(完整版)例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
电路原理(电阻电路的等效变换) 高中物理竞赛
1 Req
Geq
1 R1
1 R2
1 Rn
即 Req Rk
③并联电阻的分流
ik u / Rk Gk i u / Req Geq
ik
Gk Geq
i
电流分配与 电导成正比
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例 两电阻的分流：
Req
1 R1 1 R2 1 R1 1 R2
R1R2 R1 R2
i
i1
i2
R1
12 R
U4
U2 2
1 4
U1
3V
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I4
3 2R
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从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：
①求出等效电阻或等效电导；
②应用欧姆定律求出总电压或总电流； ③应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电
流和电压
以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例3 c d
6 5 a
求: Rab , Rcd
率的总和。
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2. 电阻并联
①电路特点
i
+
i1 i2
ik
u R1 R2
Rk
_
in Rn
(a)各电阻两端为同一电压（KVL)； (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
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②等效电阻
i
i
+
i1 i2
i i
无
源
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无 源 一 端 口
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2.两端电路等效的概念
电路原理(电阻电路的等效变换) 高中物理竞赛
1.理想电压源的串联和并联 注意参考方向
①串联 u us1 us2 usk
uS1 +
_
uS2 +
_
+u
_ 等效电路
+_ u
②并联 u us1 us2
等效电路
i
注相意同电压源才能并联,电
+
源中的电流不确定。
uS1 _
+
uS2 _
+ u _
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③电压源与支路的串、并联等效
uk
Rki
Rk
u Req
Rk Req
uu
表明电压与电阻成正比，因此串联电阻电路可作
分压电路。
i
例 两个电阻的分压：
u1
R1
R1 R2
u
u2
R2 R1 R2
u
+ u+1 R1 u-
+
_
u2 -
R2
º
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④功率 p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2
总功率
p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
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②等效电阻
i
i
+
i1 i2
ik
u R1 R2
Rk
Rn
in 等效
+ u
Req
_
_
由KCL:
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
初中物理竞赛全国中学生物理竞赛课件19：电阻等效方法ABC精编版
A B
I RAB
I I R 6 6
RAB
R 3
半径为R的薄壁导电球由连在A、B两点上的（AO⊥BO， O点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图．通过电源的电流为I0．问在球 面上C点处（OC⊥OA，OC⊥OB）电荷朝什么方向运动？若在C点附近球面上作 两个小标志，使它们相距R／1000，其连线垂直电荷运动方向．问总电流中有多 大部分通过这两标志之连线？
1.25r
2r
A
r B B
47
r
a
4r
b
解:
B
如图所示,甲中三端电容网络为△型网络元，乙 中三端电容网络为Ｙ型网络元，试导出其间的等效变换公式． qAA CAB B qB q q q q q q qa a b qb A a B b C c O Ca Cb CAC CBC Cc U AB U ab U AC U ac U BC U bc c q C q c 乙 C 甲 qa qb q A U AB C AB U AC C AC U ab Ca Cb q U C U C
递推到分割n次后的图形
2 5 Rn r 3 6
n
5r 2 5 12 6 r
如图所示的平面电阻丝网络中，每一直 线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间 的等效电阻．
解:
B B A B B A
B
A
A
RAB
3 r 4
r
A
解:
三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连 接成如图所示的网络．已知每一个金属圆圈的电阻都是R， 试求图中A、B两点间的等效电阻RAB．
三个金属圈共有六个结点，每四分之 一弧长的电阻R/4. A 将三维金属圈“压扁”到AB 所在平面并“抻直”弧线成下图
电阻电路的等效变换法
R3 R1
i3
R1 R2
R2u31 R2R3
R3 R1
R1R2
R1u23 R2 R3
R3 R1
根据等效条件，比较上述两式，得到Y 电阻关系：
i1
u12 R12
u31 R13
i2
u23 R23
u12 R12
i3
u31 R31
u23 R23
R12
R1R2
R2 R3 R3
U -
US1 -
US2
-
极性相同
u US --
US1=US2=US
佛山科学§技2术-学4院 电压源、电流源的串并联
现代制造装备工程技术开发中心
二、电流源
1、串联
iS1=iS2
iS1
iS2
方向相同
iS=iS1=iS2
2、并联
iS1
iS2
iS3
iS=iS1-iS2+iS3
佛山科学§技2术-学4院 电压源、电流源的串并联
R1.R3.R4 R2.R3.R5——Y
R3 R5
b
佛山科学技§术学2院-3 Y—△等效变换
现代制造装备工程技术开发中心
二、Y—△变换
u12 R1i1 R2i2 u23 R2i2 R3i3 i1 i 2i3 0
i1
u12 R12
u31 R13
i2
u23 R23
u12 R12
现代制造装备工程技术开发中心
例 桥 T 电路
第二章 佛山科学技术学院 电阻电路的等效变换法
电路原理02电阻电路的等效变换
12V
求 I1，I4，U4。 解：①分流方法
2R
U1 2R
U2 2R
U4
1 1 1 1 12 3 I 4 I 3 I 2 I1 2 4 8 8 R 2R
U4 I4 2R 3V
②分压方法
I1 12 R
3 I4 2R
def
结论：串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 串联电阻的分压(voltage division)公式
uk Rk i Rk Rk Rk n uk n u u Req i Req Rj Rj
j 1
j 1
u
i u1 un R1 Rn
串联电阻中的某个电阻的电压与该电阻成正比。 例1 两个电阻分压，如下图: u
二、电阻的串联(Series Connection of Resistors) R1 Rk Rn 等效 i i u1 uk un
1. 电路特点： (a)各电阻顺序连接，流过同一电流（KCL）； (b)总电压等于各串联电阻的电压之代数和（KVL）。 2. 等效电阻Req 由欧姆定律 u
1 / R2 R1 i2 i i 1 / R1 1 / R2 R1 R2 (注意方向!)
4. 功率关系
p1 G1u2， ，pn Gnu2 p1： ：pn G1： ：Gn
总功率
p Geq u2 (G1 G2 Gn )u2 G1u2 G2 u2 Gn u2 p1 p2 pn
图(a)
R
uS
i
1
u
Req
电阻电路的等效变换
电阻电路的等效变换电阻电路的等效变换是指将一个电阻电路转化为另一个等效的电阻电路，使得两个电路在电学性质上完全相同。
等效变换在电路分析和设计中起着重要的作用，能够简化电路分析过程，提高计算效率。
一、串联电阻的等效变换串联电阻是指多个电阻按顺序连接在一起，电流依次通过每个电阻。
当电路中有多个串联电阻时，可以通过等效变换将其转化为一个等效电阻。
假设有两个串联电阻R1和R2，其等效电阻为Req。
根据欧姆定律可知，串联电阻中的电流相同。
根据电阻的定义可知，电阻与电流和电压之间存在线性关系，即R = U / I。
因此，R1和R2的电阻值可以表示为R1 = U / I1，R2 = U / I2。
在串联电路中，电流I1通过R1，电流I2通过R2，由于串联电路中电流只有一个路径，所以I1 = I2。
将上述两个等式相等，可得到R1 / I1 = R2 / I2，即R1 / R2 = I1 / I2。
由此可推导出串联电阻的等效电阻为Req = R1 + R2。
二、并联电阻的等效变换并联电阻是指多个电阻同时连接在一起，电流分别通过每个电阻。
当电路中有多个并联电阻时，可以通过等效变换将其转化为一个等效电阻。
假设有两个并联电阻R1和R2，其等效电阻为Req。
根据欧姆定律可知，电压在并联电路中相同。
根据电阻的定义可知，电阻与电流和电压之间存在线性关系，即R = U / I。
因此，R1和R2的电阻值可以表示为R1 = U1 / I，R2 = U2 / I。
在并联电路中，电压U1作用在R1上，电压U2作用在R2上，由于并联电路中电压相同，所以U1 = U2。
将上述两个等式相等，可得到R1 / U1 = R2 / U2，即R1 / R2 = U1 / U2。
由此可推导出并联电阻的等效电阻为1 / Req = 1 / R1 + 1 / R2。
三、星型-三角形转换星型电阻网络和三角形电阻网络是常见的电阻网络拓扑结构。
在电路分析中，有时需要将星型电阻网络转换为三角形电阻网络，或将三角形电阻网络转换为星型电阻网络，以便于进行电路分析。
例析纯电阻电路中求等效电阻的常用方法
例析纯电阻电路中求等效电阻的常用方法本文介绍了几种计算复杂电路等效电阻的方法。
其中，“基本单元”法是一种常用的方法，可以通过找出电路中的“基本单元”，利用电阻的串并联关系求解等效电阻。
例如，在一个半圆形薄电阻合金片中，当A、B接入电路时电阻为R，而当C、D接入电路时，相当于两个“基本单元”串联，等效电阻为4R。
另外，本文还介绍了一维有限网络和一维无限网络中求等效电阻的方法。
在一维无限网络中，可以利用“基本单元”进行递归，得到等效电阻。
例如，在一个单边的线型无限网络中，每个电阻的阻值都是r，则A、B之间的等效电阻为（3+1）r。
例5】如图5甲所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是r。
求A、B之间的等效电阻RAB。
解析：图5乙虚线方框为一个个“基本单元”，设去掉最左侧那个“基本单元”后剩余电路的电阻为R余，则：RAB = (R余 + 2r)r / (R余 + 2r + r)且 R余 = RAB，解得：RAB = (3-1)r。
例6】一两端无穷的电路如图6甲所示，其中每个电阻均为r。
求a、b两点之间的电阻Rab。
解析：此电路属于两端无穷网络，整个电路可以看作是由三个部分组成的，等效电路如图6乙所示，则：Rab = Rx / 6，其中 Rx = (3-1)r（参照例5）。
例7】如图7甲所示电路，由12根阻值都为R的电阻丝连接而成。
求A、D间的电阻RAD。
解析：将A、D两端接入电源，假设电阻丝BG和CG交于G1（G1与G靠近而不连接），电阻丝FG和EG交于G2（G2与G靠近而不连接）。
这样，电路中G1、G、G2三点分别处电流流径的对称点上（即三条电流路径的中位），所以它们是等势点。
现将G1、G、G2用导线连接时不会有电流在这三点之间通过，将等势点拆下后，等效电路如图7乙所示。
据图容易求得RAD = 0.8R。
例8】在图8甲所示的电路中，R1=1Ω，R2=4Ω，R3=3Ω，R4=12Ω，R5=10Ω。
高中物理竞赛-电阻等效方法ABC
x
RAB
2 21 21
r
3
田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电
解: 阻均为R，试求网络中A、B两点间的等效电阻RAB．
I RAB
R
O
I 2
I 24
R
I 8
5I 24
2R
B
I I 5I I 2 24 24 8
A
RAB
29 24
R
O B
R
O
B
2A
R3
5 6
3
r
2 3
125 234
r
递推到分割n次后的图形
Rn
2 3
5 6
n
r
A r
B
r 5r 2 6
5r
5 6
21r2
读题 C
如图所示的平面电阻丝网络中，每一直
线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间
的等效电阻．
解:
B
B
A
B
B就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的 等如效图2电所阻示问的题图：形设，如其图中1所每示个的 小三 三角 角形形A边B长C边的长电L阻0的是电原阻三均角为形rA；B经C的一边次长分的割电得阻到r 的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻 是原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其 中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一．
RAB
452R54c
高中物理竞赛-电阻等效方法ABC
B
A
RAB
15 11
R
如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱
柱框架，每根导线的电阻为R，导线之间接触良好，求BD之间的电
阻值．
解:
DR
D
R/3
R/6
B
2R/15
RBD
3
2 3
2
1 1
B 2
15
R
11 R 15
2R/3
如图所示，由电阻丝构成的网络中，每
中一个小单元（例如图4中的△BJK）适当放大后，就得到图2的图形．如果这个 分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空．
A
A
A
A
“分数形图学几1家何对B学这”类l0的几新C何学图图科2形．的B近D自三相F十似E多C性年进图来行3，了B物D研理究F学，E家C创将造图分和4形发B几GK展DI何J出F学了的E一C研门究称成为果和
qC 甲
c
Cb Cc
qc 乙
qA U ABC AB U AC C AC qB U BAC AB U BC CBC qC U C CA CA UCBCBC
U ab
qa Ca
qb Cb
U ac
qa Ca
qc Cc
Y→△变换
C AB
CaCb Y
CBC
CbCc Y
CCA
A
B
A B
RR
An Rx Bn
R
R
A
BA
B An
2R
Bn
当n→∞时甲，多一个单元，只乙是使Rx按边长同比增大丙，即
电路的简化与等效
电路的简化与等效电路简化和等效是电子电路设计和分析中的重要概念。
简化和等效可以使复杂的电路变得更易理解和计算，从而提高电路设计的效率。
本文将介绍电路简化和等效的概念、方法和应用。
一、电路简化的概念与方法电路简化是指将复杂的电路转变为更简单的形式，但保持电路特性不变。
电路简化的目的是减少计算量、提高计算效率，并更好地理解电路的工作原理。
下面介绍几种常见的电路简化方法。
1.1 串联电阻简化当电路中存在多个串联电阻时，可以将它们简化为一个等效电阻。
串联电阻的等效电阻值等于各个电阻的总和。
通过串联电阻的简化，可以将多个电阻的计算合并为一个电阻的计算，从而简化了电路的分析。
1.2 并联电阻简化当电路中存在多个并联电阻时，可以将它们简化为一个等效电阻。
并联电阻的等效电阻值等于各个电阻的倒数之和的倒数。
通过并联电阻的简化，可以将多个电阻的计算合并为一个电阻的计算，减少了分析电路的复杂度。
1.3 电容简化当电路中存在多个串联电容时，可以将它们简化为一个等效电容。
串联电容的等效电容值等于各个电容的总和。
通过电容的简化，可以减少电路中的电容数量，方便计算和分析电路的特性。
1.4 电感简化当电路中存在多个并联电感时，可以将它们简化为一个等效电感。
并联电感的等效电感值等于各个电感的总和。
通过电感的简化，可以减少电路中的电感数量，提高电路分析的效率。
二、电路等效的概念与应用电路等效是指将一个复杂的电路替换为一个具有相同功能的简单模型，该模型与原电路在特定条件下具有相同的电学特性。
电路等效的目的是简化电路分析和设计，提高分析和设计的效率。
下面介绍几种常见的电路等效方法。
2.1 等效电阻对于复杂的电路网络，可以用一个等效电阻来简化。
等效电阻可以模拟整个电路网络的行为，并且能够使得计算和分析更加简单。
2.2 等效电流源有些情况下，复杂的电路可以用一个等效电流源来表示。
等效电流源可以将复杂的电路简化为一个等效的电流源模型，从而方便进行分析和计算。
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例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。
实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。
本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。
常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。
将图8-4甲图中的A 、D 缩为一点A 后，成为图8-4乙图。
答案：R AB = R 。
83【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R 1 = 1Ω ，R 2 = 4Ω ，R 3 = 3Ω ，R 4 = 12Ω ，R 5 = 10Ω ，试求A 、B 两端的等效电阻R AB 。
模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A 、B 两端接入电源，并假设R 5不存在，C 、D 两点的电势相等。
因此，将C 、D 缩为一点C 后，电路等效为图8-5乙对于图8-5的乙图，求R AB 是非常容易的。
事实上，只要满足=的关系，该桥式21R R 43R R 电路平衡。
答案：R AB =Ω 。
415【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求A 、B 两点之间的等效电阻R AB 。
【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体，每段导线的电阻都是1Ω。
求AB 间的总电阻。
2、电流分布法设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压AB U ，再由IU R AB AB=即可求出等效电阻。
【例题1】7根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。
【例题2】10根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。
【例题3】8根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，C 、D 之间是两根电阻丝并联而成，试求出A 、B 两点之间的等效电阻AB R 。
B电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作用时，在此支路中产生的电流的代数和。
所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。
【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R ，求A 、B 间等效电阻。
3、Y —△变换法在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y 型或△，如图所示，有时把Y 型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y 型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y 型联接三个端纽的电压312312U U U 、、及流过的电流321I I I 、、与△型联接的三个端纽相同。
⑴将Y 型网络变换到△型电路中的变换式：313322112R R R R R R R R ++=213322131R R R R R R R R ++=113322123R R R R R R R R ++=⑵将△型电路变换到Y 型电路的变换式：31231231121RR R RR R ++=31231223122R R R R R R ++=31231223313R R R R R R ++=以上两套公式的记忆方法：△→Y ：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。
a r Y →△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。
当Y 形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的Y 形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。
【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻R AB 。
提示：法一：“Δ→Y”变换；法二：基尔霍夫定律【例题2】试求如图所示电路中的电流I 。
（分别应用两种变换方式计算）【课堂练习】分别求下图中AB 、CD 间等效电阻。
( 答案：0.5R; R PQ =4Ω)4、无限网络若，⋯++++=a a a a x（a ＞0）在求x 值时，注意到x 是由无限多个a组成，所以去掉左边第一个+a 对x 值毫无影响，即剩余部分仍为x ，这样，就可以将原式等效变换为x a x +=，即02=--a x x 。
所以2411ax ++=这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。
⑴一维无限网络【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R ，试求A 、B 两点间的电阻R AB 。
'Al l电路是这样无穷级的叠加。
在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即R AB ∥R + R = R AB解这个方程就得出了R AB 的值。
答案：R AB =R 。
251+解法二：可以，在A 端注入电流I 后，设第一级的并联电阻分流为I 1 ，则结合基尔霍夫第一定律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如图8-12所示对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律，有(I − I 1)R + (I − I 1)R − I 1R = 0II 1解得 I 1 =I 215-很显然 U A − IR − I 1R = U B 即 U AB = IR + IR = IR 215-251+最后，R AB == R 。
IU AB251+【例题2】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a 、b 间的等效电阻R ab ．（开端形）【例题3】如图所示，由已知电阻r1、r2和r3组成的无穷长梯形网络，求a 、b 间的等效电阻R ab ．（闭端形）⑵双边一维无限网络【例题4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2，求e 、f 之间的等效电阻。
（中间缺口形）【例题5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2，求f 、g 之间的等效电阻.（旁边缺口形）【例题6】如图所示，求g 、f 间的等效电阻。
（完整形）小结：一维无限网络利用网络的重复性。
⑶二维无限网络【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R ，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远处．A 和B 为网络中任意两个相邻节点，试求A 、B 间的等效电阻R AB ．模型分析：如图，设有一电流I 从A 点流入，从无穷远处流出．由于网络无穷大，故网络对于A 点是对称的，电流I 将在联接A 点的四个电阻上平均分配．这时，电阻R （指A 、B 两节点间的电阻）上的电流为I/4，方向由A 指向B ．同理，再设一电流I 从无穷远处流处，从节点B 流出．由于网络无穷大，B 也是网络的对称点，因此在电阻R 上分得的电流也为I/4，方向也是由A 指向B ．将上述两种情况叠加，其结果将等效为一个从节点A 流入网络，又从节点B 流出网络的稳恒电流I ，在无穷远处既不流入也不流出．每个支路上的电流也是上述两种情况下各支路电流的叠加．因此，R 电阻上的电流为I/2．所以A 、B 两节点间的电势差为：【例题8】对图示无限网络，求A 、B 两点间的电阻R AB。
【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。
所有六边形每边的电阻为0R ，求：（1）结点a 、b 间的电阻。
（2）如果有电流I 由a 点流入网络，由g 点流出网络，那么流过de段电阻的电流 I de 为多大。
解： （1）设有电流I 自a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有3/I电流由a 流向c ，有6/I 电流由c 流向b 。
再假设有电流I由四面八方汇集b 点流出，那么必有6/I 电流由a 流向c ，有3/I 电流由c 流向b 。
将以上两种情况综合，即有电流I 由a 点流入，自b 点流出，由电流叠加原理可知263I I I I ac =+=（由a 流向c ）263I I I I cb =+=（由c 流向b ）因此，a 、b 两点间等效电阻000R IR I R I I U R cb ac AB AB =+==（2）假如有电流I 从a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设AI I I I ===741B I I I I I I I ======986532应该有I I I A =+B 63因为b 、d 两点关于a 点对称，所以A be deI I I 21=='同理，假如有电流I 从四面八方汇集到g 点流出，应该有BdeII =''最后，根据电流的叠加原理可知()I I I I I I I I B A B A de dede 61636121=+=+=''+'=⑷三维无限网络【例题10】假设如图有一个无限大NaCl 晶格，每一个键电阻为r ，求相邻两个Na 和Cl 原子间的电阻。
【例题11】在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求A、B两点间的等效电阻R AB。
当A、B两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C、D、E…各点的电势是彼此相等的，电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。
这里取后一中思想，将CD间的导体、DE间的导体…取走后，电路可以等效为图8-13乙所示的二维。