5.3.1 函数的单调性
高中试卷-5.3.1 函数的单调性(精练)(含答案)
5.3.1 函数的单调性【题组一 求函数的单调区间】1．（2020·河南信阳·高二期末（文））已知函数f(x)=12x 2―ln x ，则其单调增区间是（ ）A ．0，1]B ．0，1C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】D【解析】f(x)=12x 2―lnx ，定义域为0，+∞令f ′(x )=x ―1x >0解得x >1故函数f(x)=12x 2―lnx 单调增区间是1，+∞故选D2．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））函数()()1xf x x e =+的单调递增区间是（ ）A ．(),2-¥B ．()0,2C ．()2,0-D ．()2,-+¥【答案】D【解析】函数()()1xf x x e =+的定义域为R ，()()2xf x x e ¢=+，令()0f x ¢>，解得2x >-.因此，函数()()1xf x x e =+的单调递增区间是()2,-+¥.故选：D.3．（2020·北京丰台·高三二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()(f x )A ．是奇函数，且在定义域上是增函数B ．是奇函数，且在定义域上是减函数C ．是偶函数，且在区间(0,1)上是增函数D ．是偶函数，且在区间(0,1)上是减函数【答案】B【解析】根据题意，函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则有1010x x ->ìí+>î，解可得11x -<<，即()f x 的定义域为(1,1)-；设任意(1,1)x Î-，()(1)(1)()f x ln x ln x f x -=+--=-，则函数()f x 为奇函数；1()(1)(1)1x f x ln x ln x lnx -=--+=+，其导数22()1f x x ¢=-，在区间(1,1)-上，()0f x ¢<，则()f x 为(1,1)-上的减函数；故选：B ．4．（2020·山西省古县第一中学高二期中（理））函数()()3xf x x e =- 的单调递增区间是（ ）A ．(),2-¥-B ．()2,+¥C ．(1,4)D ．(0,3)【答案】B【解析】()()3xf x x e =-Q ，()()2xf x x e ¢\=-，解不等式()0f x ¢>，解得2x >，因此，函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+¥，故选B.5．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考）函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（ ）A ．,42p p æöç÷èøB ．0,6p æöç÷èøC ．,2ππæöç÷èøD ．5,6p p æöç÷èø【答案】A【解析】()2cos sin 2f x x x =+Q ，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos 2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x ¢=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -££Q ，可得sin 10x +³，令()0f x ¢<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z p pp p +<<+Î.所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z p p p p æö++Îç÷èø.当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66p p æöç÷èø，5,,4266p p p p æöæöÍç÷ç÷èøèøQ ，对任意的k Z Î，50,2,2666k k p p p p p æöæöË++ç÷ç÷èøèø，5,2,2266k k p p p p p p æöæöË++ç÷ç÷èøèø，55,2,2666k k p p p p p p æöæöË++ç÷ç÷èøèø，故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42p p æöç÷èø.故选：A.6．（2020·安徽高三开学考试（理））若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．(),0-¥B ．()0,+¥C ．()(),11,0-¥-È-D ．(),1-¥-，()1,0-【答案】D【解析】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-¢=+，∴()()1211e k f a -¢==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点()1,0-代入可得1a =，则()()221x xe f x x -¢=+，令()()2201x xe f x x -¢=<+，所以1x <-或10x -<<，故函数在(),1-¥-，()1,0-上单调递减.故选：D7．（2020·云南昆明一中高三其他（理））函数4()3ln f x x x x=+-的单调递减区间是（ ）A ．(1,4)-B ．(0,1)C ．(4,)+¥D ．(0,4)【答案】D【解析】函数的定义域是(0,)+¥，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，令()0f x <＇，解得04x <<，故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减，选：D .【题组二 已知单调性求参数】1．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知()1()2ln 0f x a x x a x æöç-÷èø=->在[1)+¥，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（）A ．[0)+¥，B ．(0)+¥，C ．(1)+¥，D ．[1)+¥，【答案】D【解析】222()ax x a f x x-+¢=，(0)a >因为()f x 在[1,)+¥上为单调递增，等价于220ax x a -+³恒成立.即221xa x ³+在[1,)+¥上恒成立.因为222111x x x x =£=++，当1x =时，取“=”，所以1a ³，即a 的范围为[1,)+¥.故选：D2．（2020·河南南阳·高二期末（理））函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],2-¥-B ．[]22-,C ．[)2,-+¥D ．[)2,+¥【答案】B【解析】()327f x x kx x =+-Q ，()2327f x x kx ¢\=+-，由题意可知，不等式()0f x ¢£对于任意的[]1,1x Î-恒成立，所以，()()12401240f k f k ì-=¢--£ïí=¢-£ïî，解得22k -££.因此，实数k 的取值范围是[]22-,.故选：B.3．（2020·佳木斯市第二中学高二期末（文））“a ≤-1”是“函数f (x )=ln x-ax 在[1,+∞)上为单调函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数f (x )=ln x-ax 在[1,+∞)上为单调函数，所以1()0f x a x ¢=-³在[1,+∞)上恒成立或1()0f x a x ¢=-£在[1,+∞)上恒成立，即min 1()a x £或max 11()101a x x x³³\<£Q ，从而0a £或1a ³因为“1a £-”是“0a £或1a ³” 充分不必要条件，所以“a ≤-1”是“函数f (x )=ln x-ax 在[1,+∞)上为单调函数”的充分不必要条件，故选：A4．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知函数1()ln xf x x ax-=+，若函数()f x 在[1,)+¥上为增函数，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．(01]，C ．()1,+¥D ．[1,)+¥【答案】D【解析】函数1()ln x f x x ax-=+，()2211()a ax f x x ax ax --¢=+=，因为函数()f x 在[1,)+¥上为增函数，所以()0f x ¢³在[1,)+¥上恒成立，又0a >，所以 10ax -³在[1,)+¥上恒成立，即1a x³在[1,)+¥上恒成立，令()()max 11g x g x x==，，所以1a ³，故选：D 5．（2019·四川树德中学高二月考（理））()cos 2(sin cos )f x x a x x =+-在0,2p éùêúëû单调递增，则a 的范围是__________．【答案】)+¥【解析】()cos 2sin cos f x x a x a x =+-，则'()2sin 2cos sin f x x a x a x =-++，因为函数()f x 在[0,]2p上单调增，可得'()0f x ³在[0,]2p上恒成立，即(sin cos )2sin 2a x x x +³，令sin cos x x t +=，则2sin 21x t =-，t Î，所以22212()t a t t t-³=-，因为1t t -在t Î上是增函数，所以其最大值为a ³=所以实数a 的取值范围是)+¥.6．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））设函数()x x f x e ae -=+在[0，1]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[1，)+¥B ．(-¥，1]C ．(1,)+¥D ．(,1)-¥【答案】B ()x x f x e ae -=+Q 在[0，1]上单调递增，()0x x f x e ae -\=-¢…在[0，1]上恒成立，即2x a e …，而函数2x y e =在[0，1]上单调递增，\当0x =时，1min y =，1a \…，a \的取值范围是(-¥，1]．故选：B ．7．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高二期中（理））若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A ．51[,)8+¥B ．(],3-¥C ．51,8æù-¥çúèûD ．[)3,+¥【答案】A【解析】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+£在[]1,4x Î恒成立，所以(1)0,(4)0,f f ¢£¢£ìíî即40,5180,t t -£ìí-£î解得：518t ³.8．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,2B ．()4,+¥C ．(),2-¥D ．(]0,3【答案】A【解析】依题意10,1a a ->>，由此排除CD 选项.由()()299'00x f x x x x x-=-=£>，解得03x <£，所以函数()f x 的单调递减区间为(]0,3.由此排除B 选项，只有A 选项正确.证明如下：由于()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以0113a a <-<+£，解得(]1,2a Î.故选：A【题组三 单调性与图像】1．（2020·陕西省商丹高新学校高二月考（理））已知函数()f x 的导函数()f x ¢的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】2x <-时，()0f x ¢<，则()f x 单调递减；20x -<<时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增；0x >时，()0f x ¢<，则f （x ）单调递减．则符合上述条件的只有选项A ．故选A ．2．（2020·四川内江·高二期末（文））如图所示为()y f x ¢=的图象，则函数()y f x =的单调递减区间是（）A ．(),1-¥-B ．()2,0-C ．()()2,0,2,-+¥D ．()(),1,1,-¥-+¥【答案】C【解析】由导函数图象，知20x -<<或2x >时，()0f x ¢<，∴()f x 的减区间是(2,0)-，(2,)+¥．故选：C ．3．（2020·浙江高二期中）函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x =¢-³恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x \>，所以，函数()y f x =在()0,+¥上为增函数，故排除C 、D 选项.故选：A.【题组四 利用单调性解不等式】1．（2020·四川省绵阳南山中学双语学校高二月考（文））定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，且()()22f x f x ¢-<，若()01f =-，则不等式()22xe f x -<的解集为（ ）A ．(),0-¥B ．()0,¥+C ．(),1-¥-D ．()1,-+¥【答案】A【解析】构造函数()()221,xf xg x x R e+=-Î，∵()()22f x f x ¢-<，∴()()()()()()()222222222012xxx xf x f x f x e e f xg x e e ¢--¢-+¢==<，∴函数()g x 在R 上单调递减，又()120101g -+=-=，∴不等式()()00g x g >=的解集为{|0}x x <，故选：A.2．（2020·山西祁县中学高二月考（文））设函数21()1x xf x e e x -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-¥B ．(1,)+¥C ．1(,1)3-D ．1(,(1,)3-¥-+¥U 【答案】D【解析】()211xx f x ee x --=+-+，所以()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数，又()()222'1x xxf x e e x -=-++，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在[)0,+¥上为增函数.因()()()()22,11f x fx f x f x =+=+，由()()21f x f x >+ 得到21x x >+，故23210x x -->，13x <-或1x >，选D.3．（2020·山东德州·高三二模）已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f ¢+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（ ）A ．(1,)+¥B ．(,1)-¥C ．(0,)+¥D ．(,0)-¥【答案】C【解析】构造函数()()1x f x g x e +=,则()()()10xf x f x eg x ¢--=>¢,故()g x 在R 上为增函数.又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >.故选：C4．（2020·历下·山东师范大学附中高三月考）已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x ¢，若()()2sin f x f x x =--，且当0x ³时，()cos 0f x x ¢+<，则不等式()sin cos 2f x f x x xp æö+>+-ç÷èø的解集为（）A ．,2p æö-¥ç÷èøB ．,2p æö+¥ç÷èøC ．,4p æö-¥-ç÷èøD ．,4p æö-+¥ç÷èø【答案】C【解析】令()()sin g x f x x =-，则()()sin g x f x x -=-+，()()2sin f x f x x =--Q ，()()sin sin f x x f x x \+=--，()()g x g x \-=，()g x \为定义在R 上的偶函数；当0x ³时，()()cos 0g x f x x ¢¢=+<，()g x \在[)0,+¥上单调递减，又()g x 为偶函数，()g x \在(],0-¥上单调递增.由()sin cos 2f x f x x x p æö+>+-ç÷èø得：()cos sin sin 222f x x f x x f x x p p p æöæöæö++=+++>+ç÷ç÷ç÷èøèøèø，即()2g x g x p æö+>ç÷èø，2x x p\+<，解得：4x p<-，即不等式的解集为,4p æö-¥-ç÷èø.故选：C .5．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数31()sin xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+£，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2-B ．1[1,2-C ．1(,1][,)2-¥-È+¥D ．1(,][1,)2-¥-È+¥【答案】B【解析】由于()31sin xx f x x x e e=-+-，，则f （﹣x ）＝﹣x 3sin x ++e ﹣x ﹣e x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数．故原不等式f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，可转化为f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），即f （2a 2）≤f （1﹣a ）；又f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ，由于e x +e ﹣x ≥2，故e x +e ﹣x ﹣cosx>0，所以f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ≥0恒成立，故函数f （x ）单调递增，则由f （2a 2）≤f （1﹣a ）可得，2a 2≤1﹣a ，即2a 2+a ﹣1≤0，解得112a -££，故选B ．【题组五 利用单调性比较大小】1．（2020·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x Î+¥时，()()0f x xf x ¢+>，若()660.70.7a f =，()()0.70.7log6log 6b f =，()0.60.666c f =×，则a ，b ，c的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c>>【答案】A【解析】令()()g x xf x =，由()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得()()g x xf x =是定义在R 上的奇函数，又因为[)0,x Î+¥时，()()0y f x xf x ¢¢=+>，所以()()g x xf x =在[)0,+¥上是增函数，所以()()g x xf x =是定义在R 上的增函数，又由60.60.7log 600.716<<<<，所以()060.6.7(0.7)l )og 6(6g g g <<，即b a c <<.故选：A.2．（2020·江苏淮安·高三月考）已知函数()sin f x x x =+，x ÎR ，若()23a f log =，132b f log æö=ç÷èø，()22c f -=则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．b a c>>【答案】B【解析】因为()1cos 0f x x ¢=+³，所以()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，因为23(1,)log Î+¥，()133221,0log log =-Î-，2124-=，所以1231234log log <<，所以()22133(2)2f log f f log -æö>>ç÷èø，故a c b >>．故选：B ．3．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，若0.2(log 3)a f =，3(log 0.2)b f =，3(0.2)c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．b c a>>【答案】B【解析】函数2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，(0,)x Î+¥，则()1cos 0g x x ¢=-…在(0,)+¥恒成立，\函数()g x 在(0,)+¥上单调递增，()(0)0g x g \>=，即函数()g x 在(0,)+¥上单调递增，且()0>g x ，又Q 函数y x =在(0,)+¥上单调递增，且0y >，\函数2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，在(0,)+¥上单调递增，且()0f x >，又22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=Q ，\函数()f x 是偶函数，0.255(log 3)(log 3)(log 3)a f f f \==-=，333(log 0.2)(log 5)(log 5)b f f f ==-=，Q 5535log log log <<，\51312log <<，而33log 5log 31>=，30.20.008=，\335530.20log log >>>，又Q 函数()f x 在(0,)+¥上单调递增，\335(5)(3)(0.2)f log f log f >>，即b a c >>，故选：B ．4．（2020·河南高三其他（理））设01x <<，则222,(),x x xe e e a b c x x x===的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b a c<<【答案】B【解析】设()x e f x x =，则2(1)()x e x f x x-¢=，当(0,1)x Î时，()0f x ¢<，故()f x 在(0,1)为减函数，22x x <Q ，\22x xe e <，则22222(x x xe e e x x x<=，故b c >；又201x x <<<，2()()f x f x \>，即22x x e e x x>，故c a >，a cb \<<．故选：B ．5．（2020·江西南昌二中高三月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ³时，()x f x e x =+，则()2a f =-，()2log 9b f =，c f=的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．b c a>>【答案】D【解析】当0x ³时，()xf x e x =+，则()10xf x e ¢=+>，所以()f x 在[)0,x Î+¥上单调递增，由22log 9log 832>=>>，所以()()2log 92f ff >>，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()22a f f =-=，>>，所以b c a故选：D。
5.3.1 函数的单调性课件ppt
时,f'(x)>0,故 f(x)在
上单调递增.
≤0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(4)当 a≤-1
+1
时, ≥0,故当
x∈(0,1)时,f'(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,故 f(x)
在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
综上所述,当 a≤-1
时,f(x)在
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
方法技巧解析式中含参数的函数的单调区间的求法
(1)求解析式中含参数的函数的单调区间一般需要分类讨论:若函数的导函
数的零点能够直接求出,则主要是根据导函数零点的大小分类讨论;若导函
数的零点不能直接求出,则需要结合导函数是否存在零点分类讨论.
导函数f'(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上
升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f'(x)图象在x轴下方时对应的自
变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间).
变式训练 1(2020甘肃高二期末)已知函数y=xf'(x)的图
象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图
1 2
例4讨论函数f(x)= 2 ax +x-(a+1)ln
x(a≥0)的单调性.
分析根据函数的定义域,结合导函数零点的大小,确定原函数的单调性及单
调区间.
解 函数
(1)当
+1
f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax+1
5.3.1函数的单调性 (2课时)(教学课件)- 高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册
取一个值
表5.3-1取一个值
取一个值
X
(-0,-1)
-1
(-1,2)
2
(2,+0)
f'(x)
十
0
0
十
f(x)
单调递增
单调递减 f(2)=-3 单调递增
21
所以，f(x)在(-0,-1)和(2,+0)单调递增，在(-1,2)上单调递减，如图5.3-6所示.
y个
(-1,
2
-10
X
(2,-
如果不用导数的方法，直接 运用单调性的定义，你如何求解 本题?运算过程麻烦吗?你有 什么体会?
图5.3-6
用定义法求解本题时，应先在定义域内任取x₁,x₂ (x₁<x₂), 再通过判断f(x₁)-f(x₂)的符号来确定函数f(x)的单调性.但运算 过程麻烦，有时需要很多变形技巧，因此学习了导数知识之 后，我们一般借助导数求解与函数单调性有关的问题.
22
判断函数f(x)单调性的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f'(x) 的零点(即解方程f'(x)=0); (3)用f'(x) 的零点将f(x)定义域分为若干个区间，每个区间取 一个值计算出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数f(x)在定 义域内的单调性.
b)上函数单调递减，且减小得越来越快，所以f'(x)<0, 且
f'(x) 减小的速度也快.
15
归纳 一般地，函数f(x) 的单调性与导函数f'(x) 的正
负 之 间 具有如 下 的 关 系：
在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 上单调递增；
函数单调性活动单 高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
5．3 函数的单调性5.3.1 函数的单调性(1)【学习目标】1. 从形与数两方面理解函数单调性的概念.2. 掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．3. 掌握数形结合的思想方法，培养学生的数学思维能力【学习重点】掌握函数单调性的概念;判断、证明函数的单调性.【学习难点】归纳并抽象出函数单调性的定义;根据定义证明函数的单调性.错误!未定义书签。
【任务一】活动一：下图是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图,气温θ是关于时间t 的函数，记θ= f(t)观察图形,回答下列问题：活动二：怎样用数学语言刻画上述某一时间段内“随时间的增加气温逐渐升高”这一特征？活动三：新知探究1. 增函数与增区间的定义：设函数y ＝f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A.如果对于区间I 内的 两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有 ，那么称y ＝f(x)在 上是 ，I 称为y ＝f(x)的 ．2. 减函数与减区间的定义：如果对于区间I 内的 两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有 ，那么称y ＝f(x)在 上是 ，I 称为y ＝f(x)的 ．3. 函数单调性与单调区间的定义：如果函数y ＝f(x)在区间I 上是 ，那么称函数y ＝f(x)在区间I 上具有单调性． 统称为单调区间．【任务二】活动一 探究函数单调区间的求法例1 画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1) y ＝－2x+3 (2)y ＝－x 2＋2； (3) y ＝1x(x ≠0)．变：活动二 探究函数单调性的证明方法例2求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上是增函数．变：【任务四】检测反馈3. (多选)下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是( )A. y ＝x 2－2B. y ＝3xC. y ＝1＋2xD. y ＝－(x ＋2)2 5. 已知a>0，函数f(x)＝x ＋a x(x>0)，证明：函数f(x)在区间(0，a]上是减函数，在区间[a ，＋∞)上是增函数．。
高中数学第5章-5.3.1-函数的单调性
5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性素养目标学科素养1.理解导数与函数单调性的关系．(重点)2．掌握利用导数判断或证明函数单调性的方法．(重点) 3．掌握利用导数求函数单调区间的方法．(难点)4．理解函数图象与其导函数图象之间的关系．(重点、难点)1.数学抽象；2．逻辑推理；3．直观想象；4．数学运算情境导学研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低)，以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．我们知道，股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性，能否用导数研究函数的单调性呢？1．函数的单调性与其导数的关系(1)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增；在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减．(2)判断函数y＝f(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．2．导数的绝对值与函数值变化的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．对于函数y＝f(x)，(1)在区间I上，若f′(x)<0，则f(x)在I上单调递减．(√)(2)在区间I上，若f(x)是单调递增的，则f′(x)>0.()×提示：f′(x)＝0也有可能，如y＝x3.(3)函数f(x)在(a，b)内变化得越快，其导数就越大．()×提示：f(x)在(a，b)内变化得越快，说明其导数的绝对值越大．1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则在区间(1,3)内， 有( )A ．f ′(x )>0B ．f ′(x )<0C ．f ′(x )＝0D ．f ′(x )的符号不确定B 解析：在区间(1,3)内，函数y ＝f (x )的图象是下降的，函数单调递减，所以f ′(x )<0. 2．已知函数f (x )＝x ln x 的定义域是(0,1)，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )是增函数B ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 内是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，1内是增函数 C ．函数f (x )是减函数D ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 内是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，1内是减函数 B 解析：f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈(0,1)时，令f ′(x )>0，解得x >1e .故x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f (x )是减函数；x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1时，f (x )是增函数． 3．函数y ＝3x －x 3的单调增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)C 解析：y ′＝3－3x 2，令y ′>0，得－1<x <1，即函数的单调增区间为(－1,1)． 4．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间为( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)A 解析：f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )<0，得1<x <2，即f (x )的单调减区间为(1,2)．【例1】(1)函数y ＝x ＋ln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1)，(1，＋∞) C ．(－1,0)D ．(－1,1)(2)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ，讨论f (x )的单调性． (1)A 解析：函数y ＝x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， ∵y ′＝(x ＋ln x )′＝1＋1x ，又x >0，∴y ′>0恒成立．∴y ＝x ＋ln x 的单调递增区间为(0，＋∞)． (2)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－(2x ＋1)(ax －1)x.①若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a >0，由f ′(x )＝0得x ＝1a ，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x >1a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．1．判断函数的单调性或求函数单调区间时，应先确定函数的定义域，忽视定义域研究单调性与单调区间是无意义的．2．如果函数单调区间不唯一，中间应用“，”或“和”隔开，不可用“∪”连接． 3．在某一区间内f ′(x )>0(或f ′(x )<0)是函数f ′(x )在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，不是充要条件．即利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，不等式的解集就是函数的单调区间．1．下列函数中，在区间(－1,1)内是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝sin xC 解析：对于A ，y ′＝－6x ，在(－1,0)上，y ′>0，在(0,1)上，y ′<0； 对于B ，函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，在(－1,0]上无意义，故不符合题意； 对于D ，y ′＝cos x ，x ∈(－1,1)时，y ′>0，故A ，B ，D 均不符合题意； 对于C ，当x ∈(－1,1)时，y ′＝－1(x －2)2<0，故选C ．2．求函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间．解：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2(3x 2－1)x .由f ′(x )>0得3x 2－1x >0.又x >0，解得x >33.由f ′(x )<0得3x 2－1x <0，解得0<x <33，所以函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫33，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，33.【例2】设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个平面直角坐标系中，错误的是( )D 解析：对于A ，若曲线C 1为函数f (x )的图象，由于函数在(－∞，0)内是单调递减的，所以f ′(x )<0，因此f ′(x )的图象在x 轴的下方；又函数在(0，＋∞)内是单调递增的，因此f ′(x )>0，故f ′(x )的图象在x 轴的上方，因此A 符合题意． 同理，B ，C 中若C 2为f (x )的图象，C 1为f ′(x )的图象也符合题意．对于D ，若曲线C 1为函数f ′(x )的图象，则函数f (x )在(－∞，＋∞)内是单调递增的，与曲线C 2不相符；若曲线C 2为函数f ′(x )的图象，则函数f (x )在(－∞，＋∞)内是单调递减的，与曲线C 1不相符．解决函数与其导函数的图象关系问题时，要抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点观察其图象在哪个区间内上升或下降，而对于导函数，则应观察其函数值在哪个区间内大于零、小于零，并且这些区间与原函数的单调区间是否一致．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()A解析：A，B，C，D图象均为增函数，故导函数是大于0的，但由题中叙述知导函数在[a，b]上是增函数，说明原函数y＝f(x)的图象越来越“陡峭”，A选项符合．由函数的单调性求参数的范围探究题1若函数f(x)＝x3－ax－1在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围．解：由已知得f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只要a≤0.当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增．故a的取值范围为(－∞，0]．探究题2若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上单调递减，求实数a的取值范围．解：f′(x)＝3ax2＋6x－1，依题意知3ax2＋6x－1≤0在R上恒成立．显然当a＝0时不满足题意．因此⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3.而当a ＝－3时，f (x )＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫x －133＋89在R 上单调递减． 故a 的取值范围为(－∞，－3]．探究题3 若函数f (x )＝3xx 2＋4在区间(m ，4m －1)内单调递增，求实数m 的取值范围．解：函数定义域为R ， f ′(x )＝－3(x ＋2)(x －2)(x 2＋4)2，令f ′(x )>0，得－2<x <2， 即f (x )的增区间为(－2，2)． 又f (x )在区间(m,4m －1)内单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2，4m －1≤2，4m －1>m ，解得13<m ≤34.故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤13，34.1．已知函数单调性求参数取值范围，若参数在函数解析式中，则可转化为不等式恒成立问题求解．一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增(递减)，那么等价于不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立，然后可借助分离参数等多种方法求出参数的取值范围．在利用这种方法求解时，还应注意，得到参数的取值范围后，要验证等号是否成立． 2．已知函数单调性求参数取值范围，如果参数出现在区间的端点中，那么可以先求出函数的单调区间，再令给定区间是函数相应单调区间的子区间，建立关于参数的不等式，从而求出参数取值范围．1．若函数f (x )＝2－ax 2在(0，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝2ax 3，f (x )在(0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )＝2ax 3≥0在(0，＋∞)内恒成立，即2a ≥0，∴a ≥0.但当a ＝0时，f (x )＝2是常数函数，在(0，＋∞)内不是单调递增的，不符合题意，故实数a的取值范围是(0，＋∞)．2．若函数f (x ) ＝x 3－ax －1在(1,2)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：∵f ′(x )＝3x 2－a ，f (x )在(1,2)上是增函数，∴3x 2－a ≥0在(1,2)上恒成立，即a ≤3x 2在(1,2)上恒成立． ∵3x 2≥3，∴a ≤3，当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3在(1,2)上不恒等于0， ∴a ＝3符合题意．故a 的取值范围为(－∞，3]．1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)B 解析：对函数y ＝12x 2－ln x 求导，得y ′＝x －1x ＝x 2－1x (x >0)．令⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x >0，解得x ∈(0,1]． 因此函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．故选B ．2．函数y ＝x 2(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(2，＋∞) C ．(0,2)D ．(－2,2)C 解析：∵y ＝x 2(x －3)＝x 3－3x 2，∴y ′＝3x 2－6x .令3x 2－6x ＜0，得0＜x ＜2，故函数的单调递减区间是(0,2)．故选C ． 3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x －x C ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln x －xB 解析：选项A ，y ＝sin x 显然在(0，＋∞)内不是增函数；选项B ，y ＝e x －x ，则y ′＝e x －1>0在x ∈(0，＋∞)时恒成立，所以y ＝e x －x 在(0，＋∞)内是增函数；选项C ，y ＝x 3－x ，y ′＝3x 2－1＝3⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，33时，y ′<0，此时函数单调递减，所以错误；选项D ，y ＝ln x －x ，y ′＝1x －1＝1－x x，当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0，此时函数单调递减．故选B．4．若函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数y＝f′(x)的图象有可能是()A解析：由f(x)的图象可知：在(－∞，0)上，f(x)单调递减，所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故选A．5．已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数f′(x)>0，若f(a2－5a)≤f(－6)，则实数a的取值范围为________．[2,3]解析：由f′(x)>0，得f(x)在R上为增函数，由f(a2－5a)≤f(－6)，得a2－5a≤－6，即a2－5a＋6≤0，解得2≤a≤3.6．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，求：(1)函数y＝f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)f(x)的单调递减区间．解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，f′(0)＝9，f(0)＝－2，所以切点为(0，－2)，∴切线方程为y＝9x－2，即9x－y－2＝0.(2)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．1．利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几个方面：①f′(x)>0是f(x)递增的充分不必要条件(f′(x)<0亦是如此)；②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集；③在证明不等式时，可以构造函数确定其定义域，再利用求导的方法求最值来证明．2．已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求函数解析式中参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后再检验端点处的参数值能否使f′(x)恒等于零．若恒等于零，则应舍去这个参数的值；若f′(x)不恒等于零，则其符合题意．课时分层作业(十七) 函数的单调性 (60分钟 110分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 利用导数判断函数的单调性或求单调区间1．(5分)已知函数f (x )＝1x －x ，则f (x )在(0，＋∞)上的单调性为( )A ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减C ．f (x )在(0，＋∞)上单调递减D ．f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增C 解析：因为f ′(x )＝－1x 2－1<0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故选C ．2．(5分)函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)C 解析：∵y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x 3－1>0，∴x >12.∴原函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.3．(5分)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)B 解析：该函数的定义域为(0，＋∞)，由y ′＝x －1x ≤0，得0<x ≤1，所以原函数的单调递减区间为(0,1]．4．(5分)若在区间[a ，b ]内有f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0D．不能确定A解析：由f′(x)>0，得f(x)在(a，b)上是增函数．∴当x∈(a，b)时，f(x)>f(a)≥0.知识点2函数图象与其导函数图象之间的关系5．(5分)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()A解析：对于A，随着x的递增y＝f′(x)的符号变化情况依次为大于零、小于零、大于零、小于零，反映在函数y＝f(x)的图象上，即得y＝f(x)的单调性变化情况为增、减、增、减，区间端点也大致吻合，故A正确．6．(5分)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是()A解析：由f′(x)的符号易判断选A．7．(5分)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()D 解析：从f ′(x )的图象可以看出，在大致区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内是单调递增的，在⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内是单调递减的，所以原函数f (x )的图象应在⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓，只有D 选项吻合．知识点3 由函数的单调性求参数的范围8．(5分)函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．a ＝13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0D 解析：∵y ′＝3ax 2－1， 又函数在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴y ′≤0恒成立，∴a ≤0.当a ＝0时，y ＝－1，满足题意．故a ≤0.9．(5分)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)在(－∞，＋∞)上是单调递减的，则下列各式中成立的是( ) A ．a >0，b 2＋3ac ≥0 B ．a >0，b 2－3ac ≤0 C ．a <0，b 2＋3ac ≥0 D ．a <0，b 2－3ac ≤0D 解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)． ∵函数在(－∞，＋∞)上为递减的， ∴f ′(x )≤0在(－∞，＋∞)上恒成立． ∴a <0且Δ＝4b 2－12ac ≤0， 即b 2－3ac ≤0.10．(5分)若函数h (x )＝2x －k x ＋k2在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]A 解析：根据条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞).11.(5分)函数f (x )＝x 3－ax ＋1既有单调递增区间，又有单调递减区间，则a的取值范围是________．(0，＋∞) 解析：∵f ′(x )＝3x 2－a ，由条件知f ′(x )＝0需有两个不等实根，∴a >0.能力提升练能力考点 适度提升12.(5分)如果函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )>0，f ′(x )>0，那么函数y ＝xf (x )在(0，＋∞)上( ) A ．没有单调性 B ．无法确定单调性 C ．是增函数D ．是减函数C 解析：∵y ′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )， 又x >0，f (x )>0，f ′(x )>0，∴y ′>0. ∴函数y ＝xf (x )在(0，＋∞)上是增函数．13．(5分)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )图象上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)·(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)B 解析：令k ≤0得x 0≤2，由导数与函数单调性的关系可知，函数的单调递减区间为(－∞，2]．14．(5分)已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)A 解析：∵f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝12x ＋1x，且当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数． 又∵2<e<3，∴f (2)<f (e)<f (3)．15．(5分)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则y ＝f (x )的图象大致是( )C 解析：当0<x <1时， ∵xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0， ∴y ＝f (x )在(0,1)上为减函数； 当x >1时，∵xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，只有C 项吻合.16.(5分)若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________．－75 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，且f ′(x )<0的解为－5<x <5， ∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75.17.(10分)已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，求b 的取值范围．解：若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立， 则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0， 解得－1≤b ≤2，由题意知y ′≥0不恒成立， 故b <－1或b >2，所以b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(10分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．解：由已知得a >1＋ln xx 在(1，＋∞)内恒成立，设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln xx 2<0(x >1)．∴g (x )在(1，＋∞)内递减，∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx <1在(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞).19.(10分)讨论函数f (x )＝log a (3x 2＋5x －2)(a >0，且a ≠1)的单调性．解：∵函数f (x )＝log a (3x 2＋5x －2)的定义域为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞， 又f ′(x )＝log a e3x 2＋5x －2·(6x ＋5)＝(6x ＋5)log a e (3x －1)(x ＋2)，∴①若a >1，则当x >13时，log a e>0,6x ＋5>0，(3x －1)(x ＋2)>0，∴f ′(x )>0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫13，＋∞上是增函数； 当x <－2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－2)上是减函数． ②若0<a <1，则当x >13时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫13，＋∞上是减函数； 当x <－2时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－∞，－2)上是增函数．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
第五章5.3.1函数的单调性课件(人教版)
课堂小结
1.知识清单： (1)函数的单调性与其导数的关系. (2)利用导数判断函数的单调性. (3)利用导数求函数的单调区间. (4)由导数的信息画函数的大致图象. 2.方法归纳：方程思想、分类讨论. 3.常见误区：忽略定义域的限制.
随堂演练
1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为
f′(x)＝6x－2x，令 f′(x)＝0，解得 x1＝ 33，x2＝－ 33(舍去)，
用x1分割定义域，得下表：
x
0，
3
3
3 3
33，＋∞
f′(x) －
0
＋
f(x)
单调递减
f
3
3
单调递增
∴函数
f(x)的单调递减区间为0，
33，单调递增区间为
33，＋∞.
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是 A.在区间(－2,1)上，f(x)单调递增
√B.在(1,2)上，f(x)单调递增 √C.在(4,5)上，f(x)单调递增
D.在(－3，－2)上，f(x)单调递增
(3)f(x)＝x－ex(x>0).
解 因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝1－ex<0， 所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减.
反思感悟 利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域； 求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导 函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.
解 当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞) 上都是单调递增的； 当0<x<7时，f′(x)<0，可知函数f(x)在区间(0,7)上单调递减； 当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0， 这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 故如图，
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
5.3.1函数的单调性(解析版)
5.3.1函数的单调性知识点一.函数的单调性与导数的关系1.一般地，在区间（a，b）上，函数f（x）的单调性与导数f′（x）的正负有如下关系.导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)=0常函数2.一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性∶第1步∶确定函数的定义域；第2步∶求出导数f(x)的零点；第3步∶用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.知识点二.函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系如表所示.图像导数导数为正，且绝对值越来越大导数为正，且绝对值越来越小导数为负，且绝对值越来越大导数为负，且绝对值越来越小函数值函数值变化越来越快函数值变化越来越慢函数值变化越来越快函数值变化越来越慢图像特点越来越陡峭越来越平缓越来越陡峭越来越平缓题型1求不含参函数的单调区间【例题1】（2021·宁夏·海原县第一中学）函数f(x)=(x−3)e x的单调递减区间是（）A．(−∞,2]B．[0,3]C．[1,4]D．[2,+∞)【答案】A【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式f′(x)<0进行求解即可.【详解】函数的导数f′x=e x+x−3e x=x−2e x由f′x<0得x−2e x<0，即x−2<0得x<2，即函数的单调递减区间为(−∞,2]，故选：A【变式1-1】1．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））设a为实数，函数f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x，且f′(x)是偶函数，则f(x)的单调递减区间为（）A．(0,2)B．(−3,3)C．(−1,1)D．(−3,3)【答案】C【分析】求导，结合f′(x)是偶函数得到f′−x=f′x，求出a=1，从而根据f′(x)=3x2−3小于0，求出单调递减区间.【详解】因为f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x，所以f′(x)=3x2+2(a−1)x−(a+2)，又因为f′(x)是偶函数，所以f′−x=f′x，即3−x2−2a−1x−a+2=3x2+2a−1x−a+2，故a−1=0，即a=1，所以f′(x)=3x2−3，令f′x<0，解得−1<x<1，所以f(x)的单调递减区间为(−1,1).故选：C．【变式1-1】2．（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）函数f x=x3−x2+x的单调递增区间为______.【答案】−∞,+∞【分析】求出导函数f′x，解不等式f′x≥0即可得到.【详解】由题意知，f x=x3−x2+x定义域为R，f′x=3x2−2x+1，且f′x=3x2−2x+1=3x+23>0在R上恒成立，所以，函数f x=x3−x2+x的单调递增区间为−∞,+∞.故答案为：−∞,+∞【变式1-1】3．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）己知函数f x=x2+5x+2ln x，则函数f x的单调递增区间是_____________．【答案】(0,+∞)【分析】利用导数法求单调区间即可【详解】函数f x=x2+5x+2ln x，其定义域x x>0，则f′x=2x+5+2×1x=2x2+5x+2x>0在0,+∞恒成立，所以函数f x的单调递增区间是0,+∞.故答案为：0,+∞.【变式1-1】4．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=e2x+ln x(x>0)，求f(x)的单调区间．【答案】f x的减区间为0,+∞.【分析】求出导函数f′(x)，由f′(x)>0得增区间，由f′(x)<0得减区间．【详解】f′x=−e2x2+1x=2x−e2x2，当0<x<e2，f′x<0，当x>e2，f′x>0，所以f x的减区间为0,f x+∞.【变式1-1】5．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））已知函数f(x)=x3−x2−x+2.(1)求曲线f(x)在点2,f2处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间.【答案】(1)7x−y−10=0(2)递增区间为(−∞,−13)，(1,+∞)；递减区间为−13,1【分析】（1）求出函数的导函数，再求得f'2=7与f2=4，利用点斜式可求得曲线f(x)在点2,f2处的切线方程；（2）由f′x=3x2−2x−1=x−13x+1，利用导函数f'(x)与函数f(x)的单调性的关系可得答案.【详解】（1）∵f x=x3−x2−x+2，∴f′x=3x2−2x−1=x−13x+1，∴f'2=7，又f2=4，∴曲线f(x)在点2,f2处的切线方程为y−4=7x−2，即7x−y−10=0；（2）∵f′x=3x2−2x−1=x−13x+1，∴当x∈−∞,−∪1,+∞时，f'(x)>0，当x∈−13,1时，f'(x)<0，∴f(x)在(−∞,−13)，(1,+∞)上单调递增，在−13,1上单调递减.∴f(x)的递增区间为(−∞,−13)，(1,+∞)；递减区间为−13,1.题型2含参函数单调区间◆类型1导数为1个根【例题2-1】（2022·上海市金山中学高二期末）已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)．若a=1，求函数y=f(x)的单调区间；【答案】答案见解析.【分析】根据题意，分b≥0和b<0两种情况讨论求解即可；【详解】解：当a=1时，f(x)=ln x+bx，定义域为0,+∞，所以，f′(x)=1x+b=1+bx x，所以，b≥0时，f′(x)≥0在0,+∞上恒成立，故f(x)在0,+∞上单调递增，当b<0时，令f′(x)=0得x=−1b，所以，当x∈0,−f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈−1b,+∞时，f′(x)<0，f(x)单调递减；综上，b≥0时，f(x)在0,+∞上单调递增；b<0时，f(x)在0,上单调递增，在−1b,+∞上单调递减.【变式2-1】1．（2022·江苏·盐城经济技术开发区中学高三阶段练习）已知函数f x=ax−3ln x．讨论函数f x的单调性；【答案】当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,3a)上单调递减，在(3a,+∞)上单调递增【分析】对函数f x进行求导，然后对a进行分类讨论，根据导函数值的正负，得到函数的单调区间【详解】由f x=ax−3ln x，得f′(x)=a−3x=ax−3x，x>0，当a≤0时，f′(x)<0，∴f x在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f′(x)=ax−3x=a⋅(x−3a)x，由x>3a时，f′(x)>0，f x在(3a,+∞)上单调递增，由x<3a时，f′(x)<0，f(x)在(0,3a)上单调递减，∴综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,3a)上单调递减，在(3a,+∞)上单调递增【变式2-1】2.（2007·山东·高考真题（理））设函数f x=ax−a+1ln x+1，其中a≥−1，求f x的单调区间．【答案】答案见解析【分析】求出函数f x的定义域，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数f x的增区间和减区间.【详解】函数f x=ax−a+1ln x+1的定义域为−1,+∞，f′x=a−a+1x+1=ax−1x+1.①当−1≤a≤0时，对任意的x>−1，f′x<0，此时，函数f x的减区间为−1,+∞，无增区间；②当a>0时，由f′x<0可得−1<x<1a，由f′x>0可得x>1a.此时，函数f x的减区间为−+∞.综上所述，当−1≤a≤0时，函数f x的减区间为−1,+∞，无增区间；当a>0时，函数f x的减区间为−+∞.【变式2-1】3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数f x=e x−ax−1.讨论函数f(x)的单调性；【答案】答案见解析．【分析】求出导函数f′(x)分类讨论确定f′(x)的正负得单调性；【详解】f′(x)=e x−a，a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上是增函数，a>0时，x<ln a时，f′(x)<0，f(x)是减函数，x>ln a时，f′(x)>0，f(x)是增函数，综上，a≤0时，f(x)在R上是增函数，a>0时，f(x)在(−∞,ln a)上是减函数，在(ln a,+∞)上是增函数；【变式2-1】4．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数f x=e ax−ax a∈R,a≠0,g x=b ln x−x b∈R.讨论函数f x的单调性；【答案】f x在−∞,0单调递减，在0,+∞单调递增【分析】由题意可得f′x=a e ax−a=a e ax−1，按a和x的取值分类讨论f′(x)的正负即可得到f x的单调性；【详解】由题意f′x=a e ax−a=a e ax−1,x∈R，令f′x=0，得x=0，当a>0时，若x>0，则ax>0,e ax>1，所以f′x>0，若x<0，则ax<0，e ax<1，所以f′x<0；当a<0时，若x>0，则ax<0,e ax<1，所以f′x>0，若x<0，则ax>0，e ax>1，所以f′x<0；综上f x在−∞,0单调递减，在0,+∞单调递增.【变式2-1】5．（2022·河南商丘·高三阶段练习（文））已知函数f x=x e x−ax2a∈R，g x=f′x+1−x e x，其中f′x是f x的导函数.讨论函数g x的单调性；【答案】当a≤0时，g x在R上单调递增；当a>0时，g x在−∞,ln a上单调递减，在ln a,+∞上单调递增.【分析】根据题意写出f′x，进而写出g x，对g x进行求导，根据导函数的正负判断原函数的单调性即可；【详解】f′x=x+1e x−2ax，g x=f′x+1−x e x=x+1e x−2ax+1−x e x= 2e x−2ax，g′x=2e x−2a，当a≤0时，对∀x∈R，g′x>0恒成立，故g x在R上单调递增；当a>0时，令g′x<0，解得x<ln a；令g′x>0，解得x>ln a，故g x在−∞,ln a上单调递减，在ln a,+∞上单调递增.◆类型2导数为2个根【例题2-2】（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）设函数f x=ax2+2a−1x−ln x a∈R.讨论f x的单调性；【答案】当a≤0时，f x在区间0,+∞上单调递减；当a>0时f x在区间+∞上单调递增【分析】求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;【详解】由于f x=ax2+2a−1x−ln x a∈R，则定义域为(0,+∞)，可得：f′x=2ax+2a−1−1x==当a≤0时，∵x>0，∴f′x<0，故f x在区间0,+∞上单调递减；当a>0时，∵x>0，∴由f′x>0可得x>12a，由f′x<0得x<12a，故f x在区间+∞上单调递增.ax3a−1x2−2x−12.【变式2-2】1．（2022·山东淄博·高三期中）已知三次函数f x=1(1)当a=3时，求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程，(2)讨论y=f x的单调性.【答案】(1)6x−y−5=0；(2)见解析.【分析】（1）求导可得f′x=9x2+5x−2，利用导数的几何意义，可得曲线y=f x在点1,f1处的切线斜率为f′(1)=12，f(1)=3，利用直线点斜式即可得解；（2）求导可得f′x=ax2+2a−1x−2=(ax−1)(x+2)，对参数a进行讨论即得解.【详解】（1）当a=3时，f x=x3+52x2−2x−12，f'x=3x2+5x−2，所以曲线y=f x在点1,f1处的切线斜率为f'(1)=6，又f(1)=1+52−2−12=1，y=6(x−1)+1，整理可得曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为6x−y−5=0；（2）f′x=ax2+2a−1x−2=(ax−1)(x+2)，若a=0，由f′x=−(x+2)=0可得x=−2，当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈(−2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当a>0时，f′x=(ax−1)(x+2)=0，可得x=1a或x=−2，所以f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)为增函数，在(−2,1a)上为减函数，当a<0时，若−12<a<0，f(x)在(−∞,1a),(−2,+∞)为减函数，在(1a,−2)上为增函数，若a=−12，f′(x)≤0，f(x)在R上为减函数，若a<−12，f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)为减函数，在(−2,1a)上为增函数，综上可得：若a=0，f(x)在(−∞,−2)上为增函数，在(−2,+∞)上为减函数，当a>0时，f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)为增函数，在(−2,1a)上为减函数，当a<0时，若−12<a<0f(x)在(−∞,1a),(−2,+∞)为减函数，在(1a,−2)上为增函数，若a=−12，f′(x)≤0，f(x)在R上为减函数，若a <−12，f (x )在(−∞,−2),(1a ,+∞)为减函数，在(−2,1a)上为增函数.【变式2-2】2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知函数f (x )=x 2−ax +1e x (a ∈R ).讨论f (x )的单调性；【答案】答案见解析【分析】根据f (x )的导函数零点间的大小关系进行分类讨论求解即可；【详解】由f ′(x )=−x 2+(a +2)x −a −1e x =−(x −1)(x −a −1)e x ，①当a +1=1，即a =0时，因为f ′(x )=−(x −1)2e x ≤0恒成立，故f (x )在(−∞，+∞)上为减函数；②当a +1>1，即a >0时，由f '(x )<0得，x <1或x >a +1；由f ′(x )>0得，1<x <a +1，所以f (x )在(−∞，1)和(a +1，+∞)上为减函数，在(1，a +1)上为增函数；③当a +1<1，即a <0时，由f ′(x )<0得，x <a +1或x >1；由f ′(x )>0得，a +1<x <1，所以f (x )在(−∞，a +1)和(1，+∞)上为减函数，在(a +1，1)上为增函数.综上：当a =0时，f (x )在(−∞，+∞)上为减函数；当a >0时，f (x )在(−∞，1)和(a +1，+∞)上为减函数，在(1，a +1)上为增函数；当a <0时，f (x )在(−∞，a +1)和(1，+∞)上为减函数，在(a +1，1)上为增函数.【变式2-2】3．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数f (x )=x 3−a +32x 2+ax +b 讨论f x 的单调性；【答案】答案见解析；【分析】对二次函数f ′(x )=(3x −a )(x −1)零点分布情况分类讨论即可求解；【详解】因为f (x )=x 3−a +32x 2+ax +b ，∴f ′(x )=3x 2−(a +3)x +a =(3x −a )(x −1)．①若a >3，当1<x <a 3时，f ′x <0,当x <1或x >a 3时，f ′x >0，即f x 在(1,a 3)上单调递减，在(−∞,1)和(a 3,+∞)上单调递增；②若a =3，恒有f ′x ≥0．即f x 在定义域R 上单调递增；③若a <3，当a 3<x <1时，f ′x <0,当x <a 3或x >1时，f ′x >0，即f x 在(a 3,1)上单调递减，在(−∞,a 3)和(1,+∞)上单调递增.【变式2-2】4．（2022·山东聊城·高三期中）已知函数f x =x −a +2ln x −a +1x ．讨论函数f x 的单调性；【答案】答案见解析【分析】先求导函数f ′x ，讨论a 的范围，求解f ′x >0和f ′x <0的解集，写出单调区间．【详解】（1）f x =x −a +2ln x −a +1x 定义域为0,+∞，f′x =1−a +2x +a +1x 2=令f ′x =0，得x =1或x =a +1．当a +1≤0即a ≤−1时：x ∈0,1，f ′x <0，函数f x 在0,1上单调递减；x ∈1,+∞，f ′x >0，函数f x 在1，+∞单调递增；当0<a +1<1，即−1<a <0时：x ∈0,a +1，f ′x >0，函数f x 在0，a +1单调递增；x ∈a +1,1，f ′x <0，函数f x 在a +1,1上单调递减；x ∈1,+∞，f ′x >0，函数f x 在1，+∞上单调递增；当a +1=1即a =0时：x ∈0,+∞，f ′x ≥0，函数f x 在0，+∞单调递增；当a +1>1即a >0时：x ∈0,1，f ′x >0，函数f x 在0,1单调递增；x ∈1,a +1，f ′x <0，函数f x 在1,a +1上单调递减；x ∈a +1,+∞，f ′x >0，函数f x 在a +1,+∞上单调递增；综上：当a ≤−1时，单调递减区间有0,1，单调递增区间有1,+∞；当−1<a<0时，单调递减区间有a+1,1，单调递增区间有0,a+1，1,+∞；当a=0时，单调递增区间有0,+∞，无单调递减区间；当a>0时，单调递减区间有1,a+1，单调递增区间有0,1，a+1,+∞．【变式2-2】5．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数f x=x2e ax−1a≠0，g x=ln x+ bx+1.求函数f x的单调区间；【答案】答案见解析【分析】求得f'x，对a进行分类讨论，由此求得函数f x的单调区间.【详解】函数f x的定义域为R，f′x=x ax+2e ax，令f′x=0得x1=0，x2=−2a，①当a>0时，若x∈−∞,∪0,+∞，则f′x>0；若x∈−2a,0，则f′x<0，故f x在−∞,−0,+∞上单调递增，在−2a,0上单调递减；②当a<0时，若x∈0,则f′x>0；若x∈−∞,0∪−2a,+∞，则f′x<0，故f x在0,−∞,0，−2a,+∞上单调递减.◆类型3不能因式分解【例题2-3】（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数f x=mx3−mx−x ln x m∈R.若f x的导函数为g x，试讨论g x的单调性；【答案】答案见解析【分析】由f x可求g x，再根据g x的导函数，讨论参数的范围即可得出g x的单调性；【详解】解：由已知g x=f′x=3mx2−m−ln x−1，则g′x=6mx−1x=6mx2−1x(x>0)，①当m≤0时，g′x<0，得g x在0,+∞单调递减；②当m>0时，g′x=6mx2−1x=<0⇒0<x<得g x在0,+∞单调递增，综上：当m≤0时，函数g x在0,+∞单调递减；当m>0时，函数g x在+∞单调递增.【变式2-3】1．（2022·广西·桂林市第五中学高三阶段练习（文））已知函数f x=ln x−12ax2+ x,a∈R.(1)当a=2时，求函数y=f x在点1,f1处的切线方程；(2)求函数f x的单调区间.【答案】(1)y=0(2)答案见解析.【分析】（1）分别求f′(x)、f(1)、f′(1)，由点斜式方程可得切线方程；（2）先求f(x)的定义域再求导f′(x)，分类讨论a≤0与a>0时导数的正负来研究原函数的单调性.【详解】（1）当a=2时，f(x)=ln x−x2+x，则f(1)=0，∴f′(x)=1x−2x+1，∴f(x)在点(1,0)处的切线斜率k切线=f′(1)=0，∴f(x)在点(1,0)处的切线方程为y−0=0×(x−1)，即：y=0.（2）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−ax+1=−ax2+x+1x，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间.②当a>0时，−ax2+x+1=0，Δ=1+4a>0，两根分别为x1=1−1+4a2a<0，x2=1+1+4a2a>0∴f′(x)>0⇒0<x<1+1+4a2a，f′(x)<0⇒x>1+1+4a2a∴f(x)的单调递增区间为(0,1+1+4a2a)，单调递减区间为(1+1+4a2a,+∞).综述：①当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；②当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为+∞).【变式2-3】2．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数f x=12x2−2x−a ln x．讨论f x的单调性；【答案】答案见解析；【分析】根据一元二次方程根的判别式分类讨论求解即可；【详解】f x=12x2−2x−a ln x(x>0)⇒f′x=x−2−a x=x2−2x−a x，设x2−2x−a=0的判别式Δ=(−2)2+4a=4+4a，当Δ≤0时，即当a≤−1时，x2−2x−a≥0⇒f′(x)≥0，函数f x在(0,+∞)上单调递增；当Δ>0时，即当a>−1时，设方程x2−2x−a=0的两根为：1−1+a,1+1+a，当a≥0时，1−1+a≤0，当0<x<1+1+a时，f′x<0,f x单调递减，当x>1+1+a时，f′x>0,f x单调递增；当−1<a<0时，1−1+a>0当0<x<1−1+a时，f′x>0,f x单调递增，当1−1+a<x<1+1+a时，f′x<0,f x单调递减，当x>1+1+a时，f′x>0,f x单调递增，综上所述：当a≤−1时，函数f x在(0,+∞)上单调递增；当a≥0时，函数f x在(0,1+1+a)单调递减，在(1+1+a,+∞)单调递增；当−1<a<0时，函数f x在(0,1−1+a)，(1+1+a,+∞)单调递增，在(1−1+a,1+ 1+a)单调递减；【变式2-3】3．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三期中（理））已知函数f x=e x ax2+x+ a a≥0.求函数f x的单调区间；【答案】见解析【分析】求导得到f′(x)=(ax+a+1)(x+1)e x，考虑a=0和a>0两种情况，根据导函数的正负判断函数的单调区间即可.【详解】函数f x的定义域为R，且f′(x)=(ax+a+1)(x+1)e x，当a=0时，f′(x)=e x(x+1)，当x>−1时，f′x>0，当x<−1时，f′x<0，所以函数f x 的单调递增区间为−1,+∞，单调递减区间为−∞,−1.当a >0时，f ′(x )=a (x +1)x +e x ，f ′x =0有两根－1，−a +1a，且−1>−a +1a，f′(x )=a (x +1)x +e x >0，则x ∈−∞,∪−1,+∞；f′(x )=a (x +1)x +e x <0，则x ∈−a +1a,−1；故函数f x 的单调递增区间为−∞,−−1,+∞，单调递减区间为−a +1a,−1.综上可知：当a >0时，函数f x 的单调递增区间为−∞,−1,+∞，单调递减区间为−a +1a,−1；当a =0时，函数f x 的单调递增区间为−1,+∞，单调递减区间为−∞,−1.【变式2-3】4．（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））函数f x =a ln x −x 2+x ，g x =x −2⋅e x −x 2+m ．当a <0时，讨论函数y =f x 的单调性；【答案】答案见解析【分析】先求得f ′x ，对a 进行分类讨论，由此求得f x 的单调区间.【详解】函数f x =a ln x −x 2+x 定义域是0,+∞，f ′x =a x −2x +1=−2x 2+x +ax，①当a ≤−18时，Δ=1+8a ≤0，当x ∈0,+∞时，f ′x ≤0，即函数y =f x 的减区间为0,+∞，无递增区间；②当−18<a <0时，Δ=1+8a >0，令f ′x >0<x <又∵−18<a <0>0>0，此时函数y =f x 的减区间为+∞，综上所述，①当a ≤−18时，函数y =f x 的减区间为0,+∞，无递减区间；②当−18<a <0时，函数y =f x 的减区间为0,+∞，增区间为题型3已知单调区间求参数◆类型1已知单增单减求取值范围【例题3-1】若函数f x=x2−ax+ln x在区间1,e上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．3,+∞B．−∞,3C．3,e2+1D．−∞,e2+1【答案】B【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.【详解】依题意f′x=2x−a+1x≥0在区间1,e上恒成立，即a≤2x+1x在区间1,e 上恒成立.<x<e，则g′x=2−1x2=2x2−1x2>0，所以g x在1,e上单调递增，令g x=2x+则g x>3，所以a≤3.故选:B.【变式3-1】1．若函数f x=x3−3kx+1在区间1,+∞上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．−∞,1B．−∞,1C．−1,+∞D．1,+∞【答案】B【分析】利用函数f x在区间(1,+∞)上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得k的取值范围.【详解】由题意得，f′(x)=3x2−3k=3(x2−k)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，即k≤x2在区间(1,+∞)上恒成立，又函数y=x2在(1,+∞)上单调递增，得x2>1，所以k≤1，即实数k的取值范围是(−∞,1].故选：B【变式3-1】2．（多选）已知函数f x=12x2−a ln x+x在1,+∞上单调递增，则实数a 的所有可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【分析】由f′(x)≥0在1,+∞上恒成立，参变分离得a≤x2+x，结合二次函数求出最小值即可求解.【详解】由题意得f′(x)≥0在1,+∞上恒成立，即f′x=x−a x+1≥0，整理得a≤x2+x，即a≤x2+x min，又x2+x=x+−14在1,+∞上单调递增，则最小值为1+1=2，故a≤2，结合选项知，a可取0，1，2.故选：ABC.【变式3-1】3．若函数f(x)=12sin2x+a cos x在区间(0,π)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[−1,+∞)C．(−∞,−1)D．[1,+∞)【答案】A【分析】依题意f′(x)=cos2x−a sin x≥0在(0,π)上恒成立，根据二倍角公式得到1−2sin x2−a sin x≥0，令t=sin x，即−2t2−at+1≥0，t∈0,1恒成立，参变分离可得a≤−2t+1t，再构造函数g t=−2t+1t，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】解：∵f(x)=12sin2x+a cos x在区间(0,π)上是增函数，∴f′(x)=cos2x−a sin x≥0在(0,π)上恒成立，∴1−2sin2x−a sin x≥0，因为x∈(0,π)，所以sin x∈0,1令t=sin x，则t∈0,1，即−2t2−at+1≥0，t∈0,1，∴a≤−2t+1t，令g t=−2t+1t，t∈0,1，则g′t=−2−1t2<0，∴g t在0,1上单调递减，∴a≤g1=−1，即a∈−∞,−1，故选：A．【变式3-1】4．“函数y=ax−sin x在R上是增函数”是“a>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求导，根据导数恒大于等于0可得a的范围，然后判断可得.【详解】因为函数y=ax−sin x是增函数，所以y′=a−cos x≥0恒成立，即a≥cos x恒成立，所以a≥1>0反之a>0，函数的导数不一定大于0.故“函数y=ax−sin x在R上是增函数”是“a>0”的充分不必要条件.故选：A【变式3-1】5．若函数f(x)=ln(x+1)−mx在区间(0,+∞)上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．(−∞,−1)C．(1,+∞)D．[1,+∞)【答案】D【分析】函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，则导函数f′(x)≤0在区间(0,+∞)上恒成立,分离参数，即可求解.【详解】解：f(x)=ln(x+1)−mx,f′(x)=1x+1−m，则f′(x)=1x+1−m≤0在0,+∞上恒成立，即m≥1x+1恒成立，又y=1x+1在0,+∞上单调递减，故1x+1<1，所以m≥1，当m=1时，导数不恒为0，故选：D.【变式3-1】6．若函数f(x)=bx+2sin x在x∈则实数b的取值范围是（）A．b≥0B．b>0C．b≥−2D．b>−2【答案】A【分析】由f′(x)≥0【详解】由题意f′(x)=b+2cos x≥0b≥−2cos x，x∈y=−2cos x是增函数，y max=0（x=π2时取得），所以b≥0．【变式3-1】7．已知函数f x=13x3+a2x2+x+1上−∞,0，3,+∞单调递增，在1,2上单调递减，则实数a的取值范围为______.【答案】−103,−【分析】求导得到f′x=x2+ax+1，根据f x在−∞,0，3,+∞上单调递增，在1,2上单调递减，可得方程f′x=0的两个根分别位于区间0,1和2,3上，进而根据数形结合，列出相应的不等式组，即可求出实数a的取值范围【详解】由f x=13x3+a2x2+x+1，得f′x=x2+ax+1，因为f x在−∞,0，3,+∞上单调递增，在1,2上单调递减，所以方程f′x=0的两个根分别位于区间0,1和2,3上，所以f′0≥0f′1≤0f′2≤0f′3≥0，即1≥02+a≤02a+5≤03a+10≥0解得−103≤a≤−52故答案为：−103,◆类型2存在单增单减区间问题【例题3-2】已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x.（1）若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（2）若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.【答案】（1）(－1，＋∞)；（2）[−716,+∞).【分析】（1）由函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，1x－ax－2<0有解，即a>1x2−2x有解，构造函数G(x)=1x2−2x，求出其最小值即可；（2）由h(x)在[1，4]上单调递减，可得当x∈[1，4]时，ℎ'(x)=1x−ax−2≤0恒成立，则a≥1x2−2x恒成立，构造函数G(x)=1x2−2x，求出其最大值即可【详解】h(x)＝ln x－12ax2－2x，x>0.∴h′(x)＝1x－ax－2.（1）若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，1x－ax－2<0有解，即a>1x2−2x有解.设G(x)=1x2−2x，所以只要a>G(x)min.又G(x)=(1x−1)2−1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).（2）由h(x)在[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，ℎ'(x)=1x−ax−2≤0恒成立，则a≥1x2−2x恒成立，设G(x)=1x2−2x，所以a≥G(x)max.又G(x)=(1x−1)2−1，x∈[1，4]，因为x∈[1，4]，所以1x∈[14,1]，所以G(x)max＝−716(此时x＝4)，所以a≥−716.又当a＝−716时，ℎ'(x)=1x+716x−2=(7x−4)(x−4)16x，∵x∈[1，4]，∴ℎ'(x)=(7x−4)(x−4)16x≤0，当且仅当x＝4时等号成立.∴h(x)在[1，4]上为减函数.故实数a的取值范围是[−716,+∞).【点睛】此题考查导数的应用，注意函数的单调区间和在某区间上单调的区别，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题【变式3-2】1．若函数f(x)=ln x−12ax2−2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.【答案】(−1,+∞)【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.【详解】f′(x)=1x−ax−2=1−2x−ax2x，由题意知，f′(x)<0在(0,+∞)上有实数解，即ax2+2x−1>0有实数解，当a≥0时，显然满足，当a<0时，只需Δ=4+4a>0∴−1<a<0综上所述a>−1故答案为：(−1,+∞)【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.【变式3-2】2．设f(x)=−13x3+12x2+ax.（1）若f(x)+∞上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）若f(x)+∞上单调递减，求a的取值范围.【答案】（1）a>−29；（2）a≤−29【分析】（1）f(x)+∞上存在单调递增区间，即f'(x)>0+∞上有解，只要f'(x)max>0即可；（2）f(x)+∞上单调递减，即f'(x)≤0+∞上恒成立，只要f'(x)max≤0即可；【详解】解：（1）f'(x)=−x2+x+a=−x+14+a，当x∈+∞时，f'(x)max=f'=29+a，则当x∈+∞时，令29+a>0，得a>−29，所以，当a>−29时，f(x)+∞上存在单调递增区间；（2）由（1）得当x∈+∞时，f'(x)max=f'=29+a，则当x∈+∞时，令29+a≤0，得a≤−29，所以，当a≤−29时，f(x)+∞上单调递减.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，正确理解导数与函数单调性的关系及准确求导是解决问题的基础.【变式3-2】3．已知函数f(x)=ln x−12ax2−2x+1,a∈R（1）若f(x)在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直，求a的值；（2）若f(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【答案】（1）−1（2）(−1,+∞).【分析】（1）根据导数的几何意义，再利用两直线垂直的充要条件即可求解；（2）根据函数f(x)存在单调递减等价f′(x)<0在(0,+∞)上有解，转化为a>1−2x x2在(0,+∞)上有解，求g(x)=1−2x x2在(0,+∞)的最小值即可求解．【详解】（1）因为f(x)=ln x−12ax2−2x+1,a∈R，所以f'(x)=1x−ax−2,∴f′(2)=−2a−32,所以f(x)在x=2处的切线的斜率为k=f′(2)=−2a−32，因为f (x )在x =2处的切线与直线2x +y =0垂直，所以(−2a −32)×(−2)=−1，即−2a −32=12，解得a =−1．（2）因为f (x )=ln x −12ax 2−2x +1,所以f ′(x )=1x−ax −2，因为f (x )存在单调递减区间等价于f ′(x )=1x−ax −2<0在(0,+∞)上有解．即a >1−2xx 2在(0,+∞)上有解．令g (x )=1−2xx 2,(x >0),所以只需a >g (x )min ．因为g (x )=1−2xx 2=(1x)2−2(1x)=(1x−1)2−1≥−1,即g (x )min =−1,所以实数a 的取值范围为(−1,+∞)．【变式3-2】4．已知函数f (x )=−13x 3+12x 2+2ax ．(1)若函数f (x )+∞上存在单调增区间，求实数a 的取值范围．(2)若函数f (x ),1上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a >−19(2)a ≥0【分析】（1）即f ′x >0有解，参变分离得a >，最后根据二次函数性质求最值，即得实数a 的取值范围．（2）即f ′x >0恒成立，参变分离得a >，最后根据二次函数性质求最值，即得实数a 的取值范围．（1）f ′x =−x 2+x +2a ，由于f (x )+∞上存在单调增区间，故∃x 0∈+∞，f ′x 0>0，∴a >，由于y =x 2−x 2在+∞单调递增，且当x =23时，x 2−x2=−19∴a >−19（2）∀x ∈,1f ′x ≥0，由于y =x 2−x 2在+∞单调递增，故y =x 2−x 2在,1单调递增，当x =1时，x 2−x2=0a ≥，∴a ≥0．◆类型3已知单调区间问题【例题3-3】已知函数f x =ln x +x 2+ax ,1，则（）.A ．a ∈−∞,−3B ．a =−3C ．a =3D ．a ∈−∞,3【答案】B【分析】根据f x 得到f ′x ，再根据f x ,1，得到12和1是方程f ′x =0的两个根，代入解方程即可.【详解】由f x =ln x +x 2+ax 得f′x =2x 2+ax +1x，又f x ,1，所以12和1是方程2x 2+ax +1x=0的两个根，代入得a =−3.经检验满足题意故选：B.【变式3-3】1．已知函数f x =mx 3+3m −1x 2−m 2+1m >0的单调递减区间是0,4，则m =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【答案】B【分析】利用导数结合韦达定理得出m 的值.【详解】函数f x =mx 3+3m −1x 2−m 2+1m >0，则导数f ′x =3mx 2+6m −1x令f ′x <0，即3mx 2+6m −1x <0，∵m >0，f x 的单调递减区间是0,4，∴0，4是方程3mx 2+6m −1x =0的两根，∴0+4=0×4=0，∴m =13故选：B.【变式3-3】2．已知函数f (x )=2x 3−mx 2+2(m >0)的单调减区间为(a ,b )，若b −a ≤2，则m 的最大值为______．【答案】6【分析】根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系即可求解.【详解】由f(x)=2x3−mx2+2(m>0)，得f′(x)=6x2−2mx(m>0)．令f′(x)<0,即6x2−2mx<0，解得0<x<m3，所以函数f(x)=2x3−mx2+2(m>0)的单调减区间为(0,m3)，所以b−a=m3≤2，解得m≤6，所以m的最大值为6．故答案为：6.【变式3-3】3．已知函数f x=ln x+x2+ax,1，则a的值为________．【答案】−3【分析】分析可知不等式2x2+ax+1<0,1，利用韦达定理可求得实数a的值.【详解】函数f x的定义域为0,+∞，且f′x=1x+2x+a=2x2+ax+1x，由题意可知，不等式2x2+ax+1<0,1，所以，12+1=−a2，解得a=−3.故答案为：−3.【变式3-3】4．（多选）若函数f x=ax3−3x2+x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（）A．−3B．−1C．0D．3【答案】AB【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解.【详解】当a=0时，f x=−3x2+x+1，显然不满足题意；当a≠0时，f′x=3ax2−6x+1，因为f x恰好有三个单调区间，所以f′x=3ax2−6x+1有两个零点，即Δ=36−12a>0，解得a<3，综上，a的取值范围为(−∞,0)∪(0,3).故选：AB◆类型4不单调问题【例题3-4】已知函数f x=1−x ln x+ax在1,+∞上不单调，则a的取值范围是（）A．0,+∞B．−∞,0C．0,+∞D．−∞,0【答案】A【分析】因为f (x )在1,+∞上不单调，故利用f ′x 在1,+∞上必有零点，利用a =ln x −1x+1，构造函数z (x )=ln x −1x +1，通过z (x )的范围，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意f ′x =−ln x +1x+a −1，故f ′(x )在1,+∞上有零点，令g (x )=−ln x +1x+a −1，令g (x )=0，得a =ln x −1x +1，令z (x )=ln x −1x +1，则z ′(x )=1x +1x 2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )单调递增，又由z (1)=0，得z (x )>0，故a =z (x )>0，所以，a 的取值范围0,+∞故选：A【变式3-4】若函数()()11xf x e a x =--+在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是（）A ．()2,1e +B ．[]2,1e +C ．(][),21,e -∞⋃++∞D ．()(),21,e -∞⋃++∞【答案】A 【解析】()(1)1x f x e a x =--+，()1x f x e a '∴=-+，若()f x 在(0,1)上不单调，则()'f x 在(0,1)上有变号零点，又()f x '单调递增，()()010f f ''∴<，即(11)(1)0a e a -+-+<，解得21a e <<+．a ∴的取值范围是(2,e +1)．故选：A ．题型4单调性与图象【例题4-1】函数()()22xf x x x e =-的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()()22x f x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，令()0f x '=，解得()f x 的两个极值点为AD ，且当0x <时，()f x 恒为正，排除C ，即只有B选项符合要求，故选：B.【变式4-1】1.函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题得，()1(0)f x x x x'=->，当(0,1)时，()0f x '>，函数()f x 为增函数，当(1,)+∞时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当1x =时，()f x 取最大值，()112f =-，则B 选项正确.故选：B 【变式4-1】2.已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.71828…)，则f (x )的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】函数()2(1)x f x e x ＝－+，当1x =-时，()1=110f ee -->＝，故排除A 、D ，又()22()20ln2x x f x e x f x e x '''=--=-=⇒=，，当0ln2x <<时，()(0())00f f f x x ''<''<∴<，，所以()f x 在()0,ln 2为减函数，故排除B,故选：C【变式4-1】3．函数f x =ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c3的单调递增区间是()A ．−∞,−2B ．[12,+∞)C ．−2,3D ．[98,+∞)【答案】D【分析】由题可得d ＝0，不妨取a ＝1，求导，由题图可得f ′−2=f ′3=0，可求b ，c 的值，从而可求单调区间.【详解】解:由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f x=x3+bx2+cx，∴f′x=3x2+2bx+c.由图可知f′−2=f′3=0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b=−32，c=−18.∴y=x2−94x−6，y′=2x−94.当x＞98时，y′>0，∴y=x2−94x−6的单调递增区间为[98,+∞).故选:D.【变式4-1】4．已知函数f x的图象如图所示，则下列说法中错误的是A．f x在区间上单调递减B．f x在区间上单调递增C．当时，f′x>0D．当时，f′x=0【答案】C【详解】试题分析：由图像可知增区间为(1,4)，此时，减区间为(−∞,1),(4,+∞)此时f'(x)<0，所以x=1,x=4是极值点考点：函数单调性与极值【例题4-2】如图是y=f′x的图像，则函数y=f x的单调递减区间是（）A．−2,1B．−2,0,2,+∞C．−∞,−1D．−∞,−1,1,+∞【答案】B【分析】由导数与单调性的关系判断．【详解】由图象知−2<x<0或x>2时，f′(x)<0，因此减区间是(−2,0)，(2,+∞)．故选：B．【变式4-2】1．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①−3是函数y=f(x)的极值点；②−1是函数y=f(x)的最小值点；③y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】C【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当x∈−∞,−3时，f′x<0，在x∈−3,1时，f′x≥0，∴函数y=f x在−∞,−3上单调递减，在−3,1上单调递增，故③正确；则−3是函数y=f x的极小值点，故①正确；∵在−3,1上单调递增，∴−1不是函数y=f x的最小值点，故②不正确；∵函数y=f x在x=0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确．故选：C．【变式4-2】2．已知函数f x与其导函数f′x的图象的一部分如图所示，则函数g x=的单调性（）A．在1,1单调递减B．在−1,2−3单调递减C．在2−3,1单调递减D．在1,2上单调递减【答案】B【分析】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得g′x在不同区间内的正负，进而判断单调性，得到结果.【详解】∵f′x<0时，f x单调递减；f′x>0时，f x单调递增，∴已知图象中在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，且有两个零点x=−1和x=1的是f′x，∵g′x=f′x−f x e x，由图象可知：当x∈−1,2−3时，f x>f′x；当x∈2−3,2时，f′x>f x；∴当x∈−1,2−3时，g′x<0；当x∈2−3,2时，g′x>0；∴g x在−1,1上不单调，A错误；在−1,2−3上单调递减，B正确；在2−3,1，1,2上单调递增，CD错误.故选：B.【变式4-2】3．已知f x是定义在R上的可导函数，y=e f′x的图象如下图所示，则y=f x的单调减区间是A．−∞,−1B．−∞,2C．0,1D．1,2【答案】B【详解】分析：先根据图像求出e f′(x)≤1，即得f′(x)≤0，也即得结果.详解：因为当x≤2时，e f′(x)≤1，所以当x≤2时，f′(x)≤0，所以y=f(x)的单调减区间是(−∞,2)，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.题型5利用导数图象解不等式【例题5】定义域为R的可导函数的导函数y=f x为f′x，满足f x>f′x，且f0=1，则不等式f x<e x的解集为（）A．−∞,2B．2,+∞C．−∞,0D．0,+∞【答案】D【分析】根据条件构造函数F x=<1⇔F x<F0利用函数的单调性解不等式，即可得到结果．【详解】设F x=则F′x==f x>f′x，所以F′x<0，即函数F x在定义域上单调递减，因为f(0)=1，所以不等式f x<e x<1，等价于F(x)<F(0)，解得x>0，故不等式的解集为0,+∞.故选：D．【变式5-1】1．已知定义在R上的函数f x的导函数为f′x，若f′x<e x，且f2=e2+2，则不等式f ln x>x+2的解集是（）A．0,e2B．0,2C．−∞,e2D．−∞,2【答案】A【分析】设g x=f x−e x+2，求导可得g x在R上单调递减，再根据f ln x>x+2转化为g ln x>4，再结合g x的单调性求解即可.【详解】设g x=f x−e x+2，则g′x=f′x−e x.因为f′x<e x，所以f′x−e x<0，即g′x<0，所以g x在R上单调递减.。
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5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性基础过关练题组一利用导数研究函数的图象变化1.如图所示的是导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是()A.(x1,x3)B.(x2,x4)C.(x4,x6)D.(x5,x6)2.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为()3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是()4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间 5.函数f(x)=x+ln x( ) A.在(0,6)上是增函数 B.在(0,6)上是减函数C.在(0,1e )上是减函数,在(1e ,6)上是增函数D.在(0,1e )上是增函数,在(1e ,6)上是减函数 6.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( ) A.y=sin x B.y=xe x C.y=x 3-x D.y=ln x-x7.(2020河南开封五县高二上期末联考)函数y=1x +3ln x 的单调递增区间为( ) A.(0,1) B.(0,13)C.(1,+∞)D.(13,+∞)8.(2020广西来宾高二下期末)函数f(x)=x 2ln x 的单调递减区间为( )A.(0,√e )B.(√e e,+∞)C.(√e ,+∞)D.(0,√ee)9.求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3x2-2ln x;(2)f(x)=x2·e-x;.(3)f(x)=x+1x10.(2020天津部分区高二上期末)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值;(2)若a>0,求f(x)的单调区间.11.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-4ln x的导函数3f'(x)的一个零点为x=1.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题12.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-√3]∪[√3,+∞)B.[-√3,√3]C.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)D.(-√3,√3)13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是()A.(0,3)∪(3,+∞)B.[3,+∞)C.(0,3]D.(0,3)14.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是.x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围15.若f(x)=-12是.16.试求函数f(x)=kx-ln x的单调区间.17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.能力提升练题组一利用导数研究函数的图象变化1.(2020浙江杭州六校高二下期中,)若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()2.(2020河北冀州中学高三上期末,)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)3.(2020浙江绍兴高三上期末,)函数f(x)=x 2+xe x的大致图象是()4.()已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)e x的单调递减区间为.题组二利用导数研究函数的单调性及其应用5.(2020福建三明高二上期末质量检测,)若x,y∈[-π2,π2],且xsin x-ysiny>0,则下列不等式一定成立的是()A.x<yB.x>yC.|x|<|y|D.|x|>|y|6.(2019山东聊城一中高三上期中,)函数f(x)=sin x+2xf'(π3),f'(x)为f(x)的导函数,令a=12,b=log32,则下列关系正确的是()A.f(a)<f(b)B.f(a)>f(b)C.f(a)=f(b)D.f(a)≤f(b)7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(深度解析)A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)8.(多选)()若函数g(x)=e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的为()A.f(x)=2-xB.f(x)=3-xC.f(x)=x3D.f(x)=x2+29.(多选)()素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈xlnx,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近xlnx的值.从猜想出发,下列推断正确的是()A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少D.因为π(4)=2,所以π(4)>4ln410.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=x+sinx,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a +1b的最小值为.11.()已知函数f(x)=ln x-ax+1-ax-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≤12时,讨论f(x)的单调性.12.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a>0,求不等式f(x)-f(2a-x)>0的解集.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题13.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=e x(a-cos x)在R上单调递增,则a的取值范围为()A.[1,+∞)B.(-∞,-√2]C.[√2,+∞)D.(-∞,-1]14.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=x2-9ln x+3x在其定义域内的子区间(m-1,m+1)上不单调,则实数m的取值范围是()A.(12,32) B.[1,32)C.(1,52) D.[1,52)15.(2020山西吕梁高二上期末,)已知f(x)=aln x+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>2成立,则a的取值范围是(深度解析)A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)16.(2019河北张家口高三上期末,)函数f(x)=sin x-aln x在(0,π4)上单调递增,则实数a的取值范围是.深度解析17.()已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,)已知a∈R,函数f(x)=e x+ax2.(1)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f'(x),若g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取值范围;(2)设实数a>0,求证:对任意实数x1,x2(x1≠x2),总有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2成立.附:简单复合函数求导法则为[f(ax+b)]'=af'(ax+b).答案全解全析 基础过关练1.B 函数的单调递减区间就是使其导函数的值小于零的区间.故选B.2.C ∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上为减函数,在(1,4)上为增函数,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当1<x<4时,f'(x)>0.故选C.3.A 因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.4.答案 (-2,4)解析 由f(x)的导函数f'(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x ≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-2<x ≤0;当x>0时,由f(x)<1=f(4),得0<x<4.综上所述,f(x)<1的解集为(-2,4). 5.A f'(x)=1+1x =x+1x(x>0),当0<x<6时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,6)上是增函数.6.B A 中,y'=cos x,在(0,+∞)内不恒大于0,故A 不满足题意;B 中,y'=e x +xe x =e x (1+x),当x ∈(0,+∞)时,y'>0,故B 满足题意;C 中,y'=3x 2-1,在(0,+∞)内不恒大于0,故C 不满足题意;D 中,y'=1x -1=1-x x,在(0,+∞)内不恒大于0,故D 不满足题意.故选B. 7.D 易知函数y=1x+3ln x 的定义域为(0,+∞),y'=-1x+3x=3x -1x ,令y'=3x -1x >0,解得x>13.故选D.8.D 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x ·ln x+x 2·1x=2xlnx+x=x(2ln x+1).令f'(x)<0,得2ln x+1<0,解得0<x<√ee, 故函数f(x)=x 2ln x 的单调递减区间为(0,√e e). 9.解析 (1)易知函数的定义域为(0,+∞).f'(x)=6x-2x ,令f'(x)=0,解得x 1=√33,x 2=-√33(舍去),用x 1分割定义域,得下表:x (0,√3)(√3,+∞) f'(x) - + f(x)↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(0,√33),单调递增区间为(√33,+∞).(2)易知函数的定义域为(-∞,+∞).f'(x)=(x 2)'e -x +x 2(e -x )'=2xe -x -x 2e -x =e -x ·(2x-x 2),令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,0) (0,2) (2,+∞) f'(x) - + - f(x) ↘↗↘∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2). (3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f'(x)=1-1x ,令f'(x)=0,得x=-1或x=1,当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1) (-1,0) (0,1) (1,+∞) f'(x) + - - + f(x) ↗↘↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).10.解析 (1)∵f(x)=x 3-ax 2+b(a,b ∈R),∴f'(x)=3x 2-2ax. ∵函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0, ∴{f'(1)=3-2a =-1,f(1)=1-a +b =0, 解得{a =2,b =1. (2)由(1)得f'(x)=3x 2-2ax=3x x-2a 3,令f'(x)=0,得x=0或x=2a3.∵a>0,∴当f'(x)>0时,x ∈(-∞,0)∪2a 3,+∞;当f'(x)<0时,x ∈(0,2a 3).∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2a 3,+∞),单调递减区间为(0,2a3).11.解析 (1)f'(x)=2ax+2-43x ,由f'(1)=2a+23=0,得a=-13.(2)由(1)得f(x)=-13x 2+2x-43ln x,则f'(x)=-23x+2-43x=-2(x -1)(x -2)3x.令f'(x)=0,得x=1或x=2. 当f'(x)>0时,1<x<2; 当f'(x)<0时,0<x<1或x>2.因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).12.B 由题意知,f'(x)=-3x 2+2ax-1,因为y=f(x)在R 上是单调函数,且y=f'(x)的图象开口向下,所以f'(x)≤0在R 上恒成立,故Δ=4a 2-12≤0,即-√3≤a ≤√3.13.D 由题意得f'(x)=3ax 2+6x+1(a>0), ∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间, ∴f'(x)有两个不同的零点, ∴Δ=36-12a>0,解得0<a<3, ∴实数a 的取值范围是(0,3).故选D. 14.答案 (-∞,2]解析 由题意得y'=2x-2b ≥0在(2,8)内恒成立,即b ≤x 在(2,8)内恒成立,所以b ≤2. 15.答案 (-∞,-1]解析 ∵f(x)在(-1,+∞)上是减函数, ∴f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立. ∵f'(x)=-x+b x+2,∴-x+bx+2≤0在(-1,+∞)上恒成立,即b ≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立. 令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1, 则当x>-1时,g(x)>-1,∴b ≤-1.16.解析 易知函数f(x)=kx-ln x 的定义域为(0,+∞),f'(x)=k -1x =kx -1x.当k ≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0, 则f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当k>0时,令f'(x)<0,得0<x<1k ;令f'(x)>0,得x>1k.∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为(0,1k ),单调递增区间为(1k ,+∞).综上所述,当k ≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 当k>0时,f(x)的单调递减区间为(0,1k ),单调递增区间为(1k ,+∞). 17.解析 由题意得f'(x)=3x 2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3). (1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1), ∴-1和1是方程f'(x)=0的两个根, ∴3-2a 3=1,∴a=0.(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减, ∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立.又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一根为-1, ∴3-2a 3≥1,∴a ≤0.∴实数a 的取值范围是{a|a ≤0}.能力提升练1.D 设导函数y=f'(x)的图象与x 轴交点的横坐标从左到右依次为x 1,x 2,x 3,其中x 1<0,x 3>x 2>0,故y=f(x)在(-∞,x 1)上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在(x 2,x 3)上单调递减,在(x 3,+∞)上单调递增.故选D.2.A 由f(x)的图象得,f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此,当x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x ∈(-1,1)时,f'(x)<0.则xf'(x)<0⇔{x >0,f'(x)<0或{x <0,f'(x)>0,解得0<x<1或x<-1,故选A. 3.A 函数y=x 2+x e 的导数为y'=-x 2+x+1e ,令y'=0,得x=1±√52, 当x ∈(-∞,1-√52)时,y'<0,当x ∈(1-√52,1+√52)时,y'>0, 当x ∈(1+√52,+∞)时,y'<0.∴函数在(-∞,1-√52)和(1+√52,+∞)上单调递减,在(1-√52,1+√52)上单调递增,排除D.当x=0时,y=0,排除B.当x=-1时,y=0,当x=-2时,y>0,排除C.故选A. 4.答案 (0,1),(4,+∞) 解析 g'(x)=f'(x)e x -f(x)(e x )'(e )=f'(x)-f(x)e ,由题中图象可知,当x ∈(0,1)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0; 当x ∈(4,+∞)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0, 故函数g(x)=f(x)e x的单调递减区间为(0,1),(4,+∞).5.D 构造函数f(x)=xsin x,x ∈-π2,π2,则f(x)是偶函数,且f'(x)=sin x+xcos x.当0≤x ≤π2时,f'(x)≥0,因此f(x)在[0,π2]上是增函数,从而xsin x-ysiny>0⇔xsin x>ysin y ⇔f(x)>f(y)⇔f(|x|)>f(|y|)⇔|x|>|y|,故选D. 6.B 由题意得,f'(x)=cos x+2f'(π3),f'(π3)=cos π3+2f'(π3), 解得f'(π3)=-12,所以f(x)=sin x-x.所以f'(x)=cos x-1≤0, 所以f(x)为减函数. 因为b=log 32>log 3√3=12=a,所以f(a)>f(b),故选B.7.B 令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2.因为f'(x)>2,所以f'(x)-2>0,即g'(x)>0,所以g(x)=f(x)-2x-4在R 上单调递增.又因为f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)-2=0,所以g(x)>0⇔g(x)>g(-1)⇔x>-1,所以f(x)>2x+4的解集是(-1,+∞),故选B.易错警示 构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一个重要题型,构造函数时,要结合导数与不等式,如本题中构造函数g(x)=f(x)-2x-4,根据g'(x)=f'(x)-2和f'(x)>2得到单调性.8.AD 对于A,f(x)=2-x,则g(x)=e xf(x)=e x·2-x=(e 2)x为R 上的增函数,符合题意;对于B,f(x)=3-x,则g(x)=e xf(x)=e x·3-x=(e 3)x为R 上的减函数,不符合题意;对于C,f(x)=x 3,则g(x)=e x f(x)=e x ·x 3, g'(x)=e x ·x 3+3e x ·x 2=e x (x 3+3x 2)=e x ·x 2(x+3),当x<-3时,g'(x)<0,当x>-3时,g'(x)>0,∴g(x)=e x f(x)在定义域R 上先减后增,不符合题意;对于D,f(x)=x 2+2,则g(x)=e x f(x)=e x (x 2+2),g'(x)=e x (x 2+2)+2xe x =e x (x 2+2x+2)>0在R 上恒成立,符合题意.故选AD. 9.AC 设函数f(x)=x lnx,x>0且x ≠1,则f'(x)=lnx -1ln 2x=1lnx -1ln 2x,x>0且x ≠1,f″(x)=2-lnxx(lnx),x>0且x≠1,当x→+∞时,f″(x)<0,故当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢,故A正确;函数f(x)=xlnx的图象如图所示:由图象可得随着x的增大,π(x)并不减小,故B错误;当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,函数增长得慢,素数的个数随x的增大而减少,故C正确;4ln4≈2.89>2,故D错误.故选AC.10.答案1解析因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f'(x)=1+cos x≥0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0⇔f(4a)=f(9-b)⇔4a=9-b⇔4a+b=9,又a>0,b>0,∴1a +1b=19(1a+1b)(4a+b)=195+ba+4ab≥195+2√ba·4ab=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1a +1b的最小值为1.11.解析(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+2x -1(x>0),f'(x)=1x+1-2x2,f(2)=ln2+2,f'(2)=1,故所求切线方程为y=x+ln2.(2)因为f(x)=ln x-ax+1-ax -1x>0,a≤12,所以f'(x)=1x -a+a-1x2=-ax2-x+1-ax2(x>0),令g(x)=ax2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0).(i)当a=0时,g(x)=-x+1(x>0),所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增. (ii)当a ≠0时,令g(x)=0, 解得x=1或x=1a -1.①若a=12,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;②若0<a<12,则函数f(x)在(0,1),(1a-1,+∞)上单调递减,在1,1a-1上单调递增;③当a<0时,1a -1<0,若x ∈(0,1),则g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减; 若x ∈(1,+∞),则g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.综上所述,当a ≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0<a<12时,函数f(x)在(0,1),(1a -1,+∞)上单调递减,在1,1a -1上单调递增.12.解析 (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x -a=1-ax x,①若a ≤0,则f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若a>0,则当0<x<1a时,f'(x)>0,当x>1a时,f'(x)<0,综上,当a ≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1a ),单调递减区间为(1a ,+∞).(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞), ∴{x >0,2a -x >0,a >0,∴0<x<2a.设F(x)=f(x)-f (2a-x)=ln x-ax-ln (2a-x)+a (2a-x)=ln x-ln (2a -x)-2ax+2,x ∈(0,2a ),则F'(x)=1x+12a-x-2a=2a(x -1a )2x(2a -x)≥0,∴F(x)在(0,2a)上单调递增,又F (1a )=0,∴当x ∈(0,1a )时,F(x)<0,当x ∈(1a ,2a )时,F(x)>0,∴f(x)-f (2a -x)>0的解集为(1a ,2a). 13.C 因为f(x)=e x (a-cos x)在R 上单调递增,所以f'(x)=e x (a-cos x+sin x)≥0恒成立,即a ≥cos x-sin x 恒成立. 令g(x)=cos x-sin x,则g(x)=cos x-sin x=√2cos (x +π4),即g(x)∈[-√2,√2],所以a ≥√2.故选C. 14.D 因为f(x)=x 2-9ln x+3x, 所以f'(x)=2x-9x +3,令f'(x)=0,即2x-9x+3=0,解得x=32或x=-3(舍去).所以当x ∈(0,32)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x ∈(32,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因为f(x)在区间(m-1,m+1)上不单调, 所以m-1<32<m+1,解得12<m<52,因为(m-1,m+1)是函数f(x)定义域内的子区间,所以m-1≥0,即m ≥1, 所以m 的取值范围是[1,52).故选D.15.D 由f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>2, 得f(x 1)-2x 1-[f(x 2)-2x 2]x 1-x 2>0, 令g(x)=f(x)-2x=aln x+12x 2-2x(a>0),则g(x)为增函数, 所以g'(x)=a x +x-2≥0(x>0,a>0)恒成立,即a ≥x(2-x)恒成立,又当x>0时,x(2-x)的最大值为1,所以a ≥1.方法技巧 解决不等式恒成立问题,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式a x +x-2≥0恒成立中的a 分离出来,即为a ≥x(2-x)恒成立.16.答案 (-∞,0]解析 函数f(x)=sin x-aln x 在0,π4上单调递增,即f'(x)=cos x-ax ≥0在(0,π4)上恒成立,即a ≤xcos x 在(0,π4)上恒成立.令g(x)=xcos x,则g'(x)=cos x-xsin x,令h(x)=cos x-x ·sin x,则h'(x)=-2sin x-xcos x<0在(0,π4)上恒成立,所以g'(x)在(0,π4)上单调递减, 又g'(π4)>0,所以g'(x)>0恒成立, 所以函数g(x)在(0,π4)上单调递增, 可得g(x)>g(0)=0,所以a ≤0.方法技巧 利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,可采用二次求导来解决问题,如本题中,g'(x)=cos x-xsin x=0,不易求解,令h(x)=cos x-x ·sin x,再求一次导数h'(x)=-2sin x-xcos x,即二次求导.17.解析 (1)当a=-14时,f(x)=-14x 2+ln(x+1)(x>-1),则f'(x)=-12x+1x+1=-(x+2)(x -1)2(x+1)(x>-1).令f'(x)>0,解得-1<x<1;令f'(x)<0,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,所以f'(x)=2ax+1x+1≤0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,即a ≤-12x(x+1)对任意x ∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=-12x(x+1),x ∈[1,+∞), 易求得g'(x)>0在[1,+∞)上恒成立,所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,因此g(x)min =g(1)=-14,故a ≤-14. 即实数a 的取值范围是(-∞,-14]. 18.解析 (1)由已知得f'(x)=e x +2ax,则g(x)=f'(x)=e x +2ax,则g'(x)=e x +2a.①若a ≥0,则g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1]上单调递增,符合题意; ②若a<0,令g'(x)=0,解得x=ln(-2a),∵g'(x)是单调递增函数,∴要使g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,只需ln(-2a)≥1,解得a ≤-e 2, 此时g(x)在区间(-∞,1]上为单调递减函数.由①②可得,使导函数f'(x)在区间(-∞,1]上为单调函数的a 的取值范围是(-∞,-e 2]∪[0,+∞). (2)证明:∵x 1≠x 2,∴不妨设x 1<x 2,取x 1为自变量构造函数F(x 1)=f (x 1+x 22)-f(x 1)+f(x 2)2,则F'(x 1)=12f'(x 1+x 22)-f'(x 1)2 =12[f'(x 1+x 22)-f'(x 1)],∵a>0,∴f'(x)=e x +2ax 在R 上单调递增, 又x 1+x 22-x 1=x 2-x 12>0,∴f'(x 1+x 22)>f'(x 1),即F'(x 1)>0.∴关于x 1的函数F(x 1)单调递增, ∴F(x 1)<F(x 2)=0,∴f (x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2.。