用高斯消元法求解线性代数方程组

用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。

为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。

⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。

下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a（1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x其中)0(11)0()1(1aa aijj=， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n + 1）从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2）其中n i a m a aij i ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。

如果（1-2）中0)1(22≠a ，则以)1(22a 为主元素，又可以把方程组（1-2）化为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++++++)2(1,)2(3)2(3)3(1,3)2(33)2(33)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(12)1(121 n n n nn n n n n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x （1-3）针对（1-3） 继续消元，重复同样的手段，第k 步所要加工的方程组是：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++=++++-+---+---+-----++)1(1,)1()1()1(1,)1()1()1(1,1)1()1(11)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(13)1(132)1(121 k n n n k nn k k nk k n k n k nn k k kk k n k n k kn k k k k n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x设0)1(≠-k kka ，第k 步先使上述方程组中第k 个方程中x k 的系数化为1： )(1,)()(1,k n k n k kn k k k k k a x a x a x ++=++然后再从其它（n - k ）个方程中消x k ，消元公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=⋅-=++==----nk i n k j a a a a n k k j a a a k kjk ik k ij k ij k kk k kjk kj ,11,,11,,1,)()1()1()()1()1()( (1-4) 按照上述步骤进行n 次后，将原方程组加工成下列形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+++=+++++-+---++)(1,)1(1,1)1(1)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(13)1(132)1(121 n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x回代公式为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∑+=++1,,11)()(1,)(1, n k x aa x a x nk j jk kj k n k k n n nn （1-5）综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组，再经回代过程求解。

由于计算时不涉及x i , i = 1, 2, …, n ，所以在存贮时可将方程组AX = b ，写成增广矩阵（A,b ）存贮。

下面，我们统计一下高斯消去法的工作量；在（1-4）第一个式子中，每执行一次需要)(k n n --次除法，在（1-5）第二个式子中，每执行一次需要)()]1([k n k n -⨯--次除法。

因此在消元过程中，共需要[])12)(1(61)1()1()()1(121++=+-=+-+-⨯+-∑∑==n n n k n k n k n k n nk nk次乘作法。

此外，回代过程共有)1(2)(1-=-∑=n nk n nk 次乘法。

汇总在一起，高斯消去法的计算量为：33)13(3232n n n n n n -+=-+ 次乘除法。

1.2 基于VC 的C 语言程序#include<stdio.h>#define n 4 /*n 为方程组系数矩阵的阶数*/ int Gauss(float a[n][n],float b[n]) {int i,j,k,flag=1; float t;for(i=0;i<n-1;i++) {if(a[i][i]==0) { flag=0; break; } else {for(j=i+1;j<n;j++) /*消元过程*/{t=-a[j][i]/a[i][i];b[j]=b[j]+t*b[i];for(k=i;k<n;k++)a[j][k]=a[j][k]+t*a[i][k];}}}return(flag);}void zg_matric(float a[n][n],float b[n]) /*输出增广矩阵*/{int i,j;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)printf("%10f",a[i][j]);printf("%10f",b[i]);printf("\n");}printf("\n");}void main(){static float a[n][n]={{11,1,5,-4},{-2,8,2,3},{3,-2,10,4},{1,3,-2,17}}; float b[n]={13,11,15,19};float x[n]={0,0,0,0};int i,j,flag;zg_matric(a,b);flag=Gauss(a,b);zg_matric(a,b);if(flag==0) /*无解*/printf("Gauss method dose not run.");else /*回带过程开始*/ {x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--){x[i]=b[i];for(j=i+1;j<n;j++)x[i]=x[i]-a[i][j]*x[j];x[i]=x[i]/a[i][i];}for(i=0;i<n;i++) /*输出方程组的解*/printf("x%d=%11.7f\n",i+1,x[i]);}}1.3 运行结果图。