第七节 拉普拉斯方程的边值问题.
Laplace方程边值问题的五点差分格式
支越
（ 中国传媒大学信息科学与技术学部，北京 100024）
摘要： 使用差商代替导数法与积分插值法建立 Laplace 方程边值问题五点差分格式。 关键词： Laplace 方程； 五点差分格式 中图分类号： O241． 82 文献标识码： A 文章编号： 1673 － 4793（ 2019） 04 － 0038 － 04
分格式联立，消去未知量 u －1，0 和 u0，－1 ，( 0，N) ，( N，0 ) 和 ( N，N) 类似处理。 角点 ( 0，0 ) ，－ u1，0 － u0，1 + 2u00 = 2hβ00
角点 ( 0，N) ，－ u0，N－1 － u1，N + 2u0N = 2hβ0N
角点 ( N，0 ) ，－ uN，1 － uN－1，0 + 2uN0 = 2hβN0
Five-Point Difference Scheme for Boundary Value Problems of Laplace Equation
ZHI Yue
（ Faculty of Science and Technology，Communication University of China，Beijing 100024，China）
1 引言
( ) Laplace 方程： －
2 u x2
+
2 u y2
= 0 ，或 － Δu = 0 ，( x，y) ∈ Ω ，Ω 是平面上的有界区域，边界 Γ 为分段光
滑曲线。
{ ( ) Laplace 方程的第一边值问题（ Dirichlet 问题）
－
2 u x2
+
2 u y2
2.3二维拉普拉斯方程的边值问题
6
u rr
1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r0 ),
u | r r f ( ).
A 0
(4 1) B0 ,
0
其中A 0 , B 0 是任意常数。 只有当 A 0 0 时，函数 才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题(41) ( ) B . 的解为 2 0 代入问题(42)中的方程 r R ' ' rR ' R 0 , 再将 R 0 ( r ) C 0 ln r D 0 , 其通解为 其中C 0 , D 0 是任意常数。只有当 C 0 0 时，函数 R 0 才满足有界性条件。 | R ( 0 ) | . 因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R 0 ( r ) D 0 . 1 从而得原方程(39)的一个非0解 u ( r , ) B D a .
2
' ' 0 .
由于温度函数 u ( r , ) 是单值的，所以当 从 变到 2 时，u ( r , 2 ) u ( r , ) 成立， 从而有
( 2 ) ( ).
同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度 应该是有界的，因而 | u ( 0 , ) | R (r ) 应满足条件
2 2
( n 1, 2 , )
解 作变换 r e t 则有
Rr Rt 1 r ,
t ln r
R rr ( R tt 1 r ) 1 r Rt ( 1 r
拉普拉斯Laplace定理PPT课件
b11 L br1
L L L
b1r L brr
br1 L brr
为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果．
§2.8 Laplace定理
.
7
1 2 14
例1：计算行列式
D
0 1
1 2 1 0 13
0 1 31
解：
M1
1 1
2 0
2,
M2
1 1
1 1
0,
M3
1 1
4 3
1,
M4
2 0
§2.8 Laplace定理
.
13
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx2 cx3 dx4 0
bcdxxx111
ax2 dx2 cx2
dx3 ax3 bx3
cx4 bx4 ax4
0 0 0
只有零解．其中 a,b,c,d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
.
14
证：系数行列式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
(k n)，位于这些行和列的交叉点上的 k 2个元素 按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 nk 级 行列 式 M ，称为 k 级子式 M 的余子式；
an1 an2 Lann
bn1 bn2 Lbnn
c11 c12 L c1n
则
D1D2
c21 M
c22 M
L c2n MM
cn1 cn2 L cnn
n
其中 c i j a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j L a i n b n j a ik b k j ,
三维拉普拉斯方程第二边值外问题
三维拉普拉斯方程第二边值外问题三维拉普拉斯方程是数学中的偏微分方程，描述了三维空间中的物理现象。
它的一般形式为：Δu = 0其中Δ是拉普拉斯算子，定义为Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²。
这里我们考虑三维拉普拉斯方程的第二边值外问题，即在给定边界条件下求解方程的解。
具体来说，我们考虑有界区域Ω内的拉普拉斯方程，在边界上给定了边界条件：u(x,y,z) = g(x,y,z)，(x,y,z) ∈ ∂Ω其中∂Ω表示Ω的边界，g(x,y,z)是已知函数。
这个问题的解决方法是通过将Ω离散化为网格上的有限点，并将拉普拉斯方程以离散的形式表示为线性方程组。
通常使用有限差分法或有限元方法来离散化方程。
在使用有限差分法离散化时，我们可以将连续区域Ω离散为n个网格点，将拉普拉斯方程在每个网格点处进行近似：∂²u/∂x² ≈ (u[i+1,j,k] - 2u[i,j,k] + u[i-1,j,k])/Δx²∂²u/∂y² ≈ (u[i,j+1,k] - 2u[i,j,k] + u[i,j-1,k])/Δy²∂²u/∂z² ≈ (u[i,j,k+1] - 2u[i,j,k] + u[i,j,k-1])/Δz²这样，原方程就变成了一个由差分方程组成的线性方程组：(u[i+1,j,k] - 2u[i,j,k] + u[i-1,j,k])/Δx²+ (u[i,j+1,k] - 2u[i,j,k] + u[i,j-1,k])/Δy²+ (u[i,j,k+1] - 2u[i,j,k] + u[i,j,k-1])/Δz² = 0其中i、j、k分别表示空间网格的索引，Δx、Δy、Δz表示网格间距。
根据边界条件，将方程组中的边界点进行特殊处理。
拉普拉斯方程和格林函数法
以上两个边值问题都是 区域内部求拉普拉斯方程的解. 这样的问题称为内问题.
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6．2 格林公式 设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域，
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在 上连续的，在
内具有一阶连续偏导数的任意函数， 则成立如下
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题， 拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题 也可以换一种说法：在区域 内找一个调和函数， 它在边界 上的值为已知.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面 上给出 连续函数 f
，要求寻找这样一个函数 u( x , y , z ) 它在 中是调和函数，在 上连续，在 u 上任一点处法向导数 存在，并且等于已知函数 f n u f 在该点的值： n 第二边值值问题也称牛曼（Neumann）问题.
内是调和的，M是 0
内任一点， K a 表示以 M为中心，以 0
1 u( M 0 ) udS . 2 4 a Ka
a
为半径，
且完全落在区域 内部的球面，则成立下列平均值公式
证明 将调和函数的积分表达式应用于球面 K a
且有
1 1 1 1 1 , 2, r a n r r r a
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（1）第一边值问题 在空间 ( x , y , z ) 中某一区域 的边界 上给定了连续函数 f ，要求这样一个函数 u( x , y , z ) ，它在闭域 (或记作 )上连续，在
内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在
拉普拉斯(Laplace)定理
§2-8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式 310120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ： 1042=M , M 的余子式为 1020='M .例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中,454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a aM ='是一对互余的子式. 定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
[1]拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。
中文名拉普拉斯方程外文名Laplace's equation别称调和方程、位势方程提出者拉普拉斯关键词微分方程、拉普拉斯定理涉及领域电磁学、天体物理学、力学、数学目录.1基本概述.▪在数理方程中.▪方程的解.2二维方程.3人物介绍基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。
在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中∇²称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
关于拉普拉斯算子和格林函数的数学理论和应用
关于拉普拉斯算子和格林函数的数学理论和应用拉普拉斯算子和格林函数是数学中的两个重要概念，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍拉普拉斯算子和格林函数的基本概念、性质和应用。
一、拉普拉斯算子拉普拉斯算子是向量算子，用于描述向量场的散度。
在三维空间中，拉普拉斯算子的表达式为：$$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$$其中，$\phi$ 为标量函数。
在二维平面和一维线性空间中，拉普拉斯算子的表达式分别为：$$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}$$$$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}$$拉普拉斯算子的性质很重要，其中最重要的性质是齐次性。
齐次性指的是，对于任意的标量函数 $\phi$，有如下等式成立：$$\Delta (af) = a \Delta f, \quad a \in \mathbb{R}$$也就是说，拉普拉斯算子可以与标量函数的加法和数乘交换顺序。
这个性质非常有用，因为它使得拉普拉斯算子可以应用于线性微分方程的解析和求和问题等。
二、格林函数格林函数是一种特殊的函数，用于求解偏微分方程的边界值问题。
偏微分方程的边界值问题是指，在某个空间区域内，给定方程的解在该区域边界上的特定值，解决方程在整个区域内的解。
例如，要求在一个矩形区域中求解波动方程的解。
格林函数的概念最早由数学家 George Green 提出，后来由格林本人描述，并被称为“格林函数”。
格林函数的实质是一个函数，它表示在某个点上的函数值，是由在其他所有点上的函数值共同决定的。
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w在 1与4之间时, 0 π , 1 0 ,
w在 1的左边时, 0 1 π ,
所以 T
T0
1 π
[(T1
T0 )0
(T2
T1 )1],
或T
T0
1 π
[(T1
T0 )arg(
w
4)(T2源自T1 )arg( w
1)],
当w取实数时, 取得边值.
v y
,
以上两式相加,化简得
2
x 2
2
y2
f
(z) 2
2
u2
2
v 2
,
因为 w f (z) 为共形映射, 所以 f (z) 0,
当 2
x 2
2
y2
0时,
2
u2
2
v 2
0.
［证毕］
三、应用举例
用 w z2 x2 y2 2ixy 将 z平面中的第一象
限映射成 w平面中的上半平面.
v
w1
1
T2 100 1 O T1 0
w(u, v )
w4
0
4 T0 100 u
w在实轴上4的右边:
arg( w 4) 0 0, arg( w 1) 1 0,
它把 ( x, y)变成 u,v的函数,
则 u v ,
x u x v x
2
x 2
u
2u x 2
2
u2
u x
2
uv
v x
u x
v
2v x 2
2
uv
例 一块金属薄板吻合于z平面中的第一象限, 上
下均绝缘, 因此热流严格限制在平面内. 如果边
界上的温度分布如图示, 求金属板上定常的温度
分布.
y
T2 100
1
T1 0
T1 0 T0 100 x
解 所求的定常温度分布T必满足拉普拉斯方程
2T x 2
2T y2
0,
且满足第一象限边界上的条件.
3 y2
. 4
四、小结与思考
拉普拉斯方程的边值问题常见于许多物理 应用之中.
放映结束，按Esc退出.
二、定理
如果 ( x,
y
)是拉普
拉斯方
程
2
x 2
2
y2
0 的解，
那末当 ( x, y)由一共形映射变成一个u,v的函数，
这个函数仍将满足拉普拉斯方程
2
u2
2
v 2
0.
拉普拉斯
证 设w f (z) u( x, y) iv( x, y)为一共形映射,
可看作是函数
iT0
1
[(T1
T0 )ln( w
4)
(T2
T1 )ln( w
1)]
的虚部,
此函数在上半平面处处解析.
所以 T
100 1 [(0 π
100)0
(100
0) 1 ]
100[π π
(1
0 )],
0
0
1
π
,
tan 0
u
v
, 4
u x
2
v 2
v x
v x
,
同样可得:
2
y2
u
2u y2
2
u2
u y
2
vu
v y
u y
v
2v y2
2
uv
u y
2
v 2
v y
tan1
u
v
. 1
即为拉普拉斯方程在w平面中的解.
变形后得
tanπ T 100
(x2
10xy y2 )2 3x2
3 y2
. 4
原问题的解为
T
100 arctan B, B π arctan B π , B
0
0
其中
B
(x2
10xy y2 )2 3x2
第七节 拉普拉斯方程的边值问题
一、问题的提出 二、定理 三、应用举例 四、小结与思考
一、问题的提出
问题: 求一个二元实变函数，使其在已知区域中 调和，并且在区域的边界上满足已知条件. 解决方法: 1. 对于简单区域可从某些熟知的解析函数直接求解. 2.对于复杂区域可通过一适当的共形映射将其变 为简单区域, 再求解.