03-第3讲数列极限

证
M 2 0 ,
取 n0 [log 2 M ] 1, 则 [log 2 M ] 1 log 2 M 0,
| xn0 | | 2n0 | | 2[log 2 M ]1 | | 2log 2 M | M .
由定义可知数列 {2n } 是无界的.
二、数列的极限
m xn M , 取 M * max{| M |, | m | }, 则 M * xn M *, 即 | xn | M * .
一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界).
数列 {xn } 的所有上界中的最小者 , 称为数列的上确界 , 记为 sup xn . 数列 {xn } 的所有 下界中的最大者 , 称为数列的下确界 , 记为 inf xn .
o
· ··· 1 2 3 4
n
注 不可将这串点连成曲线.
例1
介绍几个数列
(1) {2n } : 2, 4, 8, , 2n ,
通项 : xn 2n.
x1 0 2 x2 … xn …
•••••
4
… 2n …
• • • • •• • • • •
x
1 1 1 1 1 ( 2) n : , , , , n , 2 2 2 4 8 1 通项 : xn n . 2
如此深刻地打动过人类的心灵.
—— 希尔伯特 极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键. 极限的思想源远流长.
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
一、概念的引入
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
U(O, )

0

U(O, 1)
x2n
1

(

x1
1 10

x3
x2n-1
1

0

x4
1 10 4
1 103
)•••• ••• ) • • • ••• (••• •••• (••• * •••
10 2 n 1 1 10 2 n
x2
1 10 2
)
x
0, 从某一项开始, 以后的所有项就都落在U(O, ) 中了.


R
正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
以极限的记法即
lim An S
n
2
截杖问题 庄子(约公元前355~275年)
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2 第n天截下的杖长总和为 1 1 1 Xn 2 n ; 2 2 2
1 ( 1) n 通项： xn . n
x2 n1 x2 n
• • • • •
x4
• • • • •
x2 1
1 0 x1 n x3 M 所有奇数项
1 2
x
n 1 2 3 n (5) , , , , , : n 1 n 1 2 3 4
n 通项 : xn . n 1
概念的引入
1 Xn 1 n 2
1
(n ).
一、数列及其简单性质 1. 定义
数列也称为序列
设 f (n) 是以正整数集 Z＋ 为定义域的函数 .
将 f 的值域 f ( Z ) { xn | xn f (n), n N } 中的元素 xn , 按自变量 n 增大的次序排列出来所
••••• •••••
… xn … x3
1 2n
1 8
x2
1 4
x1
1 2
0
x
(3) { ( 1)n 1} : 1, 1, 1, 1, , ( 1)n 1 ,
通项 : xn ( 1) n 1.
x2n
–1
所有的偶数项
x2 n1
0 1
所有的奇数项
x
1 ( 1) n 1 1 1 ( 1) n ( 4) , : 0, 1, 0, , 0, , , 2 3 n n
都落在 U(0, ) 中.（在 U(0, ) 外面只有有限项）
(1) | xn 0 | 0 n 10
n
(1) lim 0: n n 10
n
其中,
0 是描述点 xn 与点 0 无限接近的
度量标准, 它是预先任意给定的, 与{xn}的 极限存在与否无关.
0
3 4

7 8
1 x
无限增大 n 越来越大, 即 n . 无限接近 an与 1 的距离越来越小，
或 an 1 0， (n ). 即 an 1 越来越小，
例4
由前面我们看到： 当 n 无限增大 时,
1 0 n 2
1 (1) n 0 n
n 1 n 1
0

x2n

x4
1 10 4
x2
1 10 2

1 10 2 n
)
x
xn U(O, ) | xn 0 | .
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
N 0,
以后的所有项
当 n N 时,
数列极限的直观定义—定性描述
一般地, 如果数列{xn} 当 n 时,
xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数 列{xn} 当 n 时以 a 为极限, 记为
n
lim xn a.
此时, 也称数列是收敛的.
极限描述的是变量的变化趋势.
( 1) n 讨论数列 n 当 n 无限增大时的变化趋势. 10 ( 1) n 无限地趋近于零 . 容易看出: 当 n 无限增大时, n 10
高等院校非数学类本科数学课程
高等 数 学（上）
—— 一元微积分学
第三讲 数列的极限
教案制作：吴洪武
作业
• 习题1-2（教材21页） • 1(1); 2(3); 4; • 5; 6; 7; 8.
第二节 数列的极限 一、数列及其简单性质
二、数列的极限
三、数列极限的性质 四、子列
无限！ 再没有其它的问题
数列极限的直观定义
1 1 1 例如 an 2 n 2 2 2
1 1 (2 ) 2 1 2 1
1 n
1 1 n , ( n 1,2,) 2
a n 无限接近 1 可以看出， 当 n 无限增大时，
“ 1” 是它的极限.
a1 a2

0
1 2

a3
x1 0 2 x2 … xn …
•••••
n
n
4
… 2n …
• • • • •• • • • •
x
{2n } , 无界 (但下方有界： xn 2 ).
有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的.
若 xn M , MR , 则称 { xn} 有上界. 若 xn m , mR， 则称 { xn} 有下界. { xn}: 有界 既有上界 又有下界.
N 0,
当 n N 时,
N 是否存在 , 取决于数列 {xn } 本身.
{xn } 单调增加 , 也记为{xn } .
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 数列
单调增加(不减少的)
单调减少(不增加的)
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 M 0, 使得当 x I 时, 有 | f ( x ) | M 成立,
“ n 无限增大” 记为 n .
(1) n “ 无限地接近于 0 ”记为 n 10
这就是该数列 的变化趋势
(1) n 0. n 10
( 1) n 此时称数列 {xn } n 当 n 时以零为 10
(1) n 极限, 记为： lim 0. n n 10
量化表示：n 时, xn a .
( 1) n 从数列 { xn } n 的图上看, 10

x1
1 10
(
x3

1 103
)•••• ••• ) • • • ••• (••• •••• (••• * •••
1 10 2 n 1
x2n-1

{xn } 单调增加 , 也记为{xn } .
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
若 {xn } 满足 x1 x2 xn , 则称
{xn } 严格单调增加 , 记为{xn } .
单调减少
若 {xn } 满足 x1 x2 xn , 则称
例3
证明数列 {2 } 是无界的.
n
证无界, 即要对 M 0, 找一个 n0 使 | xn0 | M .
令 | 2n | M , 则 n log2 M (不妨设 M 2),
M 1, 当取 n0 log 2 M 时, | 2 | | 2
n0 log 2 M
| M .
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
0
1 2
2 3… n … 1 n 1 3 4
x
3. 数列的性质
单调性
有界性
(1) 数列的单调性