北京市初中生第21届迎春杯数学竞赛试题及答案
迎春杯历年试题全集(下)
迎春杯历年试题全集（下）学而思在线目录北京市第11届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (3)北京市第12届迎春杯决赛试题 (5)北京市第13届迎春杯决赛试题 (7)北京市第14届迎春杯决赛试题 (9)北京市第15届迎春杯决赛试题 (11)北京市第16届迎春杯小学数学竞赛预赛试题 (13)北京市第17届迎春杯科普活动日队际交流邀请赛试题 (14)北京市第18届迎春杯决赛试题 (17)北京市第19届迎春杯数学科普活动日计算机交流题 (19)北京市第20届迎春杯小学生竞赛试题 (21)北京市第21届迎春杯小学数学科普活动日数学解题能力展示初赛试卷 (23)北京市第 11 届迎春杯小学数学竞赛决赛试题1.计算：0.625×（＋ ）＋ ÷ ― 2.计算：[（－ × ）－ ÷3.6]÷3.4.5.6.某单位举行迎春茶话会，买来 4 箱同样重的苹果，从每箱取出 24 千克后，结果各箱所剩下的苹 果重量的和，恰好等于原来一箱的重量。
那么原来每箱苹果重________千克。
游泳池有甲、乙、丙三个注水管。
如果单开甲管需要 20 小时注满水池；甲、乙两管合开需要 8 小时注满水池；乙、丙两管合开需要 6 小时注满水池。
那么，单开丙管需要________小时注满水池 。
如图是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形。
其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大 的正三角形若干个。
那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有________个。
如图，点 D 、E 、F 与点 G 、H 、N 分别是三角形 ABC 与三角形 DEF 各边的中点。
那么，阴影部分的面积与三角形 ABC 的面积比是。
7.五个小朋友 A 、B 、C 、D 、E 围坐一圈（如下图）。
老师分别给 A 、B 、C 、D 、E 发 2、4、6、8、1 0 个球。
然后，从 A 开始，按顺时针方向顺序做游戏：如果左邻小朋友的球的个数比自己少，则送 给左邻小朋友 2 个球；如果左邻小朋友的球的个数比自己多或者同样多，就不送了。
北京市初中生第21届迎春杯数学竞赛试题及答案
BA第21届“迎春杯”数学科普活动日北京市初中一年级解题能力展示初赛试卷注意事项1．本试卷共十二道题，共1页.2．请把每道题的答案填写在下表中的相应位置上.祝你成功！问题一.计算:212)56154213301120912731(3⨯⨯-+-+-的值为多少?问题二.已知多项式5)2()3(3223-++++-x x x b x x x a 是关于x 的二次多项式,当2=x 时,多项式的值为-17,那么当2-=x 时,多项式的值为多少?问题三.下面是一个按照某种规律排列的数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … … … … … … … …根据你猜想的规律,2005应该排在 :① 多少行?② 在该行上从左向右数的第几个数?问题四.已知:有理数x 、y 、z 、满足xy ＜0，yz ＞0，并且3=x ，2=y ，21=+z . 求z y x ++的值.问题五.现有规格一样的一些圆环,已知圆环的内直径为6厘米,外直径为8厘米.如果将100个这样的圆环一个接一个地环套环连成一条链子,那么这条链子拉直后的长度为多少米?问题六.右图是某地区的路线示意图,问从A 点到B 点最近的路线共有多少条?问题七.如果整数m 、n 满足n m =64,那么n m +的所有可能的值共有多少个?问题八.已知:+-+-+-=222222654321S (222)200320022001+-+.求S 被2005除得的余数.问题九.如图,在△ABC 中,DC =2BD ,AF =FD .如果△ABC 的面积等于a ,问题十.某中学生“暑期社会调查团”共17人到外地考察，事先预算住宿费平均每天每人不超过x 元.到达某县城后找到A 、B 两处招待所.“A 招待所”有甲级床位8个、乙级床位11个；“B 招待所”有甲级床位10个、乙级床位4个、丙级床位6个.已知甲、乙、丙三级床位每天每人分别为14元、8元、5元.如果全团集中住在一个招待所里一天,按预算只能住“B 招待所”,那么整数x 的值为多少?问题十一.甲、乙、丙三个容器中，各有一定量的酒精.如果先把甲容器中的酒精的31倒入乙容器，再把乙容器中的酒精的31倒入丙容器,最后把丙容器中的酒精的31倒入甲容器,那么三个容器中各有酒精31千克.问甲容器中原来有酒精多少千克?问题十二.三轮摩托车(前面一个轮,后面并排两个轮)的三个轮胎从新安装到报废所行驶的千米数不同.安装在前轮上的轮胎行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的轮胎分别只能行驶15000千米和10000千米.为了使某摩托车行驶尽可能多的路程,采用行驶一定路程后将2个轮胎对调的方法,如果最多可对调2次,那么该摩托车用三条新轮胎最多可以行驶多少千米?参考答案及评分标准。
迎春杯初赛试题及答案
迎春杯初赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是迎春杯初赛的举办时间？A. 1月1日B. 2月2日C. 3月3日D. 4月4日答案：B2. 迎春杯初赛的参赛对象是？A. 小学生B. 初中生C. 高中生D. 大学生答案：C3. 迎春杯初赛的报名费是多少？A. 50元B. 100元C. 150元D. 200元答案：B4. 迎春杯初赛的考试科目包括哪些？A. 语文B. 数学C. 英语D. 以上都是5. 迎春杯初赛的考试时间是多长？A. 60分钟B. 90分钟C. 120分钟D. 150分钟答案：C6. 迎春杯初赛的考试形式是？A. 笔试B. 口试C. 笔试和口试D. 机考答案：A7. 迎春杯初赛的考试地点在哪里？A. 学校B. 图书馆C. 社区中心D. 以上都不是答案：A8. 迎春杯初赛的考试结果将在何时公布？A. 考试后一周B. 考试后两周C. 考试后三周D. 考试后一个月答案：B9. 迎春杯初赛的奖项设置包括哪些？B. 二等奖C. 三等奖D. 以上都是答案：D10. 迎春杯初赛的获奖者将获得什么？A. 证书B. 奖杯C. 奖金D. 以上都是答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 迎春杯初赛的报名时间是____月____日至____月____日。
答案：1月1日至1月15日2. 迎春杯初赛的考试地点通常设在学校的____。
答案：教室3. 迎春杯初赛的考试内容涵盖了____、____、____等学科。
答案：语文、数学、英语4. 迎春杯初赛的考试形式为闭卷，考试时间为____分钟。
答案：120分钟5. 迎春杯初赛的考试结果将在考试结束后的____周内公布。
答案：两周6. 迎春杯初赛的奖项设置中，一等奖的奖金为____元。
答案：1000元7. 迎春杯初赛的获奖者除了获得证书和奖金外，还将获得____。
答案：奖杯8. 迎春杯初赛的参赛者需要在报名时提供个人照片，照片的尺寸为____。
北京市第21届迎春杯数学科普活动日数学解题能力展示初赛试卷
北京市小学生第21届迎春杯数学科普活动日数学解题能力展示初赛试卷第1题 计算：4.275.31949375.0832005⨯+⨯-⨯的值为多少？ 第2题 污水处理厂有甲、乙两个水池，甲池原有水960立方米，乙池原有水90立方米。
如果甲池的水以每小时60立方米的速度流入乙池，问：多少小时后，乙池中的水是甲池的4倍？第3题 将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图1中的9个圆圈内，使图中每条直线上所填数之和都等于K ，问：K 的值是多少？（图中有7条直线）第4题 实验小学六年级有学生152人。
现在要选出男生人数的111和女生5人，到国际数学家大会与专家见面。
学校按照上述要求选出若干名代表后，剩下的男、女生人数相等。
问：实验小学六年级有男生多少人？第5题 小华有糖300克，他有一架天平及重量分别为30克和5克的两个砝码。
问：小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重100克，另一份重200克？第6题 甲、乙两名计算机文字录入人员要共同录入一份15400字的文稿。
当甲完成录入任务的65，乙完成录入任务的80%时，两人尚未录入的字数相等。
问：甲的录入任务是多少个字？第7题 如图2所示，三角形ABC 被线段DE 分成三角形BDE 和四边形ACDE 两部分，问：三角形BDE 的面积是四边形ACDE 面积的几分之几？第8题 图3是一个奥林匹克五环标识。
这五个环相交成9部分A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 。
请将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个部分中，使得五个环内的数字和恰好构成五个连续的自然数。
问：这五个连续自然数的和的最大值是多少？第9题 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张。
相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。
老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。
然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。
2021年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准(1)
2021 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7 分和0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．已知实数a, b, c 满足2a +13b +3c =90，3a +9b +c = 72 ，则3b +c a +2b＝（）A. 2．B. 1．C. 0．D.【答】B.已知等式可变形为2(a + 2b) + 3(3b +c) = 90 ，3(a + 2b) + (3b +c) = 72 ，解得a + 2b =18 ，3b +c3b +c =18 ，所以a + 2b2．已知△ABC 的三边长分别是a,b, c ，有以下三个结论：（1）以a, b,c 为边长的三角形一定存在；（2）以a2 ,b2 , c2 为边长的三角形一定存在；（3）以| a -b | +1,| b -c | +1,| c -a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设a ≥b ≥c ，则有b +c >a .（1）因为b +c >a ，所以b +c +2边长的三角形一定存在；bcc a>a ，即( b +c)2 （a）2，即b+>，故以a, b, c 为（2）以a = 2,b = 3, c = 4 为边长可以构成三角形，但以a2 = 4,b2 = 9, c2 = 16 为边长的三角形不存在；（3）因为a ≥b ≥c ，所以| a -b | +1 =a -b +1,| b -c | +1 =b -c +1,| c -a | +1 =a -c +1 ，故三条边中| c -a | +1 大于或等于其余两边，而（|a-b|+1）+（|b-c|+1）=（a-b+1）+（b-c+1）=a-c+1+1>a-c+1=|c-a|+1，故以| a -b | +1 ，| b -c | +1，| c -a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a, b, c 满足a ≤b ≤c 且abc = 2(a +b +c) ，则称(a,b, c) 为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(a,b, c) 为好数组，则abc = 2(a +b +c) ≤ 6c ，所以ab ≤ 6 .显然，a 只能为 1 或 2.若a＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c =5（不是整数）；2若a ＝1，则bc = 2(1 +b +c) ，于是可得(b - 2)(c - 2) = 6 ，可求得(a,b, c) ＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC 、BD的交点，若DO∠BAD+∠ACB=180︒，且BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ，AB = 6，则OB＝（）10A. ．B.98． C. 714 A F B D E C6 4． D. ． 5 3 DE 【答】A. 过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE =180︒ - ∠BAD C= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以 AC = BC ，所以 OAB EB EB = AB ⋅ BC = 6⨯3 = 18 .B AC5 5 DO AD 4 10 再由 BE // AD ，得 = = = . OB BE 18 95 5．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在CB 的延长线上， 满足∠BAF = ∠CAE .已知 BC = 15 ， BF =6 ， BD = 3 ，则 AE ＝ （ ）【答】B. B. 2 13 ． D. 2 15 ．AD 2 + DE 2 62 + 42 C. 2 ．如图，因为∠BAF = ∠CAE ，所以∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 ∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 = 12 ，所以 AD 2 = DE ⋅9 = 3⋅12 ，所以 AD = 6 ，DE = 4 . 从而 AE = 2 13 .6．对于正整数n ，设a 是最接近1的整数，则+1+ +1（）1911 n192 a 1 a 2a 3 a 200 193 194 A. ． B. 7n． C. 7． D. ．7 7【答】A.对于任意自然数k ，(k +1)2 =k 2 +k +1不是整数，所以，对于正整数n ，2 4nn 1一定不是整数. 2设m 是最接近的整数，则| mn |<1，m ≥ 1.2易知：当m ≥1时，| m -n |<1⇔ (m -1)2 <n < (m +1)2 ⇔m 2 -m +1<n <m2 +m +1.2 2 2 4 4于是可知：对确定的正整数m ，当正整数n 满足m2 -m +1 ≤n ≤m2 +m 时，m 是最接近即a n =m .所以，使得a n ＝m 的正整数n 的个数为2m .n的整数，注意到132 +13 =182 < 200 <142 +14 = 210 ，因此， a , a , , a1 2 200中，有：2 个 1，4 个 2，6 个 3，8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.1 1 1 1 1 1 1 1 1 191所以+++ += 2⨯+ 4⨯+ 6⨯+ + 26⨯+18⨯=.a 1 a2a3a 2001 2 3 13 14 7二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．使得等式【答】8 .由所给等式可得(13 a 1+ a = 成立的实数a 的值为 ．1+ a )3 = a 2 .令 x = ，则 x ≥ 0 ，且 a = x 2 -1 ，于是 有 (1+ x )3 = (x 2 -1)2， 整 理 后 因 式 分 解 得 x (x - 3)(x +1)= 0 ，解得 x = 0 ， x = 3 ， x = -1 （舍去），所以a = -1或 a = 8. 1 2 3 验证可知： a = -1是原方程的增根， a = 8是原方程的根.所以， a = 8.2．如图，平行四边形 ABCD 中，∠ABC = 72︒ ， AF ⊥ BC 于点 F ， AF交 BD 于点 E ，若 DE = 2AB ，则∠AED ＝ ．M 【答】66︒ .E 取 DE 的中点 M ，在Rt △ ADE 中，有 AM = EM = 1+ 1+ a1DE AB . 2B F C设∠AED =α，则∠AME =180︒- 2α， ∠ABM =α-18︒.又∠ABM =∠AMB ，所以180︒- 2α=α-18︒，解得α= 66︒.3．设m, n 是正整数，且m >n .若9m 与9n 的末两位数字相同，则m -n 的最小值为．【答】10.由题意知，9m - 9n = 9n ⋅ (9m-n -1) 是100 的倍数，所以9m-n -1是100 的倍数，所以9m-n的末两位数字是01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n =92t =81t .计算可知：812 的末两位数字是61，813 的末两位数字是41，814 的末两位数字是21，815 的末两位数字是01.所以t 的最小值为5，从而可得m -n 的最小值为10.4．若实数x, y 满足x3 +y3 + 3xy =1，则x2 +y2 的最小值为．1【答】.2因为0 =x3 +y3 + 3xy -1 = (x +y)3 + (-1)3 - 3x2 y - 3xy2 + 3xy= (x +y -1)[(x +y)2 - (x +y) ⋅ (-1) + (-1)2 ] - 3xy(x +y -1)= (x +y -1)(x2 +y2 -xy +x +y +1) =1(x +y -1)[(x -y)2 + (x +1)2 + ( y +1)2 ] ，2所以 x =y =-1或 x +y = 1.若x =y =-1，则x2 +y2 ＝2.若x +y = 1，则x2 +y2 =1[(x +y)2 + (x -y)2 ] =1[1+ (x -y)2 ] ≥1，当且仅当x =y =1时等号成立.1 22 2 2所以， x 2 + y 2 的最小值为 1 . 2第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数 y = ax 2 + bx + c (c ≠ 0) 的图象与 x 轴有唯一交点，则二次函数 y = a 3 x 2 + b 3 x + c 3 的图象与x 轴的交点个数为 （ ）A ．0．B ．1．C ．2．D ．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆ = b 2 - 4ac = 0 ，所以b 2 = 4ac ≠ 0 . 故 二 次 函 数 y = a 3 x 2 + b 3 x + c 3 的 判 别 式 ∆ = (b 3 )2 - 4a 3c 3 = b 6 - 1 (4ac )3 = b 6 - 1 (b 2 )3=15b62> 0 ，所以，二次函数y =a3 x2 +b3 x +c3 的图象与x 轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1 题相同.3. 题目和解答与（A）卷第 3 题相同.16 16 164．已知正整数a, b, c满足a2 -6b -3c +9 = 0 ，-6a +b2 +c = 0 ，则a2 +b2 +c2 ＝（） A.424． B. 430． C. 441． D. 460．【答】C.由已知等式消去c 整理得(a -9)2 +3(b -1)2 =75 ，所以3(b -1)2 ≤75 ，又b 为正整数，所以1 ≤b ≤6 .若b ＝1，则(a - 9)2 = 75 ，无正整数解；若b＝2，则(a -9)2 =72 ，无正整数解；若b ＝3，则(a - 9)2 = 63 ，无正整数解；若b ＝4，则(a- 9)2 = 48，无正整数解；若b ＝5，则(a - 9)2= 27 ，无正整数解；若b ＝6，则(a - 9)2 = 0 ，解得a = 9 ，此时c = 18 .因此，a = 9 ，b ＝6，c = 18 ，故a2 +b2 +c2 =＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC 、BD的交点，若DO∠BAD+∠ACB=180︒，且BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ，AB = 6，则OB＝（）4A. ．B.36． C. 58 10． D. ．7 9【答】D.解答过程与（A）卷第4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目和解答与（A）卷第1 题相同.2 ．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D, E 分别为线段BC, OA的中点，∠ACB =7 ∠OED，∠ABC = 5∠OED ，则∠OED ＝.【答】10︒.如图，设∠OED =x，则∠A B=C5∠DOC =∠BAC =180︒-12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒- 2x1 1∠ODE =180︒-x - (180︒-2x) =x ，所以OD =OE =以∠DOC = 60︒，从而可得 x = 10︒.3.题目和解答与（A）卷第3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第4 题相同.OA 2 2OC ，所第二试（A）一、（本题满分 20 分）已知实数x, y 满足x +y = 3 ，11x y2 1+x2 +y=1，求x5 +y5 的值.21 解由x +y2+x2 +y=1可得2(x +y +x2 +y2 ) =x3 +y3 +x2 y2 +xy .2设xy =t ，则x2 +y2 = (x +y)2 - 2xy = 9- 2t ，x3 +y3 = (x +y)[(x +y)2 -3xy] = 3(9 -3t) ，代入上式可得2(3 +9 -2t) = 3(9 -3t) +t2 +t ，解得t =1或t = 3 . ……………………10 分当t = 3 时，xy = 3 ，又x +y = 3 ，故x, y 是一元二次方程m2 -3m + 3 = 0 的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意. ……………………15 分当t = 1时，xy = 1，又x +y = 3 ，故x, y 是一元二次方程m2 - 3m +1 = 0 的两实数根，符合题意.此时x5 +y5 = (x2 +y2 )(x3 +y3 ) - (x +y)x2 y2 = (9 - 2t) ⋅[3(9 - 3t)] - 3t2 = 123 .二、（本题满分25 分）如图，△ABC中，AB>AC，∠BAC=45︒，E是∠BAC的外角平分线与△ ABC 的外接圆的交点， 点 F 在 AB 上且 EF ⊥AF = 1，BF = 5，求△ABC 的面积.AB. 已知解在FB 上取点D，使FD＝AF，连接ED 并延长，交△ABC 的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED＝180︒- 2 ∠EAD＝∠BAC，……………………10 分所以AG=B C，所以AC=B G，所以AC＝BG. ……………………15 分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD＝5－1＝4，……………………20 分△ ABC 的 AB 边上的高h =AC sin 45︒= 2 2 .1 1所以，△ABC 的面积S =⋅AB ⋅h =⨯ 6⨯ 22 22a 2b 2 2 a 2b -1 2 2 = 6 2 .……………………25 分三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对(a , b ) ，使得a 3= 49⨯3b+ 8 .解 显然， 49⨯3b+ 8 为奇数，所以a 为奇数.又因为a 3 = 49⨯3b+ 8 ≥ 49⨯3 + 8 > 53 ，所以a > 5 . ……………………5 分由a 3 = 49⨯3b + 8可得a 3 - 8 = 49⨯3b ，即(a - 2)(a 2 + 2a + 4) = 72 ⨯3b .……………………10 分设(a - 2, a 2+ 2a + 4) = d ，则d 为奇数.注意到a 2+ 2a + 4 = (a - 2)(a + 4) +12 ，所以d |12 ，所以d ＝1 或 3.……………………15 分⎧⎪a - 2 = 72 , ⎧⎪a - 2 = 3b,若 d ＝1，则有⎨ + 2a + 4 = 3 , 或⎨a + 2a + 4 = 7 , 均无正整数解. ……………………20 分⎪⎩ ⎩⎪ ⎧⎪a - 2 = 3⨯ 72 , ⎧⎪a - 2 = 3b -1,若 d ＝3，则有⎨ + 2a + 4 = 3 , 或⎨a + 2a + 4 = 3⨯ 7 , 解得a = 11， b = 3 .⎩⎪ ⎪⎩ 所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）. ……………………25 分第二试 （B ）一、（本题满分 20 分）已知实数a , b , c 满足a ≤ b ≤ c ， a + b + c = 16， a 2+ b 2+ c 2+ 1abc = 128 ，4求c 的值.解 设a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2- 2 y + (16 - x )2+ 1y (16 - x ) = 128 ，整理得4(x - 8)2 = 1y (x - 8) ，8所以 x = 8 或 y = 8(x - 8) .……………………10 分（1）若 x = 8 ，则a + b = 8 ，此时c ＝8.（2）若 y = 8(x -8) ，即ab = 8(a + b - 8) ，则(a - 8)(b - 8) = 0 ，所以a = 8或b = 8 . 当 a = 8时，结合a ≤ b ≤ c 可得a + b + c ≥ 24 ，与a + b + c = 16 矛盾. 当b = 8 时，结合a ≤ b ≤ c 及a + b + c = 16可得a = 0 ， c = 8. 综合可知： c = 8. ……………………20 分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m ，使得22m -1- 2m +1是完全平方数. 解 当m ＝1 时， 22m -1 - 2m +1 =1 是完全平方数. ……………………5 分当 m > 1时，设22m -1- 2m +1 = n 2 （ n 为正整数）.注意到22m -1- 2m +1 = 2⋅ (2m -1)2 - 2⋅ 2m -1 +1 = (2m -1 -1)2 + (2m -1)2 ，故可得(2m -1 -1)2 + (2m -1)2 = n 2 ，……………………10 分所以22m -2= n 2 - (2m -1 -1)2 = (n + 2m -1 -1)(n - 2m -1 +1) .……………………15 分设 x = n - 2m -1+1， y = n + 2m -1 -1，则 x < y ， xy = 22m -2 ，所以 x , y 均为 2 的方幂.……………………20 分。
2004~2006年北京市第21届“迎春杯”数学竞赛试题及详解【圣才出品】
(2000 1000) 500 6 。
6．新年联欢会上，初一年级共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如
果只参加了跳舞的人数两倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的少
7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演
奏；11 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；50 人参加了合唱；那么，同时参加了演
设填入小方格 1 和小方格 2 中的数分别为 a 和 b ，则由题意可得： 65 a b 3P ， 很显然，65 a b 能被 3 整除，且 5 a b 21．若要使 P 取得最大值，则 a b 应
取最大值。
当 a b 21时， 65 a b 86 不能被 3 整除，舍； 当 a b 20 时， 65 a b 85不能被 3 整除，舍； 当 a b 19 时， 65 a b 84 ，此时 P 28。 故 P 的最大值是 28。
3y
3
2x 500 3
600 x 2 3
1003 500
1003
，
解得
x
y
209 607
，故恰好有一个奇数的组数为
209
组．D
项正确。
【评注】注意，每个数都在三个不同的组中。
3．方程 x x 600 x 450 x 1050 的整数解共有
个。
A．150
B．151
C．450
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2006 年北京市第 21 届“迎春杯”数学竞赛试题及详解
1．如果 m 、 n 都是质数，而且 3m 5n 1 0 ，那么， m n 的值等于
。
A．1
B． 1
迎春杯数学竞赛试题
迎春杯数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 32. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？ - A. 10π厘米- B. 15π厘米- C. 20π厘米- D. 25π厘米3. 一个数的平方根是8，那么这个数是：- A. 16- B. 64- C. 8- D. 无法确定4. 以下哪个表达式的结果不是整数？- A. (-3)^2- B. √16- C. 2^3- D. 1/35. 以下哪个数是完全数？- A. 6- B. 28- C. 496- D. 36二、填空题（每空3分，共15分）1. 如果一个三角形的三个内角分别是50°、60°和______，那么它是一个锐角三角形。
2. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
3. 一个等差数列的前三项分别是2、5、8，那么它的公差是______。
4. 如果一个分数的分子是15，分母是______，那么它的倒数是1/3。
5. 一个圆的直径是14厘米，它的面积是______平方厘米（结果保留π）。
三、解答题（每题10分，共20分）1. 一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、4厘米和5厘米，求它的体积。
2. 一个等差数列的前10项之和是110，首项是2，公差是d。
求这个数列的第10项。
四、证明题（每题10分，共10分）证明：对于任意的正整数n，n^3 - n^2 + n - 1 可以被6整除。
答案：一、选择题1. B2. C3. B4. D5. C二、填空题1. 70°2. 83. 34. 455. 39π三、解答题1. 长方体的体积是 3cm * 4cm * 5cm = 60立方厘米。
2. 等差数列的第10项是 2 + (10-1) * d = 2 + 9d，由于前10项之和是110，我们有 10 * (2 + 2 + (10-1) * d) / 2 = 110，解得 d = 3，因此第10项是 2 + 9 * 3 = 29。
2021迎春杯小高A卷解答
2017年全国迎春杯小学高年级决赛A卷竞赛数学试卷1.算式（63 -吃卜（1一±）的计算结果是答宰64原式=(632-1)弓(63-1)解析二(63-l)x (63+1" (63-1)=64・2.一个边长为100厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的“海螺〃，那么这个圉形的周长是厘米（兀取3.14 ）2384解析图形腎:等于5段孤长梓1个半径分别羊算再求和:周长二x 2n: x 100 + x 2JT x 200 + x 2n: x 300 + x 2^ x 400 + x 2^ x SOO + SOO 》5 5 5 3 =2H X 1500 + 500V= 2384 ・3.在2016年里约奥运会女排决赛中，中国队战胜了塞尔维亚队获得冠军•统计4局比赛中中国队的得分，发现前2局的得分之和比后2局的得分之和少12% ,前3局的得分之和比后3局的得分之和少8%・已知中国队在第2局和第3局中各得了25分f那么中国队在这4局中的得分总和为 _______ ・答案94解听设第一局中国队得a分，第四局中国队得b分f根据题意有：b-a=12%x（b+25）=8%x（b + 50）■解得h = 25 , a = 19 .所以，四局得分总和19 + 25 + 25 +25 = 94分.4.________________________________________________________________________________ 右面两个算式中f相同汉字代表扌目同数字,不同汉字代表不同数字，那么四位数第= ___________________________________________9285首先，t血两个式子f由"白"与’诗’不同可推知"甫“ =5 ;其次，"李白"+ “杜甫’97 + 86= 183 ,所以”背“二1 , “i寺“不超过7 ; 再次，由第三个式子知“李""杜"=1 , ”白“不超过2 ,"诗“不小于牡j主意到”白"与:背］不相同,所以“白” =2与迖=7 r+ …二177 ，打］-f|:li f = 7 ，”］ = 92，牡毎=85 .<«=苛.李白一杜甫=诗5・n个数排成一列,其中任意连续三个数之和都小于30 ,任意连续四个数之和都大于40 ,贝山的最大值为_____________ ・答宰5解析分析任意连续4个数「b , c , d ,前三个数的和要小于等于2 9 ,即c ,这四个数的和要大于等于41 ,即a+b+c<29 ；所以第四个数要大于等于12,即d"2 •同理,b+c + d>29 f a+b + c+d<41 ;所以a>12・综上所述，如果有连续的四个数,这四个数两边都要大于12・如果这一列有6个数a , b , c , d f . f ：观察前4个r那么a > 12 f d > 12 ;观祭中间4个f那么b > 12 , e>12 ;观禁后4个,可吆c>12 f f>12 .所以a + b + c> 12 ,与三个数之和小于30矛盾.所以这列数的个数不可能大于5 ,下面构造5个数组成的数列:12 r 12 r 5 r 12 , 12 .所以的最大值是5・警+警+严+…+脅+临2“22-1 亚-1 62-1 20142-1 zulb 1的计算结果是2016 — 2016 — 2016 _ 2016 — 2016 — 2016 — 20161 ~ 1 - 18163264答宰解析32+?+・・・+ 1 + 1 ) _______ 72016^i-W 2017x X x U2 2017------- 2016^1 ---------642017x 2016T- X2U172U16 x£2016_2ZUlo2017 x V—E +原式二=327.有一个四位数，它和6的积是一个完全立方数，它和6的商是一个完全平方数f那么这个四位数是___________答宰77769.抢红包是微信辟里一种有趣的活动,发红包的人可以发总计一走金额的几个红包,群里相应数重的成员可以抢到这些红包,并且金额是随机分配的・一天陈老师发了总计50元的5个红包，被孙、成、饶、赵.乔五个老师抢到・陈老师发现抢到红包的5个入抢到的金额都不一样,都是整数元的.而且还恰好都是偶数•孙老师说：”我抢到的金额是10的倍数•“解析把这个四位数N分解质因数,设N二2a x 3b x …，因为6N=2a+1x3b+1x p yix...因为N = 2a"1x3b'1xp rf lx...是完全立方数f所以3|a + l r且3|b +1・是完全平方数，所以3|a-l f且3|b-那么，「b的最小值为5小的最小值为25X35=7776 ,而N的第二最小值为2兀3兀5二38880不是四位数，所以N=7776・&在空格里填入数字1~6 f使得每行、每列和每个2 x 3的昌（粗线框）内数字不重理・若虚线框A f B,C , D , E , F中各目数字和依次分别为a 且a二b,c二d,e> f・那么第四行的前五个数字从左到右依次组成的五位数答宰31462解析第T :由c二d易知c里面的数是6 f <1里面的数是3 r 2 f 1 •由c > f易知'E里面的数5 , 6 , F里面的数是1 第二步：言内排除.第三步:观察八最小是1 + 2 + 3+ 4 = 10,而B中剩下两个数只能填1,4,5,要凑出大于等于10的数只能是所以中剩下两个数是然后简单的官内排除区域和就可以，具体过程如下・成老师说:“我和赵老师抢到的加起来等于孙老师的一半•”饶老师说:“乔老师抢到的比除了孙老师以夕卜其他所有老师抢到的总和还多・”赵老师说：“其他所有老师抢到的金额都是我的倍数・”乔老师说：“饶老师抢到的是我抢到的3倍・"已知这些老师里只有一个老师没说实话那么这个没说实话的老师抢到了 _________ 元的红包・f答宰16解析突破口：分析饶老师和乔老师两人说的话，两人的话不可能同时成立，所以两人中必有一人没说真话，所以其余三人说的话都是真话・观察孙老师说的话：他只能是10 r 20 , 30 r 40之一；根据成老师说的话，孙老师钱的一半也得是偶数f所以孙老师只能是20 f 40 ;如果孙老师的钱是40 ,根据成老师说的话,成老师和赵老师加起来应该为20 f这样总数已经超过50 ,不可能・所以孙老师抢到了20 ,成老师和赵老师加起来为10 ;赵老师说其他人抢到的都是他的倍数，所以成老师也是赵的倍数：将10拆成两个偶数，一个是另一个的倍数,只能是2 + 8 •所以成老师抢到了8元f赵老师抢到了2元・下面只剩饶老师和乔老师，他们的和应该是50-20 -10 =20 ;再分析他们说的话：如果乔老师说的是真话，那么饶老师应该抢到15元，乔老师抢到5元，与每人都是偶数矛盾，所以乔老师没说真话r饶老师说的是真话；如果饶老师抢到的大于等于6元f那么乔老师抢到的为14元，小于除了孙老师以外其他所有老师抢到的总和f所以饶老师抢到的只能是4元f这样说谎话的是乔老师，抢到16元.10.如图f P是四边形ABCD内部的点f AB : BC : DA = 3 : 1 : 2 f Z.DAB = ZCBA= 60°・圉中所有三角形的面积都是整数，如果三角形PAD和三角形PBC的面积分别是20和17 ,那么四边形ABCD的面积最大是__________ ・D答室147延长AB , AC交于M .连结MP r易知三角形ABM为正三角形#DM : DA = 1 : 2 ,解析如图所示rCM: CB=2： 1 ,所以三角形DIVIP和三角形CIVIP的面积分别为10 , 34 r即四边形DPCM的面积是44・再观察三角形DM C ,由于DPB的面积为整数,所以它的面积也为整数，并且三角形M DC是三角形M AB的2 79 ,所以四边形ABCD的面积为三角形M AB面积的硏，为使ABCD的面积尽量大，三角形M AB的面积要尽重大,那么三角形M DC的面积应尽量大r三角形M DC面积最大为44-2 =42 f这时四边形ABCD的面积7为42弓=147・11•有一列正整数，其中第1个数是1 ,第2个数是1、2的最小公倍数.第3个数是1、2、3的最小公倍数...... 第n个数是1、2 .......... n的最小公倍数,另吆这列数前100个数中共有 _________ 个不同的值・答宰36蚪衍观祭数歹U的第n项和n+ 1项，a n= [12... n] r a n+l= [12...n n+ 1],当n + 1同】时，a n+l= a n/当n + 1 |an不成立时r ^+1>30 f即f如果质因数的最高次澤在之前都已经出现过，得到的新数等于原来的数；当某个质因数第一次出现时，得到的新数大于原来的数・所以新出现的数发生在如下几个数：1,21z 22z 23 , 24f 25 , 26( 31f 32 , 33 , 34f 51, 52 , 71r 72 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 f 37 f 41,43,47,53 , 59 , 61 ,7 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97共36个.12.如图，有一个固走好的正方体框架A B两点各有一只电子跳蚤同时开始跳动・已知电子跳蚤速度相同，且每步只能沿棱跳到相邻的顶点两只电子琬蚤各ME了3步f途中从未相遇的跳法共有________ 种・r答室343解析对正方体每个顶原黒白间隔染色，同一种颜色中不同的两点，都可以视作正方体某一面上对角线的两点所以同一种颜色f中不同的两点间招对位蚩固定不变・TF始A、B都在黑点上r如果第-i^A向右，那么B可以向左或向下有2种走法，如果第一步A向后f那么B可以向前或向下有两种走法f如果第一步A向下，曲吆B 可以向前或向左或向下有3中走法所以第一步共有7种走法；第一步后A、B从都在黑原上原倒了都在白点上，但两点间相对位置不会发生改变，f所以第二步同样有7种走法；同理第三步也有7种走法・根据乘法原理，共有73=343种走法.13.甲以每分钟60米的速度从A地出发去B地，与此同时乙从B地出发匀速去A地；过了9分钟，丙从A地出发骑车去B地，在途中C地追上了甲；甲.乙招遇时,丙恰好到B地；丙到B地后立即调头，且速度下降为原来速度的一半；当丙在C地追上乙OO时,甲恰好到B 地・那么AB 两地间路程为 _______ 米・答宰 1620聲析 根据题意画出下面的线段图，（1）表示在丙出发前甲乙二人走过的路程，（2）表示丙追上甲的过程，（3）表示到甲乙相遇时的过程，（4）表示丙追上乙的过程・观察（4）甲乙丙三人走过的路程，不难发现在相同时间内丙走过的路程等于甲乙二人走过的路程和，所以（4）中丙的速度是甲乙二人的速度和,所以在（2 ）、（3）中丙的速度是甲乙二人的速度和的2倍，所以把 （2 ）、（3）两个阶段合起来f 丙走的路程是甲乙二人走过路程的2倍f 即AB = 2DG r 即DG 为全程的一 半f 所以AD + BG=DG f 所以（1 ）的时间和（2 ） . （3 ）的时间加起来也相等，所以甲乙分别在（1 ）内跑 的路程与（2 ）、（3 ）内跑的路程和相等f 即AD 二DE f BG=GE .再观祭丙一人走过的（3 ）、（4）:走相同的路程，速度减少了 50% ,速度比是2 :1 ,所以这两段时间比是1：2 ,即（3）、（4）两个阶段的时间比是1: 2 f 那么甲乙二人在这两个阶段的路程比也是1 ： 2『即 EB = 2CE , CE= 2EF •综合AD = DE r BG = GE , EB = 2CE f CE = 2EF f 设EF = a ,刃B 么CE = 2a f 另B 么EB = 4a ・又因为 EG = GB r 所以EG 二GB = 2a f 所以FG = a •这样，乙（1 ） （ 2 ） （3 ） （4）四个阶段走过的路程分别 为2a, a f a r 2a r 所以四段的路程比2:1:1:2，时间比也为2:1:1:2，所以甲在这四段的路程比也是2 ： 1 ： 1 ： 2 , BP AD : DC ： CE ： EB = 2 ： 1 ： 1 ： 2 ・易知AD = 60 x 9 = 540 米,所以 AB = S40 + 2 X （2 + 1 + 1 + 2） = 1620 米.14. 在一个8 x 8的方格棋盘中放有3 6枚棋子，每个方格中至多放一枚棋子•恰好使最外层所有方格中均没有棋子，规定每一步 操作可选择一枚棋子f 跳过位于邻恪（具有公共边的方格）的棋子进入随后的空格中,同时拿掉被M 滋的棋子（如下圉所示）；若令8格中没有棋子,则不能进行操作f 那么最后在棋盘上最少剩下 _________ 枚棋子・答案 2如图所示，一组"三连棋子仲间一排）”可以通过一个“催化棋子（右下角的一个）“全部消掉，最后只剩下这个催化棋子:。
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B
A
第21届“迎春杯”数学科普活动日
北京市初中一年级解题能力展示初赛试卷
注意事项
1．本试卷共十二道题，共1页.
2．请把每道题的答案填写在下表中的相应位置上.祝你成功！
问题一.计算:212)56
15
4213301120912731(3⨯⨯-+-+
-的值为多少?
问题二.已知多项式5)2()3(3223-++++-x x x b x x x a 是关于x 的二次多项式,当2=x 时,多项式的值为-17,那么当2-=x 时,多项式的值为多少?
问题三.下面是一个按照某种规律排列的数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … … … … … … … …
根据你猜想的规律,2005应该排在 :① 多少行?
② 在该行上从左向右数的第几个数?
问题四.已知:有理数x 、y 、z 、满足xy ＜0，yz ＞0，并且3=x ，2=y ，21=+z . 求z y x ++的值.
问题五.现有规格一样的一些圆环,已知圆环的内直径为6厘米,外直径为8厘米.如果将100个这样的圆环一个接一个地环套环连成一条链子,那么这条链子拉直后的长度为多少米?
问题六.右图是某地区的路线示意图,问从A 点到B 点最近的路线共有多少条?
问题七.如果整数m 、n 满足n m =64,那么n m +的所有可能的值共有多少个?
问题八.已知:+-+-+-=222222654321S (222)
200320022001+-+.
求S 被2005除得的余数.
问题九.如图,在△ABC 中,DC =2BD ,AF =FD .
如果△ABC 的面积等于a ,
问题十.某中学生“暑期社会调查团”共17人到外地考察，事先预算住宿费平均每天每人不超过x 元.到达某县城后找到A 、B 两处招待所.“A 招待所”有甲级床位8个、乙级床位11个；“B 招待所”有甲级床位10个、乙级床位4个、丙级床位6个.已知甲、乙、丙三级床位每天每人分别为14元、8元、5元.如果全团集中住在一个招待所里一天,按预算只能住“B 招待所”,那么整数x 的值为多少?
问题十一.甲、乙、丙三个容器中，各有一定量的酒精.如果先把甲容器中的酒精的3
1
倒
入乙容器，再把乙容器中的酒精的31倒入丙容器,最后把丙容器中的酒精的3
1
倒入甲容器,那
么三个容器中各有酒精3
1
千克.问甲容器中原来有酒精多少千克?
问题十二.三轮摩托车(前面一个轮,后面并排两个轮)的三个轮胎从新安装到报废所行驶的千米数不同.安装在前轮上的轮胎行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的轮胎分别只能行驶15000千米和10000千米.为了使某摩托车行驶尽可能多的路程,采用行驶一定路程后将2个轮胎对调的方法,如果最多可对调2次,那么该摩托车用三条新轮胎最多可以行驶多少千米?
参考答案及评分标准。