力矩分配法与位移法的联合应用
结构力学——6位移法和力矩分配法
△ △
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点1 、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长 度不变，故三个结点均有相同的水平位移 FP △ 。
1
2
3
4
5
6
(a)
事实上，图(a)所示结构的独立线位移数 将结构的刚结点(包括固定支座)都变成 目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目 铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何 是相同的。因此，实用上为了能简捷地确 不变添加的最少链杆数，即为原结构的独 定出结构的独立线位移数目，可以 立线位移数目(见图b)。
4
5
6
(a)
共有四个刚结点，结点线位移数目为二 ，基本未知量为六个。基本结构如图所 示。
7
10 返回
5
6
(b)
例：确定图a所示连续梁的基本结构。 D B A C D B A C
（图a）
A A
B B
基本结构 基本结构
C C
D （图b） D
在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。
EI
第六章
位移法和力矩分配法
§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法典型方程计算步骤和示例 §6—4 力矩分配法的基本概念 §6—5 用力矩分配法计算连续梁 §6—6 用力矩分配法计算无接点线位移刚架
1
§6—1
位移法的基本概念
一、位移法的提出(Displacement Method)
M
A
B
0
2i
r11 4i 4i 0
8EI r11 8i l
2i
M1
得
15
求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩 图(MP图)。 取结点B为隔离体
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(渐近法及其他算法简述)
中的计算，进行二次分配传递。 （5）各点循环放松，每次产生的新约束力矩会越来越小，一般进行两三轮计算就能满
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足工程精度。
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l 转动刚度可由位移法中的杆端弯矩公式导出，以下列出常用转动刚度： 远端固定，S=4i；远端简支，S=3i；远端滑动，S=i；远端自由，S=0。
2．分配系数
任一杆件在某结点的分配系数等于杆件的转动刚度不汇交于该结点的各杆转动刚度之
和的比值。它起到将作用于某结点的弯矩按比例分配到汇交于该结点各杆的近端的作用，用
三、无剪力分配法 1．应用条件 刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件。
2．剪力静定杆件的固端弯矩
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先根据静力条件求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载。按该端滑动，另端固定 的杆件进行计算。
出附加刚臂给予结点的约束力矩，用 M 表示。约束力矩规定以顺时针转向为正。
（3）放松结点：将丌平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，按分配系数、传递系数进行 分配、传递。
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（4）结构的实际受力状态：将各杆的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加，即得各杆 的最后弯矩。
束力 M C 相反的力矩，由这个 M C 引起的固端弯矩，可利用力矩分配法进行计算。计算后 经过一次传递，B 点处的约束力矩变成了 M B M BC 。
（3）将结点 C 重新固定，放松结点 B，相当于在有一个反向力矩加到 B 点上，即为
建筑力学18位移法和力矩分配法
4
18.1
18.1.1
位移法
位移法基本变形假设
位移法的计算对象是由等截面直杆组成的杆系结 构，例如刚架、连续梁。在计算中认为结构仍然符合 小变形假定，同时位移法假设：
第 三 篇 结 构 力 学
（1）各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变；
（2）刚性结点所连各杆端的截面转角是相同的。
5
18.1
18.1.2
12
18.1
位移法
第 三 篇 结 构 力 学
图18.3 附加链杆法
13
18.1
18.1.3
位移法
位移法的杆端内力
第 三 篇 结 构 力 学
（1）运用位移法计算超静定结构时，需要将结 构拆成单杆，单杆的杆端约束视结点而定，刚结点视 为固定支座，铰结点视为固定铰支座。当讨论杆件的 弯矩与剪力时，由于铰支座在杆轴线方向上的约束力 只产生轴力，因此可不予考虑，从而铰支座可进一步 简化为垂直于杆轴线的可动铰支座。结合边界支座的 形式，位移法的单杆超静定梁有三种形式，如图18.4 所示。
14
18.1
位移法
第 三 篇 结 构 力 学
图18.4 单杆超静定梁的约束形式
15
18.1
位移法
第 三 篇 结 构 力 学
（2）位移法规定杆端弯矩顺时针转向为正，逆 时针转向为负（对于结点就变成逆时针转向为正）， 如图18.5所示。以后运用位移法进行结构内力分析时， 弯矩的正负号都遵从这个规定。要注意的是，这和前 面梁的内力计算中规定梁弯矩下侧受拉为正是不一样 的，因为对于整体结构来说，杆件不仅仅有水平杆件， 还有竖向、斜向杆件。对于剪力、轴力的正负规定， 则和前面的规定保持一致。
第 三 篇 结 构 力 学
结构力学6位移法和力矩分配法
△
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点 1
2△
3△
1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其
长度不变，故三个结点均有相同的水平位 移△ 。Biblioteka FP456
(a)
事将实结上构，的图刚(a结)所点示(包结括构固的定独支立座线)都位变移成数
铰目结，点与(图成(为b)铰所结示体铰系结)体,则系使的其线成位为移几数何目不 变是添相加同的的最。少因链此杆，数实，用即上为为原了结能构简的捷独地立确
线定位出移结数构目的(独见立图线b)位。移数目，可以
7
(b)
返回
ZZ1 1
Z 1Z 1
FF11
CC
DD
CC
DD
FF22
BB
BB ZZ2 2
EE Z2Z2
EE
AA
FF
AA
FF
结构有四个刚结点——四个结点角位移。
需增加两根链杆， 2个独立的线位移。
位移法的基本未知量的数目为6个。
需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件， 变形后两端之间的距离不能看作是不变的。
D l
l
1
FC
B
B
F
C
B B
l/ 2 l/2
A
l/ 2 l/ 2
三次超静定图示刚架
力 法：三个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
l
力法与位移法必须满足的条件：
1.力的平衡; 2. 位移的协调; 3. 力与位移的物理关系。
位移法的基本假定：
（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。
例如 ( 见图a) 基本未知量三个。
2
3
5
力法位移法力矩分配法
力法位移法力矩分配法《力法、位移法、力矩分配法：我的探索之旅》我呀，是一个对建筑结构特别感兴趣的小学生。
在我的小脑袋里呀，总是充满了各种各样关于房子、桥梁这些建筑怎么稳稳当当站立着的好奇想法。
今天呢，我就想和大家讲讲我正在学习的力法、位移法、力矩分配法，这就像是一场奇妙的冒险。
先说说力法吧。
我觉得力法就像是一个超级侦探在寻找真相。
你看，一座建筑受到各种各样的力，就像一群调皮的小怪兽在捣乱。
力法呢，就是要把这些力都搞清楚。
比如说，有一个大桥，上面有汽车在跑，风在吹，还有桥自身的重量。
这时候力法就登场了。
它会假设一些未知的力，就像在黑暗里猜宝藏在哪里一样。
然后呢，根据建筑的变形情况来找出这些真正的力。
这就好比我们玩猜谜语，根据谜面的一些提示，猜出正确的答案。
我记得有一次我和小伙伴们一起玩搭积木。
我们想搭一个超级高的大楼，可是搭到一半就倒了。
我当时就想啊，如果我会用力法就好了。
我就能算出每个小积木受到的力，知道怎么摆放它们才能稳稳当当的。
我就和小伙伴们说：“哎呀，咱们搭的这个就像一个没有规则受力的建筑，肯定会倒呀。
要是能像工程师叔叔阿姨那样会用力法，就不会这样啦。
”小伙伴们都似懂非懂地点点头。
再来说说位移法。
位移法在我眼里就像一个魔法。
想象一下，建筑就像一个有生命的巨人，当受到力的时候，它就会动一动，也就是产生位移。
位移法就是紧紧抓住这个位移的小尾巴，来弄清楚建筑内部的力是怎么分布的。
这就好比我们看一个会变形的机器人，它的每个关节动了多少，我们就能知道它内部的零件是怎么工作的。
我在书上看到一个例子，说有一个古老的钟楼，经过了很多年，有点倾斜了。
工程师们用位移法来研究这个钟楼，看看怎么去修复它。
我当时就想，哇，这也太神奇了吧。
我就跑去跟爷爷说：“爷爷，那个钟楼歪了，工程师叔叔用位移法就能知道怎么修呢。
”爷爷笑着说：“小家伙，你懂的还不少呢。
”我就特别得意，感觉自己像是掌握了一个大秘密。
最后就是力矩分配法啦。
《结构力学》课程教学大纲
（十二）结构的动力计算（选讲）（5学时）
单自由度体系的自由振动，单自由度体系的强迫振动，多自由度体系的自由振动，多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动，多自由度体系在一般荷载下的强迫振动，振型分解法，计算结构固有频率的近似方法。
《结构力学》课程教学大纲
课程
编号
01805069-70
课程
名称
（中文）结构力学(一、二)
（英文）Structure Mechanics(I,II)
课
程
基
本
情
况
1.学分:4+4学时: 40+40 (课内学时: 80实验学时: )
2.课程性质：学科基础课
3.适用专业：工学(土建类)
适用对象：本科
4.先修课程：《理论力学》《材料力学》
配套
实践
环节
说明
大纲
编写
责任
人
力学
（教研组）
朱怀亮（签名）
2001年07月08日
系
审核
意见
力学
（系）
徐凯宇（签名）
2001年07月06日
学院
审核
意见
张金仓
（签名）
上海大学理学院（公章）
年月日
影响线的概念，静力法作简支梁的影响线，机动法作简支梁的影响线，间接荷载作用下的影响线，桁架的影响线，影响线的应用，简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩。
（十）结构的极限荷载（5学时）
极限弯矩，塑性铰和破坏机构，单跨超静定梁的极限荷载，连续梁的极限荷载，比例加载的几个定理，简单刚架的极限荷载。
11弯矩分配法
§11-2 力矩分配法的基本原理
计算图示刚架, 例. 计算图示刚架 作弯矩图 解: 确定分配系数
q
结构力学
C
EI = C
S1 B = 3 i
S1 C = i
B
2ql
1
S1 A = 4 i
l
µ1 A µ1B µ 1C
4i = = 1/ 2 4 i + 3i + i 3i = = 3/8 4 i + 3i + i
∆ SAB = 3i = 3i l 3i CAB = =1 3i
04:48
§11-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
为刚性， 支座为弹性支承 支座为弹性支承， 例9-4 图示梁AB为刚性，B支座为弹性支承，其弹性 刚度 k=EI/l3 ,求SAB ,CAB。
A B
A
S AB
B
A
k=EI/l 3
l
θ =1
A ql 2 / 12
B
C
F M AB = − ql 2 / 12 = −100kN .m
M
F BA
= 100kN .m
F F M BC = M CB = 0
04:48
§11-2 力矩分配法的基本原理
M
F BA
结构力学
u MB
B
F M BC
u F F M B = MBA + M BC = 100 kN . m
1
M A B = 4i
A
EI l
B
M B A = 2i
转动刚度
SAB = 4i
A端一般称为近端，B端一般称为远端。 端一般称为近端， 端一般称为远端。
04:48
结构力学教学大纲
课程名称：结构力学课程类型：必修课学时：72学时+程序设计计算（一周）适用对象：土木先修课程：高等数学、物理、理论力学、材料力学一、课程的性质、目的与任务以及对先开课程要求结构力学是土木专业的一门重要专业基础课，它与高等数学、物理、理论力学、材料力学、弹性力学、塑性力学、钢结构学、钢筋混凝土结构学、结构设计课有密切联系。
结构力学课程的任务是使学生学习结构分析理论，即结构（主要是杆系结构）在外因作用下的强度、刚度的计算理论，掌握杆系结构的静力分析方法，了解常用结构形式的受力性能，初步学会运用结构力学的基本分析方法分析结构设计和工程实践中的力学问题，为以后钢结构、钢筋混凝土结构学、弹性力学、塑性力学及结构设计等课程的学习打基础。
培养结构分析和计算能力。
学习结构力学需具有高等数学、物理、理论力学、材料力学的基本静力原理和计算方法（含计算机技能）知识。
二、教学重点及难点基本概念、基本理论和计算方法三、与其他课程的关系高等数学、物理、理论力学、材料力学是结构力学的前期准备，同时它又为以后钢结构、钢筋混凝土结构学、弹性力学、塑性力学及结构设计等课程的学习打基础。
四、教学内容、学时分配及其本要求第一章绪论（2学时）结构力学的任务和学习方法，结构计算简图及其简化要点，杆系结构的分类第二章几何构造分析（3学时）基本要求：能运用基本规律判定体系的几何不变性，用计算自由度概念对体系进行定性的分析重点：无多余约束的几何不变体系的基本组成规律难点：熟练运用基本规律对体系进行分析第一节几何构造分析的几个概念第二节平面几何不变体系的组成规律第三节平面杆件体系的计算自由度第三章静定结构受力分析（12学时）基本要求：能运用截面法求任意界面的内力，并用叠加法及荷载与内力的关系作各种结构的内力图重点：截面法、叠加法难点：熟练的运用截面法、叠加法作各种结构的内力图第一节静定多跨粱第二节静定平面刚架第三节静定平面桁架第四节组合结构第五节三铰拱第四章静定结构总论（2学时）基本要求：静定结构受力分析方法，静定结构的一般性质，各种结构形式的受力特点，刚体虚功原理。
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1
p
作 M P 图，求 F1 P
M M 1 1 M
本节结束
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结构力学
力矩分配法和位移法的 联合应用
•
对于一般有结点线位移的刚架，力矩分 配法和无剪力分配法均不适用。对于各种 不同的问题，可采用不同的联合应用法。 • 本节仅讨论用力矩分配法和位移法联合 应用求解有结点线位移刚架的情况。 • 这一方法的基本思路是：用力矩分配法 考虑角位移的影响，用位移法考虑线位移 的影响。也就是在应用位移法时仅以结点 线位移为基本未知量列位移法方程，而在 计算位移法方程中的自由项和系数时，所 需的基本结构在荷载和单位线位移作用下 的的弯矩，则用力矩分配法求得。
首先，先用位移法求解，不考虑节点角位移，只考虑节点线位
移，即只取节点线位移为基本未知量，建立方程。
k11Z1 F1P 0
B C B C
F1P
B C
B
F11 k11Z1 C
Z1 1
k11
A
D
A
D
A
D
A
D
基本体系 不能侧移 实际侧移Z1 其次，在右侧 两图中均只有节点角位移，可用力矩分配法绘图
F1P
F11 k11Z1
B C
Z1 1
B
C
B
C
B
C
k11
A
D
A
D
A
D
A
D
基本体系
不能侧移
实际侧移Z1
在右侧第2图中，只有节点角位移，无荷载但节点有向右支座移
动（确定值Z1=1），可采用力矩分配法绘其弯矩图即为M1图， 并取如图脱离体求出k11。
B
Z1 1
B
C C
k11
A D
A
D
第1步,锁住节点不转 求固端弯矩
F1P
F11 k11Z1
B C
B
C
B
C
B
C
k11
Z1 1
A
D
A
D
A
D
A
D
基本体系
不能侧移
实际侧移Z1
在右侧第1图中，只有节点角位移，无节点线位移，采用力矩 分配法绘其弯矩图即为MP图，并取如图脱离体求出F1P。
C B C B Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F1p
A
D
A
D
第1步,锁住节点 求固端弯矩
第2步,将不平衡弯矩 反号分配，传递
总结：解题思路 求解一般有结点线位移的刚架; 用力矩分配法考虑角位移的影响; 用位移法考虑线位移的影响（只取线位移为基本未知量）。 1）位移法方程
基本结构
k 1 1 1 F1 p 0
侧移 引起 荷载 引起
荷载作用
侧移作用
2）用力矩分配法
作
M
1
图，求 k 1 1
3）代入位移法方程求解 4）求内力
第2步,将不平衡弯矩 反号分配，传递
[例题] 试求作图示刚 架的弯矩图。
解：1）位移法方程
2）力矩分配法
作 M P 图，求 F1 P 作
M
1
图，求 k 1 1
先作 M 图，求
P
F1 P
由杆端弯矩可求出柱底剪力
再由整个刚架的平衡，求得
再作 M 图 求 k11
1
3）由位移法方程求Δ1
M M11 M P