高中数学第一章推理与证明3反证法例题与探究北师大版选修2_2

高中数学第一章推理与证明 3 反证法例题与探究北师大版选修
2-2
高手支招3综合探究
1.用反证法证明问题的本质
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.
也就是说,反证法是由证明p⇒q转向证明:⌝q⇒r⇒…⇒t,t与假设或与某个真命题矛盾,
⌝q为假,推出q为真的方法.
从逻辑角度看,命题“若p则q”的否定是“若p则⌝q”由此进行推理,如果发生矛盾,那么“若p则⌝q”为假,因此可知“若p则q”为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.
2.在证明的过程中如何反设
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.
反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下:
(1)等于——不等于;
(2)大于——小于等于;
(3)小于——大于等于;
(4)对所有x成立——存在某个x不成立;
(5)至少有一个——一个也没有;
(6)至多一个——至少两个;
(7)至少n个——至多n-1个;
(8)至多n个——至少n+1个;
(9)p或q——⌝p且⌝q;
(10)p且q——⌝p或⌝q.
高手支招4典例精析
【例1】证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知,如图，在⊙O中弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径.
求证:弦AB、CD不被P平分.
思路分析：利用反证法和圆的性质易证.
证明：如下图.假设弦AB、CD被P平分,由于P点一定不是圆心O,连结OP,据垂径定理的推论,有OP⊥AB,OP⊥CD.
即过点P有两条直线与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.
所以,弦AB、CD不被P平分.
【例2】如果a ＞b ＞0,那么a ＞b .
思路分析：由于正面论证不容易,故采用反证法.反证法证明过程中必须对结论的反面的各种情况一一加以否定,才能证明原命题的正确性.本题的a ＞b 的反面有a =b ,a ＜b 两种情况.
证明：假设a ＞b 不成立,则a ≤b . 若a =b ,则a=b,与已知a ＞b 矛盾, 若a ＜b ,则a ＜b,与已知a ＞b 矛盾,
故假设不成立,结论a ＞b 成立.
【例3】如果一个整数n 的平方是偶数,那么这个整数n 本身也是偶数,试证之.
思路分析：由“整数n 的平方是偶数”这个条件,很难直接证明“这个整数n 本身也是偶数”这个结论成立,因此考虑用反证法证明.
证明：假设整数n 不是偶数,那么n 可写成:n ＝2k ＋1(k∈Z ),
则n 2＝(2k ＋1)2＝4k 2＋4k ＋1＝2(2k 2＋2k)＋1.
∵k∈Z ,∴2k 2＋2k∈Z ,则2(2k 2＋2k)为偶数.
那么2(2k 2＋2k)＋1为奇数.∴n 2为奇数.
但这与已知条件矛盾.则假设不成立,故n 是偶数.
【例4】给定实数a,a≠0且a≠1,设函数f(x)=1
1--ax x (x∈R ,x≠a 1). 求证:经过函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x 轴.
思路分析：根据反证法和函数的性质易得.
证明：假设命题不成立,即经过函数图像上任意两个不同点的直线平行于x 轴,则存在x 1≠x 2,使得f(x 1)=f(x 2),由f(x 1)=f(x 2)知1
11122
11--=--ax x ax x ,化简得ax 1-ax 2-x 1+x 2=0, 即(a-1)(x 1-x 2)=0,由x 1≠x 2知x 1-x 2≠0,所以a-1=0,a=1与已知矛盾,所以假设不成立,原命题成立.
【例5】已知0＜a 、b 、c ＜1.求证：（1-a ）b 、（1-b ）c 、（1-c ）a 不可能都大于
41. 思路分析：显然本题从正面不易证明,故采用反证法来证. 证法一：假设三式同时大于41,即有b-ab ＞41,c-bc ＞41,a-ac ＞4
1. 三式同向相乘,得:(1-a)a(1-b)b(1-c)c ＞.
而(1-a)a≤=+-2
)1(2a a 41,同理:(1-b)b≤41,(1-c)c≤41. ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤
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1.因此与假设矛盾,故结论正确. 证法二：假设三式同时大于41,∵0＜a ＜1,∴1-a ＞0. 2)1(b a +-≥b a )1(-＞41=2
1,同理:2)1(,2)1(a c c b +-+-都大于21, 三式相加得23＞2
3,矛盾.∴原命题成立. 【例6】(2007河南郑州模拟)求证:抛物线上任意取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.
思路分析：结论为“否定性”的命题,宜用反证法.
证明：如图,设抛物线方程为y 2=ax(a ＞0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4)是抛物线上
的不同四点,则有2
i y =ax i ,x i =a y i 2(i=1,2,3,4),于是,k AB =122122121212y y a a
y a y y y x x y y +=--=--
.
同理,k BC =32y y a +,k CD =3
4y y a +,k DA =41y y a +. 假定ABCD 是平行四边形,则k AB =k CD ,k BC =k DA ,从而得y 1=y 3,y 2=y 4,进而得x 1=x 3,x 2=x 4,于是A,C 重合,B,D 重合,这与A 、B 、C 、D 是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.
故ABCD 不可能是平行四边形.
【例7】 (2007江西高考，理16)设有一组圆C k :(x-k+1)2+(y-3k)2=2k 4(k∈N *).下列四个命
题:
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是_____________.(写出所有真命题的代号)
思路分析：（1）判断A 是否正确用反证法:因为C k ：(x-k+1)2+(y-3k)2=2k 4(k∈N *)表示以
（k-1,3k ）为圆心，以2k 2为半径的一组圆，假若存在一条直线Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)与所有的圆均相切，则必有22|
3)1(|B A C Bk k A +++-=2k 2对于任意k∈N *恒成立，即
)(222B A + k 2-A(k-1)-3Bk-C=0恒成立，或)(222B A +k 2+A(k-1)+3Bk+C=0恒成立，
这是不可能的，故A不正确.
（2）存在直线y=3(x+1)过所有圆的圆心.
（3）由于半径2k2随着k的无限增大而增大，故不存在这样的直线与所有的圆均不相交. （4）由于将x=0,y=0代入方程中得不到恒等式，故所有的圆不经过原点是正确的.
答案：BD
高手支招5思考发现
1.有些证明题,从正面证明如果说不清楚,或当直接证明有困难时可以考虑反证法.
2.凡涉及证明为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时,可考虑使用反证法.反证法特别适用于至少或至多型的数学问题.
3.利用反证法证明时,关键是从假设结论的反面出发,经过推理论证,得出可能与命题的条件,或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论,这是由假设所引起的,因此假设是不正确的,从而肯定了命题结论的正确性.。