中考圆专题复习经典全套
中考数学专题复习13圆(解析版)
圆复习考点攻略考点一圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦.过圆心的弦叫做直径.直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.小于半圆的弧叫做劣弧.大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上.并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．【注意】（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴.故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆.经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆.即该三角形的外接圆．【例1】把地球看成一个表面光滑的球体.假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝.然后把钢丝加长.使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm.那么钢丝大约需要加长（）A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm【答案】A【解析】设地球半径为：rcm.则地球的周长为：2πrcm.假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝.然后把钢丝加长.使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm.故此时钢丝围成的圆形的周长变为：2π（r+16）cm.∴钢丝大约需要加长：2π（r+16）﹣2πr≈100（cm）=102（cm）．故选A．考点二垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合.解题时往往需要添加辅助线.一般过圆心作弦的垂线.构造直角三角形．2．推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心.并且平分弦所对的两条弧．【例2】在O 中.直径AB ＝15.弦DE⊥AB 于点C ．若OC ：OB ＝3 ：5.则DE 的长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】C【解析】解：如图所示：∵直径AB ＝15.∴BO ＝7.5.∵OC ：OB ＝3：5.∴CO ＝4.5. ∵DE ⊥AB .∴DC=＝6.∴DE ＝2DC ＝12．故选：C ．考点三 圆心角、弧、弦的关系1．定理：在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论：在同圆或等圆中.如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等.那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【例3】如图.在⊙O 中∠O =50°.则∠A 的度数为A ．50°B ．20°C ．30°D ．25°【答案】D【解析】∠A =BOC =×50°=25°． 故选D ．考点四 圆周角定理及其推论12∠121．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论：（1）在同圆或等圆中.同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．【注意】圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时.通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径.得到直角三角形.通过两锐角互余进行转化等．【例4】如图.已知BC是⊙O的直径.半径OA⊥BC.点D在劣弧AC上（不与点A.点C 重合）.BD与OA交于点E．设⊥AED＝α.⊥AOD＝β.则（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°【答案】D【解析】解：∵OA⊥BC.∴∠AOB＝∠AOC＝90°.∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α.∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α.∵∠AOD+∠COD＝90°.∴β+180°﹣2α＝90°.∴2α﹣β＝90°.故选：D．考点五与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．【注意】判断点与圆之间的位置关系.将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系0个1个2个类讨论多解的情况．【例5】如图.⊙O的半径OC=5cm.直线l⊥OC.垂足为H.且l交⊙O于A、B两点.AB=8cm.则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．【答案】2【解析】连接OA．∵直线和圆相切时.OH=5.又∵在直角三角形OHA中.HA=AB÷2=4.OA=5.∴OH=3．∴需要平移5–3=2（cm）．故答案为：2．考点六切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．【注意】利用切线的性质解决问题时.通常连过切点的半径.利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3. 切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时.连半径.证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时.作垂直.证垂线段等于半径．【例6】如图1.在四边形ABCD 中.AD//BC .∠DAB =90°.AB 是⊙O 的直径.CO 平分∠BCD ．(1)求证：直线CD 与⊙O 相切；(2)如图2.记(1)中的切点为E .P 为优弧AE⏜上一点.AD =1.BC =2.求tan∠APE 的值．【答案】（1）见解析；（2）√22【解析】(1)证明：作OE ⊥CD 于E .如图1所示： 则∠OEC =90°.∵AD//BC .∠DAB =90°. ∴∠OBC =180°−∠DAB =90°. ∴∠OEC =∠OBC . ∵CO 平分∠BCD . ∴∠OCE =∠OCB .在△OCE 和△OCB 中.{∠OEC =∠OBC∠OCE =∠OCB OC =OC .∴△OCE≌△OCB(AAS). ∴OE =OB . 又∵OE ⊥CD . ∴直线CD 与⊙O 相切；(2)解：作DF ⊥BC 于F .连接BE .如图所示： 则四边形ABFD 是矩形. ∴AB =DF .BF =AD =1. ∴CF =BC −BF =2−1=1. ∵AD//BC .∠DAB =90°.∴AD⊥AB.BC⊥AB.∴AD、BC是⊙O的切线.由(1)得：CD是⊙O的切线.∴ED=AD=1.EC=BC=2.∴CD=ED+EC=3.∴DF=√CD2−CF2=√32−12=2√2. ∴AB=DF=2√2.∴OB=√2.∵CO平分∠BCD.∴CO⊥BE.∴∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°. ∴∠ABE=∠BCH.∵∠APE=∠ABE.∴∠APE=∠BCH.∴tan∠APE=tan∠BCH=OBBC =√22．考点七与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形.扇形的半径等于圆锥的母线.扇形的弧长等于圆锥的底面周长．（2）若圆锥的底面半径为r.母线长为l.则这个扇形的半径为l.扇形的弧长为2πr.圆锥的侧面积为S圆锥侧=12ππ2l r rl⋅=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时.注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形.再利用规则图形的公式求解．【例7】如图.正方形ABCD的边长为4.以点A为圆心.AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分.点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图.则该圆锥的底面圆的半径是（）A B ．1 C ．2D ．12【答案】D【解析】∵正方形ABCD 的边长为4∴4AD AE == ∵AC 是正方形ABCD 的对角线∴45EAD ∠=︒∴454=180DE l ππ︒⨯⨯=︒∴圆锥底面周长为2C r ππ==.解得12r =∴该圆锥的底面圆的半径是12.故选：D ．考点八 三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念（1）经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做圆的内接三角形．（2）外心是三角形三条垂直平分线的交点.它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆（1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形．（2）内心是三角形三条角平分线的交点.它到三角形的三条边的距离相等． 【例8】如图.Rt △ABC 中.∠C ＝90°.AB ＝5.AC ＝3.点E 在中线AD 上.以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切.则⊙E 的半径为A ．78 B ．67C ．56D ．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H.EF⊥BC于F.EG⊥AB于G.连接EB.EC.设⊙E的半径为r.如图.∵∠C=90°.AB=5.AC=3.∴BC.而AD为中线.∴DC=2.∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切.∴EG=EF=r.∴HC=r.AH=3–r.∵EH∥BC.∴△AEH∽△ADC.∴EH∶CD=AH∶AC.即EH∵S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC.B．考点九正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【例9】如图.圆内接正六边形的边长为4.以其各边为直径作半圆.则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．4πC．8πD．4π【答案】A【解析】解：正六边形的面积为：1462⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=.中间大圆的面积为：2416ππ⋅=.所以阴影部分的面积为：12164πππ+-=.故选：A ．第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）1. 如图.已知⊙O 的周长等于8π cm .则圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OM 的长为（ ）A ．2 cmB ．cmC ．4 cmD ．cm【答案】B【解析】如图.连接OC .OD .∵正六边形ABCDEF 是圆的内接多边形.∴∠COD =60°.∵OC =OD .OM ⊥CD .∴∠COM =30°.∵⊙O 的周长等于8π cm .∴OC =4 cm .∴OM =4cos30°（cm ）.故选B ．2.如图.AB 是⊙O 的直径.△ACD 内接于⊙O .延长AB .CD 相交于点E .若∠CAD =35°.∠CDA =40°.则∠E 的度数是（ ）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图.连接BD.∵AB是⊙O的直径.∴∠ADB=90°.由三角形内角和定理得.∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°.∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°.∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°.∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°.故选B．3.如图.在O中.AB为直径.80∠=.点D为弦AC的中点.点E为BC上任意一AOC︒点.则CED∠的大小可能是（）A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒【答案】C【解析】连接OD、OE.先求出∠COD=40°.∠BOC=100°.设∠BOE=x.则∠COE=100°-x.∠DOE=100°-x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE.最后根据线段的和差即可解答．4.如图.⊙O以AB为直径.PB切⊙O于B.近接AP.交⊙O于C.若∠PBC=50°.∠ABC=（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径.PB切⊙O于B.∴∠PBA=90°.∵∠PBC=50°.∴∠ABC=40°．故选B．5.如图.AB是⊙O的直径.C是⊙O上一点（A、B除外）.∠AOD=136°.则∠C的度数是（）A．44°B．22°C．46°D．36°【答案】B【解析】∵∠AOD=136°.∴∠BOD=44°.∴∠C=22°.故选B．6.如图.半径为5的⊙A中.弦BC.ED所对的圆心角分别是∠BAC.∠EAD.已知DE=6.∠BAC＋∠EAD=180°.则弦BC的长等于（）A B C．8 D．67. 如图.AB是圆锥的母线.BC为底面半径.已知BC=6 cm.圆锥的侧面积为15π cm2.则sin∠ABC的值为（）A ．34B ．35C ．45D ．53【答案】C【解析】设圆锥的母线长为R .由题意得15π=π×3×R .解得R =5. ∴圆锥的高为4.∴sin ∠ABC =45．故选C ． 8. 如图.从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为A ．22m πB 2mC ．2m πD ．22m π【答案】A【解析】连接AC ．∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形.即∠ABC =90°.∴AC 为直径.即AC =2m .AB =BC ．∵AB2+BC 2=22.∴AB =BC m .∴阴影部分的面积是290360π⨯=12π（m 2）．故选A ．9. 如图所示.矩形纸片ABCD 中.AD ＝6cm .把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后.分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆.恰好能作为一个圆锥的侧面和底面.则AB 的长为（ ）A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【答案】B【解析】本题考查了圆锥的计算.矩形的性质.正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键.理解圆锥的母线长是扇形的半径.圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设AB＝xcm.则DE＝（6﹣x）cm.根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程.求解即可．根据题意.得＝π（6﹣x）.解得x＝4．10.如图.AB为⊙O的直径.BC、CD是⊙O的切线.切点分别为点B、D.点E为线段OB 上的一个动点.连接OD.CE.DE.已知AB=2√5.BC=2.当CE+DE的值最小时.则CEDE 的值为()A. 910B. 23C. √53D. 2√55【答案】A【解析】解：延长CB到F使得BC=CF.则C与F关于OB对称.连接DF与OB相交于点E.此时CE+DE=DF值最小.连接OC.BD.两线相交于点G.过D作DH⊥OB于H.则OC ⊥BD .OC =√OB 2+BC 2=√5+4=3. ∵CB ⊥OB .∠COB =∠BOG ΔCOB ∽ΔBOG ∴OB OC=BG BC∴OB ⋅BC =OC ⋅BG .∴BG =23√5.∴BD =2BG =43√5.∵OD 2−OH 2=DH 2=BD 2−BH 2.∴5−(√5−BH)2=(43√5)2−BH 2. ∴BH =89√5. ∴DH =√BD 2−BH 2=209. ∵DH//BF . ∴EF ED =BF DH =2209=910. ∴CE DE=910. 故选：A ．第二部分 填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.如图.A 、B 、C 、D 都在⊙O 上.∠B =130°.则∠AOC 的度数是__________．【答案】100°【解析】∵∠B =130°.∴∠D =180°－130°=50°.∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 12. 如图.半圆O 的直径是AB .弦AC 与弦BD 交于点E .且OD ⊥AC .若∠DEF =60°.则tan ∠ABD =__________．【解析】∵OD ⊥AC .∠DEF =60°.∴∠D =30°. ∵OD =OB . ∴∠ABD =∠D =30°. ∴tan ∠ABD =.．13. 如图.正六边形ABCDEF 的边长为1.以点A 为圆心.AB 的长为半径.作扇形ABF .则图中阴影部分的面积为__________（结果保留根号和π）．-π3 【解析】正六边形的中心为点O .如图.连接OD 、OE .作OH ⊥DE 于H .∴∠DOE =3606︒=60°.∴OD =OE =DE =1.∴OH . ∴正六边形ABCDEF 的面积=12×1×2×6=2.∠A =(62)1806-⨯︒=120°. ∴扇形ABF 的面积=2120π13π603⨯=.∴图中阴影部分的面积-π3.故答案为：-π3． 14. 如图.AB 为半圆的直径.且6AB =.将半圆绕点A 顺时针旋转60︒.点B 旋转到点C 的位置.则图中阴影部分的面积为__________．3【答案】6π 【解析】由图可得.图中阴影部分的面积为：22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=.故答案为：6π．15.如图.在平面直角坐标系中.已知C(3,4).以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上.且OA =OB.点P 为⊙C 上的动点.∠APB =90°.则AB 长度的最大值为______．【答案】16【解析】解：连接OC 并延长.交⊙C 上一点P .以O 为圆心.以OP 为半径作⊙O .交x 轴于A 、B .此时AB 的长度最大. ∵C(3,4).∴OC =√32+42=5.∵以点C 为圆心的圆与y 轴相切． ∴⊙C 的半径为3. ∴OP =OA =OB =8. ∵∠APB =90°. ∴AB 是直径.∴AB 长度的最大值为16. 故答案为16．16.如图.在⊙O 的内接四边形ABCD 中.AB =3.AD =5.∠BAD =60∘.点C 为BD⏜的中点.则AC 的长是 ．【答案】8√33【解析】解：如图.过点C 分别作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E .CF ⊥AD 于点F .则∠E =∠CFD =∠CFA =90∘.∵点C 为BD⏜的中点.∴BC ⏜=CD ⏜.则∠BAC =∠DAC . ∵∠BAC =∠DAC .∠E =∠AFC =90∘.AC =AC . ∴△AEC≌△AFC .∴CE =CF ．∵A .B .C .D 四点共圆. ∴∠D =∠CBE ． 在△CBE 和△CDF 中.∵{∠CBE =∠D,∠E =∠CFD,CE =CF,∴△CBE≌△CDF .∴BE =DF ． 在△AEC 和△AFC 中.∵{∠E =∠AFC,∠EAC =∠FAC,AC =AC,∴△AEC≌△AFC .∴AE =AF .设BE =DF =x .∵AB =3.∴AE =AF =x +3.又AD =5. ∴5=x +3+x .解得x =1.则AE =4． ∵∠BAD =60∘.∴∠EAC =30∘. ∴AC =2CE .又AC 2=CE 2+AE 2.∴AC=8√33．第三部分解答题三、解答题（本题有7小题.共56分）17. 如图.正方形ABCD的外接圆为⊙O.点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8.求正方形ABCD的边长．【答案】（1）45°；（2）8√2【解析】（1）连接OB.OC.∵四边形ABCD为正方形.∴∠BOC=90°.∴∠P=12∠BOC=45°；（2）过点O作OE⊥BC于点E.∵OB=OC.∠BOC=90°.∴∠OBE=45°.∴OE=BE.∵OE2+BE2=OB2.∴BE==.∴BC=2BE=2×=．18.如图.四边形ABCD内接于⊙O.AB=AC.AC⊥BD.垂足为E.点F在BD的延长线上.且DF=DC.连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10.BC=求tan∠BAD的值．【答案】（1）见解析 ；（2）112【解析】（1）∵AB =AC .∴.∠ABC =∠ACB .∴∠ABC =∠ADB .∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC . ∵BD ⊥AC .∴∠ADB =90°-∠CAD . ∴∠BAC =∠CAD . ∴∠BAC =2∠CAD ． （2）∵DF =DC . ∴∠DFC =∠DCF . ∴∠BDC =2∠DFC . ∴∠BFC =∠BDC =∠BAC =∠FBC . ∴CB =CF . 又BD ⊥AC .∴AC 是线段BF 的中垂线.AB =AF =10.AC =10． 又BC =设AE =x .CE =10-x .由AB 2-AE 2=BC 2-CE 2.得100-x 2=80-（10-x ）2. 解得x =6.∴AE =6.BE =8.CE =4. ∴DE ==3. ∴BD =BE +DE =3+8=11. 如图.作DH ⊥AB .垂足为H .AB AC =121212648AE CE BE ⋅⨯=∵AB ·DH =BD ·AE . ∴DH =. ∴BH. ∴AH =AB -BH =10-. ∴tan ∠BAD =． 19. 如图.在△ABC 中.AB=AC .以AB 为直径的⊙O 分别与BC .AC 交于点D .E .过点D 作DF ⊥AC .垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线； （2）求证：BC 2=4CF ·AC ； （3）若⊙O 的半径为4.∠CDF =15°.求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）4√3 【解析】（1）如图所示.连接OD .∵AB =AC .∴∠ABC =∠C .而OB =OD .∴∠ODB =∠ABC =∠C .121211633105BD AE AB ⋅⨯==445=44655=331162DH AH ==∵DF ⊥AC .∴∠CDF +∠C =90°.∴∠CDF +∠ODB =90°.∴∠ODF =90°.∴直线DF 是⊙O 的切线．（2）连接AD .则AD ⊥BC .则AB =AC .则DB =DC =12BC . ∵∠CDF +∠C =90°.∠C +∠DAC =90°.∴∠CDF =∠DCA .而∠DFC =∠ADC =90°.∴△CFD ∽△CDA .∴CD 2=CF ·AC .即BC 2=4CF ·AC ． （3）连接OE .∵∠CDF =15°.∠C =75°.∴∠OAE =30°=∠OEA .∴∠AOE =120°.S △OAE =12AE ·OE ·sin ∠OEA =12×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA=S 阴影部分=S 扇形OAE -S △OAE =120360︒︒×π×42-16π3- 20.如图.AE 为O 的直径.D 是弧BC 的中点BC 与AD .OD 分别交于点E .F .（1）求证：DO AC ∥；（2）求证：2DE DA DC ⋅=;（3）若1tan 2CAD ∠=.求sin CDA ∠的值.【答案】见解析。
人教版九年级数学《圆》全册知识梳理和经典中考复习题(含答案)
人教版九年级数学《圆》全册知识梳理和经典中考复习题(含答案)
一、圆的定义
圆是一种特殊的平面图形，它是由一个点和一个半径组成的，半径是从圆心到圆周的距离。
二、圆的性质
1、圆的圆心到圆周的距离都是相等的，即半径r是相等的；
2、圆的圆周上任意两点之间的距离都是相等的；
3、圆的圆周上任意一点到圆心的距离都是相等的；
4、圆的圆周上任意一点到圆心的距离都是半径r；
5、圆的圆周上任意一点到圆心的角度都是相等的；
6、圆的圆周上任意一点到圆心的角度都是360°；
7、圆的圆周上任意一点到圆心的弧长都是相等的；
8、圆的圆周上任意一点到圆心的弧长都是2πr；
9、圆的面积是πr2；
10、圆的周长是2πr。
三、经典中考复习题
1、已知圆的圆心坐标为（2，3），半径为5，则该圆的方程是（）
A．（x-2）2+(y-3)2=25 B．（x-2）2+(y-3)2=5
C．（x-2）2+(y-3)2=125 D．（x-2）2+(y-3)2=1
答案：A
2、已知圆的圆心坐标为（2，3），半径为5，则该圆的面积是（）
A．25π B．5π
C．125π D．50π答案：C。
中考考点突破之圆的专题复习
中考考点突破之圆的专题复习考点精讲1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；2.探索并证明垂径定理；3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；考点解读考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧AD; ②弧B D=弧C B；③C E=D E; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ,∠A =1/2∠O .图a 图b 图c( 2 )推论：① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A =∠C .② 直径所对的圆周角是直角.如图c ,∠C =90°.圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A +∠C =180°，∠ABC +∠ADC =180°.考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d .(1)d <r ⇔点在⊙O 内；(2)d ＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d >r ⇔点在⊙O 外．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a )、中心(O )、中心角(∠AOB )、半径(R ))、边心距(r ),如图所示①. 222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R r 边心距n ︒=360中心角②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．考点6：与圆有关的计算①弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr②圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：2180n R l r ππ==, S 侧=12lR =πrl考点突破1．（2021秋•德城区校级期中）在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB 为⊙C 的直径，若点A 的坐标为（a ，b ），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣a ﹣1，﹣b ）B ．（﹣a +1，﹣b ）C ．（﹣a +2，﹣b ）D ．（﹣a ﹣2，﹣b ）2．（2021秋•普兰店区期末）如图，⊙O 的半径为5，C 是弦AB 的中点，OC ＝3，则AB 的长是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2021秋•禹州市期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（）A．100m B．130m C．150m D．180m4．（2020秋•永城市期末）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC 及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，＝，直径CD⊥AB于点N，P是上一点，则∠BPD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．15°6．（2022•泗洪县一模）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，∠D 的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC 于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．8．（2021秋•舞阳县期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上9．（2021秋•丛台区校级期中）下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在10．（2021秋•射阳县校级期末）下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆B．等弧所对的圆周角相等C．相等的弦所对的圆心角相等D．三角形的外心到三角形各边距离相等11．（2021秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是．12．（2021•五通桥区模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC ＝4，CD的长为．13．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．（2021秋•西峡县期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝CD，点E在AD的延长线上，∠CDE＝52°，则∠AOD＝．15．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝．16．（2021•内乡县二模）婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E，．求证：．17．（2021秋•长垣市期末）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD 于点E，AB＝3km，DF＝450m．（1）求圆的半径；（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．18．（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．19．（2021秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．20．（2021•信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．。
中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案
中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案一、选择题1．下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（）A．①④B．②③C．①③D．②④2．在同一平面内，已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O圆外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（）A．66°B．33°C．24°D．30°4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（）A．26°B．48°C．38°D．52°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60°B．50°C．80°D．100°7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO=35°，AO=2，则AC⌢的长度为（）A．29πB．59πC．πD．79π8．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点AC⌢=AE⌢，∠D=130°则∠B的度数为（）A．130°B．128°C．115°D．116°二、填空题9．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为3π，则该弧的度数为°.10．如图，在△ABC中，∠ACB= 130°，∠BAC=20°，BC=2．以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为.11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= √2，则BD的长为.12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC=85°，则∠B=．13．如图，在△ABC中∠ACB=90°，O为BC边上一点CO=2.以O为圆心，OC为半径作半圆与AB边交π，则阴影部分的面积为.于E，且OE⊥AB.若弧CE的长为43三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.15．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径.⌢上一点，AG与DC的延长线交于点F．16．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．17．如图，在△ABC中AB=AC，以底边BC为直径的⊙O交两腰于点D，E .（1）求证：BD=CE；⌢的长.（2）当△ABC是等边三角形，且BC=4时，求DE18．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝√3，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．A2．A3．B4．C5．C6．C7．D8．C9．9010．2√311．2√212．95°π13．4√3−4314．（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵OD∥BC∴∠AEO＝∠ACB＝90°⌢＝CD⌢∴AD∴AD＝CD；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8AC＝4∴AE＝12设⊙O的半径为r∵DE＝2∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2∴16+（r﹣2）2＝r2解得：r＝5∴AB＝2r＝10在Rt△ACB中，BC＝√AB2−AC2＝√102−82＝6∴BC的长为6.15．（1）证明：连接OC∵AC平分∠FAB∴∠FAC＝∠CAO∵AO＝CO∴∠ACO＝∠CAO∴∠FAC＝∠ACO∴AD∥OC∵CD⊥AF∴CD⊥OC∵OC为半径∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于EAF，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°∴AE＝EF＝12∴四边形OEDC为矩形∴CD＝OE＝3，DE＝OC设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r∴AE＝9﹣r∵OA2﹣AE2＝OE2∴r2﹣（9﹣r）2＝32解得r＝5.∴⊙O半径为5.16．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB∴DE=EC=4在Rt △OEC中，∵OC2=OE2+EC2∴R2=(R−2)2+42解得R=5．（2）解：连接AD∵弦CD⊥AB̂ = AĈ∴AD∴∠ADC=∠AGD∵四边形ADCG是圆内接四边形∴∠ADC=∠FGC∴∠FGC=∠AGD．17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C⌢=BE⌢∴CD⌢=CE⌢∴BD∴BD=CE；（2）解：连接OD、OE∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60°∴∠COD =120°∴∠COD +∠BOE =∠COE +∠DOE +∠BOD +∠DOE =240° ∴∠DOE =240°−180°=60°∵BC =4∴⊙O 的半径为 2∴DE ⌢ 的长 =60π×2180=2π3 .18．（1）解：AC 与⊙O 的相切，理由如下∵AO =DO∴∠D =∠OAD∵CF =CA∴∠CAF =∠CFA又∵∠CFA =∠OFD∴∠CAF =∠OFD∵OD ⊥BC∴∠OFD +∠ODF =90°∴∠CAF +∠OAF =90°∴OA ⊥AC∵OA 是半径∴AC 是⊙O 的切线∴ AC 与⊙O 的相切；（2）解：过A 作AM ⊥BC 于M ，如图设OA=OE=r∵FC=√3，CE=1在Rt△CAO中AO=r，AC=FC=√3，OC=OE+EC=r+1AO2+AC2=OC2∴r2+(√3)2=(r+1)2解得r=1∴OC=OE+EC=2∴AO=12 OC∴∠C=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=180−∠AOC=120°在Rt△CAM中AM=12AC=12FC=√32∴S△AOB=12⋅OB⋅AM=12×1×√32=√34∴S扇形AOB=120360π×1=π3∴S阴影部分=S△AOB−S扇形AOB=π3−√34．。
人教中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010EH AE ．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．3．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。
中考圆的复习资料(经典+全)
圆的知识点复习知识点1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题型1.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.2. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。
3. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。
CBDA4. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。
知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。
题型1. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对2.下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等3.线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（）A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____.5. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.6. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7. 如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD =弧BC , 求证：AB =CD 。
九年级中考总复习《圆》专题培训学校学生用
1九年级中考总复习《圆》专题一、经典中考填空题1. （2012 陕西中考）如图，在半径为 5 的圆 O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P ， 且 AB =CD =8，则 OP 的长为 。
2.（2012 甘肃兰州中考改编）已知两圆的直径分别是方程x 2 - 6 x + 8 = 0 的两根，两圆圆心距为 3cm ，则这两个圆的位置关系是 。
3.（2012 福建泉州中考）如图，O 是△ABC 内心，过点 O 作 EF//AB,与 AC,BC 分别交于点 E 、F ，则线段 EF 、AE 、BF 的数量关系为。
4.（2012 湖北黄石中考）如图所示，直线 CD 与以线段 AB 为直径的圆相切于点 D 并交 BA 的延长线于点 C ，且 AB=2，AD=1，P 点在切线 CD 上移动。
当∠APB 的度数最大时，则∠APB 的度数为 。
注意：P 与 D 重合时，E 、P 、D 重合，∠APB 最大，等于 90°，此时∠ABP=30°.5.（2012 安徽中考）如图，点 A 、B 、C 、D 在⊙O 上,O 点在∠D 的内部，四边形 OABC 为平 行四边形，则∠OAD+∠OCD= 。
填空第 1 题填空第 3 题填空第 4 题填空第 5 题6.（2012 浙江宁波中考）如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= 2 2 ,D 是线段BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB ，AC 于 E 、F,连结 EF,则线段 EF 长度的最小 值为 。
填空第 7 题填空第 6 题填空第 8 题7.（2012 甘肃兰州中考）如图，两个同心圆，大圆的半径为5cm ，小圆的半径为 3，若大圆 的弦 AB 与小圆相交，则弦 AB 的取值范围是 。
8.（2012 天津中考）如图，已知正方形ABCD 的边长为 1，以顶点 A 、B 为圆心，1 为半径的 两弧交于点 E ，以顶点 C 、D 为圆心，1 为半径的两弧交于点 F ，则 EF 的长 。
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人教版九年级数学上册圆的基本性质点与圆的位置关系1.决定圆的大小的是圆的_____;决定圆位置的是_____.2.在Rt△ABC中∠C=90O,AC=4,OC=3,E、F分别为AO、AC的中点,以O为圆心、OC为半径作圆,点E在⊙O的圆_____,点F在⊙O的圆_____.3.如图;AB、CD是⊙O的两条直径,AE∥CD,BE与CD相交于P点,则OP∶AE=____.4.经过A、B两点的圆的圆心在________,这样的圆有______个.5.如图;AB是直径,AO=2.5,AC=1.CD⊥AB,则CD=_______.6.一已知点到圆周上的点的最大距离为m ,最小距离为n .则此圆的半径_____.7.有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD,现以点A为圆心,若B、C、D至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则⊙A半径r 的范围是_________.8.⊙O的半径为15厘米,点O到直线l的距离OH=9厘米,P,Q,R为l上的三个点,PH=9厘米,QH=12厘米,RH=15厘米,则P,Q,R与⊙O的位置关系分别为 .9.若点A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心,37为半径的圆上,a= .10.在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,以点A为圆心作圆,若B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A的半径R的取值范围是11.在直角坐标系中,⊙O的半径为5厘米,圆心O的坐标为(-1,-4),点P(3,-1)与圆O的位置关系是 .12.如图⊙O是是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,D是弧AC的中点，已知∠EAD=114O，求∠CAD在度数。
13.已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？14.如图7-4，已知在△ABC中，∠CAB=900 ，AB=3厘米，AC=4厘米，以点A为圆心、AC长为半径画弧交CB的延长线于点D.求CD的长。
15.试问:任意四边形的四个内角的平分线相交的四个点在同一个圆上吗？又问：任意四边形各外角在平分线所相交在四边形在同一圆上吗？为什么？16. 如图7-6，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，（1）已知CD=8厘米，AP:PB=1:4,求⊙O 的半径；（2）如果弦AE 交CD 于点F 。
求证：AC 2=AF •AE.17. 已知四边形ABCD 是菱形，设点E 、F 、G 、H 是各边的中点，试判断点E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上，为什么？又自AC 、BD 的交点O 向菱形各边作垂线，垂足分别为M 、N 、P 、Q 点，问:这四点在同一个圆上吗?为什么？18. ⊙O 中有n 条等弦A 1B 1、A 2B 2、•••A n B n ,它们的中点分别是P 1、P 2、•••P n ,试问：P 1、P 2、•••P n 这n 个点在同一个圆上吗？请证明你的判断。
又若⊙O 上有一点A ，自点A 引n 条弦A 1B 1、A 2B 2、•••A n B n,,若它们的中点分别为Q 1、Q 2、•••Q n ，试问：Q 1、Q 2、•••Q n ，这n 个点在同一圆上吗？请证明你的判断。
垂径定理19. ⊙o 中等于1200劣弧所对的弦是123厘米,则⊙O 的半径是 厘米.20.过⊙o 上一点A,作弦AB 、AC 、分别等于该圆的半径R ，连结BC ，则点O 到BC 的距离=_______，BC=_______。
21.如图7-7，在⊙O 中，弦AB=2a ，点C 是弧AB 的中点，CD ⊥AB,CD=b,则⊙O 的半径R=______.22.如图7-8，ABCD 是⊙O 1的内接矩形，边AB 平行y 轴，且AB ∶BC=3∶4，已知⊙O 1 的半径为5，圆心O 1的坐标是（10，10），矩形四个顶点A 、B 、C 、D 的坐标是A______;B______;C______;D_______.23.在⊙O 中，弦AB=40厘米，CD=48厘米，且AB ∥CD,AB 与CD 距离是22厘米，则圆的半径为_______厘米 24.四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥BC,对角线AC 、BD 相交于点E.求证：OE 平分∠BEC. 25.如图7-9，在⊙O 中，已待AC=BD.求证：（1）OC=OD; （2）⋂⋂=BF AE26. ⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，过点B 作CD ∥O 1O 2 ,分别交两圆于点C 、D.求证:CD= 2O 1O 227.如图7-10，⊙O 1、⊙O 2是两个等圆，点P 是O 1O 2的中点，过点P 的直线交⊙O 1、⊙O 2于点A 、B 、C 、D 。
求证：AB=CD.28.如图7-11，⊙O 的半径为5，P 是圆外一点，PO=8，∠OPA=30O ,求AB 、PB 的长。
29.如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB 为多少?30.在⊙O 的弦AB 上取AC=BD ，过点C 、D 分别作AB 的垂线CE 、DF 交圆于点E 、F ，并使E 、F 在AB 的同旁。
求证：CE=DF.31.如图7-13，在⊙O 的直径MN 上任取一点P ，过点P 作弦AC 、BD ，使∠APN=∠BPN.求证：PA=PB.32.AB 、CD 是⊙O 的两条相交于点P 的弦，且AB=CD ，又点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，求证:△PEF 是等腰三角形。
33.如图7-14，AB 是半圆O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD,BF ⊥CD,点E 、F 是垂足，若BF 交半圆于点G ，求证：（1）EC=FD;(2)⋂⋂=DG AC34.如图7-15，在△ABC 中，AB=AC ，以点A 为圆心、小于AB 长的线段为半径作圆交BC 于D 、E 两点（但半径必须大于BC 边上的高）。
求证:BD=EC.35.如图7-16，已知在⊙O 中,⋂⋂=CD AB ,BA 、DC 延长后相交于点E ，求证：（1）OE 平分∠BED;(2)EA=EC. 36.如图7-17，AB 是⊙O 的直径，割线l 交⊙O 于点M 和N ，AC ⊥l ,且交⊙O 于点E ，BD ⊥l ,点C 、D 是垂足。
（1）求证：OC=OD; (2)若AB=10厘米，AC=7厘米，BD=1厘米，求OC 的长。
37.点P 是⊙O 外一点，PAB 、PCD 分别交⊙O 于点A 、B 和点C 、D,求证:(1)若AB=CD,则PA=PC ；（2）若PA=PC ，则AB=CD.38.如图7-18，AB 为⊙O 的弦，取AG=BH,∠DGB=∠FHA,求证：CD=EF.39.如图7-19，⊙O 半径为10厘米，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过G 点，CD=16厘米，过点A 和点B 分别向CD 引垂线段AE 和BF.问：AE-BF 是多少？ 40.AB 为⊙O 的弦，C 、D 在AB 上，且AC=CD=DB,OC 与OD 的延长线分别交⊙O 于点E 、F.求证：（1）∠AOC=∠BOF; (2) ∠COD >∠AOC; (3)⋂⋂⋂<=EFBF AE41.如图7-20，点B 、C 三等分半圆直径EF ，点A 在这个半圆上。
求证：AB+AC ≤310EF.42.如图7-21，已知⊙O 内两条弦AB 、DC 的延长相交于点P,且∠P=90O .求证：S △OAD =S △OBC .圆心角、圆周角43.如图7-22，设⊙O 的半径的为R,且AB=AC=R,则∠BAC=_______.44.如图7-23，AB 为⊙O 的弦，∠OAB=75O ,则此弦所对的优弧是圆周的______。
45.如图7-24，（1）∠α=_______；（2）∠α=_______。
46.如图7-25，在△ABC 中，∠C 是直角，∠A=32O 18’ ，以点C 为圆心、BC 为半径作圆，交AB 于点D,交AC 于点E,则⋂BD 的度数是______。
47.如图7-26，点O 是△ABC 的外心，已知∠ACB=100O ,则劣弧⋂AB 所对的∠AOB=______度。
48.如图7-27，AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E, ∠ACD=60O, ∠ADC=50O,则∠AEC=______度。
49.如图7-28，以等腰△ABC 的边AB 为直径的半圆，分别交AC 、BC 于点D 、E,若AB=10, ∠OAE=30O,则DE=______。
50.在锐角△ABC 中，∠A=50O ,若点O 为外心，则∠BOC=_____;若点I 为内心，则∠BIC=______；若点H 为垂心，则∠BHC=________.51.若△ABC 内接于⊙O ，∠A=n O,则∠BOC=_______.52.如图7-29，已知AB 和CD 是⊙O 相交的两条直径，连AD 、CB ，那么α和β的关系是（ ） (A)α=β (B) β>21α (C) β<21α (D) β=2α 53.如图7-30，在⊙O 中，弦AC 、BD 交于点E ，且⋂⋂⋂==CDBC AB ，若∠BEC=130O ,则∠ACD 的度数为（ ）(A) 15O (B) 30O (C)80O (D)105O54.如图7-31，AB 为半圆的直径，AD ⊥AB,点C 为半圆上一点，CD ⊥AD,若CD=2,AD=3,求AB 的长。
55.如图7-32，AO ⊥BO,AO 交⊙O 于点D ，AB 交⊙O 于点C, ∠A=27O ,试用多种方法求⋂DC 、⋂BC 的度数。
56.求证：如果AB 和CD 为⊙O 内互相垂直的两条弦，那么∠AOC 和∠BOD 互补。
57.如图7-33，设AB 是⊙O 的任意直径，取AO 上一点C,若以点C 为圆心，OC 为半径的圆与⊙O 相交于点D,DC 的延长线与⊙O 相交于点E,求证：⋂⋂=AD BE 3.58.如图7-34，AB 为⊙O 的直径，OC ⊥AB,过点C 任引弦CD 、CE 分别交AB 于点F 、G 。
求证：△CED ∽△CFG. 59.如图7-35，设点P 是⊙O 的直径AB 上的一点，在AB 的同侧由点P 到圆上作两条线段PQ 、PR ，若∠APQ=∠BPR.求证：△APQ ∽△RPB.60.如图7-36，在△ABC 的外接圆中，若∠B 、∠C 所对弧的中点分别为点P 、Q.求证：直线PQ 与AB 、AC 相交成等腰△ADE;若△ADE 为等边三角形，求证：弧⋂BC 的长等于该圆周长的三分之一。
61.如图7-37，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB,AD 、DB 是方程x 2-5x+4=0的两个根，求CD 的长。