两点之间的距离公式及中点坐标公式课件
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优秀老师课件-两点间距离公式
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
两点间的距离和线段的中点坐标 说课课件
例3 已知 ABC 的三个顶点为 A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试求BC边上的
中线AD的长度．
设计意图：例题的设计，是对新知识巩固和熟练的过程。可 以让学生相互交流，有助于培养学生思维的深刻性和批判性； 老师则是对普遍存在的问题集中处理，集体指导。
4、运用知识
巩固练习
B(3， 两点之间的距离． 4)
5、反思总结
理论升华
设计意图：由学生回顾本节课主要内容，并进行归纳总结．知识性内容
的小结能将传授知识转化为学生的内在素质，数学思想方法的小结能让学 生从更高层次上思考问题．这个过程，既培养了学生的语言表达能力和思 维的严谨性，又有利于学生构建完整的知识体系，养成良好的学习习惯．
6、布置作业、巩固提高
8.1 两点间的距离与线段中点的坐标
多媒体投影
一、两点间的距离公式 二、线段中点的坐标公式
例题
学生板演
活用板书,将知识重点、学习任务、学习流程留在黑板上,使板书和课件合理、科学的衔接.
六、评价分析
1、评价教学过程：教学中注重数学课程和信息技术
的整合，利用ppt课件、实物投影等，画面丰富生动， 使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结 构，提高教学效率。同时，在教学中注意关注整个过 程和全体学生，利用小组竞赛，集体积分的比赛方式， 充分调动所有学生积极参与教学过程的每个环节，提 高学生学习的兴趣。 2、评价学习过程：通过问题引入,以尝试、提问、 讨论、练习等方式，在探究过程中，层层深入，充 分挖掘思维的深度和广度，关注整个过程和全体学 生,提高学习积极性。 3、评价情感教育：通过对学生的语言行为给予肯定 的评价，和对暴露问题的及时矫正，培养学生的理性 思维并陶冶情操。
8．1 两点间的距离与线段中 点的坐标
2.3.2 两点间的距离公式 (共25张PPT)
求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B
-2,0
,C
,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4
两点之间的距离公式及中点坐标公式
y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问
• P71练习A：1－4. 2－1A：1－4.
• 选做：B组题
P72：习题
(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 Байду номын сангаасx
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
AD2 b a2 c2,
AC2 b2 c2,
x
O A(0,0) B(a,0)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab, 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
A(x1，y1) A2
o
两点间的距离公式》课件(北师大版必修
y1)^2+(z2z1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
两点间的距离公式-PPT课件
A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
两点间距离公式与线段中点的坐标
两点间距离公式与线段中点的坐标一、二维空间中两点间的距离公式在二维空间中有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)。
我们可以通过勾股定理来计算AB之间的距离。
勾股定理表示直角三角形的斜边的平方等于两直角边平方和。
根据勾股定理，AB的距离公式为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过计算两点的横纵坐标之差，并且将结果平方和开根号来得到两点之间的距离。
示例：假设有两点A(1,2)和B(4,6)，计算AB之间的距离。
AB=√((4-1)²+(6-2)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以，点A和点B之间的距离为5个单位。
二、三维空间中两点间的距离公式在三维空间中有两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)。
对应的两点之间的距离可以通过三个坐标轴上的坐标之差来计算。
根据勾股定理，AB的距离公式为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)这个公式可以通过计算两点在横纵纵坐标轴上的差，并且将结果平方和开根号来得到两点之间的距离。
示例：假设有两点A(1,2,3)和B(4,6,8)，计算AB之间的距离。
AB=√((4-1)²+(6-2)²+(8-3)²)=√(3²+4²+5²)=√(9+16+25)=√50所以，点A和点B之间的距离为√50个单位。
线段的中点是指线段上距离两个端点等距离的点。
在二维空间中，通过计算线段的横纵坐标之和的一半来获得中点的横纵坐标。
假设有两个端点A(x1, y1)和B(x2, y2)，线段的中点坐标为M(xm, ym)。
中点的横坐标为两个端点横坐标之和的一半，纵坐标为两个端点纵坐标之和的一半，即：xm = (x1 + x2) / 2ym = (y1 + y2) / 2示例：假设有两个端点A(1,2)和B(4,6)，计算线段AB的中点坐标。
两点间距离公式及线段中点坐标公式----------授课人
函数中实用公式
平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间距离公式：
平面内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）之间中点坐标公式：
例1、求A （−3，1）、B （2，−5）两点间的距离．
例2 已知点S （0，2）、点T （−6，−1），现将线段ST 四等分，试求出各分点的坐标． 例3、 已知ABC ∆的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．
1、在平面直角坐标系内，描出下列各点： (1,1)A 、(3,4)B 、(5,7)C ．并计算每两点之间的距离．
2．已知点(2,3)A 和点(8,3)B -，求线段AB 中点的坐标．
3．已知ABC ∆的三个顶点为(2,2)A 、(4,6)B -、(3,2)C --，求AB 边上的中线CD 的长度．
如图，点A 是双曲线y=（x ＞0）上的一点，连结OA ，在线段OA 上取一点B ，作BC ⊥x 轴于点C ，以BC 的中点为对称中心，作点O 的中心对
称点O ′，当O ′落在这条双曲线上时，
= ．
已知：二次函数y=x2+bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积．。
两点间距离公式及中点坐标公式
y y2 y1 3 4 7
d(A, B) (4)2 72 65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5， 0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
则
x2 35
2
2
y2 02
M O
A(-3,0)
24
2
24
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例4 已知ABC 的三个顶点为A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试
巩 固
求BC边上的中线AD的长度．
知
解 设BC的中点D坐标为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
识
典
xD
(2) 2
0
1，yD
1 3 2
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
该题用的方法----坐标法。可以将几 何问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
显然当a点在坐标轴上时doa一般地已知平面上两点ax11y11和bx和bx22y22利用上述方法求点a和b的距离222121dababxxyy??a1yyxoxobx2y2ax1y1b1b2a2显然当ab平行于坐标轴或在坐标轴上时公式仍然成立
d(A, B) (4)2 72 65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5， 0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
则
x2 35
2
2
y2 02
M O
A(-3,0)
24
2
24
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例4 已知ABC 的三个顶点为A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试
巩 固
求BC边上的中线AD的长度．
知
解 设BC的中点D坐标为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
识
典
xD
(2) 2
0
1，yD
1 3 2
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
该题用的方法----坐标法。可以将几 何问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
显然当a点在坐标轴上时doa一般地已知平面上两点ax11y11和bx和bx22y22利用上述方法求点a和b的距离222121dababxxyy??a1yyxoxobx2y2ax1y1b1b2a2显然当ab平行于坐标轴或在坐标轴上时公式仍然成立
两点间距离公式及中点坐标公式
y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？
y
A
A
o
x
A
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1, y1, Bx2, y2
一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上y述方法求点A和B的距离
B2
B(x2，y2)
2．
型
例
故 | AD | (11)2 (2 0)2 2 2,
题 即BC边上的中线AD的长度为2 2．
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
课堂练习 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
2、已知A（a，0）, B（0,10）两点 的距离等于17，求a的值。
P48练习8.1.2.
x x2 x1 y y2 y1
计算 d x2 y2
给出两点的距离 d
题型分类举例与练习
【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
解： x1 2, x2 2, y1 4, y2 3
x x2 x1 2 2 4,
A(x1，y1) A2
o
A1
c
B1
x
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式 仍然成立。
给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 即
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y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？
y
A
A
o
x
A
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1, y1, Bx2, y2
一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上y述方法求点A和B的距离
B2
B(x2，y2)
A(x1，y1) A1
A2
o
c
B1
x
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式 仍然成立。
给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 即
A
A2
x x1 x2 x
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
y y2 y1 3 4 7
d(A, B) (4)2 72 65
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/9
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) 求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
x x2 x1 y y2 y1
计算 d x2 y2
给出两点的距离 d
题型分类举例与练习
【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
解： x1 2, x2 2, y1 4, y2 3
x x2 x1 2 2 4,
y
p(x，y) x
y
o
x
合作探究（一）：两点间的距离公式
思考1
在平面直角坐标系中，已 知两点的坐标，怎样来计算这两 点之间的距离呢？
我们先寻求原点 O0,0 与任 意一
Ax, y
点
之间距离的计算方
法O, A 两点之间的距离通常用 dO, A
表示。
当A点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x， y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ABCD ,求证
AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y). y D (x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2)
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab, 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
y D (b-a, c) C (b, c)
x x1 x2 2
y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问题。
P71练习A：1－4. 1－4.
选做：B组题
P72：习题2－1A：
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/9
平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A，B，C，D的坐标为
A0,0, Ba,0,Cb,c, Db a,c.
所以 AB2 a2 ,
y D (b-a, c) C (b, c)
AD2 b a2 c2,
AC2 b2 c2,
x
O A(0,0) B(a,0)
2、已知A（a，0）, B（0,10）两点 的距离等于17，求a的值。
3、已知 : ABCD 的三个顶点坐标分 别是A(- 1,-2),B(3,1),C(0,2).求: 第D点的坐标。
1.两点间的距离公式；
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.中点坐标公式
x
O A(0,0) B(a,0)
该题用的方法----坐标法。可以将几 何问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， 设 M(x,y)是线段AB的中点
y
A1M1 M1B1
B (0，y2) 2
B
A2M2 M2B2
(0,y) M 2
M
复习
数轴上两点的距离AB源自o x1x2A
B
x1 o x2
所以A,B两点的距离为:
d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式 1.两点的距离公式
如图：有序实数对（ x,y）与点P对 应，这时（ x,y）称为点P的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点P的横坐标， y叫做点P的纵坐标。