第6章 多自由度系统 6.11-6.14分解
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6多自由度系统振动c
2 1
k (2 2 ) m
2 2
k 2 m
2 3
k (2 2 ) m
2 4
在正则坐标中分两种情况求解 x （1）i 1 时 1 0 运动方程：N1 0
x 初始条件： N1 (0) 0 xN1 (0) m v
解： x N1 at b
假使 12 是 r 重根
2 即有：12 2 r2
2 r21 ,, n 都是单根 其余的
将 2 12 代入特征值问题表达式： ( K 2 M ) 0 φ 1
rank[ K 12 M ] n r 特征矩阵[ K M ] 的秩：
2 1
令： X ΦN X N
得： X N ΛX N 0
2 x 展开，得： Ni i xNi 0
X N [ xN1
xN 2
xN 3
xN 4 ]T
(i 1 ~ 4)
1 T 初始条件： X N (0) ΦN X 0 [0 0 0 0]
X N (0) ΦN1 X 0 m v[1 0 1 0]T
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
• 频率方程的重根情形
在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的 特征值都是特征方程的单根 。
复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况 例如，柔性航天结构
下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振 型问题
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
求得固有频率：
12 0 方法一：
k m k 2 2 (2 2 ) m
2 2 (2 2 )
k m k 32 2 m
k (2 2 ) m
2 2
k 2 m
2 3
k (2 2 ) m
2 4
在正则坐标中分两种情况求解 x （1）i 1 时 1 0 运动方程：N1 0
x 初始条件： N1 (0) 0 xN1 (0) m v
解： x N1 at b
假使 12 是 r 重根
2 即有：12 2 r2
2 r21 ,, n 都是单根 其余的
将 2 12 代入特征值问题表达式： ( K 2 M ) 0 φ 1
rank[ K 12 M ] n r 特征矩阵[ K M ] 的秩：
2 1
令： X ΦN X N
得： X N ΛX N 0
2 x 展开，得： Ni i xNi 0
X N [ xN1
xN 2
xN 3
xN 4 ]T
(i 1 ~ 4)
1 T 初始条件： X N (0) ΦN X 0 [0 0 0 0]
X N (0) ΦN1 X 0 m v[1 0 1 0]T
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
• 频率方程的重根情形
在前面引入振型矩阵（或模态矩阵）的概念时，曾假设所有的 特征值都是特征方程的单根 。
复杂的系统中会出现某些特征根彼此很接近甚至相等的情况 例如，柔性航天结构
下面讨论如何求出系统固有频率出现重根时的相互正交的主振 型问题
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
求得固有频率：
12 0 方法一：
k m k 2 2 (2 2 ) m
2 2 (2 2 )
k m k 32 2 m
《结构动力学》-第六章-多自由度系统振动(一)
3
问题：[A]中元素是否一定为正？
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
解：易得刚度矩阵为：
k1 k2 K k2 0 k2 k 2 k3 k3 0 k3 k5
m1上加单位力，各质量的位移分别为：
1
mj mn yj yn
m j j y mn n y
m1 1 y
(b)
i
ii
j
ji
1
(c)
i
ij
j
jj
于是： 若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产 生的位移将是aij*F； x 若在第j个质量上作用的是惯性力 m j j ，方向与坐标相 反，则在第i个质量上产生的位移将是 aij m j j ； x 若所有质量都有惯性力，则：
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
L kx x
d L d m[(x L cos )(L cos ) L2 sin 2 ] dt dt d x m[ xL cos L2 ] L cos x L sin L2 dt
L m Lx sin m gLsin
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
1 k1 1 可以验证 [ A] k1 1 k1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
问题：[A]中元素是否一定为正？
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
解：易得刚度矩阵为：
k1 k2 K k2 0 k2 k 2 k3 k3 0 k3 k5
m1上加单位力，各质量的位移分别为：
1
mj mn yj yn
m j j y mn n y
m1 1 y
(b)
i
ii
j
ji
1
(c)
i
ij
j
jj
于是： 若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产 生的位移将是aij*F； x 若在第j个质量上作用的是惯性力 m j j ，方向与坐标相 反，则在第i个质量上产生的位移将是 aij m j j ； x 若所有质量都有惯性力，则：
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
L kx x
d L d m[(x L cos )(L cos ) L2 sin 2 ] dt dt d x m[ xL cos L2 ] L cos x L sin L2 dt
L m Lx sin m gLsin
d L 2 x x M m( L cos L sin ) dt x
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
1 k1 1 可以验证 [ A] k1 1 k1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
机械手的动力学方程机械手的动力学...
T1
= [D11
-
D
2 1
2
D22
]J&&1
(6.36)
现在，取定 d1 = d2 = 1 ，m1 = 2，而对于三个不同的 m2 值，分别求出各个 系数： m2 = 1，表示机械手无负载情况；m2 = 4 ，表示有负载；m2 = 100 ，表 示位于外太空( 无重力环境 )的机械手的负载。在外太空，没有重力负载，允许
等效惯量 D11 = [(m1 + m2)d12 + m2d22 + 2m2d1d2cos(θ2 )] D22 = m2d22
耦合惯量 D12 = m2d22 + m2d1d2cos(θ2 )
向心加速度系数 D111 = 0 D122 = - m2d1d2sin(θ2 ) D211 = m2d1d2sin(θ2 ) D222 = 0
拉格朗日算子 L 定义为系统的动能 K 与势能 P 的差
L=K–P
(6.1)
系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示， 并不一定要使用笛卡尔坐标。
动力学方程通常表述为
Fi
=
d dt
¶L ¶q&i
-
¶L ¶qi
(6.2)
其中，qi是表示动能和势能的坐标值，q&i 是速度，而Fi是对应的力或 力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这 些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。
(6.23) (6.24)
(6.25)
(6.26) (6.27) (6.28) (6.29)
哥氏加速度系数
D112 = D121 = - m2d1d2sin(θ2)
(6.30)
机器人学及其智能控制第6章 机器人的动力学
F mx kx
（式 6.10）
下面再用牛顿力学求解，对系统进行受力分析后，很容易就可以得到系统的受力方程为：
F ma
（式 6.11）
其中：
F kx ma
（式 6.12）
整理之后可以得到：
F ma kx
（式 6.13）
很容易得出这样一个结论，对于一个简单系统，用牛顿力学求解更容易，下面我们求解 一个稍微复杂一点的系统。
m2l
cos
m2l
2
sin
L kx x
F (m1 m2 )x m2l cos m2l 2 sin kx
（式 6.20）
（式 6.21） （式 6.22） （式 6.23）
对于旋转运动： 得到：
L
m2l 2
m2lx cos
d dt
L
m2l 2
m2lx
cos
m2lx
sin
L
m2gl sin
（式 6.29）
为方便分析，将其写成矩阵的形式：
F T
m1 m2l
m2
cos
m2l cos
m2l 2
x
0 0
m2l
sin 0
x2
2
kx m2
gl
sin
（式 6.30）
由此可以看出，对于求解复杂系统的运动方程，采用拉格朗日力学进行求解更加方便。
动力学仿真
为了对操作臂的运动进行仿真，必须采用前面建立的动力学模型，由封闭形式的动力学 方程（6.66），可通过仿真求出动力学方程中的加速度
q(t t) q(t) q(t)t 1 q(t)t 2 2
式中，每次迭代要用式（6.67）计算一次 q 。这样，通过输入已知的力矩函数，用数值积分
（式 6.10）
下面再用牛顿力学求解，对系统进行受力分析后，很容易就可以得到系统的受力方程为：
F ma
（式 6.11）
其中：
F kx ma
（式 6.12）
整理之后可以得到：
F ma kx
（式 6.13）
很容易得出这样一个结论，对于一个简单系统，用牛顿力学求解更容易，下面我们求解 一个稍微复杂一点的系统。
m2l
cos
m2l
2
sin
L kx x
F (m1 m2 )x m2l cos m2l 2 sin kx
（式 6.20）
（式 6.21） （式 6.22） （式 6.23）
对于旋转运动： 得到：
L
m2l 2
m2lx cos
d dt
L
m2l 2
m2lx
cos
m2lx
sin
L
m2gl sin
（式 6.29）
为方便分析，将其写成矩阵的形式：
F T
m1 m2l
m2
cos
m2l cos
m2l 2
x
0 0
m2l
sin 0
x2
2
kx m2
gl
sin
（式 6.30）
由此可以看出，对于求解复杂系统的运动方程，采用拉格朗日力学进行求解更加方便。
动力学仿真
为了对操作臂的运动进行仿真，必须采用前面建立的动力学模型，由封闭形式的动力学 方程（6.66），可通过仿真求出动力学方程中的加速度
q(t t) q(t) q(t)t 1 q(t)t 2 2
式中，每次迭代要用式（6.67）计算一次 q 。这样，通过输入已知的力矩函数，用数值积分
材料科学基础第6章
2 − 3cos θ + cos 3 θ 4
所以∆Ghet﹡ ﹤ ∆Ghom﹡ 由此可见，一般情况下，非均匀形核比均匀形核所需的形核功小， 且随润湿角的减小而减小。
（二）形核率 1、非均匀形核时在较小的过冷度下可获得较高的形核率 2、随过冷度的增大,形核速度值由低向高过渡较为平衡 3、随过冷度的增大形核速度达到最大后，曲线就下降并中断 4、最大形核率小于均匀形核
∆G = V ∆GV + σ A
∆G = 4 3 π r ∆GV + 4π r 2σ 3
r<r*时，晶胚长大将导致系统自由能的 增加，这种晶胚不稳定，瞬时形成，瞬时消失。 r>r*时，随晶胚长大，系统自由能降低， 凝固过程自动进行。 r=r*时，可能长大，也可能熔化，两种 趋势都是使自由能降低的过程，将r*的晶胚称 为临界晶核，只有那些略大于临界半径的晶核， 才能作为稳定晶核而长大，所以金属凝固时， 晶核必须要求等于或大于临界晶核。 极值点处
凝固：物质由液态至固态的转变。 6.2.1 液态结构 一、液态结构的特征： ① 液体中原子间的平均距离比固体略大 ② 液体中原子的配位数比密排结构的配位数减小（8～11范围内） ③ 结构起伏（相起伏） 二、结构起伏 不断变换着的近程有序原子集团，大小不等，时而产生，时而 消失，此起彼伏，与无序原子形成动态平衡，这种结构不稳定现象称 为结构起伏。 温度越低，结构起伏尺寸越大。
ϕ r = 1 − exp( − kt n )
图6.2 自由能随温度变化的示意图
液→固，单位体积自由能的变化∆ Gv为
∆ G V = G S − G L = H S − TS S − ( H = (H S − H L ) − T (S S − S L ) = − Lm − T (S S − S L )
所以∆Ghet﹡ ﹤ ∆Ghom﹡ 由此可见，一般情况下，非均匀形核比均匀形核所需的形核功小， 且随润湿角的减小而减小。
（二）形核率 1、非均匀形核时在较小的过冷度下可获得较高的形核率 2、随过冷度的增大,形核速度值由低向高过渡较为平衡 3、随过冷度的增大形核速度达到最大后，曲线就下降并中断 4、最大形核率小于均匀形核
∆G = V ∆GV + σ A
∆G = 4 3 π r ∆GV + 4π r 2σ 3
r<r*时，晶胚长大将导致系统自由能的 增加，这种晶胚不稳定，瞬时形成，瞬时消失。 r>r*时，随晶胚长大，系统自由能降低， 凝固过程自动进行。 r=r*时，可能长大，也可能熔化，两种 趋势都是使自由能降低的过程，将r*的晶胚称 为临界晶核，只有那些略大于临界半径的晶核， 才能作为稳定晶核而长大，所以金属凝固时， 晶核必须要求等于或大于临界晶核。 极值点处
凝固：物质由液态至固态的转变。 6.2.1 液态结构 一、液态结构的特征： ① 液体中原子间的平均距离比固体略大 ② 液体中原子的配位数比密排结构的配位数减小（8～11范围内） ③ 结构起伏（相起伏） 二、结构起伏 不断变换着的近程有序原子集团，大小不等，时而产生，时而 消失，此起彼伏，与无序原子形成动态平衡，这种结构不稳定现象称 为结构起伏。 温度越低，结构起伏尺寸越大。
ϕ r = 1 − exp( − kt n )
图6.2 自由能随温度变化的示意图
液→固，单位体积自由能的变化∆ Gv为
∆ G V = G S − G L = H S − TS S − ( H = (H S − H L ) − T (S S − S L ) = − Lm − T (S S − S L )
第6章 多自由度系统 6.1-6.4
位移、速度、加速度和力矢量：
一般形式：
弹簧—质量—阻尼器系统的微 分方程是互相耦合的，即每一 个方程中包含的坐标多于一个。 这表明方程不能逐个单独求解， 只能同时求解。
如果刚度项是耦合的，则称系 统是静力耦合的，即刚度矩阵 至少在非对角线上有一个非零 元素。另一方面，如果质量矩 阵在非对角线上至少有一个非 零元素，则称系统是动力耦合 的。如果在刚度矩阵和质量矩 阵的非对角线上都有非零元素， 则系统同时具有静力耦合与动 力耦合。
？
课外证明！！！
非线性方程：
令：
线性方程
影响系数法
6.4 影响系数
• 多自由度系统的运动微分方程也可根据影晌系数 法来推 导，这在结构工程中广泛使用。 • 与刚度矩阵与质量矩阵相关的影响系数分别称为刚度影晌 系数和惯性影晌系数 。 • 在某些情况下，使用刚度短阵的逆矩阵即熟知的柔度矩阵 或质量矩阵的逆短阵，可更方便地表示运动微分方程。 • 与刚度矩阵的逆矩阵相对应的影响系数称为柔度影晌系数。 相应地， • 与质量矩阵的逆矩阵对应的系数称为逆惯性系数。
通过在m2 处作用单位载荷:
通过在m3 处作用单位载荷:
系统的柔度矩阵为
• 6.4.3 惯性影晌系数
质量矩阵的元素 mij 即为所说的惯性影响系数。虽然从系 统的动能表达式可以方便地得到惯性影响系数，但是系数 mij 也能借助冲量一动量关系计算。
惯性影响系数m1j,m2j,…,mnj可以分别定义为作用在 i 点 的冲量(角冲量)，以使 j 点产生单位速度，而在其他各点 产生的速度如零.
例6.7 求图6.4(a) 所示系统的惯性影响系数。
) 采用坐标 x(t )和 (t分别描述拖车距静平衡位置的线位移与 复摆距静平衡位置的角位移
第六章 无限自由度体系1
第六章无限自由度体系主要内容•Euler梁运动方程的建立•梁的自由振动•振型的正交性•振型叠加法梁的动力反应分析第六章无限自由度体系（分布参数体系）真实结构，质量连续分布。
描述和确定连续介质的空间位置，需要用连续介质的空间坐标（空间位置是空间坐标x、y、z的连续函数）。
前面介绍了结构动力分析中将无限自由度采用有限自由度来描述，称为有限自由度体系的动力反应问题。
此时运动方程为常微分方程。
直接采用分布参数来建立运动方程，称为无限自由度体系，这时要精确描述结构体系的运动状态必须用偏微分方程。
第六章无限自由度体系根据描述这个结构体系所需空间坐标个数的多少分为：一维结构：譬如：梁和杆，如果它们物理性质（质量、刚度）完全可以用轴线的位置确定，描述这个体系的偏微分方程只包括两个独立自变量：轴线位置坐标和时间。
二维结构：譬如：板和壳，一般需要两个位置坐标，是。
运动方程是有三个独立自变量的偏微分方程。
三维结构：譬如：地球介质或不均匀厚板则需要三个空间位置坐标，此时，运动方程是含四个独立自变量的偏微分方程。
偏微分方程的求解比常微分方程困难得多，因此在介绍具有分布体系的动力分析时，往往仅局限于对单个构件的分析。
（1）无阻尼弯曲梁(Euler 梁)取微元体竖向平衡条件：0)(22=∂∂−∂∂+−+t u mdx dx x V V pdx V 22tu m p x V ∂∂−=∂∂再补充材料力学中给出的梁的弯矩和曲率的关系式：由以上3式得到弯曲梁的偏微分运动方程：V x M =∂∂21 梁的偏微分运动方程（1）无阻尼弯曲梁在以上方程推导中仅考虑了梁的横向弯曲变形，忽略了由横截面转动（转动惯性）导致的惯性力，以及剪切变形和轴力产生的弯曲效应。
考虑剪切变形和转动惯量将大大增加问题的复杂性。
Timoshenko考虑了剪切变形和转动惯量影响因素，给出了考虑剪切变形和转动惯量影响时梁的运动方程。
这时，梁被称为Timoshenko梁。
第6章-给水管网设计
K h Qd Qh 24
（m3/h）
(6.8)
图6.1 中，最高时用水量为全天用水量 的5.92%，时变化系数为1.42。若最高 日用水量Qd=45000m3/d，则最高时用水 量为：
K h Qd 1.42 45000 Qh 2663 24 24
图6.1 某城市最高日用水量变化曲线
6.1.1 最高日设计用水量（续1） 1）城市最高日综合生活用水量（包括公共设施生活用水量）：
q1i N1i Q1 1000
q1i —城市各分区的最高日综合生活用水量定额，L /(Cap· d)，见附录表1； N1i —设计年限内城市各用水分区的计划人口数，Cap； 2）工业企业生产用水量： 式中
（1）设计用水量变化规律 最高日用水量的时变化系数： 城市综合用水的时变化系数宜采用1.3~1.6 ；
工业企业内工作人员的生活用水时变化系数为2.5~3.0，淋浴用水量按每班延续 用水1小时确定变化系数；
工业生产用水量一般变化不大，可以在最高日内各小时均匀分配。
最高日用水量的时变化曲线：最高日各小时用水量曲线图。
(6.16)
如果存在误差，则应检查计算过程中的误差，可以直接调整某些项集中流量和 沿线流量，使流量达到平衡。 （2）节点设计流量计算 • 基本假设：即所有流量只能从节点处流出或流入。 • 供水泵站或水塔的供水流量也应从节点处进入系统，但应作为负流量。 • 节点设计流量是最高时用水集中流量、沿线流量（转移后）和供水设计流量之和， 假定流出节点为正向，则用下式计算：
在缺乏资料、不能进行水量调节计算的情况下，一般清水池容积可按最高日用水 量的10%~20%设计。工业用水可按生产上的要求确定清水池容积。
W W W
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第6章 多自由度系统（四）
6.11 展开定理
• 由于正交性，各个特征向量是线性独立的①，因此它们构 成了n 维空间的一个基。这意味着n 维空间中的任意向量 都可以表示为这n 个线性独立向量的线性组合。若x 是n 维空间中的任意一个向量，则其可表示为
两边左乘以
Mii 是第n 阶主振型对应的广义质量。若根据式(6.8 1)， 对振型向量X (i)正则化，则 ci 为
已知： 初始条件： 解: 系统的固有频率与固有振型为(见例5.3)
通过将固有振型关于质量矩阵正则化，
正则振型位移
例6.16 图5.41 中所示锻锤作用在工件上的冲击力可以近似 为矩形脉冲，如图6. 14 所示。已知工件、铁砧与框架的质 量为m1 =200 Mg ，基础的质量为m2 =250 Mg ，弹簧垫的 刚度为k1= 150MN/m ，土壤的刚度为k 2 = 75 MN/m 。假定 各质量的初始位移与初始速度均为零，求系统的振动规律。
解: 锻锤可以简化为二自由度系统，已表示在图6.14(b) 中， 系统的运动微分方程为
(1)求固有频率与主振型。
可以通过解频率方程求系统的固有频率，由：
得主频率：
各阶主振型分别为
(2) 主振型的正则化。
假设正则振型为
令
正则振型矩阵为
(3) 根据广义坐标求响应。 初始条件为
由
其中：
所以：
位移： 其中：
注意:由式(E.8) 给出的解对于 是有效的。对t>0.1 s ， 因为没有外力作用，故系统的响应为无阻尼单自由度系统， 对应于初始条件 和 的自由振动响应。
6.12 无约束系统
• 无约束系统是不包含约束或支承，能像刚体一样运动的系 统。在工程实际中，不与任何固定框架相连的系统并不少 见
• 这样的系统具有实现类似于刚体运动的能力，这样的运 动可看成是与零固有频率对应的振型。
• 根据定义，功能总为正，所以质量矩阵m 是正定的。然而， 对于无约束系统，在位移矢量x 不为零的情况下，势能V 却可能为零，故刚度矩阵k 是半正定的。 • 为说明这一点，考虑用正则坐标表示的自由振动方程
• 在外力作用下的多自由度系统的运动微分方程为
利用振型叠加法解方程时，首先必须求解特征值问题
根据展开定理：
是依赖于时间的广义坐标，称 为主坐标或振型参与系数 振型矩阵
代入方程
左乘：
若已将固有振型正则化，
广义力
广义坐标方程
上式表示以下n 个二阶非藕合微分方程:
方程的一般解:
初始条件:
例6.15 利用振型叠加法，求下列运动微分方程表示的二自 由度系统的自由振动响应:
若系统作刚性平动，并不是所有的分量 X i( 0) 都为零，即矢量 X（0） 不为零。因此，为满足上式，k 的行列式必为零。于是 非约束系统(有零固有频率)的刚度矩阵是奇异的。
X（0）称为系统的零振型或刚体振型
系统的势能为
把任意矢量（ X（0） 和零矢量除外）代入式(6.30). 系统的 势能都是一个正数。因而刚度矩阵k 是半正定的，这正是一 个非约束系统称为半正定系统的原因。
解:在例6. 10 中巳求得系统的固有频率与振型分别为
6.14 用模态分析法求无阻尼系统的强迫振动
• 当有外力作用于多自由度系统时，系统将作强迫振动。对 具有n 个坐标或自由度的系统，运动控制方程为n 个耦合 的二阶常微分方程。 • 当作用力是非周期的和(或)系统的自由度数较大时，这些 方程的求解非常复杂。在这些情况下，可以利用较简便的 方法即振型叠加法进行求解。该方法运用到了展开定理， 即将各质量的位移表示为系统固有振型的线性组合。 • 通过该转换，可使运动微分方程变为非藕合的，即可以得 到n个非藕合的二阶常微分方程。这些方程的解可以等效 为易于求解的n 个单自由度系统方程的解。
• 例6.13 如图6. 13 所示， 3 节车厢通过2 个弹簧相连。已 知 m1 =m2 =m3 =m ， k1=k2=k。求该系统的固有频率与 固有振型.
6.13 无阻尼系统的自由振动
以矩阵形式表示的无阻尼系统自由振动的微分方程为
解得一般形式：
例6.14 求图6.8(a) 所示弹簧-质量系统的自由振动响应。已 知初始条件为
6.11 展开定理
• 由于正交性，各个特征向量是线性独立的①，因此它们构 成了n 维空间的一个基。这意味着n 维空间中的任意向量 都可以表示为这n 个线性独立向量的线性组合。若x 是n 维空间中的任意一个向量，则其可表示为
两边左乘以
Mii 是第n 阶主振型对应的广义质量。若根据式(6.8 1)， 对振型向量X (i)正则化，则 ci 为
已知： 初始条件： 解: 系统的固有频率与固有振型为(见例5.3)
通过将固有振型关于质量矩阵正则化，
正则振型位移
例6.16 图5.41 中所示锻锤作用在工件上的冲击力可以近似 为矩形脉冲，如图6. 14 所示。已知工件、铁砧与框架的质 量为m1 =200 Mg ，基础的质量为m2 =250 Mg ，弹簧垫的 刚度为k1= 150MN/m ，土壤的刚度为k 2 = 75 MN/m 。假定 各质量的初始位移与初始速度均为零，求系统的振动规律。
解: 锻锤可以简化为二自由度系统，已表示在图6.14(b) 中， 系统的运动微分方程为
(1)求固有频率与主振型。
可以通过解频率方程求系统的固有频率，由：
得主频率：
各阶主振型分别为
(2) 主振型的正则化。
假设正则振型为
令
正则振型矩阵为
(3) 根据广义坐标求响应。 初始条件为
由
其中：
所以：
位移： 其中：
注意:由式(E.8) 给出的解对于 是有效的。对t>0.1 s ， 因为没有外力作用，故系统的响应为无阻尼单自由度系统， 对应于初始条件 和 的自由振动响应。
6.12 无约束系统
• 无约束系统是不包含约束或支承，能像刚体一样运动的系 统。在工程实际中，不与任何固定框架相连的系统并不少 见
• 这样的系统具有实现类似于刚体运动的能力，这样的运 动可看成是与零固有频率对应的振型。
• 根据定义，功能总为正，所以质量矩阵m 是正定的。然而， 对于无约束系统，在位移矢量x 不为零的情况下，势能V 却可能为零，故刚度矩阵k 是半正定的。 • 为说明这一点，考虑用正则坐标表示的自由振动方程
• 在外力作用下的多自由度系统的运动微分方程为
利用振型叠加法解方程时，首先必须求解特征值问题
根据展开定理：
是依赖于时间的广义坐标，称 为主坐标或振型参与系数 振型矩阵
代入方程
左乘：
若已将固有振型正则化，
广义力
广义坐标方程
上式表示以下n 个二阶非藕合微分方程:
方程的一般解:
初始条件:
例6.15 利用振型叠加法，求下列运动微分方程表示的二自 由度系统的自由振动响应:
若系统作刚性平动，并不是所有的分量 X i( 0) 都为零，即矢量 X（0） 不为零。因此，为满足上式，k 的行列式必为零。于是 非约束系统(有零固有频率)的刚度矩阵是奇异的。
X（0）称为系统的零振型或刚体振型
系统的势能为
把任意矢量（ X（0） 和零矢量除外）代入式(6.30). 系统的 势能都是一个正数。因而刚度矩阵k 是半正定的，这正是一 个非约束系统称为半正定系统的原因。
解:在例6. 10 中巳求得系统的固有频率与振型分别为
6.14 用模态分析法求无阻尼系统的强迫振动
• 当有外力作用于多自由度系统时，系统将作强迫振动。对 具有n 个坐标或自由度的系统，运动控制方程为n 个耦合 的二阶常微分方程。 • 当作用力是非周期的和(或)系统的自由度数较大时，这些 方程的求解非常复杂。在这些情况下，可以利用较简便的 方法即振型叠加法进行求解。该方法运用到了展开定理， 即将各质量的位移表示为系统固有振型的线性组合。 • 通过该转换，可使运动微分方程变为非藕合的，即可以得 到n个非藕合的二阶常微分方程。这些方程的解可以等效 为易于求解的n 个单自由度系统方程的解。
• 例6.13 如图6. 13 所示， 3 节车厢通过2 个弹簧相连。已 知 m1 =m2 =m3 =m ， k1=k2=k。求该系统的固有频率与 固有振型.
6.13 无阻尼系统的自由振动
以矩阵形式表示的无阻尼系统自由振动的微分方程为
解得一般形式：
例6.14 求图6.8(a) 所示弹簧-质量系统的自由振动响应。已 知初始条件为