ＝∠EBC ＝35°，又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE ＝180°，∠DBE ＝40°，∴∠BDE ＝105°；（2）证明：∵∠EGH 是△FBG 的外角，∴∠EGH ＞∠ABC ，又∵DE//BC ，∴∠ABC ＝∠ADE ，∴∠EGH ＞∠ADE ；（3）全等．证明：E 是AC 和FG 的中点，∴AE ＝CE ，FE ＝GE ，在△AFE 和△CEG 中，AE CE AEF CEG FE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△CGE （SAS ）．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，全等三角形的判定，三角形内角和定理，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键．。

2021年人教版八年级数学上三角形全等的判定(2)边角边同步练习课时作业含答案解析

2021年三角形全等的判定（2）边角边一．选择题（共2小题）1．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，再需要哪两个角对应相等，就可以应用SAS判定△ABC≌△AED．（）A．∠A＝∠A B．∠C＝∠D C．∠B＝∠E D．∠BAC＝∠EAD 2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．下列结论不正确的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．△ABD≌△ACE C．AB＝BC D．BD＝CE二．解答题（共4小题）3．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，MB＝NC．求证：DM＝DN．4．如图所示，AD是△ABC的中线，在AD及其延长线上截取DE＝DF，连接CE、BF，试判断△BDF与△CDE全等吗？BF与CE有何位置关系？并说明原因．5．已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜12(AB+AC)．6．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．2021年三角形全等的判定（2）边角边参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，已知AB ＝AE ，AC ＝AD ，再需要哪两个角对应相等，就可以应用SAS 判定△ABC≌△AED ．（）A ．∠A ＝∠AB ．∠C ＝∠D C ．∠B ＝∠E D ．∠BAC ＝∠EAD【分析】观察图形，找着已知条件在图形上的位置，然后结合全等的判定方法可得．【解答】解：有AB ＝AE ，AC ＝AD ，必须加它们的夹角，所以是∠BAC ＝∠EAD ，D 是正确的；A 、B 、C 都不能应用SAS 判定△ABC ≌△AED ．故选：D ．【点评】若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，要结合图形做题，由位置定方法．2．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ．下列结论不正确的是（）A ．∠BAD ＝∠CAEB ．△ABD ≌△ACEC ．AB ＝BCD ．BD ＝CE【分析】先证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质，一一判断即可．【解答】证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，故A 正确，在△BAD 和△ACE 中，{BA =CA ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE ，故B 正确，∴BD ＝EC ，故D 正确，∴C 错误，故选：C ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．二．解答题（共4小题）3．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，MB ＝NC ．求证：DM ＝DN ．【分析】根据等式的性质得出AM ＝AN ，根据SAS 证明△AMD 和△AND 全等，利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵AB ＝AC ，MB ＝NC ，∴AB ﹣MB ＝AC ﹣NC ，即AM ＝AN ，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠MAD ＝∠NAD ，在△AMD 和△AND 中，{AM =AN ∠MAD =∠NAD AD =AD，∴△AMD ≌△AND （SAS ），∴DM ＝DN ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．4．如图所示，AD 是△ABC 的中线，在AD 及其延长线上截取DE ＝DF ，连接CE 、BF ，试判断△BDF 与△CDE 全等吗？BF 与CE 有何位置关系？并说明原因．【分析】结论：①△BDF ≌△CDE ②BF ∥CE ，①根据两边和夹角对应相等的两个三角形全等即可判断；②根据内错角相等两直线平行即可判断．【解答】解：结论：①△BDF ≌△CDE ②BF ∥CE ．理由：①∵AD 是△ABC 中线，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDE 中，{BD =CD ∠BDF =∠EDC DF =DE，∴△BDF ≌△CDE ．②∴△BDF ≌△CDE ，∴∠F ＝∠CED ，∴BF ∥CE ．【点评】本题考查全等三角形的判断和性质、两直线平行的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．5．已知，如图△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，求证：AM ＜12(AB +AC)．【分析】可延长AM到D，使MD＝AM，连CD，则△ABM≌△DCM得AB＝CD，进而在△ACD中利用三角形三边关系，证之．【解答】证明：延长AM到D，使MD＝AM，连CD，∵AM是BC边上的中线，∴BM＝CM，又AM＝DM，∠AMB＝∠CMD，∴△ABM≌△DCM，∴AB＝CD，在△ACD中，则AD＜AC+CD，即2AM＜AC+AB，AM＜12（AB+AC）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，应熟练掌握．6．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB＝∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF ＝∠CHE ，所以∠ABD ＝∠ACG ．再由AB ＝CG ，BD ＝AC ，利用SAS 可得出三角形ABD 与三角形ACG 全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD ＝AG ，（2）利用全等得出∠ADB ＝∠GAC ，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB ＝∠AED +∠DAE ，又∠GAC ＝∠GAD +∠DAE ，利用等量代换可得出∠AED ＝∠GAD ＝90°，即AG 与AD 垂直．【解答】（1）证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠HFB ＝∠HEC ＝90°，又∵∠BHF ＝∠CHE ，∴∠ABD ＝∠ACG ，在△ABD 和△GCA 中{AB =CG ∠ABD =∠ACG BD =CA，∴△ABD ≌△GCA （SAS ），∴AD ＝GA （全等三角形的对应边相等）；（2）位置关系是AD ⊥GA ，理由：∵△ABD ≌△GCA ，∴∠ADB ＝∠GAC ，又∵∠ADB ＝∠AED +∠DAE ，∠GAC ＝∠GAD +∠DAE ，∴∠AED ＝∠GAD ＝90°，∴AD ⊥GA ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．。

8年级数学人教版上册同步练习全等三角形三角形全等的判定(含答案解析)

8年级数学人教版上册同步练习全等三角形三角形全等的判定（含答案解析）12.1全等三角形12.2三角形全等的判定专题一三角形全等的判定1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB 的平分线DF交BC于点F．求证：△ABE≌△CDF．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________；（2）证明：3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A6B．4 C．23D．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.求证：AM＝AN.NMEDB CA6．【2012·泸州】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E﹨A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．专题三全等三角形在实际生活中的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．有一座小山，现要在小山A﹨B的两端开一条隧道，施工队要知道A﹨B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A﹨B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，对吗？为什么？状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边﹨直角边”或“HL”)．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D，B与E，C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF 是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——参考答案:1．证明：平行四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ．∵∠ABE=21∠ABD ，∠CDF=21∠CDB ，∴∠ABE=∠CDF ．在△ABE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDF ABE CDAB C A ∴△ABE ≌△CDF ． 2．解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒ （2）以DC BD =为例进行证明： ∵CF ∥BE ，∴∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =，∠FDC =∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明．证明：∵AE=CD ，BE=BD ， ∴AB=CB ．又∠ABD=∠CBE ，BE=BD ， ∴△ADB ≌△CEB ．（2）③④．4．B 解析：∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，∠ADC =∠BDH ， ∠AHE =∠BHD =∠C ．∴△ADC ≌△BDH ．∴BH =AC =4．故选B ． 5．证明：如图所示，M∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC.∴∠3＝∠1，∠6＝∠C．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠2＝∠1，∠7＝∠C.∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．∵∠4＝∠5，∴∠ABM＝∠ABN．又∵AB＝AB，∴△AMB≌△ANB．∴AM＝AN．6．证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°．∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC（SAS）．∴∠DBC＝∠EAC．又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠EAC．∴AE∥BC．7．B 解析：∵滑梯﹨墙﹨地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．∴∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°．故选B．8．解：在△ABC和△CED中，AC=CD，∠ACB=∠ECD，EC=BC，∴△ABC≌△CED．∴AB=ED．即量出DE的长，就是A﹨B两端的距离．9．解：对．理由：∵AC ⊥AB,∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C 中，ACB ACB AC AC CAB CAB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠′，，∠∠′， ∴△ABC ≌△AB′C （ASA ）． ∴AB′=AB ．。

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD ⊥AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（）A ．7B ．10C ．6D ．52．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100° 3．如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b ＋c 4．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm5．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（）A ．SSSB ．SASC ．SSAD ．AAS6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（）A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF 7．下列说法正确的是（）①近似数232.610⨯精确到十分位；②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．A ．1B ．2C ．3D ．48．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图3 9．下列命题的逆命题是假命题的是（）A ．直角三角形两锐角互余B ．全等三角形对应角相等C ．两直线平行，同位角相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等10．下列命题中，假命题是（）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等11．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD =180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 12．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 13．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （）A ．ED CF =B ．AE BF =C ．E F ∠=∠D ．ED //CF14．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠ 15．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD二、填空题16．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．17．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．18．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB ＝10cm ，则DEB 的周长是_____cm ．19．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，=．已知旗杆此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM DMBD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是________秒．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,则S△ABD=______．21．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝_____．≅，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若22．如图，ABC ADE∠=________︒．∠=︒，10120B∠=︒，30EABCAD∠=︒，则CFD23．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件，能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．24．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是______25．ABC 中，4AB =，6AC =，则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______． 26．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．三、解答题27．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．28．如图，AB ⊥CB ，DC ⊥CB ， E 、F 在 BC 上，AF=DE ，BE=CF ，求证：AB =DC ．29．如图，点,,,B F C E 在一条直线上，,//,//AB DE AB ED AC FD =．求证：（1） AC DF =（2）FB CE =30．作图：已知ABC 和线段r ，请在ABC 内部作点P ，使得点P 到AC 和BC 的距离相等，并且点A 到点P 的距离等于定长r ．（不写作法，保留痕迹）。

2022年人教版初中数学8年级上册全等三角形判定二(SSS,AAS)(基础)巩固练习及答案

2022年人教版初中数学8年级上册【巩固练习】一、选择题1.（2020•奉贤区二模）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．∠B=45° B.∠BAC=90° C.BD=AC D．AB=AC2.如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（）A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC3.下列判断正确的是（）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4.如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC6.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（）A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED＋AB＝DBD.DC＝CB二、填空题7.如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8.如图,已知：∠1＝∠2,∠3＝∠4,要证BD＝CD,需先证△AEB≌△AEC,根据是，再证△BDE≌△，根据是．9.（2020秋•大同期末）如下图∠1=∠2，由AAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是．10.如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.11.如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B＝20°，则∠C＝_______．12.已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌.三、解答题13.（2020•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．14.如图，已知D、E、B三点共线，AE=CE,AE⊥CE，∠D=∠B=90°．求证：CD+AB=DB．15.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】解：当AB=AC时，△ABD≌△ACD，∵AD是△ABC的边BC上的高，AB=AC，∴BD=CD，∵在△ABD 和△ADC 中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.2.【答案】D；【解析】连接AC 或BD 证全等.3.【答案】D；4.【答案】C；【解析】△DOF≌△COE，△BOF≌△AOE，△DOB≌△COA.5.【答案】A；【解析】将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，说明OA＝'OA ，OB＝'OB ，再由对顶角相等可证.6.【答案】D；【解析】△ABC≌△EDC，∠ECD＋∠ACB＝∠CAB＋∠ACB＝90°，所以EC⊥AC，ED ＋AB ＝BC＋CD＝DB.二.填空题7.【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝82412︒=︒，所以∠DCB＝∠ABC＝25°＋41°＝66°.8.【答案】ASA，CDE，SAS；【解析】△AEB ≌△AEC 后可得BE＝CE.9.【答案】∠B=∠C．【解析】解：由图可知，只能是∠B=∠C，才能组成“AAS”．故填∠B=∠C．10.【答案】56°；【解析】∠CBE＝26°＋30°＝56°.11.【答案】20°；【解析】△ABE≌△ACD（SAS）.12.【答案】△DCB，△DAB；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上.三.解答题13.【解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD 中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC 和△DEC 中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．14.【解析】证明：∵AE⊥CE，∴∠AEB+∠CED=90°，又∵∠B=90°∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠CED，在△AEB 与△ECD 中，A CEDB DAE CE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△AEB≌△ECD（AAS）∴AB=DE ，BE=CD∵DE+BE=DB∴CD+AB=DB15.【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△ABC≌△DCB（SSS）∴∠ABC＝∠DCB，在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE.全等三角形的判定二（SSS，AAS）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB，''A C ＝AC，''B C ＝BC，则△ABC≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP＝RQ，M 为PQ 的中点．求证：RM平分∠PRQ．【思路点拨】由中点的定义得PM＝QM，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边∴△RPM≌△RQM（SSS）．∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中.把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.举一反三：【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.【答案】证明：连接DC，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BD CD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD≌△BDC（SSS）∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF3、（2020春•雅安期末）如图：AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，则还需添加的一个条件有（）种．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】本题要证明△ABC≌△A′B′C′，已知了AB=A′B′，∠A=∠A′，可用的判别方法有ASA，AAS，及SAS，所以可添加一对角∠B=∠B′，或∠C=∠C′，或一对边AC=A′C′，分别由已知与所添的条件即可得证．【答案与解析】解：添加的条件可以为：∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A′C′，共3种．若添加∠B=∠B′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）；若添加∠C=∠C′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）；若添加AC=A′C′，证明：在△ABC 和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．故选C.【总结升华】此题考查了全等三角形的判定，是一道条件开放型问题，需要由因索果，逆向推理，逐步探求使结论成立的条件，解决这类问题要注意挖掘隐含的条件，如公共角、公共边、对顶角相等，这类问题的答案往往不唯一，只有合理即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH 和△DFH 中，DE DF EH FH DH DH ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝∴△DEH≌△DFH(SSS)∴∠DEH＝∠DFH．【总结升华】证明△DEH≌△DFH，就可以得到∠DEH＝∠DFH，我们要善于从实际问题中抽离出来数学模型，这道题用“SSS”定理就能解决问题.举一反三：【变式】（2020秋•紫阳县期末）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？说明理由．【答案】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，理由如下：∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，在△AOE 与△AOF 中，，∴△AOE≌△AOF（SSS），∴∠BAD=∠CAD．【巩固练习】一、选择题1．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，下列结论错误的是（）A.△ABC≌△DEFB.BF＝ECC.AC∥DED.AC＝DF2．如图，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，则图中不是全等三角形的是（）A.△BAC≌FEDB.△BDA≌FCEC.△DEC≌CADD.△BAC≌FCE3．如图，AB＝BD，∠1＝∠2，要用AAS判定△ABC≌△DBE，则添加的条件是（）A.AE＝ECB.∠D＝∠AC.BE＝BCD.∠DEB＝∠C4．下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等5．（2020•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC6．如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（）A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC二、填空题7．（2020春•鹤岗校级期末）如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件________________时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）8．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，在条件①AB＝AC，②AD＝AE，③BE＝CD，④∠AEB＝∠ADC中，不能使△ABE≌△ACD的是_______.（填序号）9．已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.10．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是___________．12．在△ABC 和△DEF 中（1）AB＝DE；（2）BC＝EF；（3）AC＝DF；（4）∠A＝∠D；（5）∠B＝∠E；（6）∠C＝∠F 从这六个条件中选取三个条件可判定△ABC 与△DEF 全等的方法共有________种.三、解答题13．（2020秋•景洪市校级期中）如图，O 为码头，A，B 两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB 为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠AOB 的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A 和灯塔B 的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航线，请说明理由．14．已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 与CD 相交于点F ．求证：BF AC =.15．如图，DC∥AB，∠BAD 和∠ADC 的角平分线相交于E，过E 的直线分别交DC、AB 于C、B 两点.求证：AD＝AB＋DC.【答案与解析】一、选择题1．【答案】C；2．【答案】D；3．【答案】D；【解析】满足判定定理AAS的只有D选项.4．【答案】B；【解析】C选项和D选项都可以由SSS定理证全等.5．【答案】D；【解析】解：A、∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；B、∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；C、∵在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；故选D．6．【答案】C；【解析】可证∠BAC＝∠E，∠BCA＝∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB.二、填空题7．【答案】BC=ED.8．【答案】④【解析】三个角对应相等不能判定三角形全等.9．【答案】6；【解析】△ABF≌△CDE，BE＝CF＝2，EF＝10－2－2＝6.10．【答案】6；【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.11．【答案】3；【解析】由AAS证△ABF≌△CBE，EF＝FB＋BE＝CE＋AF＝2＋1＝3.12．【答案】13；【解析】ASA类型3种，AAS类型6种，SAS类型3种，SSS类型一种，共13种.三、解答题13．【解析】解：此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：假设轮船在D处，则DA=DB，AO=BO，在△ADC和△BDC中，，∴△ADO≌△BDO（SSS），∴∠AOD=∠BOD，即DO 为∠AOB 的角平分线，∴此时轮船没有偏离航线．14．【解析】证明：∵CD AB⊥∴90BDC CDA ∠=∠=︒∵45ABC ∠=︒∴45DCB ABC ∠=∠=︒∴DB DC=∵BE AC⊥∴90AEB ∠=︒∴90A ABE ∠+∠=︒∵90CDA ∠=︒∴90A ACD ∠+∠=︒∴ABE ACD∠=∠在BDF ∆和CDA ∆中BDC CDADB DC ABE ACD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BDF ∆≌CDA ∆（AAS）∴BF AC =.15．【解析】证明：延长DE 交AB 的延长线于F∴∠CDE＝∠F,∠CDA＋∠BAD＝180º∵DE 平分∠CDA,AE 平分∠DAB ∴∠CDE＝∠ADE＝21∠CDA,∠DAE＝∠EAF＝21∠BAD∴∠ADE＝∠F,∠EDA＋∠DAE＝90º∴∠AED＝∠AEF＝90º在△ADE 与△AFE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AE AE FEA DEA F ADE ∴△ADE≌△AFE （AAS）∴DE＝EF,AD＝AF在△DCE 与△FBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEB DEC FE DE F CDE ∴△DCE≌△FBE（ASA）∴DC＝BF，∴AD＝AB＋DC.全等三角形的判定二（SSS，AAS）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）．要点诠释：如图，如果''A B ＝AB，''A C ＝AC，''B C ＝BC，则△ABC≌△'''A B C．要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论．2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等．要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SASSSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形．【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“边边边”1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE．【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）．【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质.要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE，然后证这两个三角形全等．【变式】（2020•静海县模拟）已知点A、D、C、F 在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是．【答案】AC=DF.解：理由是：∵在△ABC 和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），故答案为：AC=DF．类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD 是经过点C 的一条直线，过点A、B 分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F．求证：CE＝BF【答案与解析】证明：∵AE⊥CD、BF⊥CD，∴∠AEC＝∠BFC＝90°∴∠BCF＋∠B＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠ACF＝90°∴∠ACF＝∠B在△BCF 和△CAE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC ∴△BCF≌△CAE（AAS）∴CE＝BF．【总结升华】要证CE＝BF，只需证含有这两个线段的△BCF≌△CAE.同角的余角相等是找角3、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C 作CE⊥MN 于点E，过点B 作BF⊥MN 于点F．当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A 顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【思路点拨】过B 作BH⊥CE 与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．【答案与解析】解：图2，AF＋BF＝2CE 仍成立，证明：过B 作BH⊥CE 于点H，∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACE在△ACE 与△CBH 中，90ACH CBH AEC CHB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE≌△CBH．（AAS）∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键．举一反三：【变式】已知Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC、CB 于E、F．当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．图2ADBC E M N F 【答案】解：图2成立；证明图2：过点D 作DM AC DN BC⊥⊥，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A B AD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD≌△DNB（AAS）∴DM＝DN∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DN MDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME≌△DNF（ASA）∴DME DNFS S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形，∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△．类型三、全等三角形判定的实际应用4、（2020秋•内丘县期中）如图，AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点D 的竖直高度DB 的长度，欢欢在D 处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C 处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE 的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，求DB 的长度．【思路点拨】延长CE交AB于F，根据等角的余角相等求出∠A=∠C，再利用“角角边”证明△ABD和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DB=DE．【答案与解析】解：如图，延长CE交AB于F，则∠A+∠1=90°，∠C+∠2=90°，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴∠A=∠C，在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（AAS），∴DB=DE，∵DE=2米，∴DB的长度是2米．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，仔细观察图形求出∠A=∠C是解题的关键.。

人教版八年级数学上册 12.2 全等三角形的判定课时训练(含答案)

人教版八年级数学上册12.2 全等三角形的判定课时训练一、选择题1. 如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，为了直接用“ASA”说明△ABC≌△DEF，则需要添加的条件是()A．BC＝EF B．∠A＝∠DC．∠C＝∠F D．AC＝DF2. 如图所示，∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则可添加的条件是()A．AC＝AD B．AB＝ABC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD3. 下列三角形中全等的是()A．①②B．②③C．③④D．①④4. 如图，已知AB＝AD，若利用SSS证明△ABC≌△ADC，则需要添加的条件是()A．AC＝ACB．∠B＝∠DC．BC＝DCD．AB＝CD5. 如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件()A．∠B＝∠D B．∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠46. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A．BE＝CF B．∠ACB＝∠FC．AC＝DF D．AB＝DE7. 如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F.若BE＝CF，则图中全等三角形有()A．1对B．2对C．3对D．4对8. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A．HL B．ASA C．SSS D．SAS9. 已知△ABC的六个元素，下列甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是()A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙10. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD二、填空题11. 如图，AB＝DE，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是__________(不添加任何辅助线，填一个即可)．12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧与AB，AC分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=°.14. 如图所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，则AC=.15. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.有下列结论:①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16. 如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放正，沿AC画一条射线AE，则AE就是角平分线，请你说明其中的道理．17. 如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF.(1)若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；(2)求证：PE＝PF.18. 如图所示，在一条笔直的海岸线上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸线的距离相等吗?为什么?19. 如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F.(1)若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；DE＝BF＋EF.20. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下．如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC、BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．人教版八年级数学上册 12.2 全等三角形的判定课时训练-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】A3. 【答案】A[解析] ①②符合证明三角形全等的判定方法“SAS”．③④中相等的角所对的边不相等，所以不可能全等．故选A.4. 【答案】C5. 【答案】C[解析] 还需添加条件∠1＝∠2.理由：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC ＝∠2＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS)．6. 【答案】B7. 【答案】C[解析] ①∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠CFB ＝∠BEC ＝90°.在Rt △BCF 和Rt △CBE 中，⎩⎨⎧CF ＝BE ，BC ＝CB ，∴Rt △BCF ≌Rt △CBE(HL)．②∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠AFC ＝∠AEB ＝90°.在△ABE 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFC ，∠A ＝∠A ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(AAS)． ③设BE 与CF 相交于点O. ∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ， ∴∠OFB ＝∠OEC ＝90°.∵△ABE ≌△ACF ，∴AB ＝AC ，AE ＝AF. ∴BF ＝CE.在△BOF 和△COE 中，⎩⎨⎧∠OFB ＝∠OEC ，∠BOF ＝∠COE ，BF ＝CE ，∴△BOF ≌△COE(AAS)．8. 【答案】A9. 【答案】D10. 【答案】C[解析] A .添加BC=FD ，AC=ED ，可利用“SAS”判定△ABC ≌△EFD ;B .添加∠A=∠DEF ，AC=ED ，可利用“ASA”判定△ABC ≌△EFD ; C .添加AC=ED ，AB=EF ，不能判定△ABC ≌△EFD ;D .添加∠A=∠DEF ，BC=FD ，可利用“AAS”判定△ABC ≌△EFD.二、填空题11. 【答案】答案不唯一，如∠B ＝∠E12. 【答案】AB ＝AC13. 【答案】125[解析] 由题意可得AD 平分∠CAB.∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°.∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°. 14. 【答案】915. 【答案】①②③[解析] 由△ABO ≌△ADO ，得AB=AD ，∠AOB=∠AOD=90°，∠BAC=∠DAC.又因为AC=AC ，所以△ABC ≌△ADC ，则CB=CD.所以①②③正确.三、解答题16. 【答案】解：在△ABC 与△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)．∴∠BAC ＝∠DAC ，即AE 平分∠BAD.17. 【答案】解：(1)∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ， ∴∠DEB ＝∠DFB ＝90°. ∵∠EDF ＝124°，∴∠ABC ＝360°－90°－90°－124°＝56°.(2)证明：∵BM 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ， ∴∠ABM ＝∠CBM ，DE ＝DF.∵∠BDE ＝90°－∠ABM ，∠BDF ＝90°－∠CBM ， ∴∠BDE ＝∠BDF. ∴∠EDP ＝∠FDP.在△EDP 和△FDP 中，⎩⎨⎧DE ＝DF ，∠EDP ＝∠FDP ，DP ＝DP ，∴△EDP ≌△FDP(SAS)．∴PE ＝PF.18. 【答案】解:相等.理由:设AD ，BC 相交于点O.∵∠CAD=∠CBD ，∠COA=∠DOB ， ∴由三角形内角和定理，得∠C=∠D. 由已知得∠CAB=∠DBA=90°. 在△CAB 和△DBA 中，∴△CAB ≌△DBA. ∴CA=DB.∴海岛C ，D 到观测点A ，B 所在海岸线的距离相等.19. 【答案】解：(1)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°. ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠BFA ＝∠AED ＝90°.∴∠ABF ＋∠BAF ＝∠BAF ＋∠DAE ＝90°. ∴∠DAE ＝∠ABF ＝63°.∴∠ADE ＝27°.(2)证明：由(1)得∠DAE ＝∠ABF ，∠AED ＝∠BFA ＝90°.在△DAE 和△ABF 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠ABF ，∠AED ＝∠BFA ，AD ＝BA ，∴△DAE ≌△ABF(AAS)． ∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∴DE ＝AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF.20. 【答案】解：∵AB ∥CD ，OD ⊥CD ， ∴OB ⊥AB ，∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OB ＝OD.(3分)在△ABO 与△CDO 中，⎩⎨⎧∠ABO ＝∠CDOOB ＝OD∠AOB ＝∠COD， ∴△ABO ≌△CDO(ASA )，(6分) ∴CD ＝AB ＝20(米)．(7分)。

人教版八年级数学上册三角形边角边判定三角形全等专项小练习(附答案)

《12.2 三角形全等的判定课时2》基础练易错诊断（打“√”或“×”）1.两边和任一角分别相等的两个三角形全等.（）2.有两边及其一边的对角分别相等的两个三角形全等.（）3.在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF.（）对点达标知识点一用“SAS”证明三角形全等1.（2021·昆明质检）如图，AB平分∠DAC，要用SAS条件确定△ABC≌△ABD，还需要有条件（）A.DB=CBB.AB=ABC.AD=ACD.∠D=∠C2.根据如图所给信息，可得x的长是（）A.16B.18C.20D.16或183.（2021·宿州质检）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（）A.∠A=∠CB.∠D=∠BC.AD∥BCD.DF∥BE4.（2020·柳州中考）如图，已知OC平分∠MON，点A，B分别在射线OM，ON上，且OA=OB.求证：△AOC≌△BOC.5.（2020·兰州中考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AC和AB的中点求证：BD=CE.知识点二“SAS”的实际应用6.（2021·武汉期中）如图，将两根钢条AA'，BB的中点O连在一起，使AA'，BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B′的理由是.7.如图，一块三角形玻璃碎成了Ⅰ，Ⅱ两块，现需购买同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上第块玻璃碎片.8.（2021·济南期中）如图，AD，BC表示两根长度相同的木条，若O是AD，BC的中点，经测量AB=9cm，则容器的内径CD为cm.参考答案易错诊断1.×2.×3.√对点达标1.C2.C3.B4.答案：见解析解析：∵OC平分∠MON，∴∠AOC=∠BOC，在△AOC和△BOC中，OA OBAOC BOC OC OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AOC≌△BOC（SAS）.5. 答案：见解析解析：∵AB=AC，D，E分别为AC，AB的中点，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，AB ACA A AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE.6.SAS7.I8.9。

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ABECD（第5题）AB C D E （第4题）A CFEDA O DB C（第1题）A BFED C （第6题）（第7题）新课标人教版八年级数学上第十一章全等三角形全章课时练习及答案第1课时全等三角形一、选择题1．如图，已知△ABC ≌△DCB ，且AB=DC ，则∠DBC 等于（） A ．∠A B ．∠DCB C ．∠ABC D ．∠ACB2．已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题3．已知△ABC ≌△DEF ，∠A=50°，∠B=65°，DE=18㎝，则∠F=___°，AB=____㎝．4．如图，△ABC 绕点A 旋转180°得到△AED ，则DE 与BC 的位置关系是___________，数量关系是___________．三、解答题5．把△ABC 绕点A 逆时针旋转，边AB 旋转到AD ，得到△ADE ，用符号“≌”表示图中与△ABC 全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角．6．如图，把△ABC 沿BC 方向平移，得到△DEF ．求证：AC ∥DF 。

7．如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．AD B C （第2题） A FE CD B（第3题） A B C （第4题）一、选择题1．如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x －2，2x －1，若这两个三角形全等，则x 等于（）A ．73B ．3C ．4D ．5 二、填空题2．如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需知道的一个条件是________．3．已知AC=FD ，BC=ED ，点B ，D ，C ，E 在一条直线上，要利用“SSS”，还需添加条件___________，得△ACB ≌△_______．4．如图△ABC 中，AB=AC ，现想利用证三角形全等证明∠B=∠C ，若证三角形全等所用的公理是SSS 公理，则图中所添加的辅助线应是_____________________．二、解答题5．如图，A ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=FD ，BC =DE ，AE=FC ．求证：△ABC ≌△FDE ．6．如图，AB=AC ，BD=CD ，那么∠B 与∠C 是否相等？为什么？7．如图，AB=AC ，AD = AE ，CD=BE ．求证：∠DAB=∠EAC ．D C F B A （第5题）（第6题） AB C D DCEBA （第7题）A C DB E F（第2题） A B E D C（第1题） A BCED（第6题）一、填空题1．如图，AB ＝AC ，如果根据“SAS”使△ABE ≌△ACD ，那么需添加条件________________．2．如图，AB ∥CD ，BC ∥AD ，AB=CD ，BE=DF ，图中全等三角形有_____________对．3．下列命题：①腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个三角形全等；④等腰三角形顶角平分线把这个等腰三角形分成两个全等的三角形．其中正确的命题有_____________．二、解答题4．已知：如图，C 是AB 的中点，AD ∥CE ，AD=CE ．求证：△ADC ≌△CEB ．5．如图， A ，C ，D ，B 在同一条直线上，AE=BF ，AD=BC ，AE ∥BF . 求证：FD ∥EC ．6．已知：如图，AC ⊥BD ，BC=CE ，AC=DC ．求证：∠B+∠D=90°；（第4题） A B C DE D C FBAE （第5题）AB CDOAECBDE DCB AAB FEDC（第4题）一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．有三个角对应相等的两个三角形全等B ．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等C ．有两个角和它们夹边对应相等的两个三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等二、填空题2．如图，∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF, 要证△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS”为依据，还缺条件；（2）若以“ASA”为依据，还缺条件． 3．如图，在△ABC 中，BD ＝EC ，∠ADB ＝∠AEC ， ∠B ＝∠C ，则∠CAE ＝．三、解答题4．已知：如图，AB ∥CD ，OA=OC ．求证：OB=OD5．已知：如图，AC ⊥CE ，AC=CE ，∠ABC=∠CDE=90°，求证：BD=AB+ED6．已知：如图，AB=AD ，BO=DO ，求证：AE=ACOE ADBC （第6题）（第3题）（第5题）（第2题）3421EDC BAA DB Co AB E DC F （第3题）（第5题）（第6题）（第4题）一、选择题1．已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙二、填空题2．如图，已知∠A=∠D ，∠ABC=∠DCB ，AB=6,则DC= ．3．如图，已知∠A=∠C ，BE ∥DF ，若要用“AAS ”证△ABE ≌△CDF ，则还需添加的一个条件是．（只要填一个即可）三、解答题4．已知：如图，AB=CD ，AC=BD ，写出图中所有全等三角形，并注明理由．5．如图，如果AC ＝EF ，那么根据所给的数据信息，图中的两个三角形全等吗？请说明理由．6．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC ＝AD ，求证：AB ＝BED C B A （第2题）A B D F C E （第3题）（第4题）第6课时全等三角形的判定（5）HL一、选择题1．使两个直角三角形全等的条件是（）A ．一个锐角对应相等B ．两个锐角对应相等C ．一条边对应相等D 。

一直角边和斜边对应相等二、填空题2．如图，BE 和CF 是△ABC 的高，它们相交于点O ，且BE=CD ，则图中有对全等三角形，其中能根据“HL ”来判定三角形全等的有对．3．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度．三、解答题4．已知：如图，AC=DF ，BF=CE ，AB ⊥BF ，DE ⊥BE ，垂足分别为B ，E ．求证：AB=DE5．如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点, AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .求证：（1）DE= DF ；（2）∠B =∠C ．6．如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ，且有BF=AC ，FD=CD ．求证：BE ⊥AC ．A B C E D （第2题）O（第5题） A B C D E F A BCDE F（第6题）A CB ED DE C B A ABCD EF 12（第2题）（第4题）（第6题）（第5题）第7课时三角形全等的条件（6）一、选择题1．下列条件中，不一定能使两个三角形全等的是（） A ．三边对应相等 B ．两角和其中一角的对边对应相等 C ．两边和其中一边的对角对应相等 D ．两边和它们的夹角对应相等2．如图，E 点在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则全等三角形的对数有 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3．有下列命题：①两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等； ④有锐角为30°的两直角三角形，有一边对应相等，则这两个三角形全等．其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 二、解答题4．已知AC=BD ，AF=BE ，AE ⊥AD ，FD ⊥AD ．求证：CE=DF5．已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到E ，使DE=AD ．猜想AB 与CE 的大小及位置关系，并证明你的结论．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且BD ＝CE ，∠DEF ＝∠B ，图中是否存在和△BDE 全等的三角形？并证明． CA EB F DB A O E P DB DC A （第3题）（第2题）一、选择题1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（）A ．PD ＝PEB ．OD ＝OEC ．∠DPO ＝∠EPOD ．PD ＝OD二、填空题 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝．三、解答题4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ，AC 的垂线，垂足为F ，D ，且分别交AC 、AB 于点G ，E ．求证：OE=OG ．5．如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BD=CD ．求证：BE=CF ．6．如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，AD =BD ．（1）求证：AC =BE ；（2）求∠B 的度数。

MAC B E O FD （第4题）DA C EB FEAC D （第6题）EF C BA D （第3题）DEAFBC（第2题）一、选择题1．三角形中到三边距离相等的点是（）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条高的交点C ．三条中线的交点D ．三条角平分线的交点2．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，有下面四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE=AF ；③AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；④到AE ，AF 的距离相等的点到DE ，DF 的距离也相等．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题3．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是28 cm 2，AB=20cm ，AC=8cm ，则DE 的长为_________ cm ．三、解答题4．已知：如图，BD=CD ，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ．求证：AD 平分∠BAC ．5．如图，AD ∥BC ，∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，过点P 的直线垂直于AD ，垂足为点D ，交BC 于点C ．试问：（1）点P 是线段CD 的中点吗？为什么？（2）线段AD 与线段BC 的和等于图中哪一条线段的长度？为什么？ABCD P （第5题）E F A DB C 第4题小结与思考（1）一、选择题1．不能说明两个三角形全等的条件是（）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角对应相等C ．二角和一边对应相等D ．两边和一角对应相等2．已知△ABC ≌△DEF ，∠A=50°，∠B=75°，则∠F 的大小为（）A ． 50°B ．55°C ．65°D ．75° 3．如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，则图中全等三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=20，且BD ︰DC=3︰2，则D 到AB 边的距离是（）A ．12B ．10C ．8D ．6 二、填空题5．若△ABC ≌△DEF ，△ABC 的周长为100，AB ＝30，DF ＝25，则BC 长为． 6．若△ABC ≌△A’B’C’，AB ＝3，∠A’＝30°，则A’B’＝，∠A ＝ °．7．如图，∠B ＝∠D ＝90°，要使△ABC ≌△ADC ，还要添加条件（只要写出一种情况）． 8．如图，D 在AB 上，AC ，DF 交于E ，AB ∥FC ，DE ＝EF ，AB ＝15，CF ＝8，则BD ＝．三、解答题9．如图，点D ，E 在△ABC 的BC 边上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，要说明△ABE ≌△ACD ，只要再补充一个条件，问：应补充什么条件？（注意：仅限图中已有字母与线段，至少写出4个）10．如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ，点E 在AC 上，点D 在BA 的延长线上，AD ＝AE ．求证：（1）△ADC ≌△AEB ；（2）BE=CD ．11．如图，CD ⊥AB ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，BE ，CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．你能说明OB ＝OC 吗？A C D （第3题）B EC AD B（第5题）（第9题）（第10题）A B CD E （第6题） F第页11 （第11题） A E B D F C E D FC B A （第4题）12．一个风筝如图，两翼AB ＝AC ，横骨BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ．问其中骨AD 能平分∠BAC 吗？为什么？小结与思考（2）一、选择题1．如图，△ABC ≌△BAD ，点A 与点B ，点C 与点D 是对应顶点，若AB ＝9，BD ＝8，AD ＝5，则BC 的长为（）A ．9B ．8C ．6D ．52．两三角形若具有下列条件：①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③三角对应相等；④两角和一边对应相等；⑤两边和一角对应相等，其中一定能判定两三角形全等的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在△ABC 和△DCB 中，若∠ACB ＝∠DBC ，则不能证明两个三角形全等的条件是（）A ．∠ABC ＝∠DCB B ．∠A ＝∠DC ．AB=DCD ．AC=DB4．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，则( )A ．AF=2BFB ．AF=BFC ．AF>BFD ．AF<BF二、填空题5．已知△ABC ≌△DEF ，BC=6㎝，△ABC 的面积是18㎝2，则EF 边上的高是_____㎝．6．如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，由以下要求补充一个条件，使△ABC ≌△DEF ．（1）（SAS ）；（2）（ASA ）；（3）（AAS ）．7．如图，△ABC 中，AB=AC ，E ，D ，F 是BC 边的四等分点，AE=AF ，则图中全等三角形共有对．8．如图，点P 是∠AOB 内一点，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PD =PC ，点E 在OA 上，∠AOB=50°，∠OPE=30°．则∠PEC 的度数是．三、解答题9．如图所示，AB ＝AD ，BC ＝CD ，AC ，BD 交于E ，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注其他字母，不写推理过程，只要求你写出四个你认为正确的结论）．（第12题）B C D A （第3题）（第6题） A B D F C E （第9题）（第7题） B A O PD CE （第8题） B C D （第2题）第页 12 （第10题）10．A ，B 两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE ＝150米，BF ＝100米，它们的水平距离EF ＝250米．现欲在公路旁建一个超市P ，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？11．支撑高压电线的铁塔如图，其中AM ＝AN ，∠DAB ＝∠EAC ，AB ＝AC ，问AD 与AE 能相等吗？为什么？（第11题）答案与提示第1课时全等三角形1．D 2．B 3．65；18 4．平行；相等5．△ADE≌△ABC，对应边：AD=AB，DE=BC，AE=AC；对应角：∠D =∠B，∠DAE=∠BAC，∠E =∠C 6．略7．5第2课时三角形全等的条件（1）1．B 2．AB=DC 3．AB=FE，FDE 4．取BC边的中点D，连结AD5．证AC=EF 6．连接AD 7．证△ADC≌△ABE第3课时三角形全等的条件（2）1．AE=AD 2．3 3．①②④4．略5．证△ACE≌△BDF6．（1）先证△ABC≌△DEC，可得∠D =∠A，因为∠B+∠A=90°，所以∠B+∠D=90°；第4课时三角形全等的条件（3）1．C 2．（1）AB=DE （2）∠ACB=∠F 3．∠BAD 4．略5．证△ABC≌△CDE 6．连接AO第5课时三角形全等的条件（4）1．B 2．6 3．AB=CD或BE=DF 4．△ABC≌△DCB（SSS），△ABD≌△DCA（SSS），△ABO≌△DCO （AAS）或（ASA）5．全等，用“AAS”或“ASA”可以证明6．证△ABD≌△EBC第6课时三角形全等的条件（5）1．D 2．5，4 3．90 4．利用“HL”证Rt△ABC≌Rt△DEF 5．（1）证明略；（2）证△BDE≌△CDF6．证△BDF≌△ADC，得∠BFD=∠C，由∠BFD+∠FBD=90°，得∠C+∠FBD=90°第7课时三角形全等的条件（6）1．C 2．C 3．D 4．略5．相等，平行，利用“SAS”证明△ABD≌△ECD 6．存在△CEF≌△BDE 利用“ASA”证明第8课时角平分线的性质（1）1．C 2．D 3．2 4．利用角平分线的性质可得OD=OF，然后证明△ODG≌△OFE5．证△BDE≌△CDF6．（1）略；（2）30°第8课时角平分线的性质（2）1．D 2．D 3．2 4．证△BDF≌△CDE，得DF=DE5．（1）点P是线段CD的中点；（2）AD+BC=AB 小结与思考（1）1．D 2．B 3．B 4．C 5．45 6．3，30°7．AB＝AD或BC＝CD等8．7 9．（1）BE＝CD；（2）∠BAE＝∠CAD；（3）∠AEB＝∠ADC；（4）BD＝CE；（5）∠BAD＝∠CAE；（6）∠ADB＝∠AEC 10．（1）由SAS知△ADC≌△AEB；（2）BE＝CD，BE⊥CD11．由AAS可知△ADO≌△AEO，从而有OD＝OE，又∠BDO＝∠CEO＝90°和∠DOB＝∠EOC，故△ODB≌△OEC（ASA），从而OB＝OC 12．AD能平分∠BAC；由∠1＝∠2，得∠B ＝∠C，又AB＝AC，故△ABE≌△ACF，从而AE＝AF，又AD＝AD，故△ADF≌△ADE，得∠FAD＝∠EAD小结与思考（2）1．D 2．C 3．C 4．B 5．6 6．①BC＝EF；②∠A＝∠D；③∠ACB＝∠F7．4 8．55°9．（1）△ADC≌△ABC；（2）AC平分∠DCB；（3）AC平分∠DAB；（4）DE＝EB；（5）DB⊥AC；10．PE ＝100米11．AD＝AE（提示：先说明△AMC≌△ANB，后说明△ADC≌△AEB）13第页。