§2.3.1 运用公式法(一)
解一元二次方程公式(1)法学案
§2.3 公式法（1）【教学目标】1、理解用配方法推导一元二次方程求根公式的过程；2、熟记求根公式，会用公式法解一元二次方程；3、理解公式中的条件042≥-ac b .【重点】用公式法解一元二次方程．【难点】一元二次方程求根公式的推导过程．【相关链接】用配方法解方程：（1）02632=+-x x （2）y y y 441252+=+- 复习用配方法解数字系数的一元二次方程.【预习导航】一、阅读教材P 64～P 66.二、公式法解一元二次方程例1、用配方法解一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a用配方法解字母系数的一元二次方程学生可能感到困难，教学中教师注意引导学生做到数与字母的统一.注意条件0a ≠与042≥-ac b 的不可缺乏.一般地，对于一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 当042≥-ac b 时，我们称式子： aac b b x 242-±-=为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 例2、用公式法解方程x x x 23322-=+ 尝试练习：1、解方程：（1）226)3(2x x -=+ 解：将原方程化为一般形式，得：03522=-+x x∵a =2，b =5，c =-3，∴()0493245422>=-⨯⨯-=-ac b ∴22495242⨯±-=-±-=a ac b b x ∴.3,2121-==x x（2）213108x x --= （324x -=（3）2(1)88m m -+=- （4）1122-=++y y y解题反思：（1）一元二次方程的求根公式：______________________________________________.（2）我们称ac b 42-为关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式. 其中，①当042>-ac b 时，方程有___个______(相等、不相等)的实数根；②当042=-ac b 时，方程有___个______(相等、不相等)的实数根；③当042<-ac b 时，方程______（有、无）实数根。
3.1《用公式法求解一元二次方程》
§2.3用公式法求解一元二次方程（1）
【学习内容】用公式法求解一元二次方程（P41-P43页）
【学习目标】1、能够正确的导出一元二次方程的求根公式；2、能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况正确；3、熟练的使用求根公式解一元二次方程。
对子间等级评定：
对子间提出的问题：
1、 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)7252=+x x ; （2）0202542=++x x ； （3）(3x+1)(x+2)=-4
2、用公式法解下列方程：
（1）2x 2-4x-1=0; (2)5x+2=3x 2; (3)(x-2)(3x-5)=1
（4）x x 2
352.02=+ （5）212308
x x -+=
3、知一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围； (2)如果k 是符合条件的最大整数，
4、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
5、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
今天我知道了：
我发现了：
我学会了：
【教师寄语】《新课堂，我展示，我快乐，我成功》-------。
3.运用公式法(一)教学设计
第二章分解因式3．运用公式法（一）学生知识状况分析学生的技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础。
学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。
教学任务分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
教学目标：知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。
过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力。
情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法。
教学过程分析第一环节练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= 。
根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= 。
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力。
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系。
第二环节 想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征。
八下 2.3.1运用公式法 教学设计(于海峰)
第二章 分解因式2.3.1运用公式法（1）本节知识点：1. 会用平方差公式将多项式分解因式2.. 会用完全平方公式将多项式分解因式知识点1用平方差公式分解因式形如22b a -的多项式分解因式的方法，即))((22b a b a b a -+=-，我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。
笔记：（1）公式中的和既可以是单项式，也可以是多项式。
（2）常见的公式变式有：○1位置变化：))((22y x y x y x -+=-；○2符号变化：))((22y x y x y x ----=-○3系数变化：○4指数变化：○5增项变化： [例题1] 把下列各式分解因式（1）21625x - （2）22419b a -[针对性训练1] 把下列各式分解因式（1）222m b a - （2）448116y x +-[例题2] 把下列各式分解因式（1）22)()(9n m n m --+ （2）x x 823-[针对性训练2] 把下列各式分解因式（1）22)()(b n a m +-- （2）22)(c b a x ++-当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。
知识点2 用完全平方公式分解因式乘法公式中形如222b ab a +±的多项式分解因式的方法，即222)(2b a b ab a +=+±，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。
[例题3] 将下列各式分解因式。
（1）49142++x x (2)9)(6)(2++-+n m n m[例题4] 将下列各式分解因式(1)22363ay axy ax ++(2)xy y x 4422+--[针对性训练3] 把下列各式分解因式（1）223612y xy x ++（2）422492416b b a a ++（3）229341n mn m ++（4）251036+-x x[针对性训练4]（1）222y x xy ---（2）2)(9)(124y x y x -+--。
§2-3 公式法1 一元二次方程的解法
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
b b2 4αc x 2α
例 2 解方程：
x 3 2 3x
2
解：化简为一般式：x2
2. 用公式法解下列方程. 参考答案:
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
下课了!
结束寄语
•
•
配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
4 4
参考答案： 1.x1 2; x2 4. 2.x1 2 6; x2 2 6.
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长. 解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x 2 x 2 x 2 .
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
,用公式法解下列方程
231公式法课件北师大版数学九年级上册
当堂训练：（15分钟）
1、一元二次方程y2+2y-4=0的根的情况是：
2、用公式法解方程 x2-3x-2=0
3、若一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等 的实数根，求m的值。
变式1、关于x的一元二次方程 x2 2x m 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
2a
2a
b b2 4ac
x
2a
ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的求根公式：
条件：当b2 4ac 0时
b b2 4ac x
2a
a，b，c 是什么？
任何时候都能使用求根公式吗？
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
2a
例一:用公式法解方程 x2 -7x-18=0
1.把方程化为一般形式
ax2 bx c 0 a 0
写出方程的各项系数与常数项a、b、c
2.求出 b2 4ac 的值，看 b2 4ac 是否大
于等于0.
注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。
3.代入求根公式 x b b2 4ac
2a
4.写出方程的解： x1、x2
温馨提示
用公式法解一元二次方程时应注意哪些问题呢？
(2).解方程： 4x2 1 4x
一般步骤
解：原方程化为：4x2 4x 1 0
化
∴ a 4, b 4, c 1,
b2 4ac (4)2 4 41 0 验
x b b2 4ac (4) 0 1
代
2a
24 2
x1
x2
1 2
求
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
2.3 运用公式法
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
学习 过程 预 习 导 （3） （1+2x） （1–2x）= 学 学 习 研 讨 1、分解因式：7x2-21x 2、填空： （1） （x+3） （x–3） =
学习内容
； （2） （4x+y） （4x–y）= ； （4） （3m+2n） （3m–2n）=
； ．
活动一 阅读课本 54 页上面部分内容并回答问题： 1、 观察式子 a2-b2,x2-25,9x2-y2 (1) 他们有没有相同的因式？他们能不能分解因式？ (2) 小组讨论，它们有什么共同特征？ (3) 你能按照（2）的特征再举几个例子吗？ 2、结合预习导学 2，完成下列填空 （1）9m2–4n2= （3）x2–9= ； （2）16x2–y2= ； （4）1–4x2= ． ；
（4）(m－a)2－(n＋b)2 （5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
2、 如图， 在一块边长为 a 的正方形纸片的四角， 各 形．用 a 与 b 表示剩余部分的面积，并求当
剪去一个边长为 b 的正方 a=3.6，b=0.8 时的面积．
a b
延 伸 拓 展 总结 反思 作业 1.解： （1）a2－81=（a+9） （a－9）; 2 （2）36－x =（6+x） （6－x）; 2 （3）1－16b =1－（4b）2=（1+4b） （1－4b）; 2 2 （4）m －9n =（m +3n） （m－3n）; 2 2 （5）0.25q －121p =（0.5q+11p） （0.5q－11p）; 2 （6）169x －4y2=（13x+2y） （13x－2y）; 2 2 2 2 （7）9a p －b q =（3ap+bq） （3ap－bq）; （8） 已知 a、b 为正整数，且 a2-b2=45，求符合要求的 a、b 的值。
第二章第3节运用公式法课件(1)
能力提高：
1.已知248-1能被60-70之间的两个 数整除，则这两个数是 .
2、求证：257-512能被120整除.
课堂小结：
1．本节课我们经历了从整式乘法的平方差公 式得出分解因式的平方差公式的过程，并运用 平方差公式分解因式； 2．平方差公式a2-b2=（a+b）(a-b)中的字母 a,b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数 式；
2 2 4
36a ( 6a )
2
2
0.49b ( ) 0.7b
2 2
牛刀小试
81a 9a （ ）
6 2
3
9 2 3 2 c c （ ） 4 16 2 2 2 64 x y 8 xy （ ） 100 p q 10 p q ） （
4 2 2
2
2
3(m n) (m n)3(m n) (m n) (4m 2n)(2m 4n) 4(2m n)(m 2n)
平方差公式里的a,b不仅可以是单项式， 还可以是多项式。
(2) 2x3-8x =2x(x2-4) =2x(x+2)(x-2)
当多项式的各项含有公因式时，通常先 提出这个公因式，然后在进一步分解因式。
3．当多项式的各项含有公因式时，通常先提 出这个公因式，然后在进一步分解因式。
练习2：把下列各式分解因式：
(1) a2-36
(2) 25m2-49n2
4 2 2 (3) x y 9
完成P56
1 2 b (4) 0.36a 25
2
知识技能
八年级数学下册 第二章 2.3运用公式法学案(1)(无答案) 北师大版
§2.3运用公式法 （1）【学习目标】能运用平方差公式进行分解因式，充分了解平方差公式的特征。
【学习重点】掌握运用平方差公式分解因式【学前准备】1.写出分解因式的定义：2.什么叫提取公因式法3.提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？4.运用提公因式法分解因式：（1） ab a 842+ （2） 23212x x +-（3） ()()y x b y x a +++343 （4） ()()x y n y x m 222---（5） )(3)(22x y y x -+- （6） 32)(2)(5m n n m ---【师生探究合作交流】1.在多项式的乘法运算中()()__________=-+b a b a ，左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过就是： ____=()()b a b a -+，左边是一个多项式，右边是整式的乘积．大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？_____________2.公式()()b a b a b a -+=-22的特点是： ①等号的左边是一个多项式，②这个多项式的每一项都能写成平方的形式，如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.特别提醒：公式中的字母a 和b 既可以代表一个单项式，也可以表示一个多项式。
3．例题例1、分解因式：（1） 9-4x 2解：9-4x 2 =( 3 2)-( 2)=(3+ )(3- ) (2) 2291x a -解：2291x a -=( 2)-( x 312)=( +x 31)( -x 31)(3) 12+-x解：12+-x =1-2x =( 2)-( 2) =( )( )(4)b m b a 22-解：例2、分解因式：(1) ()()229b a b a --+ (2) a a 823-解： 解：(3) ()()22c b a b a +--+ (4) ()222y x x --解： 解：【议一议】判断下列分解因式是否正确，若错误请改正．（1）222222)(c b ab a c b a -++=-+（2）)1)(1(1)(122224-+=-=-a a a a你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1.课本第1题写在书上2.把下列各式分解因式：① 222m b a - ② 241x +-③ ()()221--+x y x ④ 14-a⑤ ()()22c b a c b +--+ ⑥ 4416a x +-★3.如图，在一块边长为acm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm 的正方形，求剩余部分的面积。
《用公式法解一元二次方程(1)》参考课件
上课认真，笔记认真， 就是成绩不咋地……
小A
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂，
但一考试就挺好…… 小B
目录
/contents
1. 什么是学习力
2. 高效学习模 型
3. 超级记忆法
4. 费曼学习法
什么是学 习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看 就懂 一做 就错
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解 : x2 b x c 0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x
2
x2
b a
b
a x
a
x b
2a
ac
.
a2
b 2a
2
c a
2.移项:把常数项移到方程的右边;
.
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
2a
2a
6.求解:解一元一次方程;
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 7.定解:写出原方程的解. 2a
新知识
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期 是30分钟 第三 个记忆周期是 12小时
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在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.
重点
难点
1、让学生掌握运用平方差公式分解因式.
2、将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.
教学过程设计
教学补充
一、引入新课
本课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
2.把下列各式分解因式
（1）36（x+y）2－49（x－y）2;
（2）（x－1）+b2（1－x）;
（3）（x2+x+1）2－1.
教学反思
许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．
因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．
二、新课讲解
1.请看乘法公式
（a+b）（a－=a2－b2（1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a2－b2=（a+b）（a－b） （2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
2.公式讲解
请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.
3.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x2; （2）9a2－ b2.
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2;
（2）2x3－8x.
补充例题：判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）
.作业：习题2.4
板书设计
运用公式法（一）
1平方差公式的引入与讲解
2. 例题讲解
3. 练习、小结、作业
课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;
（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.
课题
§2.3.1运用公式法（一）
课型
新授
学
目
标
（一）知识认知要求
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
（二）能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
2.训练学生对平方差公式的运用能力.