结构力学教案位移法和力矩分配法
结构力学教案--力法3
15.3 力法的计算步骤和示例（二）一次超静定钢架【例】作图 (a)所示连续梁的内力图。
EI 为常数。
【解】(1) 选取基本结构 此结构为一次超静定梁。
将B 点截面用铰来代替，以相应的多余未知力X1代替原约束的作用，其基本结构如图 (b)所示。
(2) 建立力法方程 位移条件：铰B 两侧截面的相对转角应等于原结构B 点两侧截面的相对转角。
由于原结构的实际变形是处处连续的，显然同一截面两侧不可能有相对转动或移动，故位移条件为B 点两侧截面相对转角等于零。
由位移条件建立力法方程如下δ11X1+Δ1P=0(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩图MP 图和单位弯矩图M1图，如图19.13(c)、(d)所示。
利用图乘法求得系数和自由项分别为(4) 求多余未知力 将以上系数和自由项代入力法方程，得(5) 作内力图 ① 根据叠加原理作弯矩图，如图 (e)所示。
② 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图 (f)所示11212(11)233ll EI EIδ=⨯⨯⨯=21(32)48P P ql l EI+∆=-2112(32)0348(32)32l P ql l X EI EIP ql l X +-=+=15.3 力法的计算步骤和示例（三） 铰接排架【例】计算图 (a)所示排架柱的内力，并作出弯矩图。
【解】(1) 选取基本结构 此排架是一次超静定结构，切断横梁代之以多余未知力X1得到基本结构如图 (b)所示。
(2) 建立力法方程 δ11X1+Δ1P=0(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩图MP 图和单位弯矩图M1图如图 (c)、(d)所示。
利用图乘法计算系数和自由项分别如下(4) 计算多余未知力 将系数和自由项代入力法方程，得解得X1=-5kN(5) 作弯矩图 按公式M=M1X1+MP 即可作出排架最后弯矩图如图 (e)所示。
13521760033X EI EI+=15.6 超静定结构的位移计算 一次超静定钢架用力法计算超静定结构，是根据基本结构在荷载作用和全部多余未知力共同作用下内力和位移应与原结构完全一致这个条件来进行的。
结构力学教案位移法和力矩分配法
§7-6 用位移法计算有侧移刚架例1.求图(a)所示铰接排架的弯矩图。
解：（1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z 1。
（2）位移法方程为 01111=+P R Z r（3）求系数和自由项2211123l il i r ==∑ql R P 431-=（4）代入方程求未知量iql Z 1631=（5）绘制弯矩图例2.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M 图 解：（1）此刚架具有一个独立转角Z 1和一个独立线位移Z 2。
在结点C 加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图(b)所示的基本结构。
（2）建立位移法方程01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r （3）求各系数和自由项i i i r 73411=+=， i r r 5.12112-==1615434122222ii i r =+=01=P RkN ql RP 6030832-=--=（4）求未知量i Z 87.201=，i Z 39.972= （5）绘制弯矩图例3.用直接平衡法求刚架的弯矩图。
解：（1）图示刚架有刚结点C 的转角Z 1和结点C 、D 的水平线位移Z 2两个基本未知量。
设Z 1顺时针方向转动，Z 2向右移动。
（2）求各杆杆端弯矩的表达式3421+-=Z Z M CA 3221--=Z Z M AC 13Z M CD = 25.0Z M BD -= （3）建立位移法方程有侧移刚架的位移法方程，有下述两种：Ⅰ.与结点转角Z 1对应的基本方程为结点C 的力矩平衡方程。
∑=0CM ， 037021=+-⇒=+Z Z M M CD CAⅡ.与结点线位移Z 2对应的基本方程为横梁CD 的截面平衡方程。
∑=0xF， 0=+D C CA Q Q取立柱CA 为隔离体(图(d))，∑=0A M ， 331216262121-+-=---=Z Z ql Z Z Q CA 同样，取立柱DB 为隔离体（(e))，∑=0B M ， 2212165.0Z Z Q DB =--= 代入截面平衡方程得 03125012133121221=-+-⇒=+-+-Z Z Z Z Z（4）联立方程求未知量 Z 1=0.91 Z 2=9.37（5）求杆端弯矩绘制弯矩图将Z 1、Z 2的值回代杆端弯矩表达式求杆端弯矩作弯矩图。
结构力学——6位移法和力矩分配法
△ △
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点1 、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长 度不变，故三个结点均有相同的水平位移 FP △ 。
1
2
3
4
5
6
(a)
事实上，图(a)所示结构的独立线位移数 将结构的刚结点(包括固定支座)都变成 目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目 铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何 是相同的。因此，实用上为了能简捷地确 不变添加的最少链杆数，即为原结构的独 定出结构的独立线位移数目，可以 立线位移数目(见图b)。
4
5
6
(a)
共有四个刚结点，结点线位移数目为二 ，基本未知量为六个。基本结构如图所 示。
7
10 返回
5
6
(b)
例：确定图a所示连续梁的基本结构。 D B A C D B A C
（图a）
A A
B B
基本结构 基本结构
C C
D （图b） D
在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。
EI
第六章
位移法和力矩分配法
§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法典型方程计算步骤和示例 §6—4 力矩分配法的基本概念 §6—5 用力矩分配法计算连续梁 §6—6 用力矩分配法计算无接点线位移刚架
1
§6—1
位移法的基本概念
一、位移法的提出(Displacement Method)
M
A
B
0
2i
r11 4i 4i 0
8EI r11 8i l
2i
M1
得
15
求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩 图(MP图)。 取结点B为隔离体
结构力学(I)力矩分配法
M1B M1FB
M1C M1FC
S1 B ( R ) M1FB 1B ( R1P ) S 1P
1
1
S1C ( R ) M 1FC 1C ( R1P ) S 1P
1
力矩分配法采用了与位移法相同的基本结 构，即固定刚结点，在固定状态下刚臂上产生 约束力矩，为恢复到原状态，将刚臂放松（加 反方向约束力矩），求出放松状态产生的杆端 力矩，将固定状态与放松状态的杆端力矩叠加 即得结构的实际杆端力矩.
一. 基本概念
远端支撑 固定 铰支 滑动 转动刚度S 4i 3i i 传递系数C 1/2 0 -1
1
1
1
可避免解联立方程 不需要求出角位移 计算程式简单机械
哈工大 土木工程学院
4i
1 / 31
2i
3i
哈工大 土木工程学院
i
2 / 31
讨论 1 点在M作用下各杆端的弯矩 1M m1 0
列表法
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图
B
EI
A
EI
C
40 kN
10m
10m
q 10 kN/m
M F 100
分 配 传 递
0.571 0.429 100 0 57.1 42.9 42.9 42 .9
0 0
A
4m
EI
BБайду номын сангаас
4m
EI
C
6m
28.6
M 128.6
128 .6
0
42.9
M
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ql 2 /12
A
F F M BC M CB 0
第16章 位移法及力矩分配法
（2）近端位移弯矩的计算及分配系数 AB杆：远端为固定支座，转动刚度SBA = 4i BC杆：远端为铰支座，转动刚度SBC = 3i BD杆：远端为双滑动支座，转动刚度SBD = i
各杆近端（B端）的杆端弯矩表达式：
M BA
F F F M BA M BA 4i M BA S BA M BA
独立节点线 位移数为1
独立节点线 位移数为2
16.1.3 位移法的杆端内力
•（１）运用位移法计算超静定结构时，需要将结 构拆成单杆，单杆的杆端约束视结点而定，刚结点 视为固定支座，铰结点视为固定铰支座。当讨论杆 件的弯矩与剪力时可不予考虑，从而铰支座可进一 步简化为垂直于杆轴线的可动铰支座。结合边界支 座的形式，位移法的单杆超静定梁有三种形式，如 图1６-４所示。
第16章 位移法及力矩分配法
第16章 位移法及力矩分配法
16.1 位移法的基本概念 16.2 位移法的原理 16.3 位移法的应用 16.4 力矩分配法的基本概念 16.5 用力矩分配法计算连续梁 和无侧移刚 架
学习目标
• 通过本章的学习，熟悉位移 法的基本概念、力矩分配法 的概念；掌握位移法的原理， 能进行位移法的应用； 能够用力矩分配法计算连续梁 和无侧移刚架。
16.1位移法的基本概念
16.1.1 位移法基本变形假设
位移法的计算对象是由等截面直杆组成的杆系 结构，例如刚架、连续梁。在计算中认为结构仍然 符合小变形假定。同时位移法假设： （１）各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变； （２）刚性结点所连各杆端的截面转角是相同的。
16.1.2 位移法基本未知量
S BA M BA
S BC M BC
S BD M BD
结构力学6位移法和力矩分配法
△
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点 1
2△
3△
1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其
长度不变，故三个结点均有相同的水平位 移△ 。Biblioteka FP456
(a)
事将实结上构，的图刚(a结)所点示(包结括构固的定独支立座线)都位变移成数
铰目结，点与(图成(为b)铰所结示体铰系结)体,则系使的其线成位为移几数何目不 变是添相加同的的最。少因链此杆，数实，用即上为为原了结能构简的捷独地立确
线定位出移结数构目的(独见立图线b)位。移数目，可以
7
(b)
返回
ZZ1 1
Z 1Z 1
FF11
CC
DD
CC
DD
FF22
BB
BB ZZ2 2
EE Z2Z2
EE
AA
FF
AA
FF
结构有四个刚结点——四个结点角位移。
需增加两根链杆， 2个独立的线位移。
位移法的基本未知量的数目为6个。
需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件， 变形后两端之间的距离不能看作是不变的。
D l
l
1
FC
B
B
F
C
B B
l/ 2 l/2
A
l/ 2 l/ 2
三次超静定图示刚架
力 法：三个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
l
力法与位移法必须满足的条件：
1.力的平衡; 2. 位移的协调; 3. 力与位移的物理关系。
位移法的基本假定：
（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。
例如 ( 见图a) 基本未知量三个。
2
3
5
工程力学-结构力学课件-8力矩分配法
40kN .m
求不平衡力矩
40kN.m
A EI
6m
C B EI
4m
MBu
20kN / m
40kN .m
60
60
M
u B
60
40
100kN .m
A
60 B
C
40
8 /17 9 /17
M F 60
60
分 配
23.5
传
递
47 53
M 83.5 13 53
§8-2多结点的力矩分配A q 12kN / m
对于同层柱等高，剪力分配系数可简化为按各柱的线刚度进行
分配，即
i
ii ii
顶层：
1
i1 ii
1 3
2
3
底层：
5
i5
2
0.4
ii 1.5 2 1.5
4
i4 ii
1.5 1.5 2 1.5
0.3
6
(2)计算各柱剪力
第8章 渐近法及其他算法简介
§8-1 力矩分配法的基本概念
力法、位移法：精确，求解方程。 力矩分配法是基于位移法，逐步逼近精确解 的近似方法。 单独使用时只能用于无侧移（无线位移）的 结构。
1.名词解释
B
q 1
C
M1B 3i ql2 / 8
M1A 4i ql 2 / 4
M1C i
1.8 3.5 2.6
… … ...
M1FA ql 2 / 8 150
M1F2 ql 2 / 12 100
S21 4i
S2B 3i
第15章 位移法和力矩分配法
EI B i =EI/l
线刚度
l
M AB 4i M BA 2i
2i A 4i M图 B A 6i/l
VAB 6i / l VBA 6i / l
B 6i/l V图
A l
EI
B △=1
M AB 6i / l M BA 6i / l
6i/l A M图
VAB 12i / l 2 VBA 12i / l 2
2、基本未知量 基本未知量: 包括角位移和独立的结点线位移 在所有刚结点上加刚臂 在有结点线位移的方向上加连杆 角位移=刚结点数 独立线位移 =? ☆‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几 何不变所需加的支杆数。
Z1
Z2
Z1
Z2
Z3
Z1 EI Δ1 EI q
Z2
Z3
EI
Z2 EI
q Z1
位移法的基本结构不唯一!!
△1
EI
q
EI
例1 用位移法计算图示连续梁
Z1
r
r11
3i
11
Z1+ R1F =0
R1
EI
q
EI
3i
2
r
11
=6i
R1F
ql 2 / 8
R1F
q
R1F ql2 / 8
ql 8
Z1 ql2 / 48i
M M1Z1 M F
ql2 / 16
MP
r11
3i
Z1=1 3i
M
M1
例2 用位移法计算图示连续梁，EI=常数。
B
MB
B
M BA
C
M BA BA ( M B ) 57.1
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§7-6 用位移法计算有侧移刚架例1.求图(a)所示铰接排架的弯矩图。
解：（1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z 1。
（2）位移法方程为01111=+P R Z r（3）求系数和自由项2211123l il i r ==∑ql R P 431-=（4）代入方程求未知量iql Z 1631=（5）绘制弯矩图例2.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M 图 解：（1）此刚架具有一个独立转角Z 1和一个独立线位移Z 2。
在结点C 加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图(b)所示的基本结构。
（2）建立位移法方程01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r（3）求各系数和自由项i i i r 73411=+=， i r r 5.12112-==1615434122222ii i r =+=01=P RkN ql R P 6030832-=--=（4）求未知量i Z 87.201=，i Z 39.972=（5）绘制弯矩图例3.用直接平衡法求刚架的弯矩图。
解：（1）图示刚架有刚结点C 的转角Z 1和结点C 、D 的水平线位移Z 2两个基本未知量。
设Z 1顺时针方向转动，Z 2向右移动。
（2）求各杆杆端弯矩的表达式3421+-=Z Z M CA 3221--=Z Z M AC 13Z M CD =25.0Z M BD -=（3）建立位移法方程有侧移刚架的位移法方程，有下述两种：Ⅰ.与结点转角Z 1对应的基本方程为结点C 的力矩平衡方程。
∑=0CM ， 037021=+-⇒=+Z Z M M CD CAⅡ.与结点线位移Z 2对应的基本方程为横梁CD 的截面平衡方程。
∑=0xF， 0=+DC CA Q Q取立柱CA 为隔离体(图(d))，∑=0A M ， 331216262121-+-=---=Z Z ql Z Z Q CA同样，取立柱DB 为隔离体（(e))，∑=0B M ， 2212165.0Z Z Q DB =--= 代入截面平衡方程得03125012133121221=-+-⇒=+-+-Z Z Z Z Z（4）联立方程求未知量 Z 1=0.91 Z 2=9.37（5）求杆端弯矩绘制弯矩图将Z 1、Z 2的值回代杆端弯矩表达式求杆端弯矩作弯矩图。
例4.计算图(a)所示结构C 点的竖向位移。
解：解法（一）——用典型方程求解（1）确定基本未知量。
变截面处C 点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图(b)所示。
其中未知量是C 点角位移Z 1和C 点的竖向线位移Z 2。
（2）位移法典型方程 01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r（3）求各系数和自由项i i i r 128411=+=， lil i l i r r 66122112-=+-== 22222361224lil i l i r =+=, 01=P R , ql R P -=2（4）求未知量EI ql Z 6631=，EIql Z 3342=Z 2即为所求的C 点的竖向位移。
解法（二）——用直接平衡法求解 （1）确定基本未知量为C 点的角位移C ϕ和竖向线位移C ∆（2）求各杆杆端弯矩表达式2121128ql l i i M C C CA +∆-=ϕ，ql li l i Q C C CA 2124122-∆+-=ϕ，2121124ql l i M C C AC -∆-=ϕ，212164ql l i i M C C CB -∆+=ϕ，ql li l i Q C C CB 211262+∆--=ϕ，212162ql l i M C C BC +∆-=ϕ（3）建立位移法方程∑=0CM ， 06120=∆-⇒=+C C CB CA lii M M ϕ ∑=0yF ， 036602=-∆+-⇒=-ql l il i Q Q C C CB CA ϕ （4）解方程求C ϕ和C ∆ EI ql C 663=ϕ，EIql C 334=∆§7-7 用剪力分配法计算等高铰结排架适用范围——适用于横梁刚度无穷大只有结点线位移的铰接排架或刚架（等高或不等高） 一、柱顶有水平集中荷载作用的计算1.取水平横梁为隔离体，由∑=0x F 得 ∑=i Q P2.求每根竖柱的柱顶剪力， Z h EI l i Q ii i 3233=∆=则P P h EI h EI Q Z h EI Q P i ii iii ii i η==⇒==∑∑∑333333 令33ii i h EI =γ，称为抗侧移刚度系数；∑=iii γγη称为剪力分配系数。
3.作柱的弯矩图。
把每一根竖柱看成柱上端作用有集中荷载i Q 的悬臂梁作弯矩图。
对于刚架结构：Z h EI l iQ i i i 321212=∆=，312ii i h EI =γ 注意：对多层多跨刚架，当横梁刚度无穷大（EI →∞）时，横梁可以看作无结点角位移的刚性梁，此时同样可以用剪力分配法求刚架在水平结点荷载作用下的弯矩图。
在工程中主要用于梁柱线刚度比3/>c b i i 时的强梁弱柱式刚架在水平风荷载作用下的内力计算，即反弯点法。
二、柱间有水平均布荷载作用的计算1.在柱顶增加一水平链杆，使排架不产生水平位移，由表7.1求得附加链杆的约束反力R 。
2.将力R 取反方向后再作用在排架上，利用剪力分配法求得各柱端剪力。
3.将以上两种情况叠加，求得最后结果。
§7-8 对称性的利用对称简化计算的另外一种方法——取半边结构，减少结点位移数目以达到简化减少的目的。
一、奇数跨对称结构 1.正对称荷载作用情况变形正对称，对称轴截面不能水平移动，也不能转动，但是可以发生竖向移动。
取半边结构时可以用滑动支座代替对称轴截面。
对称轴截面上一般有弯矩和轴力，但没有剪力。
2.反对称荷载作用情况变形反对称，对称轴截面在左半部分荷载作用下向下移动，在右半部分荷载作用下向上移动，但由于结构是一个整体，在对称轴截面处不会上下错开，故对称轴截面在竖直方向不会移动，但是会发生水平移动和转动，故可用链杆支座代替。
对称轴截面上无弯矩和轴力，但一般有剪力。
二、偶数跨对称结构 1.正对称荷载作用情况变形正对称，对称轴截面无水平位移和角位移，又因忽略竖柱的轴向变形，故对称轴截面也不会产生竖向线位移，可以用固定端支座代替。
中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩和剪力，但有轴力。
对称轴截面对梁端来说一般存在弯矩、轴力和剪力，对柱端截面来说只有轴力。
2.反对称荷载作用情况变形反对称，中柱在左侧荷载作用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二者等值反向，故总轴力等于零，对称轴截面不会产生竖向位移，但是会发生水平移动和转动，是由中柱的弯曲变形引起的。
中柱由左侧荷载和右侧荷载作用产生的弯曲变形的方向和作用效果相同，故中柱有弯曲变形并产生弯矩和剪力，取半边结构时可取原结构对称轴竖柱抗弯刚度的一半来计算。
三、无剪力分配法1.适用范围：刚架中的侧移杆件（竖柱）都是剪力静定杆，既可求单层刚架，也可求多层。
剪力静定杆——下端固定，上端有侧移但该截面剪力为零，侧移对杆端内力无影响，可简化为下端固定上端滑动的超静定杆件。
2.解题方法：可用位移法，也可用力矩分配法。
例1.已知EI=常数，用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。
解：（1）确定基本未知量为B 点的角位移Z 1（2）用直接平衡法求Z 12161ql iZ M BA -= 2131ql iZ M AB --= 211633ql iZ M BC -=∑=0BM ， 2121192170481740ql Z ql iZ M M BC BA =⇒=-⇒=+ （3）代入杆端弯矩表达式，绘制弯矩图22164561ql ql iZ M BA -=-= 2216451633ql ql iZ M BC =-=221642731ql ql iZ M AB -=--= 2645ql26427ql212837ql(1)(2)175.8175.8154.2673.4519.2560.8673.4519.2154.2560.8例2.利用对称性求下图刚架的弯矩图。
解：（1）图示对称结构可分为在正对称和反对称荷载两种情况下的作用。
（2）在正对称荷载作用下，只有横梁产生轴力，无其它内力。
（3）在反对称荷载作用下，可简化为下图的半边结构求解。
在半边结构中，每一层竖柱均可看作下端固定、上端滑动的剪力静定杆，而柱顶承受以上各层传来的剪力，等于以上各层所有水平荷载之和。
横梁则看作一端固定、一端铰支的梁。
（4）由直接平衡法求半边结构。
确定基本未知量是B 、C 两点的结点角位移Z 1 和Z 2，列各杆端的弯矩表达式。
54052111-=-=Z Pl iZ M BA54052111--=--=Z Pl iZ M AB1655.35.321--=Z Z M BC11162543Z Z M BE =⨯=1655.35.312--=Z Z M CB22162543Z Z M CD =⨯=∑=0BM ， 07055.35.170021=--⇒=++Z Z M M M BE BC BA ∑=0CM， 01655.35.165012=--⇒=+Z Z M M CD CB联立求解得Z 1 = 4.157；Z 2 =1.085，代入求杆端弯矩绘制弯矩图。
第八章 力矩分配法及连续梁的影响线§8-1 力矩分配法的基本概念一、概述1.定义——力矩分配法是建立在位移法基础上的一种渐近法，在计算过程中需要采取逐次修正的步骤，计算轮次越多，结果精度越高。
2.适用范围——无侧移结构，即多跨连续梁和无侧移刚架。
3.正负号规定——杆端转角、杆端内力正负号规定同位移法。
二、几个概念 1.转动刚度AB S（1）定义——杆端对转动的抵抗能力，等于使杆端产生单位转角时所需要施加的力矩，可用杆端产生单位转角时在杆端引起的杆端弯矩代替，与杆件的线刚度和远端支承情况有关。
（2）四种情况远端固定 i S AB 4=；远端铰支 i S AB 3=； 远端滑动 i S AB =； 远端自由 0=AB S 2.力矩分配系数Aj μ （1）定义式：∑=AjAjAj SS μ（2）∑=1Aj μ如图(a)所示刚架，其上各杆件均为等截面直杆。
刚结点不发生线位移只有角位移，我们称它为力矩分配法的一个计算单元。
设在该单元的结点1作用一集中力偶M(结点外力偶以顺时针转向为正)，现要求出汇交于结点1之各杆的杆端弯矩值。
对此我们称之为力矩分配法的基本运算。
∑=01M ， ()04301141312141312=++-⇒=++θi i i M M M M 求得 141312143i i i M++=θ则 M i i i i i M 14131212112124333++==θ， M i i i i i M 14131213113134344++==θ，M i i i i i M 141312141141443++==θ， 021=M ， 113312θi M =， 11441θi M -=3.传递系数AB C （1）定义式：ABBAAB M M C =，即杆件近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值,也可写成AB AB BA M C M =。