第四强度理论校核
材料力学第五版课后习题答案
7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。
由于实用的原因，图中的α角限于060~0范围内。
作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。
现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。
为了使杆能承受最大的荷载F ，试问α角的值应取多大？ 解：AFx =σ；0=y σ；0=x τ ατασσσσσα2s i n 2c o s 22x yx yx --++=][22cos 12cos 22σαασα≤+=+=A F A F A F ][22cos 1σα≤+A F ，][cos 2σα≤AFασ2cos ][A F ≤，ασ2max,cos ][AF N = ατασστα2c o s 2s i n 2x yx +-=][3][2sin στατα=≤=F ，σ][5.1A F ≤，σ][5.1max,AF T =由切应力强度条件控制最大荷载。
由图中可以看出，当060=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为：A F ][732.1max σ=7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为m 72.0的截面上，在顶面以下mm 40的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x 轴之间的夹角。
解：（1）求计算点的正应力与切应力MPa mm mm mm N bh My I My z 55.1016080401072.01012124363=⨯⨯⋅⨯⨯⨯===σMPa mm mm mm N bI QS z z 88.0801608012160)4080(10104333*-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==τ （2）写出坐标面应力 X （10.55，-0.88）Y （0，0.88）(3) 作应力圆求最大与最小主应力，并求最大主应力与x 轴的夹角 作应力圆如图所示。
从图中按比例尺量得：MPa 66.101=σ MPa 06.03-=σ 0075.4=α7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。
四种强度理论
最后，要注意强度设计的全过程
要确定构件危险状态、危险截面、 危险点，危险点的应力状态。
例 题1
23 11 10
MPa
已知 ： 铸铁构件上 危险点的应力状态。 铸铁拉伸许用应力 [st] =30MPa。
求：试校核该点的 强度。
例 题1
解：首先根据材料 和应力状态确定失效 形式，选择强度理论。
2. 利用强度理论建立强度条件 （1）对破坏形式分类； （2）同一种形式的破坏，可以认为是 由相同的原因造成的； （3）至于破坏的原因是什么，可由观 察提出假说，这些假说称为强度 理论; （4）利用简单拉伸实验建立强度条件。
§10－2 四个常
脆性断裂 塑性屈服
（一）脆性断裂理论
2. 最大伸长线应变理论
无论材料处于什么应力状态，只要最 大伸长线应变达到极限值，材料就发生脆 性断裂。
破坏原因：etmax （最大伸长线应变） 破坏条件：e1= eo
强度条件：s1－n（s2+s3） sb/n=[s]
适用范围：石、混凝土压； 铸铁二向拉-压（st sc）
（二）塑性屈服理论
1. 最大剪应力理论（第三强度理论）
一、两个概念：
1、极限应力圆：
t
ts
极限应力圆
O
s
s s3
s s2
s s1
2、极限曲线：
3、近似极限曲线：
二、莫尔强度理论：
任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即 将屈服或剪断。
下面推导莫尔强度理论的破坏条件
整理 得破坏条件
强度条件：
相当应力：
适用范围：
考虑了材料拉压强度不等的情况，可以用于铸 铁等脆性材料，也可用于塑性材料。当材料的拉压强 度相同时，和第三强度理论相同。
工程力学第5节 强度理论
max 0
1 3 max 13 2
第三强度理论 建立的强度条件
1 3 s
1 3 [ ]
4、形状改变比能理论（第四强度理论） 这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破 坏的主要因素。即无论什么应力状态，只要构件内 一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限 值，材料就要发生屈服破坏。经推导可得危险点处 于复杂应力状态的构件发生塑性屈服破坏的条件为
二、四种强度理论 1、最大拉应力理论（第一强度理论） 该理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最 大拉压力。即无论什么应力状态下，只要构件内一 点处的最大拉压力达到单向应力状态下的极限应力， 材料就要发生脆性断裂。于是危险点处于复杂应力 状态的构件发生脆性断裂破坏的条件为：
1 b
第一强度理论 建立的强度条件
1 b / E 1 1 [1 ( 2 3 )] E
第二强度理论 建立的强度条件
1 ( 2 3 ) b
1 ( 2 3 ) [ ]
3、最大切应力理论（第三强度理论） 这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因 素。即无论什么应力状态，只要最大切应力达到单 向应力状态下的极限切应力，材料就要发生屈服破 坏。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生塑性 屈服破坏的条件为：
纵截面上的正应力
2）确定主应力 因t <<D，p 值比 和 小得多，工程计算常忽略。
pD 150106 Pa 2t
1 150MPa 2 75MPa 3 0
3）按照形状改变比能理论校核强度
r 4 1 2 2 3 3 1
2 1 2 2 2 3
第四强度理论校核
第四强度理论校核 Revised by Petrel at 2021
强度校核（第四强度理论）取最危险的截面，合成截面所受正应力、切应力、扭矩，再合成校核强度
，故公式：
：屈服强度：正应力：切应力：挤压强度（起重轨道用）
W可查询机械设计手册（第五版）1-113
...
[：许用屈服强度=[=0.58：许用剪切强度
安全系数：
1.5-2倍（交变应力小，如门铰链）
5-6倍（交变应力大，如电机轴，普通材料取6倍，不锈钢软材料取5倍）
计算实例：
1Cr18Ni9材质的实心轴，轴向力16kN，径向力21kN，截面积1965mm2，无弯矩、转矩，无交变
1Cr18Ni9
，
<
圆轴刚度计算（扭转角度）
G：切变模量E：弹性模量：泊松比：极惯性矩。
四大强度理论
六、例题： 例题1、薄壁容器，厚度 δ<< 平均直径D，在容器中贮满
水，水结冰后，将容器涨破，而冰不碎，解释原因。
解：⑴、水结冰时，发生膨胀，容器将受到内压作用，其单 元体的应力状态为二向拉应力状态。
15
p
李禄昌
p
1
p
1
2
1
由纵向截面上的静力平衡条件
Y 0 2 l p D l 0
轴向拉伸时
1 s , 2 3 0 ud 1 2 s2
6E
11
李禄昌
3、强度条件：
1 s 2 1 1 2 2 2 2 22 2 s uf (21 3 3 ) (3 ) u 1 2( 2 6 f 2) 3 11 E n 2 6E s
1
b
n
4、存在问题：⑴、该理论只考虑σ1 ，而没有考虑σ2 、σ3的 影响。⑵、当σ1＜0，即没有拉应力的应力状态时，它不能对 材料的压缩破坏作出合理解释。⑶、 σ1必须是拉应力。
4
李禄昌 试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆 性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂 破坏发生于拉应力最大的横截面上。 脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂， 这些都与最大拉应力理论相符。
x
x
得主应力
1 =14.5 103 F ( MPa) 2 0 3 1.8 10 F ( MPa)
3
19
李禄昌
⑶、对于钢材，利用第三强度理论强度条件：
r 3 1 3 [ ]
代入有关参数得：
[ ] F 9.8 KN 3 16.3 10
周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析
![周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析](https://img.taocdn.com/s3/m/cbb06210a417866fb94a8e07.png)
8-49现用某种黄铜材料制成的标准圆柱形试件做拉伸试验。
已知临近破坏时，颈缩中心部位的主应力比值为113321::::=σσσ；并已知这种材料当最大拉应力达到770MPa 时发生脆性断裂，最大切应力达到313MPa 时发生塑性破坏。
若对塑性破坏采用第三强度理论，试问现在试件将发生何种形式的破坏？并给出破坏时各主应力之值。
解： 令主应力分别为：σσ31=，σσσ==32脆性断裂时，由第一强度理论=1r σσσ31==770MPa所以，塑性破坏时，由第三强度理论 所以故，试件将发生脆性断裂。
破坏时MPa 7701=σ，MPa 25732==σσ8-50 钢制圆柱形薄壁压力容器（参见图8-13），其平均直径mm d 800=，壁厚mm 4=δ，材料的M P a ][120=σ，试根据强度理论确定容器的许可内压p 。
解：在压力容器壁上取一单元体，其应力状态为二向应力状态。
p pd 504'==δσ ，p pd1002"==δσ 其三个主应力为p 100"1==σσ， p 50'2==σσ，03=σ据第三强度理论所以 ，MPa p 2.13≤，许可内压MPa p 2.13= 据第四强度理论所以，MPa p 39.14≤，许可内压MPa p 39.14=8-51 空心薄壁钢球，其平均内径mm d 200=，承受内压MPa p 15=，钢的MPa ][160=σ。
试根据第三强度理论确定钢球的壁厚δ。
解：钢球上任一点应力状态如图示 其三个主应力为：σσσ==21，03=σ而 MPa MPa d p R R p δδδδππσ4342.0152222=⨯=⋅=⋅⋅=据第三强度理论 所以 mm m 69.41069.41601433=⨯=⨯≥-δ 8-52 图8-77所示两端封闭的铸铁圆筒，其直径mm d 100=，壁厚mm 10=δ，承受内压MPa p 5=，且在两端受压力kN F 100=和外扭矩m kN T ⋅=3作用，材料的许用拉应力MPa ][40=+σ，许用压应力MPa ][160=-σ，泊松比250.=ν，试用莫尔强度理论校核其强度。
第四强度理论的适用范围
2 0
3
2
2
t 2
27.7
MPa
2
由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四 强度理论校核a点的强度。
9
按第三度理论校核
r3 1 3 150 .4 MPa 27.7 MPa 178 .1 MPa
170 MPa r3 178 .1 MPa 1.05 178 .5MPa
M max ya Iz
80103 N m 135103 m 88106 m4
122.7 MPa
t
FS,m
ax
S
* z,a
64.6 MPa
8
Izd
点a处的主应力为
1
2
150.4 MPa
2
x 122.7MPa y 0 t x t 64.6MPa
适用范围： 塑性破坏，拉压屈服极限相同的塑性材料。
应用条件：常温(室温)，静荷载(徐加荷载)，材料 接近于均匀,连续和各向同性。
2
二、第四强度理论的适用范围
第四强度理论即形状改变能密度理论
第四强度理论属于第二类强度理论
研究塑性屈服力学因素
相应的强度条件是：
r4
1 2
1
2 2
(e)
tmax
F S* S,max z,max Izd
200103 N 338106 m3 88106 m4 9103 m
85.4 MPa
t max 85.4 MPa t 100 MPa
所以梁满足切应力强度条件。
材料力学试题带答案B
试卷类型：B 卷一、判断题（判断以下论述的正误，认为正确的就在答题相应位置划“T”，错误的划“F”。
每小题 1分，共10 分）1.材料力学主要研究杆件受力后变形与破坏的规律。
（）2.工程构件正常工作的条件是必须同时满足必要的强度、刚度和稳定性。
（）3.由切应力互等定理可知，在相互垂直平面上，切应力总是成对出现，且数值相等，方向则共同指向该两平面的交线。
（）4.截面法是分析应力的基本方法。
（）5.只有静不定结构才可能有温度应力和装配应力。
（）6.圆轴扭转时，横截面上既有正应力，又有剪应力。
（）7.截面的主惯性矩是截面对通过该点所有轴的惯性矩中的最大值和最小值。
（）8.梁端铰支座处无集中力偶作用，该端的铰支座处的弯矩必为零。
（）9.若集中力作用处，剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。
（）10.在平面图形的几何性质中，静矩和惯性积的值可正、可负、也可为零。
（）二、填空题（本题共有10个空，填错或不填均不能得分。
每空2分，共20分）1.基本变形中：轴向拉压杆件横截面上的内力是，扭转圆轴横面上的内力是，平面弯曲梁横截面上的内力是和。
2.图所示铆钉联接件将发生挤压与剪切破坏，铆钉所受剪应力大小为，接触面上的挤压应力为。
(a)(b)PP3.EA称为材料的。
4.图示正方形截面简支梁，若载荷不变而将截面边长增加一倍，则其最大弯曲正应力为原来的倍，最大弯曲剪应力为原来的倍。
5.剪切的胡克定律表明：当应力不超过材料的pτ时，切应力τ与切应变γ成比例关系。
三、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。
答案选错或未选者，该题不得分。
每小题2分，共20分）1.下列结论中，只有哪个是正确的 。
A 材料力学的任务是研究材料的组成分析； B 材料力学的任务是研究各种材料的力学性能；C 材料力学的任务是在保证安全的原则下设计结构的构件；D 材料力学的任务是在即安全又经济的原则下，为设计结构构件提供分析计算的基本理论和方法。
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强度校核（第四强度理论）
取最危险的截面，合成截面所受正应力、切应力、扭矩，再合成校核强度
σ0=√σx2+σy2−σxσy+3τxy2σ y=0
→
，故公式：σ0=√σx2+3τxy2
σ0：屈服强度σ x：正应力τxy：切应力σ y：挤压强度（起重轨道用）
σ x1=F
正/S
截面
σ x2=M
弯
/W=弯矩/抗弯截面系数W 可查询机械设计手册（第五版）1-113
τ xy1=F
切/S
截面
τ xy2=M
转
/W n=转矩/抗扭截面系数圆轴W n=2W
σ y=F
压/S
截面
...
[σs]（[σ2]）：许用屈服强度[τs]= [σs]/√3=0.58[σs]：许用剪切强度
安全系数：
1.5-2倍（交变应力小，如门铰链）
5-6倍（交变应力大，如电机轴，普通材料取6倍，不锈钢软材料取5倍）
计算实例：
1Cr18Ni9材质的实心轴，轴向力16kN，径向力21kN，截面积1965mm2，无弯矩、转矩，无交变1Cr18Ni9 σ 0.2=205MPa [σs]=205/2=102.5MPa
σ x=16000
1965=8.14MPa，τ xy=21000
1965
=10.69MPa
σ0=√8.142+3×10.692=20.2MPa< [σs]=102.5MPa
圆轴刚度计算（扭转角度）
φmax=T max
GI p
rad/m=
T max
GI p
×
180
π
°/m G=E/2(1+μ)
G：切变模量E：弹性模量μ：泊松比I p：极惯性矩。