长春市高考数学一模试卷(理科)D卷(模拟)
2024长春高三一模试卷数学
长春市2024年高三第一次模拟考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U =R ，集合20,{2}3x A x B x x x +⎧⎫=≥=>⎨⎬-⎩⎭，则()UA B = ð（）A.{2x x ≤-或3}x >B.{23}x x <≤C.{23}x x -<≤ D.{23}x x <<2.已知复数z 满足()34i 7i z +=+，则z =（）A.1B.C.D.3.在ABC 中，若4AB AC AP += ，则PB =（）A.3144AB AC -B.3144AB AC-+C.1344AB AC-+D.1344AB AC -4.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（）A .14种B.15种C.16种D.17种5.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点且与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点关于y 轴的对称点在直线2x =-上，则AB =（）A.3B.4C.5D.66.已知π2sin 128α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.116B.23C.12D.15167.2023120222023112023log ,20222,202a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b >>B.b a c>> C.c b a>> D.a b c>>8.半径为R 的球面上有,,,A B C D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若ABC ，ACD △，ADB △的面积之和为72，则此球体积的最小值为（）A.64πB.2563π C.144πD.288π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法错误的是（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差10.已知函数()sin (010)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则（）A.06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线6x π=对称C.若()()()12120f x f x x x ==≠，则12x x -是25π的整数倍D.()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调11.已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数()()()()127f x x x a x a x a =+++ ，若()01f '=，则（）A.{}lg n a 为单调递增的等差数列B.01q <<C.11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为单调递增的等比数列 D.使得1n T >成立的n 的最大值为612.已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 存在两个不同的零点B.函数()f x 既存在极大值又存在极小值C .当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D.若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(2,),(1,3)a m b ==- ，若a b ⊥，则m =___________．14.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，l 为双曲线的一条渐近线，F 到直线l，过F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若AB 长为10，则C 的离心率为________．15.若圆22:1024880C x y x y +-++=关于直线260ax by ++=对称，则过点(,)a b 作圆C 的切线，切线长的最小值是________．16.已知函数()f x 是R 上的奇函数，函数()g x 是R 上无零点的偶函数，若()0f π=，且()()()()f x g x f x g x ''>在(,0)-∞上恒成立，则()0()f xg x <的解集是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的公差不为0，且满足21421234,4a a a a a a a =++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：1223111114n n a a a a a a ++++< .18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C的对边，且:2a b =2sin B A =．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，求△ABC 的面积．19.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）若1PA AD ==，2AB =，求二面角E AC B --的余弦值．20.“学习强国”平台自上线以来，引发社会各界广泛关注，在党员干部中更是掀起了一股学习热潮．该平台以全方位、多维度、深层次的形式，展现了权威、准确、生动、有力的“视听盛宴”，为广大党员干部提供了便捷的学习平台、自我提升的“指南针”、干事创业的“加油站”．某单位为调查工作人员学习强国的情况，随机选取了400人（男性、女性各200人），记录了他们2021年年底的积分情况，并将数据整理如下：积分性别2000~3000（分）3001~4000（分）4001~5000（分）5001~6000（分）＞6000（分）男性8060302010女性206010020（1）已知某人积分超过5000分被评定为“优秀员工”，否则为“非优秀员工”，补全下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；优秀员工非优秀员工总计男性女性总计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从已选取的400人中随机抽取3人，记抽取的3人中属于“非优秀员工”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.100.050.0250.0100k 2.7063.8415.0246.63521.已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C 的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．22.已知函数2()ln(1)()f x x a x a =--∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在2x =处取得极值，对x (1,+)∀∈∞，1()ln 1x f x bx x-≤++恒成立，求实数b 的取值范围．数学试卷答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】BCD【12题答案】【答案】ABC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】23【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】12【16题答案】【答案】(,1)(0,1)-∞- 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）2n a n =；（2）证明略.【18题答案】【答案】（1）4B π=；（2）212ABC S =+ 或212-.【19题答案】【答案】（1）证明略（2）23-【20题答案】【答案】（1）列联表略，没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关（2）分布列略，数学期望为218【21题答案】【答案】（1）22163x y +=，离心率为22；（2）证明略.【22题答案】【答案】（1）当0a =时，()f x 在(1,+)∞上单调递增；当0a ≠时，()f x 在21(1,1a +上单调递增，在21(1+,+)a ∞上单调递减.（2）211,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
2023—2024学年吉林省长春高三上学期第一次摸底考试数学试题(含答案)
2023-2024学年吉林省长春高三上册第一次摸底考试数学试题
A．在1t时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在2t时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在[]23,t t这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
()f x t =-有四个不同的实根1234,,,x x x x 且()()3123log 1log 1x x -=-，即为3log 即有()()12111x x --=，即为121x x x x =+可得()34341110x x x x x x ⎛⎫
++=+=
⎪.
即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.
综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．
【方法点睛】求证不等式()()f x g x ≥，一种常见思路是用图像法来说明函数()f x 的图像在函数()g x 图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数()()()F x f x g x ＝－，通过导数研究函数()F x 的性质，进而证明欲证不等式．。
吉林省长春市2022届高三上学期质量监测(一)数学(理)试题
一、单选题二、多选题1. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知为数列的前n项和，若，则（ ）A．B．C．D．3. 已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝的定义域是（ ）A ．[0，1]B ．(0，1)C ．[0，1)D ．(0，1]4. 用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 25. 抛物线，焦点为，抛物线上一点，以为圆心，以为半径的圆与准线相切，与抛物线的相交弦长为6，则为（ ）A ．5B ．7C ．6D ．36. 已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．7.已知函数的图象经过点，则的图象在处的切线方程为（ ）A．B．C．D．8.已知集合，，则A．B．C．D．9.已知函数，下列结论不正确的是（ ）A ．函数图像关于对称B ．函数在上单调递增C ．若，则D ．函数f (x )的最小值为－210.已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则B ．曲线与直线相切C ．若为增函数，则的取值范围为D ．在上最多有个零点11. 给定函数．下列说法正确的有（ ）A ．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增B ．函数的图象与x 轴有两个交点C ．当时，方程有两个不同的的解D．若方程只有一个解，则吉林省长春市2022届高三上学期质量监测（一）数学（理）试题吉林省长春市2022届高三上学期质量监测（一）数学（理）试题三、填空题四、解答题12.已知函数，现给出下列结论，其中正确的是（ ）A．函数有极小值，但无最小值B．函数有极大值，但无最大值C．若方程恰有一个实数根，则D．若方程恰有三个不同实数根，则13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S，其中，，则S 的最大值为______．14. 设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.15. 若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为________．16.如图，已知直四棱柱，底面是菱形，，，，是和的交点，是的中点.(1)证明：平面；(2)求直线平面的距离.17. 设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.（1）求的值；（2）求函数的极值；（3）证明:.18.已知是数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.19. 某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若出现的次品数大于等于2，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．(1)假设设备正常状态，记X 表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求；(2)该设备由甲、乙、丙三个部件构成，若出现两个或三个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为，由丙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理，如果已经检测两个部件未出现故障，则第三个部件无需检测，直接修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元，丙部件的检测费用2400元，修理费用3600元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，工程师根据经验给出了三个方案：①按甲、乙、丙的顺序检测修理；②按乙、甲、丙的顺序检测修理；③按丙、乙、甲的顺序检测修理．你运用所学知识，从总费用花费最少的角度，你认为应选用哪个方案，并说明理由．参考数据：，，．20. 某理财公司有两种理财产品A和B，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品A投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率产品B投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p q注：p＞0，q＞0（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p的取值范围；（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？21. 如图，在中，为边上一点，.(1)求角；(2)从下面两个条件中选一个，求角.①；②.。
吉林省长春市数学高考理数一模试卷
吉林省长春市数学高考理数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2016·青海) 已知函数f(x)=lg(1-x)的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N=（）A . {x|x<1且x≠0}B . {x|x≤1且x≠0}C . {x|x>1}D . {x|x≤1}2. （2分）已知等差数列中，前项和，且，则等于（）A . 45B . 50C . 55D . 603. （2分）运行下面程序，计算机输出结果是多少？（）A . 0B . -1C . 1D . 174. （2分）(2018·凯里模拟) 2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有（）种A . 5040B . 4800C . 3720D . 49205. （2分）直线x﹣y+2=0与圆（θ为参数）的位置关系是（）A . 相离B . 相切C . 直线过圆心D . 相交但直线不过圆心6. （2分）数列{an}、{bn}满足bn=2an（n∈N*），则“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等比数列”的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也必要条件7. （2分）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及圆心，那么这个几何体为（）A . 棱锥B . 棱柱C . 圆锥D . 圆柱8. （2分）过圆x2+y2=4外一点P作该圆的切线，切点为A、B，若∠APB=60°，则点P的轨迹是（）A . 直线B . 圆C . 椭圆D . 抛物线二、填空题 (共5题；共5分)9. （1分） (2019高二下·常州期中) 若实数满足 ( 表示虚数单位)，则的值为________．10. （1分） (2016高三上·苏州期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2﹣b2=2bc，sinC=3sinB，则A=________11. （1分）已知双曲线的左焦点，右焦点，离心率e=．若点P为双曲线C右支上一点，则|PF1|﹣|PF2|=________12. （1分）(2017·丰台模拟) 若实数x，y满足约束条件且z=x+3y的最大值为4，则实数a 的值为________．13. （1分）幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为________三、解答题 (共6题；共70分)14. （10分） (2015高三上·辽宁期中) 已知f（x）= sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= ，f（C）=0，若 =（1，sinA）与 =（2，sinB）共线，求a，b的值．15. （15分） (2016高一下·龙岩期中) 为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题：序号（i）分组（分数）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）1[60，70）65①0.102[70，80）7520②3[80，90）85③0.204[90，100）95④⑤合计501（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S 的值．16. （10分）(2017·葫芦岛模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP=AB=AC=a，，PA⊥底面ABCD．（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值为？若存在，求出的值？若不存在，说明理由．17. （10分）(2017·盘山模拟) 设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围．18. （10分） (2017高二下·黄陵开学考) 已知中心在坐标原点的椭圆C经过点A（2，3），且点F （2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程和离心率e；（2）若平行于OA的直线l与椭圆有公共点，求直线l在y轴上的截距的取值范围．19. （15分） (2019高一下·上海期末) 对于任意，若数列满足，则称这个数列为“ 数列”.（1）已知数列：，，是“ 数列”，求实数的取值范围；（2）已知等差数列的公差，前项和为，数列是“ 数列”，求首项的取值范围；（3）设数列的前项和为，，且， . 设，是否存在实数，使得数列为“ 数列”. 若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共5分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共6题；共70分)14-1、14-2、15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、。
吉林省长春市2021届高三上学期第一次模拟考试数学理试题 Word版含解析
长春市2022—2021学年新高三起点调研考试数学试题卷(理科)【试卷综评】本试卷试题主要留意基本学问、基本力量、基本方法等当面的考察，掩盖面广，留意数学思想方法的简洁应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评同学，有利于同学自我评价，有利于指导同学的学习，既重视双基力量培育，侧重同学自主探究力量，分析问题和解决问题的力量，突出应用，同时对观看与猜想、阅读与思考等方面的考查。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上） 【题文】1. 已知集合{1,16,4}A x =，2{1,}B x =，若B A ⊆，则x = A. 0 B. 4- C. 0或4- D. 0或4±【学问点】子集的概念；元素的互异性.A1【答案解析】C 解析：由题可得216x =或24x x =，则4,0,4x =-，又当4x =时，A 集合消灭重复元素，因此0x =或4-. 故选C.【思路点拨】依据B A ⊆分状况对参数的取值进行争辩，进而求出参数的值集合． 【题文】2. 如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则12z z =A. 5B. 3C. 2D. 12【学问点】复数的除法运算；复数模的概念.L4【答案解析】A 解析：由图可知：1z i =，22z i =-，，则122z i z i ==-. 故选A.【思路点拨】利用复数的几何意义、模的计算公式即可得出． 【题文】3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A. 3y x = B. ln()y x =- C. xy xe -= D.2y x x=+【学问点】函数奇偶性；函数单调性与函数极值.B4 B3 B12【答案解析】D 解析：由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.【思路点拨】依据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．【题文】4. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n，||-=m n ||+=m nA. B. 3C.D.【学问点】向量的运算；向量的几何意义.F1 F2【答案解析】B解析：由||-=m n 2222||||2226-++=+=m n m n m n 可知，||3+=m n . 故选B.【思路点拨】依据2222||||2226-++=+=m n m n m n ，代入计算即可． 【题文】5. 已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6y1.3 m 3m 5.67.4 画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m 的值（精确到0.1）为 A. 1.5 B. 1. 6 C. 1.7 D. 1.8 【学问点】回归直线.I4【答案解析】C 解析：将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值为1.7. 故选C.【思路点拨】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，即可得出结论． 【题文】6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 8(3π+B. 8(3π+C. (4π+D. (8π+【学问点】三视图；几何体表面积. G2【答案解析】D 解析：如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D. 【思路点拨】依据已知中的三视图可得：该几何体是一个半球挖去一个圆锥，其表面积由半球面和圆锥的侧面积组成，由三视图求出球和圆锥底面的半径及圆锥的高，进而求出圆锥的母线长，代入面积公式，可得答案．【题文】7. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =A. 2-B. 2C. 4-D. 4【学问点】数列基本量的求法. D2【答案解析】B 解析：由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=， 作差可得816d =，即2d =. 故选B.【思路点拨】由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=，作差可得结果. 【题文】8. 函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是正视图侧视图俯视图OO y x O yxOC D【学问点】函数的图像；函数的奇偶性以及单调性.B4 B3【答案解析】B 解析：由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.【思路点拨】由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点即可得到结论. 【题文】9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 17【学问点】程序框图.L1【答案解析】C 解析：由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.【思路点拨】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【题文】10. 若2xa =，b =12log c x =，则“a b c >>”是“1x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【学问点】指、对、幂三种基本初等函数的图像；充要条件.B6 B7 B8A2【答案解析】B 解析：如图可知，“1x >”⇒“a b c >>”，但“a b c >>” /⇒“1x >”，即“a b c >>”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B. 【思路点拨】进行双向推断即可.【题文】11. 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]- 【学问点】抛物线的几何性质；直线与抛物线的位置关系. H7 H8【答案解析】D 解析：由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时22B y -≤≤，故直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D.【思路点拨】由题可知，点B 的横坐标，结合已知条件，此时B y 的范围，即可求出直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围．【题文】12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0f x f x ---=，③在[1,1]-上表达式为[1,0]()1(0,1]x f x x x ∈-=- ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数1220()log 0x x g x x x ⎧ ⎪=⎨ >⎪⎩≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 8【学问点】函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数.B4 B9【答案解析】B 解析：依据①可知()f x 图像的对称中心为(1,0)，依据②可知()f x 图像的对称轴为1x =-，结合③画出()f x 和()g x 的部分图像，如图所示，据此可知()f x 与()g x 的图像在[3,3]-上有6个交点. 故选B.【思路点拨】先依据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f （x ）和g （x ）的部分图象，由图象观看交点的个数．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).【题文】13. 若函数1()f x x x=+，则1()e f x dx =⎰____________.【学问点】定积分. B13【答案解析】212e + 解析：计算可得221111()(ln )22e e x e x dx x x ++=+=⎰.【思路点拨】定积分的简洁应用.【题文】14. 在42()(1)x x x+-的开放式中，2x 项的系数是____________. 【学问点】二项式定理.B4 C3 D1【答案解析】12- 解析：在42()(1)x x x+-的开放式中，2x 项是1332442()()12x C x C x x x⋅-+-=-，故2x 的系数为12-.【思路点拨】利用二项式开放式的通项公式，求出开放式中2x 项的系数即可.【题文】15. 若实数,x y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则22z x y =+的取值范围是___________. 【学问点】线性规划.B4 C3 D1【答案解析】1[,25]2解析：由题可知，可行域如右图，目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点结束距离的平方，故z 的取值范围是1[,25]2.【思路点拨】由目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点距离的平方即可得解.【题文】16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为R 的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.【学问点】正棱柱体积的最值问题. G7【答案解析】3R 解析：设三棱柱的高为2t，由题意可得，正三棱柱的体积为23)2V R t t =-，求导可得当3t R =时，V 取得最大值为3R . 【思路点拨】设三棱柱的高为2t ，由题意可得到正三棱柱的体积的解析式，然后求导即可求得答案． 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.【题文】17.（本小题满分10分）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ；(2) 若△ABC的面积4S =，4=+c a ，求b 的值. 【学问点】正弦定理与余弦定理；三角形面积. C8 【答案解析】(1) 3B π=(2)解析：(1) 依据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin C B C =，即1cos 2B =，3B π=. （5分） (2) 由△ABC的面积1sin 2S ac B ==3ac =，而4a c +=由余弦定理得b ===.（10分）【思路点拨】(1) 先利用正弦定理把边转化为角，再利用三角形的内角和进行转化化简即可. (2) 由面积公式得到4ac =，与4a c +=联立可得结果.【题文】18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-. (1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设2log n n b a ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【学问点】数列通项公式；数列前n 项和公式；错位相减法. D3 D4 【答案解析】(1) 2n n a = (2) 1(1)22n n T n +=-⋅+ 解析：(1) 当1n =时，11122a S a ==-，解得12a =当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，有12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，有2n n a =.（6分）(2) 由（1）知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n ⋅=⋅ 212222n n T n =⨯+⨯++⨯①①2⨯，231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯② ①-②，得212222n n n T n +-=+++-⨯整理得1(1)22n n T n +=-⋅+.（12分）【思路点拨】（1）由22n n S a =-⇒12a =，当n ≥2时，1n n n a S S -=-⇒12n n a a -=，从而可知数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，继而可得数列{a n }的通项公式； （2）易求n b ，利用错位相减法即可求得数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【题文】19.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优待，优待方案如下：选择套餐一的客户可获得优待200元，选择套餐二的客户可获得优待500元，选择套餐三的客户可获得优待300元. 依据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优待金额的总和，求X 的分布列和数学期望.【学问点】概率；分布列. K1 K6 【答案解析】(1)1332(2)分布列见解析；775. 解析：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=.（4分）(2) 由题意知某两人可获得优待金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.111(400)8864P X ==⋅=12136(500)8864P X C ==⋅⋅= 339(600)8864P X ==⋅= 12118(700)8264P X C ==⋅⋅= 121324(800)2864P X C ==⋅⋅= 1116(1000)2264P X ==⋅=（8分）综上可得X 的分布列为：（10分）X400 500 600 700 800 1000P164 664 964 864 24641664X 的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （12分） 【思路点拨】（1）由题意利用互斥大事加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率．（2）由题意知某两人可获得优待金额X 的可能取值．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【题文】20.（本小题满分12分）如图所示几何体是正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥111B A BC -后所得，点M 为11AC 的中点. (1) 求证：平面11AC D ⊥平面MBD ；(2) 求平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 【学问点】空间平面的垂直关系；二面角.G5 G11 【答案解析】(1)见解析解析：(1) 证明：由于几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得， 11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭平面平面平面平面.（6分） (2) 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =， 依题意知，11(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A B C ， 有111(0,1,1),(1,1,0)A B A C =-=-设平面11A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，有11100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩代入得00y z x y -=⎧⎨-+=⎩，设1x =，有(1,1,1)n =，平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =，设平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角大小为α，有3cos 3||||n m n m α⋅==， 所以平面11A BC 与平面ABCD . （12分）【思路点拨】（1）由已知推导出DM ⊥A 1C 1，BM ⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面MBD ，由此能证明平面A 1C 1D ⊥平面MBD ．（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A 1BC 1与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【题文】21.（本小题满分12分）如图，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=. (1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围. 【学问点】椭圆的离心率；直线和椭圆的综合应用. H5 H8【答案解析】(1)12 (2) 9(0,)41解析：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则依据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==.（4分）(2) 由(1)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.依据条件直线AB 的斜率肯定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）所以22243(,)4343ck ckG k k -++. 由于DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相像，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+.（10分）令12St S =，则9t >，从而 1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41. （12分）【思路点拨】（1）依据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-，结合234M m a ⋅=即可求出离心率；（2）先求出椭圆的方程，然后设直线AB 的方程，再联立转化为关于x 的方程，由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相像可MAC 1DBCD 1A 1得12S S 的表达式，最终求出范围即可. 【题文】22.（本小题满分12分）已知函数2()1xe f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；(2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.【学问点】函数与导数；导数的运算，函数的单调性、极值；函数与不等式. B3 B11 B12【答案解析】(1) 95a =(2) ()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)22--，5(1,)2++∞；(3) a 的取值范围是(1,)+∞. 解析：(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ （2分）由于13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得512x =±，而12x ≠±. 所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞- 15(,1)22-- 512- 51(1,)22- 15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x ' --++-()f x微小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)22--，5(1,)2++∞； （9分） (3) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+，令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得2212,a a a a a ax x a a--+-==. ()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值1()f x ，微小值2()f x ，并且依据指数函数和二次函数的变化速度可知当x →+∞时，2()1x e f x ax =→+∞+，当x →-∞时，2()01xe f x ax=→+. 因此当21()()f x m f x <<时，关于x 的方程()f x m =肯定总有三个实数根，结论成立；当01a <≤时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无论m 取何值，方程()f x m =最多有一个实数根，结论不成立.因此所求a 的取值范围是(1,)+∞. （12分）【思路点拨】（1）求出导数，由条件1()03f '=，解出a ，并检验是否为极值即可；（2）求出4a =-的函数的导数，令()0f x '=得512x =±，而12x ≠±．再解不等式，求出单调区间；（3）求出导数，令()0f x '=，争辩1a >时的两根．并求出极值，争辩它们的符号，再争辩当01a <≤时，()f x 的单调性，即可得到a 的取值范围．。
长春市高考数学一模试卷(理科)D卷(考试)
长春市高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·磁县期末) 已知集合A={1，2，3，4}，B={0，2，4，6}，则A∩B等于（）A . {0，1，2，3，4，6}B . {1，3}C . {2，4}D . {0，6}2. （2分）复数为虚数单位的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分）己知w>0，0<w<，直线和是函数的图象的两条相邻的对称轴，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018高二下·长春开学考) 已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则=（）A . -4B . -6C . -8D . -106. （2分）我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作,则在选出的宣传者中,男、女都有的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·天津) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2017高一上·焦作期末) 如图为一个几何体的三视图，三视图中的两个不同的正方形的边长分别为1和2，则该几何体的体积为（）A . 6B . 7C . 8D . 99. （2分） (2016高一下·吉林期中) 已知实数a，b满足，x1 ， x2是关于x的方程x2﹣2x+b ﹣a+3=O的两个实根，则不等式0＜x1＜1＜x2成立的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角D-AC-B的余弦值为，则下列论断正确的是A . 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为B . 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为C . 空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为D . 不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上11. （2分） (2015高二上·滨州期末) 知点A，B分别为双曲线E：（a＞0，b＞0）的两个顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为（）A .B . 2C .D .12. （2分） (2016·上海理) 设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A . ①和②均为真命题B . ①和②均为假命题C . ①为真命题，②为假命题D . ①为假命题，②为真命题二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·西安期中) 已知向量，，若，则的最小值为________．14. （1分）设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2…a5x5 ，那么的值为________15. （1分） (2016高二上·遵义期中) 点P在椭圆 =1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值________．16. （1分） (2015高一下·太平期中) 已知{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2an﹣2，则a2=________三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）(2020·茂名模拟) 在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围.18. （5分）(2017·红桥模拟) 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19. （10分）(2017·上海模拟) 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点．（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求二面角B﹣FC﹣G的正切值．20. （5分）(2020·榆林模拟) 如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且 0，若过 A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切，过定点 M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．21. （15分） (2016高一上·南京期中) 已知函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为﹣1，设f（x）= ．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（3x）﹣t•3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k• ﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．22. （5分）(2017·民乐模拟) 在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2=|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．23. （10分）(2020·湖南模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若，对，不等式恒成立，求的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。
长春市数学高三理数第一次模拟考试试卷D卷
长春市数学高三理数第一次模拟考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，，则所含的元素个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）(2017·合肥模拟) i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（）A . 1B . ﹣1C .D . 23. （2分）给出如下四个命题：①若“”为假命题，则p,q均为假命题；②命题“若a>b,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.其中不正确命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 14. （2分）空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影为△BCD的（）A . 外心B . 内心C . 重心D . 垂心5. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有（）A . 180种B . 280种C . 96种D . 240种6. （2分）(2020·银川模拟) 定义：表示的解集中整数的个数.若，且，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知是外接圆的圆心，、、为的内角，若，则的值为（）A . 1B .C .D .8. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 展开式中项的系数为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 在△ABC中，a=3，b=5，sinA= ，则sinB=（）A .B .C .D . 110. （2分）函数f(x)＝x2－3x+2的零点是（）A . （1,0)或（2，0）B . （0，1）或（0，2）C . 1或2D . －1或－211. （2分） (2017高二上·集宁月考) 在数列中, ,则＝（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·大石桥期末) 已知函数，若实数是方程的解，且，则的值（）A . 恒为正值B . 恒为负值C . 等于0D . 不能确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·泰州期中) sin20°cos10°+cos20°sin10°=________．14. （1分）(2017·湖北模拟) 设变量x，y满足．若z=a2x+y（a＞0）的最大值为 4．则a=________．15. （1分） (2019高二上·沈阳月考) 设等差数列的前项和为，，，则取得最小值的值为________．16. （1分） (2017高三上·廊坊期末) 我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里明月和清泉，都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C：x2=y的图象（如图），过交点F作直线l交C于A、B两点，过A、B分别作C的切线，两切线交于点P，过点P作x轴的垂线交C于点N，拖动点B在C上运动，会发现是一个定值，该定值是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2017·山西模拟) 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA，tanB是关于x的方程x2+（1+p）x+p+2=0的两个根，c=4．（1）求角C的大小；（2）求△ABC面积的取值范围．18. （10分） (2019高二上·上海月考) 已知数列的前项和为，是等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大项的值，并指出是第几项.19. （10分）(2019·乌鲁木齐模拟) 某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如下：学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优秀，此时相应的给教师赋分为2分；与中位数之差小于-10的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.（Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核成绩的期望值哪个大？（Ⅱ）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.附：0.0500.0100.0013.841 6.63510.82820. （5分） (2018高三上·昭通期末) 己知椭圆上任意一点P，由点P向y轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C．(I)求曲线C的方程；(II)过点D(2，0)作直线，与曲线C交于A，B两点，设N是过点(，0)且平行于y轴的直线上一动点，满足(O为原点)，问是否存在这样的直线，，使得四边形OANB为矩形?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2019高三上·和平月考) 已知函数，，（Ⅰ）当，时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，时，若方程有两个不同的实数解，求证： .22. （10分）在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M是C1上任意一点，点P在射线OM 上，且满足|OP|•|OM|=4，记点P的轨迹为C2 ．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos（θ+）=距离的最大值．23. （10分）(2018·鞍山模拟) 已知， .（1）若且的最小值为1，求的值；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、。
长春市高考数学一模试卷(理科)D卷
长春市高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·思南期中) 设集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) =（）A . 1+2iB . 1﹣2iC . 2+iD . 2﹣i3. （2分） x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A . 14B . 7C . 18D . 134. （2分） (2016高一上·荔湾期中) 函数的反函数记为，则的单调增区间是（）A .B .C .D .5. （2分）过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E ，直线FE交双曲线右支于点P ，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）在中，角A,B,C所对的边a,b,c，已知则C=（）A .B .C . 或D .7. （2分） (2016高二下·孝感期末) 以下三个命题中：①设有一个回归方程 =2﹣3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．其中真命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）(2017·雨花模拟) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A . 16B . 18C . 48D . 1439. （2分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016高一上·湖北期中) 设函数，对于给定的正数K，定义函数若对于函数定义域内的任意 x，恒有fK（x）=f（x），则（）A . K的最大值为B . K的最小值为C . K的最大值为1D . K的最小值为111. （2分） (2017高二下·高青开学考) 已知 =（cosα，1，sinα）， =（sinα，1，cosα），则向量 + 与﹣的夹角是（）A . 90°B . 60°C . 30°D . 0°12. （2分）(2019·重庆模拟) 函数在内有两个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·五指山期末) 已知a，b＞0，且满足3a+4b=2，则ab的最大值是________14. （1分）(2017·江门模拟) 某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2．那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．15. （1分）(2018·江西模拟) 已知，且是第三象限的角，则的值为________．16. （1分） (2016高二上·上海期中) 若an＞0，a1=2，且an+an﹣1= +2（n≥2），则 + +…+ =________三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分） (2019高二上·汇川期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c ＝2b.（1）求角A的大小；（2）若c＝，角B的平分线BD＝，求a.18. （10分） (2017高三上·蓟县期末) 某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．19. （5分） (2018高二上·宜昌期末) 如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，过的中点作平面∥ ，且分别交PB，PC于M、N，交的延长线于．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.20. （5分）(2017·昌平模拟) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为，四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．⑴证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；⑵证明：存在常数λ，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．21. （10分） (2018高二下·赣榆期末) 已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数在定义域上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.四、选做题 (共2题；共20分)22. （10分） (2015高三上·临川期末) 已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．23. （10分） (2017高二下·郑州期中) 设f（x）=2|x|﹣|x+3|．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）求不等式f（x）≤7的解集S．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、答案：略4-1、5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、答案：略三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略四、选做题 (共2题；共20分)22-1、答案：略22-2、答案：略23-1、答案：略23-2、答案：略第11 页共11 页。
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（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1 ， P2 ， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
23. （10分） 在数列 中，
（1）
若 ， ，求数列 的通向公式；
（2）
若 ， ，证明： 。
参考答案
一、 选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共7题；共50分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
A . 5
B .
C . 7
D .
11. （2分） (2017·嘉兴模拟) 已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则 的最小值是（ ）
A . e﹣1
B . e
C . 1﹣e﹣3
D . 1
12. （2分） 关于函数f（x）=3sinx，g（x）=3+cosx的奇偶性的说法正确的是（ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 设a=2，b=log23，c=log32，（ ）
A . b＞a＞c
B . a＞c＞b
C . a＞b＞c
D . c＞b＞a
4. （2分） (2017·怀化模拟) 若 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（ ）
A . ﹣462
B . 462
上春晚次数x（单位：次）
1
2
4
6
8
粉丝数量y（单位：万人）
5
10
20
40
80
（1）若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程 = x+ （精确到整数）；
（2）试根据此方程预测该演员上春晚10次时的粉丝数；
= = ， = ﹣ x．
20. （5分） 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的焦距为2 ， 且该椭圆经过点( , )．
16. （1分） 五名三中学生中午打篮球，将校服放在篮球架旁边，打完球回教室时由于时间太紧，只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有________ 种．（具体数字作答）
三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共7题；共50分)
17. （5分） (2017·黑龙江模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足 ，且a1=3．
A . f（x），g（x）都是偶函数
B . f（x），g（x）都是奇函数
C . f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
D . f（x）是奇函数，g（x）是偶函数
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2017高三上·苏州开学考) 如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1 ， k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1•k2的值．
21. （10分） (2020高三上·潮州期末) 已知函数
（1） 当 时，求函数 的单调区间；
（2） 谈论函数 的零点个数
22. （5分） 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
7. （2分） 要测量顶部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD="120°," CD="40m," 则电视塔的高度为（ ）
A . 10 m
B . 20m
C . 20 m
D . 40m
8. （2分） (2018·枣庄模拟) 设变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
长春市高考数学一模试卷（理科）D卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018·茂名模拟) 已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D . [3,4]
2. （2分） 已知 是两个非零向量，且 ， 则 与 的夹角为（ ）
21-1、
21-2、
22-1、
23-1、
23-2、
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证： ．
18. （10分） (2018·全国Ⅰ卷理) 如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1） 证明：平面 平面 ;
（2） 求 与平面 所成角的正弦值.
19. （5分） 2015年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：
14. （1分） (2016高二上·大庆期中) 设双曲线 的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．
15. （1分） (2016高一下·定州期末) 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长________ cm．
C . 792
D . ﹣792
5. （2分） (2016高一下·宜春期中) 已知随机变量 服从正态分布 ， 且 ， 则 =（ ）
A . 0.2
B . 0.3
C . 0.4
D . 0.6
6. （2分） 下列结论正确的是（ ）
A . 当x>0且 时,
B . 当x>0时,
C . 当 时, 的最小值为2
D . 当 时, 无最大值
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2018·河北模拟) 已知抛物线 的焦点为 ，过点 作斜率为1的直线 交抛物线 于 两点，则 的值为（ ）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2018高一上·大连期末) 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）