重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷(一)数学-答案
………………………………………………………（2 分） 评分的平均值为 55 0.05 65 0.1 75 0.3 85 0.4 95 0.15 80 ．
………………………………………………………（4 分）
数学参考答案·第 4 页（共 7 页）
（2）完成 2 2 列联表如下表：
3．∵
cos
B
1 7
，故
sin
B
43 7
，由正弦定理
AC sin B
BC sin A
AC
BC sin B sin A
8
，故选
D.
4．由题知：
BM
1 2
BA
1 2
BC
，则
AB
2BM
BC
，从而
2
，
1
，故选
C.
5．1 a3 a5 a7 a9 … a2019 a2 a3 a5 a7 a9 … a2019 a4 a5 a7 a9 … a2019 a6 a7 a9 … a2019 a8 a9 … a2019 a10 a11 … a2019 a2018 a2019 a2020 ， 则 k 2020 ，故选 B．
重庆市第八中学 2021 届高考适应性月考卷（一） 数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10 11 12
答案 A B D C B B B B BCD BD AD ABD
【解析】 1．由题 A {1，0，1，2，3，4} ，∴ (U A) B {2，2，3} ，故选 A． 2． a3 a4 a6 a7 4a5 28 ，故选 B．
（2）设 BDA ， CD x ， AB y ，则 AD 2x ，
由余弦定理有 cos 37 4x2 y2 ， cos(π ) cos 37 x2 36 ．
4 37x
2 37x
两式相加有 6x2 39 y2 ．
……………………………………………………（8 分）
在 △ABC
an
17 (n 1) 2 (2 3 … n） n2
16 ，
an n
an an1 2n 1，
n 16 ≥ 8 ( n 4 时取等)． n
16．令
aπ x0
π 3
π 2
kπ
，
kZ
，得
a x0
k
5 6
，
kZ
．因为
x0
是
f
(x)
的极值点，所以
[
f
(x0 )]2
1
，原问题即为：存在
k
f
(x)
在 [0，π]
上的值域为
3 2
，
3 ．
……………………………………………………（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）由已知得 (0.015 b 0.03) 10 0.85 ，
解得 b 0.04 ， 又 (0.005 a) 10 1 0.85 ，解得 a 0.01，
∴ q 2 ，∴ bn 2n1 ．
………………………………………………………（2 分）
∴ Tn
1 2n 1 2
2n
1．
……………………………………………………（3 分）
又设等差数列{an} 的公差为 d，
由 b4 a3 a5 ，可得 a1 3d 4 ；
由 b5 a4 2a6 ，可得 3a1 13d 16 ，
i i
(7 (2
i)(2 i)(2
i) i)
3
i
|
z
|
10 ．
14．由
3sin 2
1
cos 2
，得
6 sin
cos
2 cos2
，因为
0
，
π 2
，所以
cos
0
，从
而
3 sin
cos
，
tan
1 3
．
a1 17，
15．
aa1n
17， an1
2n
1，
aa32
a1 a2
2 2 1， 2 3 1，
校每名学生对线上课程满意的概率，则该校每名学生对线上课程满意的概率为 P 0.55 ，
随机抽查了该校的 5 名学生，其中对线上课程满意的人数为 X，
则 X ~ B(5，0.55) ， E( X ) 5 0.55 2.75 ， D( X ) 5 0.55 0.45 1.2375 ．
20．（本小题满分 12 分）
x
π 4
π 6
．
由条件，
π 4
π 6
kπ，k
Z
，得
2 3
4k
，
k
Z
．
因为
0
1，所以
2 3
．
………………………………………………（6 分）
（2）由（1）知： f (x)
3
sin
2 3
x
π 6
，
因为
0
≤
x
≤
π
，所以
π 6
≤
2 3
x
π 6
≤
5π 6
．
从而
1 2
≤
sin
2 3
x
π 6
≤1
，故
故 n 的值为 4．
……………………………………………………（10 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）
f
(x)
2sin
x
π 3
cos
x
π 6
3
sin
x
π 6
，
……………………………………………………（3 分）
将曲线
y
f
(x)
向右平移
π 4
个单位，
得到
g(x)
f
x
π 4
3
sin
8k 2 x 8k 2
80，
所以
x1
x2
8k 2 1 2k2
，
x1 x2
8k 2 8 1 2k2
．
……………………………………（5 分）
| AC |
(1 k 2 )(x1 x2 )2
(1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
32(k 2 1 2k2
1)
．
由于直线 BD 的斜率为 1 ，用 1 代换上式中的 k 可得 | BD |
（1）解：
f (x) 2(x a) ln x
(x a)2 x
(x a) 2 ln x 1
a x
，
数学参考答案·第 6 页（共 7 页）
由题
f
(e)
0 ，即
(e
a)
3
a e
0
，解得 a
e
或
a
3e ．
……………………………………………………（2 分）
当 a e 时， f (e) ，∴ an n ．
……………………………………………………（5 分）
数学参考答案·第 3 页（共 7 页）
（2） Sn
n(n 1) 2
，
……………………………………………………（7 分）
由
Sn
2Tn
2an
4bn
有
n(n 1) 2
2(2n
1)
2n
2n1 ，
∴ n2 3n 4 0 ，解得 n 4 或 n 1 (舍)，
性别
态度
满意
不满意
合计
男生
25
35
60
女生
30
10
40
合计
55
45
100
K2
100
(10 25 35 30)2 55 45 60 40
10.774 6.635 ，
∴有 99% 的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．
……………………………………………………（8 分）
（3）依题意，将被调查的 100 名学生中对线上课程的评价打分不低于 80 分的频率视为该
分别是
m
x
1 x
1和
m
x e x 1
2
的两个根，即
y
m
与
y
x
1 x
1和
y
x e x 1
2 交点的
横坐标．作出函数
y
x
1 x
1，
y
x e x 1
2 的图象如图
图3
3
所示（注意到：当
x
(0，1)
时，
x
1 x
1
x
2
x e x 1
2 ）.
由图可知， 0 x3
x2
1，
m (2，1)
，从而
x1
1 x1
1 (2，1)
Z
，使得
a2{x02
[
f
(x0 )]2}
k
5 6
2
a2
1
，故
1 6
2
a2
1，从而
35 6
a
35 ． 6
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
解：（1）设等比数列{bn} 的公比为 q(q 0) ，
由 b1 1， b2 b3 2 ，可得 q2 q 2 0 ，
……………………………………………（12 分）
解：（1）由题意， sin B b sin A sin B a sin B 7sin B 7 23 sin B
3， 2
………………………………………………（3 分）
重庆八中2021届高三第一学期高考适应性月考(二)数学试题【含答案】
重庆八中2021届高考适应性月考卷（二）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．，在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，若复数(2)(1)i z m m =-++对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是A ．(1,2)-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞2．设a ∈R ，则“2a a <”是“||1a <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136a a +=，4233S a S +=+，则等比数列的公比为A ．13B ．12C ．2D ．34．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的关系为000,()n N n t n n N N <⎪⎪=⎨⎪⎪⎩（0t ，0N 为常数）。
已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为 A ．16小时 B ．11小时 C ．9小时 D ．8小时5．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X 是取出球的编号，数学期望为()E X ，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y 是取出球的编号，数学期望为()E Y ，则A ．(3)(3)P X P Y =>=且()()E X E Y >B ．(3)(3)P X P Y =>=且()()E X E Y <C ．(3)(3)P X P Y =<=且()()E X E Y >D ．(3)(3)P X P Y =<=且()()E X E Y <6．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=A ．45B ．65C ．69D ．-1057．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若22cos C =，且．3sin sin 3sin c C a A b B -=，则a b= A ．32B ．3C ．22D ．28．从某个角度观察篮球（如图1甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且AB BO OC CD ===，则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是 A ．若a b ⊥，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b ⋅的最大值为310．如图2，长方体1111ABCD A B C D -的底面是正方形，12AA AB =，E 是1DD 的中点，则 A ．1B EC 为直角三角形 B ．1//CE A BC ．三棱锥11C B CE -的体积是长方体体积的16D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积是正方形ABCD 面积的6π倍11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(6)()2(3)f x f x f +-=，且()f x 在(0,3)上单调递减，则下列结论正确的是 A ．(3)0f = B ．()f x 在(6,3)--上单调递增 C ．(2020)(2021)f f <D ．()f x 可以是sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭12．已知椭圆22:163x y C +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ︒∠<C ．直线$BE$的斜率为12kD ．90PAB ︒∠>三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知x ，y 满足约束条件40,0, 1x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩则3z x y =-的最大值为____________。
重庆市第八中学2020-2021学年高一上学期期中考试模拟(一)数学试卷参考答案
1高2023级高一（上）数学半期模拟试卷参考答案一、选择题1.D 解：要使函数有意义，则210x-≠，解得：0x ≠，即00∞∞（－，）∪（，＋），故选D .2.解：A ．()1f x =的定义域为R ，()x g x x=的定义域为{|0}x x ≠，定义域不同；.()B f x =的定义域为{|1}x x，()g x =的定义域为{|1x x - 或1}x ，定义域不同；.()C f x x =的定义域为R，2()g x =的定义域为{|0}x x ，定义域不同；21.()11x D f x x x -==+-的定义域为{|1}x x ≠，()1(1)g x x x =+≠的定义域为{|1}x x ≠，定义域和解析式都相同，是同一函数．故选：D ．3.解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x Z ∈，集合A 是偶数集，集合B 是奇数集．若命题:p x A ∀∈，1x B -∈，则:p x A ⌝∃∈，1x B -∉．故选：C ．4.解：函数定义域为0, 2.x ≥≤即是在定义域上单调递减，故当2x =时，1y =-可以取到最小值；[)11,1.y x +→-→∞时，，故取值范围为当故选：B ．5.解：令1,,x t a t a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦225y t t =+-1t a =当时，取得最大值10.21215103a a a +-=∴=故选：C ．6.解：由于函数||22()x y x x R =-∈是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ．再由0x =时，函数值1y =，可得图象过点(0,1)，故排除C ；故选：A ．7.解：111(()1333b a <<< ，且10,13∈（）01a b ∴<<<，因此a b a a >，,A C 错误；又0,a y x =+∞ 函数是（）上的增函数∴a a b a >，可得b a a a a b <<.故选：B ．8.解：将不等式化为11,14m x x +≥-只需当1(0,)4x ∈时，min 11()14m x x +≥-即可,由1111()(414)1414x x x x x x+=++---14441554914x x x x -=+++≥++=-,当且仅当15x =时取等号，故9m ≤，故m 的最大值为9.故选B .。
2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学(文)试题Word版含答案
2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合0,1,2,3A =，301x B x x ⎧-⎫=⎨⎬-⎩⎭≤，则A B ⋂=（ ）A ．1,2B ．1,2,3C ．2.3D ．22.复数()()2234i R z a a a =-+-∈的实部与虚部相等，且z 在复平面上对应的点在第三象限，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1-3.函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＞＜的部分图象如图1所示，则（ ）A ．3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．3sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4.直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C.12π D ．323π5.已知直线40x y ++=被圆22220x y x y a ++-+=所截得弦长为2，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．4- C.7- D ．10-6.已知直线3y x =-与两坐标轴围成的区域为1Ω，不等式组3,0,2y x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥所形成的区域为2Ω，现在区域1Ω中随机放置一点，则该点落在区域2Ω的概率是（ ） A ．14 B ．13 C.12 D ．237.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（）A．123π+ B．136π C.73πD．52π8.已知直线l过点()0,1，且倾斜角为6π，当此直线与抛物线24x y=交于A，B时，AB=（）A．163B．16 C.8 D．16339.阅读如图3所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．8 B．9 C.10 D．1110.已知函数()12log,02,12,2,2x xf xx x⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩＜≤＞且()2f a=，则()2f a+=（）A．12B．14C.58D．7811.设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin θ=（ ） A ．35 B ．45 C.35- D ．45-12.设函数()211121x f x x+⎛⎫=+⎪+⎝⎭，则使得()()()21122f x f x f x -+-＜成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()22,2a =，()0,2b =，(),2c m =，且()2a b c +⊥，则实数m = ．14.若双曲线()221024x y a a -=＞的一条渐近线过点()2,1，则a = ． 15.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3cos 5A =-，1sin 2C =，1c =，则ABC ∆的面积为 ．16.重庆好食寨鱼火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料，由乙车间加工麻辣鱼火锅底料.甲车间加工1吨原材料需耗费工时10小时，可加工出14箱水煮鱼火锅底料，每箱可获利80元；乙车间加工1吨原材料需耗费工时6小时，可加工出8箱麻辣鱼火锅底料，每箱可获利100元.甲、乙两车间每天总获利最大值为 元．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知n a 是递增的等差数列，1a ，2a 是函数()21021f x x x =-+的两个零点. （1）求数列n a 的通项公式；（2）记3n n n b a =⨯，求数列n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）发改委10月19日印发了《中国足球中长期发展规划（2016-2050年）重点任务分工》通知，其中“十三五”校园足球普及行动排名第三，为了调查重庆八中高一高二两个年级对改政策的落实情况，在每个年级随机选取20名足球爱好者，记录改政策发布后他们周平均增加的足球运动时间（单位：h ），所得数据如下：高一年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间： 1.6 3.4 3.7 3.3 3.8 3.2 2.8 4.2 2.5 4.5 3.5 2.5 3.3 3.7 4.0 3.9 4.1 3.6 2.2 2.2 高二年级的20位足球爱好者平均增加的足球运动时间： 4.2 2.8 2.9 3.1 3.6 3.4 2.2 1.8 2.3 2.7 2.6 2.4 1.5 3.5 2.1 1.9 2.2 3.7 1.5 1.6（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个年级政策落实得更好？ （2）根据两组数据完成图4的茎叶图，从茎叶图简单分析哪个年级政策落实得更好？ 19. （本小题满分12分）如图5所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDFE 是平行四边形，点M ，N 分别是BE ，CF 的中点.（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）若ABE ∆是等边三角形且平面ABE ⊥平面ABCD ，记三棱柱E ABF -的体积为1S ，四棱锥F ABCD -的体积为2S ，求12S S 的值. 20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的长轴是圆224x y +=的一条直径，且右焦点到直线230x y +-=的距离（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在直线():l y kx m k R =+∈与椭圆C 交于A ，B 两点，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分12分） 设函数()()3x f x k x e x =---.（1）当1k =时，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜对任意0x ＞恒成立，求整数k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆O 和圆C 的极坐标方程分别为2ρ=和4sin ρθ=，点P 为圆O 上任意一点． （1）若射线OP 交圆C 于点Q ，且其方程为3πθ=，求PQ 的长；（2）已知32,2D π⎛⎫⎪⎝⎭，若圆O 和圆C 的交点为A ，B ，求证：222PA PB PD ++为定值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 若0a ＞，0b ＞且223ab a b =++． （1）求2a b +的最小值；（2）是否存在a ，b 使得22417a b +=？并说明理由．2021届重庆市第八中学高三上学期适应性月考数学（文）试题参考答案一、选择题1-5:CACCC 6-10:BBABD 11、12：CB 【解析】1.{}13B x x =＜≤，{}2,3A B ∴⋂=，故选C .2.由题意2234a a-=-，解得1a=或2，当2a=时，22iz=+，它在复平面上对应的点在第一象限，不符合题意，舍去，所以1a=，故选A.3.24362 Tπππ=-=，2Tπ∴=，2Tπω=，又,06π⎛⎫⎪⎝⎭为“五点法”的第一个点，则06πϕ+=，6πϕ=-，sin6y xπ⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，故选C.4.设D，1D分别为AC，11A C的中点，则1DD的中点O为球心，球的半径223R CD OD=+=，故表面积为2412S Rππ==，故选C.5.圆的方程为()()22112x y a++-=-，圆心为()1,1-，由22114122a⎛-++⎫+=-⎪⎝⎭得7a=-，故选C.6.如图1所示，OAB∆对应的区域为1Ω，OBC∆对应的区域为2Ω，所以该点落在区域2Ω的概率13OBCOABSPS∆∆==，故选B.7.该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，2211131211236Vπππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B.8.直线3:1l y=+与24x y=联立得24340x-=，643∆=，故21211611333AB k x x=+⋅-=+=，故选A.9.当1i=时，1lg12S=-＞；当2i=时，1lg13S=-＞；当3i=时，1lg14S=-＞……当9i=时，1lg110S==-，故输出9i=，故选B.10.（1）当2a＞时，()1212f a a=-+＜，不成立；（2）当02a＜≤时，()12log2f a a==，则14a=或4a=（舍），所以()9197224248f a f⎛⎫+==-⨯+=⎪⎝⎭，故选D.11.()()343sin4cos5sin cos5sin55f x x x x x xϕ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭，其中4sin5ϕ=，3cos5ϕ=，由()()5sin5fθθϕ=+=-得()sin1θϕ+=-，所以22kπθϕπ+=-+，k Z∈，22kπθϕπ=--+，k Z∈，所以3 sin sin2sin cos225kππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.12.由解析式可知，()f x为偶函数且在[)0,+∞上单调递减，则()()()2112221f x f x f x-+-=-，所以()()()()()()()()()2112222122121f x f x f x f x f x f x f x f x f x-+-⇔-⇔-⇔-⇔＜＜＜＜()222212121213x x x x x x x-⇔-⇔-⇔＞＞＞＜或1x＞，故选B.二、填空题13.3- 14.4 15.83625-16.60800【解析】13.()222,6a b+=，由()20a b c+⋅=得22620m+=，所以3m=-.14.渐近线方程为2y xa=±，故41a=，所以4a=.15.22sincRC==，则482sin255a R A==⨯=，又()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C=+=+=4331433525210-⎛⎫⨯+-⨯=⎪⎝⎭，118433836sin12251025S ac B--∴==⨯⨯⨯=.16.设甲车间加工原材料x吨，乙车间加工原材料y吨，甲、乙两车间每天获利为z元，则0,0,70,106480,x yx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤≤目标函数1120800z x y=+，作出可行域，如图2所示.当1120800z x y=+对应的直线过直线70x y+=与106480x y+=的交点A时，目标函数1120800z x y=+取得最大值.由70,106480x yx y+=⎧⎨+=⎩得15,55,xy=⎧⎨=⎩故max1120158005560800z=⨯+⨯=，即甲、乙两车间每天总获利最大值为60800元.三、解答题17.解：（1）函数()21021f x x x =-+的两个零点为3，7， 由题意得13a =，37a =.()()213353213213n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯++⨯， ()()23133353213213n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯++⨯，两式相减得()()()()23111292333213939213n n n n n S n n +++-=+⨯+++-+⨯=+--+⨯，所以13n n S n +=⨯.18.解：（1）设高一年级所得数据的平均数为x ，高二年级所得数据的平均数为y . 由记录数据可得 ()11.6 3.4 3.7 3.3 3.8 3.22.8 4.2 2.5 4.53.5 2.5 3.3 3.74.0 3.9 4.1 3.6 2.2 2.220x =⨯+++++++++++++++++++3.3=，()14.2 2.8 2.9 3.1 3.6 3.4 2.2 1.8 2.3 2.7 2.6 2.4 1.5 3.5 2.1 1.9 2.2 3.7 1.5 1.620y =⨯+++++++++++++++++++2.6=，由以上计算结果可得x y ＞，因此可看出高一年级政策落实得更好. （2）由记录结果可绘制如图3所示的茎叶图：从以上茎叶图可以看出，高一年级的数据有710的叶集中在茎3，4上，而高二年级的数据有710的叶集中在茎1，2上，由此可看出高一年级政策落实得更好.19.（1）证明：如图4，取DF 的中点H ，连接MH ，NH ， 点N ，H 分别是CF ，DF 的中点，NH CD ∴∥. EBDF 是平行四边形，且点M ，H 是BE ，DF 的中点， MH BD ∴∥，又MH NH H ⋂=，BD CD D ⋂=，所以平面MNH ∥平面ABCD ， 又MN ⊂平面MNH ，MN ∴∥平面ABCD.（2）解：法一：DF BE ∥，DF ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ， DF ∴∥平面ABE ，1=E ABF F ABE D ABE E ABD S V V V V ----∴===，又EF BD ∥，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， EF ∴∥平面ABCD ，2122F ABCD E ABCD E ABD S V V V S ---∴====，1212S S ∴=. 法二：DF BE ∥，DF ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，DF ∴∥平面ABE ,平面EAB ⊥平面ABCD ，DA AB ⊥，平面EAB ⋂平面ABCD AB =， DA ∴⊥平面EAB ，11123=3233E ABF D EAB EAB S V V S DA --∴==⋅⋅==， EF BD ∥，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， EF ∴∥平面ABCD ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，∴点F 到平面ABCD 的距离等于E 到AB的距离，即h =113F ABCD ABCD S V S h -∴==⋅⋅=， 1212S S ∴=. 20.解：（1）由已知24a =， 解得2a =，c =，所以1b =，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在这样的直线.由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216410k m ∆=-+＞，()*设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++ ()22222224484141k m k m m k k -=-+++ 222441m k k -=+， 由22OA OB OA OB +=-得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=， 故22454k m =-，代入()*式得m -＜m 21.解：（1）当1k =时，()1x f x xe '=--， 则()01f '=-，()02f =-，所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为()()210y x --=-⨯-， 即20x y ++=.（2）()30x k x e x ---＜对任意0x ＞恒成立3x x k x e+⇔+＜对任意0x ＞恒成立 min 3x x k x e +⎛⎫⇔+ ⎪⎝⎭＜， 令()()30xx h x x x e +=+＞，则 ()221x x xx e x h x e e ----'=+=. 令()2x x e x ϕ=--，则()10x x e ϕ'=-＞，()x ϕ∴在()0,+∞上单调递增，又()130e ϕ=-＜，3237022e ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞， ∴存在031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00x ϕ=，其中()h x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ()()0000min 3x x h x h x x e +∴==+， 又()00x ϕ=，即0020x e x --=，002x e x ∴=+，()()0000000min 00331122x x x h x h x x x x x x e ++∴==+=+=++++， 031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0512,2x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，0110,22x ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭， ()00112,32x x ∴++∈+， k Z ∈，2k ∴≤，k ∴的最大值为2.22.（1）解：把3πθ=代入4sinρθ=得到Q 点的极径4sin 3Q πρ==， 而点P 的极径为2P ρ=，所以2Q P PQ ρρ=-=.（2）证明：联立2ρ=和4sin ρθ=解得52,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,2D π⎛⎫⎪⎝⎭，其直角坐标为()A ，)B，()0,2D -，圆O 的直角坐标方程为224x y +=.则(()(()()22222222211224PA PB PD x y x y x y ++=+-+-+-+++=. 23.解：（1）由条件知()21230a b b -=+＞，12b ＞.所以2321b a b +=-，23422212262121b a b b b b b ++=+=-++=--≥. 当且仅当212b -=，即32b =，3a =时取等，所以2a b +的最小值为6. （2）因为22224269222a b a b ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥，当且仅当32b =，3a =时取等， 所以22418a b +≥，故不存在a ，b 使得22417a b +=.。
2021年重庆八中高考数学适应性试卷(原卷+答案)(一)
12．（5 分）设函数 f (x) cos(x )( ， 是常数， 0 ， 0 ) ，若 f (x) 在区间 [ , 5 ] 上具有单调性，
2
24 24
且 f ( ) f (5 ) f (11 ) ，则下列说法正确的是 (
)
24
24
24
A． f (x) 的周期为
B． f (x) 的单调递减区间为 [ k , k ](k Z )
衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图，该数列从第一项起依次是 0，2，
4 ， 8 ， 12 ， 18 ， 24 ， 32 ， 40 ， 50 ， 60 ， 72 ， ， 若 记 该 数 列 为 {an} ， 则 a2021 a2020 (
第 1页（共 19页）
| PB | 正确的是 ( )
A． C 的方程为 (x 4)2 y2 9
B．在 x 轴上存在异于 A ， B 的两个定点 D ， E ，使得 | PD | 2 | PE |
C．当 A ， B ， P 三点不共线时， APO BPO
D．若点 Q(0, 6) ，则在 C 上存在点 M ，使得 | MQ || MB |
2021 年重庆八中高考数学适应性试卷（一）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5
分）若复数
z
i 1 i
，则
|
z
|
(
)
A． 1 4
B． 1 2
C． 2 2
D． 2
2．（5 分）已知全集U {x N |1x8} ，集合 A {2 ，4，5， 6} ， B {1 ，3，5， 7} ，则 A (ðU B) (
重庆市第八中学2021届高考适应性月考数学(一)-含答案
，解得
x1
1 2
5 ，1 ，所以选项 AD 正确，
选项 C 错误，又 1 x1x2 x1x3 0 ，故选 ABD．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 答案
13
14
15
1
10
3
8
数学参考答案·第 2 页（共 7 页）
16
35 6
a
35 6
【解析】
13．
z
7 2
y
2x3 cos x 2
是奇函数，所以函数
g(x) 1
f
(x)
2x3 cos x 2
1 为奇函数，故
g(a) 1
(g(a) 1) ，解得 g(a) 0 ，故选 B．
数学参考答案·第 1 页（共 7 页）
8．如图 2，∵ | OE | | OF | c ，∴ E(a， b) ，将 E(a， b)
代入圆 A：(x a)2 y2 a2 ，得 b2 a2 ，e 2 ，故选 B．
9．A 展开式中所有项的系数和为 1，错误；展开式中奇数项
的二项式系数和为 28 2
128 ，B
正确；易知展开式中二项
图2
式系数的最大项为第五项，C 对；展开式中含 x3 的项为 C85 (2x)3 (1)5 448x3 ，故 D 正确，
5 ， A1B 2 2 ，BD1
21 ，cos BA1D1
8 5 21 22 2 5
10 5
，故异面直线
A1B
与 AD 所成角的余弦值为
10 ，故选 B． 5
7．由 f (x) f (x) 2 知，函数 f (x) 的图象关于 (0，1) 对称，故 函数 y f (x) 1 是奇函数，又
2021届重庆市第八中学高三上学期高考适应性月考卷数学试题及答案 (2)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. (1)(1)i i +-B. 2(1)i -C. (1)i i -D. 2(1)i i -2.命题“[0,1],tan x x x ∃∈≤”的否定是（ ） A. [0,1],tan x x x ∀∈≤ B. [0,1],tan x x x ∀∈> C. [0,1],tan x x x ∃∈>D. [0,1],tan x x x ∃∉>3.已知,a b R ∈，0a b >>且1a ≠，1b ≠，则（ ）A. a b +≥B.110a b-> C. ln()0a b ->D. log 1b a >4.“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理”．现有如下一个整除问题：将1至2021这2021个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列共有（ ） A.133项 B.134项 C.135项 D.136项5.在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心且与直线10mx y m ---=（m R ∈）相切的所有圆中，半径最大的圆的面积为（ ）A. πB.C. 2πD. 3π6.五个人排一个五天的值日表，每一天由一个人值日，每人可以值日多天或不值日，但相邻两天不能是同一个人，且第一天和最后一天是同一个人，那么值日表的排法有（ ） A.120B.160C.240D.2607.已知函数()tan()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图1所示，且()1f π=-，则()6f π=（ ）A.B. C. 2 D. 28.已知定义域为R 的函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，若3(log 2)m f =，6(log 9)n f =， 1.3(2)p f -=，则m ，n ，p 的大小关系为（ ）A. m n p >>B. n p m >>C.p m n >>D.n m p >>二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.在新冠疫情期间，世界卫生组织认为该疫情在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续5天，每天新增疑似病例不超过8人”．根据过去5天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A.甲地：平均数为3，中位数为3B.乙地：平均数为2，众数为3C.丙地：中位数为3，众数为1D.丁地：平均数为3，方差为210.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，12(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数），则下列结论中正确的是（ ） A.数列{}n a 为等比数列 B.当1p =时，531S =C.当12p =时，*(,)m n m n a a a m n N +⋅=∈ D. 2n n S a p =-11.如图2，已知在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ︒∠=，为AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成PDE △，若PDE △为PC 的中点，则ADE △在翻折过程中（点P ∉平面ABCD ），以下命题正确的是（ ）A. //BM PDE 平面B. BM =C.存在某个位置，使MB DE ⊥D.当三棱锥P CDE -体积最大时，其外接球的表面积为12.在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6c =．记S 为ABC △的面积，下列命题正确的是（ ）A.若3C π=，则S 有最大值 B.若6A π=，a =S 有最小值33C.若2a b =，则cos C 有最小值0D.若10a b +=，则sin C 有最大值2425三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13.单位向量a ，b ，满足：222||||||a b a b -=+，若2c a b =+，则cos ,b c 〈〉=___________．14.某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元，旅行团中每人的飞机票价按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在35人或35人以下，每张机票收费900元；若旅行团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，每张机票减少20元，但旅行的人数最多不超过60人，则当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数为___________．15.在2(1)(12)nx x x +-+的展开式中x 的系数为-11，x 的奇次项的系数和为___________．16.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H .且l 与双曲线的右支相交于点P ，若12F H HP =，且2||5PF =.则12PF F △的面积为___________． 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，132n n a a +=+，*n N ∈．（1）求数列{}1n a +为等比数列，求n a ；（2）若12(1)n n n n b a a a +⋅⋅=+且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：3182n S ≤<． 18.（本小题满分12分） 设1ω>，函数2()sin()cos()cos()sin()3333f x x x x x ππππωω=++-+-的最小正周期为π． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若存在x R ∈，使得00(,())x f x 关于直线8x π=的称点在曲线22tan 1tan xy x=-上，求0cos 2x ． 19.（本小题满分12分）如图3，在四棱锥P ABCD -中，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，PC =222AD DC CB ===，E 为PD 上一点．（1）若E 为PD 的中点，证明：//CE PAB 平面；（2）若直线CE 与底面ABCD P AB E --的正弦值． 20.（本小题满分12分）已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为k 的直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为00(,)M x y ．（1）证明：0ky 为定值，并求出该定值；（2）以AB 为直径作圆M ，设圆M 与y 轴交于点P ，Q ，求PMQ ∠的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数()cos 2ln(1)f x x x x =-++．（1）求()f x 在[0,)+∞上的最大值； （2）判断()f x 的零点个数，并说明理由． 22.（本小题满分12分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X 表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．（1）若(3)(97)P X P X ===，求数学期望()E X ； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p 与参数(01)θθ<<的取值有关．团队A 提出函数模型为2ln(1)3p θθ=+-，团队B 提出函数模型为1(1)2p e θ-=-．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量(1,2,,10)i X i =表示第i 组被感染的白鼠数，现将随机变量(1,2,,10)i X i =的实验结果(1,2,,10)i x i =绘制成频数分布图，如图4所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立．①试写出事件“11221010,,,X x X x X x ===”发生的概率表达式感染只数（用p 表示，组合数不必计算）；②在统计学中，若参数0θθ=时使得概率11221010(,,,)P X x X x X x ===最大，称0θ是θ的最大似然估计．根据这一原理和团队A ，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似然估计，并求出估计值． 参考数据：3ln0.40652≈．重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷（四）数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）【解析】1．由于(1)(1)2i i +-=，2(1)2i i -=-，(1)1i i i -=+，2(1)1i i i -=-+，故选B ． 2．根据含全称量词命题的否定可知，故选B ． 3．根据不等式可知，故选A ．4．能被3除余1且被5除余1的数就只能是被15除余1的数，故1514n a n =-，由12021n a ≤≤，得1135n ≤≤，又n N +∈，故此数列共有135项，故选C ．5．因为直线10()mx y m m R ---=∈恒过点(1,1)-，所以当点(1,1)-为切点时，半径最大，此时半径r =2π，故选C ．6．分类讨论：当第三天与第一天和最后一天是同一个人时，一共有11154480C C C =种方法；当第三天与第一天和最后一天不是是同一个人时，一共有11115433180C C C C =种方法；故一共有260种方法，故选D ． 7．由图知，函数()y f x =的周期为2π，所以12ω=，1()tan()2f x A x ϕ=+，由()02f π=，得tan()04πϕ+=，所以()4k k Z πϕπ=-+∈，11()tan()tan()2424f x A x k A x πππ=-+=-．由()1f π=-，得tan14A π=-，所以1A =-，故1()tan()24f x x π=--，从而()tan()66f ππ=--=，故选A ．8．由于(1)f x +为偶函数，则()f x 关于1x =对称，于是()f x 在(,1)-∞上单调递减，666(log 9)(2log 9)(log 4)f f f =-=，又 1.31 22-<，31log 212<<，又6311log 42log 22>=>>，故 1.336(2)(log 2)(log 4)f f f ->>，故p m n >>，故选C ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）【解析】9．若数据为9，3，3，0，0，则平均数为3，中位数为3，不符合该标志，排除A ；若有一个数据大于等于9，但平均数为2，则其它四个数据和为1，与众数为3矛盾，故B 正确；若数据为9，4，3，1，1，中位数为3，众数为1，排除C ；若有一个数据大于等于9，但平均数为3，则方差大于365，与方差为2矛盾，故D 正确，故选BD ．10．由12(2)n n S S p n --=≥，得22a p =．当3n ≥时，122n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又212a a =，数列{}n a 是首项为p ，公比为2的等比数列，故A 正确；由A 可得1p =时，54123112S -==-，故B 正确；由A可得m n m n a a a +⋅=等价为22122m n m n p p +-+-⋅=⋅，可得2p =，故C 错误；1112()n n n n n S S S S S p ----=--=，则1n n a S p --=，1n n a S p +-=且数列{}n a 是首项为p ，公比为2的等比数列，则2n n a S p -=，故选项D 正确，故选ABD ．11．如图1，取CD 的中点N ，连接MN ，BN ，M E ，分别为PC ，AB 的中点，//MN PD ∴，//BN DE ，MN BN N ⋂=，PD DE D ⋂=，且MN ，BN BMN ⊂平面，PD ，DE PDE ⊂平面，//BMN PDE ∴平面平面．又BM BMN ⊂平面，//BM PDE ∴平面，即A 正确；由A 可知，111222MN PD AD ===，1BN DE AD ===，60MNB PDE ADE ︒∴∠=∠=∠=，在BMN △中，由余弦定理知，22232cos 4BM MN BN MN BN MNB =+-⋅⋅∠=，2BM ∴=，是定值，即B 正确；取PD 的中点G ，则BMGE 为平行四边形，若存在某个位置，使MB DE ⊥，则EG DE ⊥与条件矛盾，故C 错误；当三棱锥P CDE -的体积最大时，平面PDE CDE ⊥平面，又CE DE ⊥，1CE A DE ∴⊥平面，设三棱锥1C A DE -的外接球的球心为O ，则外接球的半径OE ==∴外接球的表面积21343S ππ=⨯=，故D 正确，故选ABD.12．A 选项：当3C π=，则由余弦定理可知，22362cos 3a b ab π=+-，22362a b ab ab +=-≥，则36ab ≤，所以1sin 2S ab C =≤6a b ==时取最大值，故A 对；B 选项：当6A π=，a =余弦定理可知，2123626cos6b b π=+-⨯⨯，即2240b -+=，解得b =或b =，则min11622S =⨯⨯=B 对；C 选项：当2a b =，222223653659cos 244a b b C ab b b +--===-，又由三角形的性质可得26b <<，所以当25b <<时，cos 0C <，故C 错；D 选项：当10a b +=，则由余弦定理可知，22236()23632cos 122a b a b ab C ab ab ab +-+--===-，又10a b +=≥，则25ab ≤，7cos 25C ≥，24sin 25C ≤，当且仅当5a b ==时取最大值，故D 对，故选ABD ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．法一：222||||||a b a b -=+，0a b ∴⋅=．令(1,0)a =，(0,1)b =，则(2,1)c =，||5c =，cos ,5||||5b c b c b c ⋅〈〉===⋅．法二：由2c a b =+，得221b c a b b ⋅=⋅+=，222||(2)445c a b a a b b =+=+⋅+=，cos ,5||||5b c b c b c ⋅∴〈〉===⋅．14．设旅行团的人数为x 人，每张机票收费为m 元，旅行社获得的机票利润为y ， 当135x ≤≤且x N ∈时，900m =，max 900351600015500y =⨯-=； 当3560x <≤且x N ∈时，90020(35)160020m x x =--=-，则22(160020)160002016001600020(40)16000y x x x x x =--=-+-=--+， 故40x =时，max 16000y =．故当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数为40人．15．因为2(12)nx x -+展开式中的常数项为1，x 的系数为12n C -，则2(1)(12)nx x x +-+的展开式中x 的系数为112n C -，则11211n C -=-，解得6n =．又2(1)(12)nx x x +-+的展开式中x 的奇次项的系数和是2(12)n x x -+展开式中所有项的系数和，令1x =，得2(12)n x x -+展开式中所有项的系数和为0，则x 的奇次项的系数和为0．16．易得1||F H b =，||OH a =，如图2，过2F 向1F P 作垂线，垂足为Q ，则OH 为12QF F △的中位线，则2||2F Q a =，||HQ b =，||PQ b =．在2QPF △中，22425b a +=，又12||||2352PF PF a b a -=⇒-=，则3b =，2a =，c =，121sin sin aPF F HFO c∠=∠=， 121121211||||sin 3231822PF F aS F P F F PF F b c ab c=⋅⋅∠=⨯⨯⨯==△．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）12a =，113(1)n n a a ++=+，则数列{}1n a +是首项为113a +=，公比为3的等比数列，………………………………………………………（2分）13n n a ∴+=，即31n n a =-． ………………………………………………………（5分）（2）12(1)n n n n b a a a +⋅⋅=+，1112(1)2311(31)(31)3131n n n n n n n n n a b a a ++++⋅∴===-----． ………………………………………………………（6分）12312231111111313131313131n n n n S b b b b +∴=++++=-+-++------- 11112312n +=-<-． ………………………………………………………（8分）111231n n S +=--为递增数列，则n S 的最小值为121132318S =-=-， 3182n S ∴≤<． ………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）由条件，2()sin()cos()cos()sin()3333f x x x x x ππππωω=++-+- sin()cos()cos()sin()3333x x x x ππππωω=++-++sin[()()]33x x ππω=+-+ sin(1)x ω=-．因为()f x 的最小正周期为π，所以21ππω=-，3ω=． ………………………………………………………（3分）从而()sin 2f x x =． 令22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，得44k x k ππππ-≤≤+，故()f x 的单调递增区间为[,]44k k ππππ-+，k Z ∈． ………………………………………………………（6分） （2）00(,())x f x 关于直线8x π=的对称点为00(,sin 2)4x x π-， 因为2222tan 2sin cos sin 21tan cos sin cos 2x x x x x x x x==--， 所以00020002tan()sin 2()cos 244sin 21tan ()cos 2()44x x x x x x ππππ--==---． 由条件，00202tan()4sin 21tan ()4x x x ππ-=--，得200sin 2cos 2x x =． …………………………………………………………（9分） 200cos 2cos 210x x +-=，所以01cos 22x =． ………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：取PA 的中点M ，连接BM ，EM ， E 为PD 的中点，//EM AD ∴，12EM AD BC ==， ∴四边形BCEM 为平行四边形，//CE BM ∴． CE PAB ⊂/平面，BM PAB ⊂平面，//CE PAB ∴平面．………………………………………………………（4分）（2）解：由PC =，222AD DC CB ===，由勾股定理可知CD PD ⊥，又CD AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以CD ⊥平面ADP ，取AD 的中点O ， 则BO ⊥平面PAD ，PO AD ⊥．以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建系，则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ．设(0,,1)E y y -，设平面ABCD 法向量(0,0,1)n =，由直线CE 与底面ABCD所成角的正弦值为11，可得23y =，21(0,,)33E ． 设平面PAB 的法向量为1n ，平面ABE 的法向量为2n ，110,0,n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2200n EA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取1(1,1,1)n =-，2(1,1,5)n =-，二面角P AB E --的余弦值7cos 9θ=，正弦值sin 9θ=． ………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：设直线l 的方程为()2p y k x =-，由题意0k ≠． 联立直线与抛物线22, (),2y px p y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得222221(2)04k x p k x k p -++=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则2122(2)p k x x k ++=，2124p x x =． ………………………………………………………（3分）（1）证明：则202(2)2p k x k +=，00()2p p y k x k=-=，则0ky p =，即直线l 的斜率与0y 的乘积为定值．………………………………………………………（5分）（2）2122(22)||p k AB x x p k +=++=，则圆M 的半径22||(1)2AB p k r k +==， ………………………………………………………（7分）过圆M 作MN PQ ⊥，垂足为N ，则在Rt PMN △中，222||2111cos (,1)||222222M x MN k PMN MP r k k +∠====+∈++， ………………………………………………………（11分） 则22(0,)3PMQ PMN π∠=∠∈． ………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）1()sin 21f x x x '=--++， 当[0,)x ∈+∞时，()1210f x '<-+=，()f x ∴在[0,)+∞上单调递减，()f x ∴在[0,)+∞上的最大值为(0)1f =．………………………………………………………（３分）（2）由（1）知，当[0,)x ∈+∞时，()f x 在[0,)+∞上单调递减， 而(0)1f =，()ln(1)022f πππ=-++<，∴由零点存在定理知，()f x 在[0,)+∞上有唯一零点；当(1,0)x ∈-时，21()cos 0(1)f x x x ''=--<+， ()f x ∴'在(1,0)-上单调递减． 又11()sin()22022f '-=---+>，(0)10f '=-<，故存在01(,0)2x ∈-，使得0()0f x '=， 且0(1,)x x ∈-时，()0f x '>，0(,0)x x ∈时，()0f x '<， ()f x ∴在0(1,)x -上单调递增，在0(,0)x 上单调递减．又0()(0)1f x f >=，3333311112(1)cos(1)2(1)3cos(1)10f e e e e e -=----=---<， ()f x ∴在0(1,)x -上有一个零点，在0(,0)x 上无零点，综上，()f x 有两个零点．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）由题知，随机变量X 服从二项分布，1~(,)2X B n ， 由(3)(97)P X P X ===，得100n =，()50E X =．……………………………………………………（3分）（2）①11221010,,","A X x X x X x ====，193228333724466641010101010()((1))((1))((1))((1))((1))P A C p p C p p C p p C p p C p p =-----， 13233242257510101010()()()()()(1)P A C C C C p p =-．……………………………………………………（5分）②记1323324210101010()ln()()()()25ln 75ln(1)g p C C C C p p =++-， 则257525100()1(1)p g p p p p p -'=-=--， 当104p <<时，()0g p '>，()g p 单增； 当114p <<时，()0g p '<，()g p 单减． 当14p =时，()g p 取得最大值，即P 取得最大值．在团体A 提出的函数模型2ln(1)3p θθ=+-中， 记函数12()ln(1)3f x x x =+-，11212()133(1)x f x x x -'=-=++， 当102x <<时，1()0f x '>，1()f x 单增； 当112x <<时，1()0f x '<，1()f x 单减． 当12x =时，()f x 取得最大值311ln 234-<，则θ不可以估计． 在团体B 提出的函数模型1(1)2p e θ-=-中， 记函数21()(1)2x f x e -=-，2()f x 单调递增， 令21()4f x =，解得ln 2x =， 则ln 2θ=是θ的最大似然估计．…………………………………………………（12分）。
2021届重庆市第八中学高三上学期阶段性测试数学试题(解析版)
2021届重庆市第八中学高三上学期阶段性测试数学试题一、单选题1．与角2021︒终边相同的角是（ ） A ．221° B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒【答案】A【解析】根据终边相同的角相差360的整数倍，逐个判断即可. 【详解】2021360=5︒÷余221，故A 正确，B 、 C 、 D 中的角均不与角2021︒终边相同.故选：A . 【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，若21m ii++是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．2C ．﹣2D ．12-【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解． 【详解】 解：2(2)(1)221(1)(1)22m i m i i m mi i i i ++-+-==+++-是纯虚数， ∴202202m m +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，即2m =-．故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．3．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：10lg II η=（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度），则60dB 的声音强度1I 是50dB 的声音强度2I 的（ ）A ．76倍 B ．7610倍C ．10倍D ．7ln 6倍【答案】C【解析】由题设中的定义，将音量值代入010Ilg I η=，计算出声音强度1I 与声音强度2I 的值，再计算出即可求出倍数 【详解】解：由题意，令106010I lgI =，解得，61010I I =⨯，令25010I lg I =，解得，52010I I =⨯， 所以1210I I = 故选：C ． 【点睛】本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键，属于基础题.4．小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】B【解析】首先将小涛与小江、小玉捆绑在一起，其中小涛在小江与小玉之间，再与其他两个人全排列，按照分步乘法计算原理计算可得； 【详解】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A ⋅=故选：B 【点睛】本题考查捆绑法解决排列组合问题，属于基础题.5．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【解析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型. 6．函数())2ln1f x x kx =+的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】假设函数为奇函数和偶函数时，分别根据图象求得k 的值，即可得答案； 【详解】因为A 、B 选项中，图像关于原点对称， 所以()f x 为奇函数，()()0f x f x +-=， 即))22ln1ln10,x kx x kx +++=()()22222ln 1ln1,10x k x k x+-=-=，所以1k =±．当()1,k f x =的图像为选项A ；当()1,k f x =-的图像为选项B ．而C 、D 选项中，图像关于y 轴对称， 所以()f x 为偶函数，()()f x f x =-， 即))22ln1ln1,0x kx x kx kx +=+=，所以0k =．当()0,0k f x =≥，故()f x 的图像为选项D ，故()f x 的图像不可能为C ． 故选：C ． 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]2,3上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),81-∞- B ．()24,-+∞C ．()81,24--D ．()81,-+∞【答案】C【解析】求得()()32330m x mf x x x x x+'=+=>，然后分0m ≥,0m <两种情况讨论，得到()f x 的单调性，然后可建立不等式求解. 【详解】由()3ln f x x m x =+可得()()32330m x mf x x x x x+'=+=>，当0m ≥时，()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，不满足题意；当0m <时，由()0f x '>得x >，由()0f x '<得0x <<所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 要使得函数()3ln f x x m x =+在区间[]2,3上不是单调函数，则有23<<，解得：8124m -<<-. 故选：C【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想.8．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f ++=，()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，则()20201f +=（ ） A ．0 B ．2-C ．1-D ．1【答案】D【解析】由()1y f x =-的图象关于点()1,0对称有()f x 关于点(0,0)对称：()f x 是奇函数；函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f ++=，即(0)0f =且(2)0f =可证()f x 是周期函数，进而利用奇函数、周期性即可求()20201f +的值【详解】()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，知：()f x 关于点(0,0)对称即()f x 在x ∈R 上是奇函数，故有()()f x f x -=-且(0)0f = ∴由()()()422f x f x f ++=，有：(0)(4)2(2)(4)(0)2(2)f f f f f f +-=⎧⎨+=⎩可得(2)0f =∴(4)()((4)4)(4)()f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+= ∴()(8)f x f x =+，即()f x 是周期为8的函数 而(2020)(82524)(4)f f f =⨯+=，又(4)0f = ∴()202011f += 故选：D 【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性、周期性，利用奇偶性和周期性求函数值，注意()1y f x =-的图象关于点()1,0对称即是()f x 关于点(0,0)对称，奇函数()f x 在x ∈R 上都有意义即有(0)0f =等奇函数的性质应用9．已知log x a y =，log y b x =，y c x =，x d y =，其中x 、y 为正数且1x ≠，1y ≠，则（ ）A ．对任意的x 和y ，都有c d ≠B ．存在x 和y ，使得a b =C ．a ，b ，c ，d 中大于1的数有奇数个D ．存在x 和y ，使得a b c d <<< 【答案】B【解析】应用特殊值法：2x y ==有c d =、a b =且a ，b ，c ，d 中大于1的数有偶数个；2,3x y ==有b a c d <<<，3,2x y ==有a b d c <<<，由此即可判断选项正误 【详解】由x 、y 为正数且1x ≠，1y ≠，若令2x y ==，则1a b ==，4c d == ∴根据选项中描述，知：A 、C 错误，B 正确 当x y ≠时，分类讨论如下若x y <：2,3x y ==，有322839c d ==<==，而32log 21log 32b a =<<=<，即b a c d <<<若x y >：3,2x y ==，同理有a b d c <<<，故D 错误 故选：B 【点睛】本题考查了对数、指数比较大小，利用特殊值法排除错误选项即可二、多选题10．下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上增函数的有（ ） A ．||2x y -= B ．23y x =C ．21y x =-D ．3y x =【答案】BC【解析】根据偶函数的定义，f （﹣x ）＝f （x ）进行判断，再根据解析式判断单调性； 【详解】A 、令||()2x y f x -==，则f （﹣x ）＝||2x --＝||2x -＝f （x ），为偶函数，但在（0，+∞）上，2xy -=是减函数，故错误；B 、令23()y f x x ==，f （﹣x ）＝2233()x x =-，是偶函数，且在区间(0,)+∞上是增函数，故B 正确；C 、令2()1y f x x ==-，f （﹣x ）＝（﹣x ）2+1＝x 2+1＝f （x ），且在区间(0,)+∞上是增函数，故C 正确；D 、令3()y f x x ==，f （﹣x ）＝3()x -＝﹣x 3＝﹣f （x ），是奇函数，故D 错误； 故选BC ． 【点睛】此题主要考查函数的奇偶性，偶函数的性质，关键是对基本初等函数的性质要熟悉，是基础题；11．若()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则下列结论中正确的是（ ） A ．01a =B ．123452a a a a a ++++=C ．50123453a a a a a a -+-+-=D ．0123451a a a a a a【答案】ACD【解析】根据赋值法，分别令0x =，1x =，1x =-，可判断ABC ；根据二项展开式的通项公式，判断出对应项系数的正负，即可判断D 选项. 【详解】因为()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，令0x =，则5011a ==，故A 正确；令1x =代入()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，得0123451a a a a a a =+++++-，所以12345012a a a a a a ++++=--=-，故B 错； 令1x =-代入()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，得01253453a a a a a a =-+-+-，故C 正确；因为二项式()512x -的展开式的第1r +项为15(2)r r rr T C x +=-， 所以当r 为奇数时，5(2)r rC -为负数；即0i a <（其中i 为奇数），所以0123450123451a a a a a a a a a a a a -+-+-=+++++=-；故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属于常考题型.12．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是（ ）A ．若13t <<，则C 为椭圆B ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t << C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 是双曲线，则其离心率有1e <<【答案】CD【解析】根据选项逐个分析可得答案，选项A 中2t =时，曲线C 为圆；选项B 可得23t <<；选项C 可得3t >或1t <；选项D 可得1e <<【详解】对于选项A ，当2t =时，曲线C 化为221x y +=，此时C 为圆，故A 不正确； 对于选项B ，若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则130t t ->->，解得23t <<，故B 不正确；对于选项C ，若C 为双曲线，则()()310t t --<，解得3t >或1t <，故C 正确；对于选项D ，若C 是双曲线，则3t >或1t <，当3t >时， ()224221,211t e t t -==-∈--，此时离心率1e <<当1t <时， ()242221,233t e t t -==+∈--，此时离心率1e <<故D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的识别，明确各类曲线方程的特点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题13．已知()π,2πα∈，3tan 4α=-，则cos α=______． 【答案】45. 【解析】根据同角三角函数的关系，直接计算即可. 【详解】由()π,2πα∈，且3tan 4α=-， 可知α在第四象限，可取在终边上一点为(4,3)-， 由任意角三角函数公式4cos 5x r α==， 故答案为：45. 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系以及计算，在计算正余弦和正切函数互化时，可以利用任意角三角函数终边上的点进行计算，属于简单题.14．已知一个扇形的周长为8cm ，则当该扇形的半径r =__________cm 时，面积最大. 【答案】2【解析】首先设出扇形的半径和弧长，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则28rl ，扇形的面积为()2118222rl r r r =-=-24(2)4r r +=--+， 所以当2r时，面积最大为4.故答案为2 【点睛】该题考查的是有关扇形的面积的最值的问题，涉及到的知识点有扇形的周长，扇形的面积，二次函数的最值，属于简单题目.15．已知点P 是抛物线24y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点A的坐标为()1,0-，当PFPA取最小值时，直线AP 的方程为______．【答案】10x y -+=【解析】由()1,0A -在准线上，过抛物线上点P 作PD 垂直与准线，得到cos PDPAF PA=∠，得出 PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设出切线方程为(1)y k x =+，结合判别式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，()1,0A -在准线上，过抛物线上的点P 作PD 垂直与准线交于D 点， 由抛物线的定义，可得PF PD =，在PAD △中，cos cos PDDPA PAF PA=∠=∠， 所以PDPA最小时，则cos PAF ∠最小，此时PAF ∠最大， 而PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切， 设过()1,0A -与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =+，联立方程组2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，整理得2440y y k -+=，则24()440k∆=--⨯=，解得1k =±， 又由点P 在第一象限，所以1k =，所以直线AP 的方程为1y x =+，即10x y -+=.故答案为：10x y-+=.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．函数()f x对于任意x∈R，均满足()()2f x f x=-，()3,0132,0x xf xx x⎧≤≤=⎨+<⎩，若存在实数a，b，c，()d a b c d<<<满足()()()()f a f b f c f d===，则()()2b ac d--+的取值范围是______．【答案】8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先得到函数的对称性，从而求出函数解析式、画出函数图象，根据对称性可得b a d c-=-，令t b a d c=-=-，则24,33t⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：由函数()f x对于任意x∈R，均满足()(2)f x f x=-，可知()f x的对称轴方程为1x=．因为()3,0132,0x xf xx x⎧≤≤=⎨+<⎩，所以()()33,0132,02,1283,2x xx xf xx xx x⎧≤≤⎪+<⎪=⎨-≤≤⎪⎪->⎩函数图象如图所示：因为存在实数a ，b ，c ，()d a b c d <<<, 满足()()()()01f a f b f c f d ≤===<,332(01)a b b +=≤<,所以b a d c -=-，令t b a d c =-=-， 则3212,10,[0,1)33t b a b b t b b =-=-++'=-+≥∈恒成立， 所以24,33t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 所以()()()()282211,19b a c d t t t ⎡⎤--+=-+=--+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查函数方程的综合应用，函数的对称性的应用，属于中档题.四、解答题17．已知tan 3α=，求值： （1）cos sin cos sin αααα-+（2）23π2sin 3sin sin 2ααα⎛⎫+-⎪⎝⎭． 【答案】（1）12-；（2）910【解析】（1）分子、分母同除cos α，将弦化切，再代入计算可得；（2）由诱导公式及22sin cos 1αα+=，将弦化切，再代入计算可得； 【详解】解：（1）因为tan 3α= 所以cos sin 1tan 131cos sin 1tan 132αααααα---===-+++（2）23π2sin 3sin sin 2ααα⎛⎫+-⎪⎝⎭22sin 3sin cos ααα=-2222sin 3sin cos sin cos ααααα-=+ 222tan 3tan 1tan ααα-=+ 22233391103⨯-⨯==+ 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 18．已知函数()xf x e ax =-，a R ∈，e 是自然对数的底数．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的单调区间： （2）记函数()f x 在区间0,1上的最小值为()h a ，求()h a ．【答案】（1）函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）()()[)(]ln ,1,,,1,,1a a a a e h a e a a e a ⎧-∈⎪=-∈+∞⎨⎪∈-∞⎩【解析】（1）先求出导函数()'f x ，再利用()20f '=即可求出a 的值，从而求出()f x 的单调区间．（2）求出导函数()'f x ，通过讨论a 的范围，求出函数()f x 的单调区间，从而求出函数()f x 的最小值即可． 【详解】解：（1）函数()xf x e ax =-，x ∈R ，()x f x e a '∴=-，函数()f x 在1x =处取得极值，()10f '∴=，a e ∴=，()x f x e e '∴=-，当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，综上可得，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）()xf x e a '=-，①当0a 时，()0f x '>恒成立，即函数()f x 在[0，1]上单调递增，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()(0)1f h a ==，②当0a >时，令()0f x '=得到ln x a =，若ln 0a ，即01a <时，在[0，1]上，()0f x '>，函数()f x 在[0，1]上单调递增，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()(0)1f h a ==，若ln 1a ，即a e 时，在[0，1]上，()0f x '<，函数()f x 在[0，1]上单调递减，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()()1e a h a f ==-，若0ln 1a <<，即1a e <<时，在[0，ln )a 上，()0f x '<，在(ln a ，1]上，()0f x '>，即函数()f x 在[0，ln )a 上单调递减，在(ln a ，1]上单调递增，∴函数()f x 在[0，1]上的最小值为()()ln ln h a f a a a a ==-，综上所述，()()[)(]ln ,1,,,1,,1a a a a e h a e a a e a ⎧-∈⎪=-∈+∞⎨⎪∈-∞⎩【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且BAD ∠=60°，1114CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.（1）求证：1AA BD ⊥；（2）求直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6735. 【解析】（1）由1C C ⊥底面ABCD ，得1C C BD ⊥，再由底面ABCD 是菱形，得BD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面1AC C ，进一步得到1BD AA ⊥；（2）设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11AC OC =，得到1A O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面11EA C 的一个法向量与1AA 的坐标，再由两向量所成角的余弦值求解直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值． 【详解】（1）因为1CC ⊥底面ABCD ，所以1CC BD ⊥ 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥ 又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1AC C又由四棱台1111ABCD A B C D -知，1A ，A ，1C ，C 四点共面 所以1BD AA ⊥（2）如图，设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11AC OC =， 11//AO CC ∴，且11AO CC =， 又由已知1CC ⊥底面ABCD ，得1A O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11=AC OC ，所以11=AO CC 则()23,0,0A =，()10,0,4A =，()123,0,4C =-，()0,2,0B =， 由1112A B AB =，得()13,1,4B - 因为E 是棱1BB 中点，所以33,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以133,222EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1123,0,0AC=-，()123,0,4AA =- 设(),,n x y z =为平面11EA C 的法向量则111230332022n AC x n EA x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3z =，得()0,4,3n = 设直线1AA 与平面11A EC 所成线面角为θ，则1167sin AA n AA nθ⋅==⋅所以直线1AA 与平面11A EC 67【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查利用空间向量求解空间角，是中档题．20．某市2017年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2018年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2018年2月后该市新建住宅销售均价的数据：（1）研究发现，3月至7月的各月均价y （百元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求y （百元价格/平方米）关于月份x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）用ˆi y表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值ˆi y与实际相应月份销售均价i y 差的绝对值记为i ξ，即ˆi i i yy ξ=-，1,2,3,4,5i =．现从5个数据1ξ，2ξ，3ξ，4ξ，5ξ中任取2个，记取到的2个数据和为η，求η的分布列和数学期望E η．注意几点：①可供选择的数据511984iii yx ==∑，521135i i x ==∑；②参考公式：回归方程系数公式1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-； 【答案】（1）ˆ 1.688yx =-+（2）见解析 【解析】（1）由表格中的数据，求得5x =80y =，根据公式求得ˆ 1.6b=-，进而得到ˆ88a=，即可求得y 关于x 的回归方程． （2）利用（1）中的回归方程，求得12346ˆˆˆˆˆ83.2,81.6,8078.4,768,.yy y y y =====，得到随机变量i ξ的值，进而求得η的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8，求出相应的概率，列出分布列，利用公式，即可求解数学期望． 【详解】（1）由表格中的数据，可得3456755x ++++==8382807877805y ++++==，所以2198455801.613555ˆb-⨯⨯==--⨯，则80 1.588ˆ6a=+⨯=， 所以y 关于x 的回归方程ˆ 1.688yx =-+． （2）利用（1）中的回归方程ˆ 1.688yx =-+，可得1122334456ˆˆˆˆˆ3,83.2,4,81.6,5,806,78.4,7,76,.8x yx y x y x y x y ==========，所以123450.2,0.4,0,0.4,0.2ξξξξξ=====， 所以η的可能取值为0.2,0.4,0.6,0.8， 则2521(0.2)5P C η===，2533(0.4)10P C η===， 2542(0.6)5P C η===，2511(0.8)10P C η===， 所以随机变量η的分布列为：期望1321120.20.40.60.851051025E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，准确计算相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．21．在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积等于14-.设点P 的轨迹为C . （1）求轨迹C 的方程；（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点()1,0且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线AM ，BN 的交点Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【答案】（1）()22104x y y +=≠；（2）正确，证明见解析，直线4x =. 【解析】（1）设点P 的坐标为(),x y ，利用直接法，列方程即可求解.（2）根据题意，可设直线MN 的方程为：1x my =+，将直线与椭圆方程联立，整理可得()224230m y my ++-=，利用韦达定理可得12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线AM 的方程与直线BN 的方程，直线AM ，BN 的交点()00,Q x y 的坐标满足：()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--，整理可得04x =，即证.【详解】（1）设点P 的坐标为(),x y ，由1224y y x x ⋅=-+-，得2244y x =-，即()22104x y y +=≠. 故轨迹C 的方程为：()22104x y y +=≠（2）根据题意，可设直线MN 的方程为：1x my =+，由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()224230m y my ++-= 其中，()222412416480m m m ∆=++=+>. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+. 因直线l 的倾斜角不为0，故1x ，2x 不等于2±（1y ，2y 不为0）， 从而可设直线AM 的方程为()1122y y x x =++①， 直线BN 的方程为()2222y y x x =--②， 所以，直线AM ，BN 的交点()00,Q x y 的坐标满足：()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--而()()()()2121122121212123321y x y my my y y y x y my my y y +++==---()()2122121123239344433344m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+， 因此，04x =，即点Q 在直线4x =上. 所以，探究发现的结论是正确的. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法，属于中档题.22．已知()()2121ln 1f x x x k x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，其中k ∈R ，()()1f xg x x =-． （1）当1k =时，求()g x 的单调区间，并证明：()0f x ≥；（2）若对任意的0x >且1x ≠时，()0f x <恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) 增区间为()0,1和()1,+∞，无减区间，证明见解析；(2) (],1-∞-. 【解析】(1)代入1k =，求出()12ln g x x x x=+-，通过导数即可求出单调区间.由单调性求()g x 的取值范围，分()0,1x ∈，1x =，()1,x ∈+∞三种情况求()f x 的取值范围，即可证明.(2) 令()212ln x h x x k x-=+⋅，令()22x kx x k ϕ=++，通过讨论1k ≤-，0k ≥，10k -<<三种情况，结合二次函数的性质，求出函数的单调性，从而判断不等式是否能恒成立. 【详解】(1)当1k =时，()()2112ln x f x x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+，则()()12ln ,01f x g x x x x x x=+-=>-且1x ≠，则()22110g x x x '=++>，所以()g x 在()0,1和()1,+∞上单调递增，即增区间为()0,1和()1,+∞. 当1x =时，2ln1110+-=，当()0,1x ∈时，()0g x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x >，第 1 页 共 6 页 由()()()1f x x g x =-，则当()0,1x ∈时，()0f x >，当()1,x ∈+∞时，()0f x >， 当1x =时，()0f x =，综上所述，()0f x ≥.(2) ()()2112ln x f x x x k x ⎛⎫-=-+⋅ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x k x -=+⋅， 可知()10h =，()222,0kx x k h x x x++'=>，令()22x kx x k ϕ=++， 当1k ≤-时，由二次函数的性质可得()0h x '≤，()h x 单调递减，又()10h =， 所以当()0,1x ∈时，()0h x >，当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可知此时()0f x <成立；当0k ≥时，由二次函数的性质可得()0h x '>，则()h x 单调递增，又()10h =， 所以当()0,1x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >，可知此时()0f x ≤不恒成立；当10k -<<时，由()10,ϕ>()22x kx x k ϕ=++对称轴11x a=->， 那么()x ϕ在区间11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上大于0，即()0h x '>在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立， 所以()h x 在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，此时()()10h x h >=，则()0f x >不符合题意. 综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞-.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了运用导数解决恒成立问题.本题第一问的关键是对()g x 进行化简整理.。
2021-2022学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级(上)第一次月考数学试卷
2021-2022学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题4分，共40分） 1．3的相反数是（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D ．−132．下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下面调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A ．对全国中学生视力状况的调查B ．了解重庆市八年级学生身高情况C ．调查人们垃圾分类的意识D ．对“天舟三号”货运飞船零部件的调查 4．已知：n =√15，则估算n 的取值范围是（ ） A ．3＜n ＜4B ．4＜n ＜5C ．5＜n ＜6D ．6＜n ＜75．下列计算正确的是（ ） A ．（x 2）3＝x 5B ．x 6+x 6＝x 12C ．x 2•x 3＝x 5D ．（2x ）2＝2x 26．下列尺规作图，能确定AD ＝BD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若a ＞b ，则下列式子一定成立的是（ ） A ．﹣2a ＜﹣2bB ．a ﹣2＜b ﹣2C ．ac ＞bcD ．2a ＞﹣2b8．如图，将长方形纸片ABCD ，沿折痕MN 折叠，A 、B 分别落在对应位置A 1、B 1处，A 1B 1交AD 于点E ，若∠BNM ＝70°，则∠A 1ME 为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°9．关于x 的方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x 的解为非负数，且关于x 的不等式组{x −2(x −1)≥32k+x3≤x无解，则符合条件的整数k 的值的和为（ ） A ．5B ．2C ．4D ．610．如图，∠AOB ＝45°，点E 、F 分别在射线OA 、OB 上，EF ＝8，S △OEF ＝24，点P 是直线EF 上的一个动点，点P 关于OA 的对称的点为P 1，点P 关于OB 的对称点为P 2，当点P 在直线EF 上运动时，S△OP 1P 2的最小值为（）A ．8B ．16C ．18D ．36二、填空题（每题4分，共40分11．据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为．12．计算：（﹣1）2021+|1−√2|＝．13．点A（﹣1，2）关于x轴对称点的坐标是．14．为了了解我校初二学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图，那么仰卧起坐次数在25～30次的人数占抽查总人数的百分比是．15．若a x＝3，a y＝5，则a x+2y＝．16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，若BG＝8，CE＝10，且△AEG的周长为16，求EG＝．17．如图，D为△ABC中BC边上一点，AB＝CB，AC＝AD，∠BAD＝36°，则∠C的度数是．18．已知（x2+mx+n）与（x﹣2）的乘积中，不含x的一次项和x的二次项，则m﹣n的值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的角平分线CF交AB于点F，∠BAC的角平分线AE分别交CF和BC于点D、E，连接EF，过点D作AE的垂线分别交AB和CB的延长线于点P、H，连接EP，则下列结论①∠ADF＝45°；②AE＝DH+DP；③EP 平分∠BEF；④S四边形ACEF＝2S△ACD，其中正确的序号是．20．某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负贵项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：项目时间分钟组别①调整桌椅（A同学）②扫地（B同学）③拖地（C同学）第一组543第二组654第三组432若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要分钟．三、解答题21．计算下列各式：（1）2a3•a5﹣（a2）4；（2）（2x）3•（﹣5xy2）÷（﹣2x2y）；（3）（x+2y）（2x﹣3y）；（4）（x﹣3）（x+7）﹣（x﹣2）（x+2）．22．化简求值：b（2a+b）+（2a﹣b）（a+b）﹣4a2b÷b，其中a、b满足：（a﹣1）2+|b+2|＝0．23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；（3）若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）当AD＝CF时，求∠ABD的度数．25．沁园蛋糕店在今年中秋节推出A、B两款月饼，其中A的售价是350元/盒，B的售价是450元/盒，营业员在定期盘点时发现第一周A、B两种月饼共卖出100盒；其总销售额为41000元．（1）求第一周A、B各卖出了多少盒；（2）中秋临近，为提高营业员推销积极性，在售价不变的情况下，蛋糕店制定出以下奖励办法：每卖出一盒A月饼按售价的a%给予营业员奖励，每卖出一盒B月饼按售价的0.5%给予营业员奖励，在奖励办法的激励下，第二周A月饼的销量比第一周提高了50%，B月饼的销量比第一周减少了20a%，若想保证营业员获得的奖励不少于501元，求a的最小值．26．阅读材料，完成下列问题：材料一：任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记P（x）=−321 =x−y9，例如：x＝1234，则y＝4123，则p（1234）=1234−41239材料二：如果一个正整数a是另一个整数b的平方，则称a是完全平方数，特别地零也是完全平方数．（1）计算：p（5324）＝；（2）若x的前三位所表示的数与最后一位数之差能被11整除，求证：p（x）能被11整除；（3）若s＝1100+20a+b，t=ba23（1≤a≤4，1≤b≤9，a、b均为整数），且p（t）﹣p （s）﹣a﹣b是完全平方数，求满足条件的p（t）的最小值．27．如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别为AB、AC上的点．（1）如图1，若BE＝AF，连接CE、BF交于点P，连接AP，且AP⊥CE，求证：2BP ＝CP；（2）如图2，连接BF，点P是BF上一点，∠APB＝120°，连接AP、CP，E为AB中点，连接EP，探究线段EP和CP的数量关系，并证明你的结论．。
2021届重庆市第八中学高三年级高考适应性月考卷(一)英语
重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷（一）英语本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在本试卷上，否则无效。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.How did the woman go to work today?A. By subway.B. By bike.C. By bus.2.What’s the time now in Tokyo?A. 5 p.m.B. 2 p. m.C. 10 p.m.3.Where does the conversation probably take place?A. At the man’s house.B. At the woman’s house.C. In a local restaurant.4.Why is the woman having trouble hearing her music?A. Her earphones are broken.B. She has a hearing problem.C. Her iPod isn’t on.5.What did the speakers do last weekend?A. They studied at home.B. They played ping-pong.C. They went camping.第二节（共15小题；每题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷(二)数学-答案
6
5
2
6．因为 an (1)n1(4n 1) ， 则 a11 a12 … a21 (a11 a12 ) … (a19 a20 ) a21 4 5 85 65 ，故选 B．
7．在 △ABC 中，由 cos C 2 2 ，得 sin C 1 ．又由 3c sin C a sin A 3bsin B ，得 3c2 a2
4．由第 64 天和第 67 天检测过程平均耗时均为 8 小时知， 16 N0 ，所以
t0 16 ，得 16
t0 64 ．又由
64 N0
8 知， N0
64 ，所以当 n 49 时， t(49)
64 64 9 ，故选 C． 49 7
5．由题 P( X 3) 1 ， P(Y 3) 1 ， E( X ) 7 ， E(Y ) 3 ，故选 C．
1a01 a1
3d 4， 解得 45d 55，
ad1
1， 1，
所以
an
n，1 an
1 n
，
则 Tn
1
1 2
1 3
…
1 n
．令
An
T2n
Tn
1 n 1
n
1
2
…
1 2n
，所以
An1
n
1
2
1 n3
…
1 2n
2
，故
An1
An
1 2n 1
1 2n
2
1 n 1
(2n
1 1)(2n
2)
0
A1C1 与 BC1 是平面 A1BC1 内两相交直线，
故 B1C 平面A1BC1 ，从而 B1C A1B ．
………………………………………（5 分）