甘肃省秦安县西川中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题 Word版含答案
2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题(含答案)
2013-2014学年高二下学期期中考试数学理试题说明: 1.本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共150分。
2.将第I 卷选择题答案代号用2B 铅笔填在答题卡上，第II 卷的答案或解答过程写在答题卷指定位置3.考试结束，只交答题卷。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.1.复数 231iz i-=+ 对应的点位于 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 曲线2212-=x y 在点)23,1(-处的切线的倾斜角为（ ） A.2πB.4πC.54π D. 4π- 3. 函数 31()13f x x ax =++ 在 (,1)-∞- 上为增函数，在 (1,1)- 为减函数，则 (1)f 的值为（ ） A. 13 B. C. 73D. 1-4. 函数xxy ln = 的最大值为 （ ）A. 1e -B. eC. 2eD. 1035. 计算11(2)x x e dx -+⎰等于 ( )A. 1e e -B. 1e e + C. 0 D. 2e 6．曲线2y x =与3y x =围成的图形的面积为 ( )A ．16 B. 13 C. 112 D. 7127．观察下列各式：567853125,515625,578125,5390625==== 得到20115的末位四位数字为 ( )A. 3125B. 5625C. 0625D. 8125 8. 若三角形的一边长为 a ，这条边上的高为 h ，则12S ah ∆= 类比三角形有扇形弧长为，半径为 r ，则面积=S 扇 ( ) A.221r B. 221l C. lr 21D. 以上都不对9.已知a , b 是不相等的正数，设x =，y = ( ) A. y x > B. x y > C. y x 2> D. 不确定10. 5 位志愿者和他们帮助2位老人排成一排照相，要求这2位老人相邻，但不排在两端，则不同排法有( )种A. 1440B. 960C. 720D. 480 11.甲乙两人从 4 门课程中选修 2 门，则甲乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ( )种A. 6B. 12C. 30D. 3612. 用数学归纳法证明公式*()(1)(2)()()f n n n n n n N =+++∈ 时，从 ""n k = 到"1"n k =+ 时，等式左边(1)f k +可写成()f k 再乘以式子 ( ) A. 21k + B. 22k +C. (21)(22)k k ++D. (21)(22)1k k k +++第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（5分×4=20分）13. 若二项式 9()ax x- 展开式中 3x 系数为84-, 则 a = .14. 5 名同学去听 3 个课外讲座，且每个学生只能选一个讲座，不同的选法有 种． 15. 若124adx x=⎰，则 a =_____16. 若函数()3axf x e x =+有大于零的极值点，则 a 的取值范围是_____三、解答题17.（本小题满分10分）已知 c bx ax x f ++=2)( 且(1)2,f -=(0)f '=0,1()2f x dx =-⎰, 求,,a b c 的值.18.（本小题满分12分）现有 7 名男生，5 名女生中（1）选出5人，其中A, B 两名学生必须当选，有多少种不同的选法？ （2）选出5人，其中A, B 两名学生都不当选，有多少种不同的选法？ （3）选出5人，其中至少有两名女生当选，有多少种不同的选法？（4）选出5人，分别去担任语、数、外、理、化五科科代表，但语文科代表由男生担任，外语科代表由女生担任，有多少种不同的选派方法？19.（本小题满分12分）已知函数 32()33f x x ax bx =-+ 与直线0112=-+y x 相切于点(1, -11)（Ⅰ）求 b a , 的值；（Ⅱ）讨论函数 ()f x 的单调性.20.（本小题满分12分）已知函数 21()ln 2f x x x =+ （Ⅰ）求函数 ()f x 在区间[1,]e 上的最大值及最小值；（Ⅱ）求证：在区间 (1,)+∞ 上()f x 的图像在函数32()3g x x =的图像的下方.21（本小题满分12分） 已知函数)10(ln 1)(≠>=x x xx x f 且 （Ⅰ）求函数 ()f x 的单调区间；（Ⅱ）对于(0,1)x ∀∈ 都有12axx >，求a 的取值范围.22（本小题满分12分）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f（Ⅰ）若()xf x '21x ax ≤++， 求 a 的取值范围. （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥.高二理数参考答案一、选择题二、填空题三、解答题18.（1）310120C=…………………………………………………………………..3分（2）510252C=……………………………………………………………………6分（3）551412757596C C C C--=或23324155757575596C C C C C C C+++=…………9分（4）113751025200C C A=…………………………………………………………..12分20. 1）由已知1()[1,]()0f x x x e f x x'=+∈>()f x 在[1,]e 上递增…………………………………………………………….3分21=()1(1)22e yf e y f ∴=+==最大最小…………………………………………5分 2）构造函数2312()()()ln 23F x f x g x x x =-=+- 221(1)(21)()2x x x F x x x x x -++'=+-=…………………………………………..8分 (1,)()0x F x '∈+∞∴<()F x 在(1,)+∞递减，且1(1)06F =-<所以在(1,)+∞上，()(1)0F x F <<………………………………………………..10分 所以()()f x g x <，即()f x 图像在()g x 图像下方…………………………………12分22. 1）解：11()ln 1ln x f x x x x x+'=+-=+ 由()ln 1xf x x x '=+又由2()1xf x x ax '≤++ 得ln a x x ≥-………………………………….2分 令()ln g x x x =- 则 1(1)(1)()x x g x x x x-+-'=-=……………………………………………..3分 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<1x ∴= 是最大值点………………………………………………………….4分 a 的范围是[1,)-+∞…………………………………………………………6分。
甘肃省天水市秦安二中高二数学下学期第一次月考试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
甘肃省天水市秦安二中2014-20 15学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共40分1．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题P：∃α∈R，sin（π﹣α）=cosα；命题q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．P是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题3．“a=1”是“直线x+2y=0与直线x+（a2+1）y+a+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．曲线5x2﹣ky2=5的焦距为4，那么k的值为（）A．B．C．或﹣1 D．或﹣5．已知B（﹣5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且sinB﹣sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程为（）A．=1（x＜﹣3）B．=1（x≤﹣3）C．=1 D．=1（x＞3）6．已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣87．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种8．若S1=x2dx，S2=dx，S3=e x dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S19．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．21010．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有（）A．78种B．72种C．120种D．96种11．已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=012．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，{F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）共20分．13．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）14．已知函数f（x）=3x2+2x+1，若（a＞0）成立，则a=．15．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．16．设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．18．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．19．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．20．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2．（1）求双曲线的方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．21．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．22．在平面直角坐标系中，若=（x﹣，y），=（x+，y），且||+||=4，（I）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知定点P（t，0）（t＞0），若斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A，B，且对于轨迹C上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得=cosθ•+sinθ成立，试求出满足条件的实数t的值．甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共40分1．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．2．命题P：∃α∈R，sin（π﹣α）=cosα；命题q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．P是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题考点：特称命题；全称命题．专题：计算题．分析：由于可判断命题p为真命题，而命题q为真命题，再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．解答：解：当时，Rsin（π﹣α）=cosα，故命题p为真命题，∵双曲线﹣=1中a=b=|m|=m，∴c==m∴e==，故命题q为真命题．∴￢p为假命题，￢q是假命题，p∨q是真命题；故选D．点评：本题主要考查了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断，属于基础试题．3．“a=1”是“直线x+2y=0与直线x+（a2+1）y+a+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当a=1时，两直线方程分别为x+2y=0与直线x+2y+2=0满足，两直线平行，充分性成立．若直线x+2y=0与直线x+（a2+1）y+a+1=0平行，则a2+1=2且a+1≠0，解得a=±1且a≠﹣1，即a=1，∴“a=1”是“直线x+2y=0与直线x+（a2+1）y+a+1=0平行”的充要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．曲线5x2﹣ky2=5的焦距为4，那么k的值为（）A．B．C．或﹣1 D．或﹣考点：椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先把曲线5x2﹣ky2=5化为标准形式，分曲线5x2﹣ky2=5是椭圆和曲线5x2﹣ky2=5是双曲线两种情况进行分类讨论，能求出k的值．解答：解：曲线5x2﹣ky2=5化为标准形式，得，∵曲线5x2﹣ky2=5的焦距为4，∴当曲线5x2﹣ky2=5是椭圆时，=2，解得k=﹣1；当曲线5x2﹣ky2=5是双曲线时，=2，解得k=．∴k的值为或﹣1．故选：C．点评：本题考查实数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．5．已知B（﹣5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且sinB﹣sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程为（）A．=1（x＜﹣3）B．=1（x≤﹣3）C．=1 D．=1（x＞3）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由正弦定理，得|AC|﹣|AB|=6＜10=|BC|，点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线右支，结合双曲线的标准方程用待定系数法，即可求出顶点A的轨迹方程．解答：解：∵sinB﹣sinC=sinA，∴由正弦定理，得|AC|﹣|BC|=a（定值），∵双曲线的焦距2c=10，|AC|﹣|BC|=a=6，即|AC|﹣|AB|=6＜10=|BC|，可得A的轨迹是以BC为焦点的双曲线左支b2=c2﹣a2=16，可得双曲线的方程为=1（x＜﹣3）∴顶点A的轨迹方程为=1（x＜﹣3）故选：A．点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，正弦定理的应用，判断点A的轨迹是以B、C 为焦点的双曲线一支，是解题的关键．6．已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣8考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：首先可求出P（4，8），Q（﹣2，2），然后根据导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率K AP，K AQ，再根据点斜式写出切线方程，然后联立方程即可求出点A的纵坐标．解答：解：∵P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，∴P（4，8），Q（﹣2，2），∵x2=2y，∴y=，∴y′=x，∴切线方程AP，AQ的斜率K AP=4，K AQ=﹣2，∴切线方程AP为y﹣8=4（x﹣4），即y=4x﹣8，切线方程AQ的为y﹣2=﹣2（x+2），即y=﹣2x﹣2，令，∴，∴点A的纵坐标为﹣4．故选：C．点评：本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程，属常考题，较难．解题的关键是利用导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率K AP，K AQ．7．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．解答：解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．点评：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．8．若S1=x2dx，S2=dx，S3=e x dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及应用．分析：先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．解答：解：由于S1=x2dx=|=，S2=dx=lnx|=ln2，S3=e x dx=e x|=e2﹣e．且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3．故选：B．点评：本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．解答：解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．10．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有（）A．78种B．72种C．120种D．96种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，需要分类，快车A停在第1道上和快车A不停在第1道上，根据分类计数原理可得．解答：解：若快车A停在第1道上，其它4列任意停，故有A44=24种，若快车A不停在第1道上，则快车A有3种停法，货车B也有3种停法，其它3列任意停，故有3×3×A33=54种，根据分类计数原理，共有24+54=78种，故选：A．点评：本题考查了分类计数原理，特殊元素特殊安排原则，属于中档题．11．已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．解答：解：∵f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f′（1+x）=﹣2f′（1﹣x）﹣2x+3∴f′（1）=﹣2f′（1）+3∴f′（1）=1f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f（1）=2f（1）+1∴f（1）=﹣1∴切线方程为：y+1=x﹣1即x﹣y﹣2=0故选A点评：本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程．12．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：压轴题；导数的概念及应用．分析：根据选项令f（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f′（x）＞f（x），可以证明f（x）为增函数，可以推出f（a）＞f（0），在对选项进行判断；解答：解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，∴可以令f（x）=，∴f′（x）==，∵f′（x）＞f（x），e x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）为增函数，∵正数a＞0，∴f（a）＞f（0），∴＞=f（0），∴f（a）＞e a f（0），故选B．点评：此题主要考查利用导数研究函数单调性，此题要根据已知选项令特殊函数，是一道好题；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，{F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）共20分．13．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：算法和程序框图．分析：本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：14点评：本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．14．已知函数f（x）=3x2+2x+1，若（a＞0）成立，则a=．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：先求出f（x）在[﹣1，1]上的定积分，再建立等量关系，求出参数a即可．解答：解：由∫﹣11f（x）dx=∫﹣11（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|﹣11=4=2f（a），得f（a）=3a2+2a+1=2，解得a=﹣1或．∵a＞0．∴a=故答案为：．点评：本题主要考查了微积分基本定理、定积分的运算，属于基础题．15．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．考点：二项式系数的性质；基本不等式．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．解答：解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以T r+1==，令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．点评：本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．16．设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为[0°，90°]∪[120°，180°）．考点：简单复合函数的导数；直线的倾斜角．分析：先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．解答：解：设点P是曲线上的任意一点，∵∴y'=3x2﹣∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣∴k∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°）故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°）点评：本题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；复合命题的真假．专题：不等式的解法及应用．分析：利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出p，再利用不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R与判别式的关系即可得出q；由p或q为真，p且q为假，可得p与q为一真一假，进而得出答案．解答：解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴，∴m＞2或m＜﹣2又∵不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，∴，∴1＜m＜3∵p或q为真，p且q为假，∴p与q为一真一假，（1）当p为真q为假时，，解得m＜﹣2或m≥3．（2）当p为假q为真时，综上所述得：m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．点评：熟练掌握“三个二次”与判别式的关系及其“或”“且”命题的真假的判定是解题的关键．18．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．解答：解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=﹣2，显然x=﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6=0或x=﹣2为所求l方程．点评：本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；综合题；数形结合；转化思想．分析：根据双曲线和其渐近线之间的关系，设出双曲线的方程，根据点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为，转化为双曲线与半径为的圆A相切，联立消去y得，利用△=0即可求得双曲线的方程．解答：解：由渐近线方程为x±2y=0，设双曲线方程为x2﹣4y2=m，∵点A（5，0）到双曲线上动点P的距离的最小值为，说明双曲线与半径为的圆A相切，∵圆A方程为（x﹣5）2+y2=6，与x2﹣4y2=m联立消去y得：4（x﹣5）2+x2=24+m 化简得到：5x2﹣40x+76﹣m=0，△=402﹣4×5×（76﹣m）=0，解得m=﹣4 所以满足条件的双曲线方程为x2﹣4y2=﹣4，即y2﹣=1．或者双曲线的顶点在（5+，0）渐近线为x±2y=0，双曲线方程为：．所以所求双曲线方程为：y2﹣=1，．点评：考查双曲线的简单的几何性质，特别是双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，已知双曲线的方程求其渐近线方程时，令即可，反之，如此题设双曲线方程为x2﹣4y2=m，避免了讨论，条件（2）的设置增加了题目的难度，体现了转化的思想，属中档题．20．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2．（1）求双曲线的方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2，求出几何量，即可求出双曲线的标准方程；（2）由直线l与双曲线交于不同的两点得k2≠且k2＜1，再由∠AOB为锐角，得x A x B+y A y B＞0，利用韦达定理结合题设条件进行求解．解答：解：（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2，∴，∴双曲线的方程为；（2）将y=kx+代入双曲线消去y得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0．由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2≠且k2＜1．①设A（x A，y A），B（x B，y B），则x A+x B=，x A x B=．由∠AOB为锐角，得x A x B+y A y B＞0，即x A x B+y A y B=x A x B+（kx A+）（kx B+）=（k2+1）x A x B+k（x A+x B）+2=＞0．②，∴综上：点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．22．在平面直角坐标系中，若=（x﹣，y），=（x+，y），且||+||=4，（I）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知定点P（t，0）（t＞0），若斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A，B，且对于轨迹C上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得=cosθ•+sinθ成立，试求出满足条件的实数t的值．考点：轨迹方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）||+||=4符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程即可；（Ⅱ）用参数确定M的坐标，代入椭圆方程，可得x1x2+4y1y2=0，利用韦达定理，即可求出满足条件的实数t的值．解答：解：（I）∵，且，∴动点Q（x，y）到两个定点的距离的和为4，∴轨迹C是以为焦点的椭圆，方程为（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x﹣t，代入，消去y得 5x2﹣8tx+4t2﹣4=0，由△＞0得 t2＜5，且，∴y1y2=（x1﹣t）（x2﹣t）=设点M（x，y），由可得∵点M（x，y）在C上，∴==4（cos2θ+sin2θ）+2sinθcosθ（x1x2+4y1y2）=4+2sinθcosθ（x1x2+4y1y2）∴2sinθcosθ（x1x2+4y1y2）=0，又因为θ∈[0，2π]的任意性，∴x1x2+4y1y2=0，∴，又t＞0，得t=，代入t=检验，满足条件，故t的值是．点评：定义法是求圆锥曲线中轨迹方程的重要方法，直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理是我们常用的方法．。
2013-2014学年度高二级第二学期期中段考试题(文数、含答案)
2013-2014学年度高二第二学期数学（文）期中考试卷（本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
）参考公式：锥体的体积公式：1=3V Sh ，其中S 是底面面积，h 是高。
n 个数据123,,,,n x x x x 的平均数是x ，这组数据的方差2s 由以下公式计算：222221231[()()()()].n s x x x x x x x x n=-+-+-++-一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{0，1，2，3}，集合B ＝{x|0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0，1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{0，1，2，3}2.设i 是虚数单位，则复数z ＝（2－i ）－i 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列函数中，为奇函数的是（ ）A ．122x x y =+ B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4、用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图1所示的几何体，则它的俯视图是（ ）5. 在区间[]0,2之间随机抽取一个数x ,则x 满足210x -≥的概率为（ ）A ．34. B ．12 C.14 D.136. 阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57．已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于（ ）A. 35B. 45C. 54D. 34C8．实数x ，y 满足10301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．0D ．－18．9.在△ABC 中，AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC =（ ）A ．6π B ． 3π C ． 23π D ． 56π10. 已知向量AB 与AC 的夹角为0120,且2,3AB AC ==,若+=λ,且,⊥,则实数λ的值为（ ）A ．73 B ．13 C ．6 D ．712 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若231,2a a ==，则4S ＝ 12．不等式122x>的解集是 ． 13．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，给定下列结论：①y 与x 具有正的线性相关关系； ②回归直线过样本点的中心（x ，y ）；③若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；④若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg.其中正确的结论是 . 14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆θρsin 4=的圆心到直线)(3R ∈=θπθ 的距离是 .15. （几何证明选讲选做题）如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使CD BC =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若8=AB ,4=DC 则DE =_________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin(),(0,0,(0,))2f x A x A πωϕωϕ=+>>∈．的部分图象如图所示，其中点P 是图象的一个最高点。
1314学年下学期高二期中考试数学(理)(附答案)
江苏省邗江中学(集团)2013-2014学年度第二学期高二数学(理科)期中试卷第Ⅰ卷一､填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1.复数322ii+的虚部为______. 2.用反证法证明:“b a >”,应假设为 ▲ .3.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x ,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,则这组数据的方差为 ▲ .4.某校有教师200人,男生1200人,女生1000人,现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知女生抽取的人数是80人,则n = ▲ .5.下面是一个算法的伪代码.如果输出的y 的值是10,则输入的x 的值是 ▲ .6.如图是从甲､乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图,从图中看,平均成绩较高的是 ▲ 班.8.若直线b x y +-=与函数xy 1-=图象的切线垂直且过切点,则实数=b ▲ . 9.若(x +3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a +b )10的展开式中二项式系数的和,则n 的值为________.10.如图,正方体1111D C B A ABCD -,点M 是1AA 的中点,点O 是底面ABCD 的中心,P 是11B C 上的任意一点,则直线BM 与OP 所成的角大小为 ▲ .11.在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =1,BC =2.在BC 边上任取一点M ,则∠AMB ≥90°的概率为 ▲ .12.命题“∃(12)x ∈，时,满足不等式240x mx ++≥”是假命题,则m 的取值范围 ▲ . 13.过原点向曲线a x x y ++=232可作三条切线,则实数a 的取值范围是 ▲ .14.如图,用一块形状为半椭圆1422=+y x )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ,记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ,则1S的最小值是 ▲ .二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 15.(本题满分14分)设p :方程221122x y m m +=-+表示双曲线; q :函数324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个.求使“p q ∧”为真命题的实数m 的取值范围.17.(本题满分14分)甲､乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为32,乙每次击中目标的概率为21｡记甲击中目标的次数为ξ ,乙每次击中目标的概率为η｡ (1)､求ξ的概率分布｡ (2)､求ξ和η的数学期望｡18. (本题满分16分)如图,四棱锥S A B C D -的底面是矩形,SA ⊥底面A B C D ,1AB SA ==,2AD =,且P 为BC 的中点.(1)求异面直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值; (2)求二面角C SD P --的余弦值.CDABSP19. (本题满分16分)某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为x 亿元,其中用于风景区改造为y 亿元｡该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境总费用至少a 亿元,至多b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%｡(1)若2a =, 2.5b =,请你分析能否采用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案;(2)若a ､b 取正整数,且a <b ,并用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案,请你求出a ､b 的取值.20. (本题满分16分) 已知函数xe xf =)(,R x ∈(1)求函数x x f x g -=)()(的极值;(2)若R x ∈时,1)(+≥ax x f 恒成立,求实数a 的值;(3)当1>a 时,求证:1)()(--=ax x f x F 在区间)ln 2,(ln a a 上有且仅有一个零点｡2013-2014学年第二学期高二数学期中试卷(理科)参考答案及评分标准二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 15.(本题满分14分)设p :方程221122x y m m +=-+表示双曲线; q :函数324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个.求使“p q ∧”为真命题的实数m 的取值范围.解:命题P:∵方程221122x y m m +=-+表示双曲线,∴(12)(2)0m m -+<, 即2m <-或12m >｡ ………………5分 命题q:∵函数324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个,∴24()3203g x x mx m '=+++=有两个不同的解1212,()x x x x <,即△>0｡ 由△>0,得m <-1或m >4｡ ………………10分 又由题意知“p 且q ”为真命题,则p,q 都是真命题,∴12,24214m m m m m m ⎧<->⎪<->⎨⎪<->⎩或解得或或.m ∴的取值范围为(,2)(4,)-∞-+∞ . ………………14分16.(本题满分14分)一只袋中装有2个白球､3个红球,这些球除颜色外都相同｡ (Ⅰ)从袋中任意摸出1个球,求摸到的球是白球的概率; (Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,求摸出的两个球都是白球的概率; (Ⅲ)从袋中任意摸出2个球,求摸出的两个球颜色不同的概率｡解:(Ⅰ)从5个球中摸出1个球,共有5种结果,其中是白球的有2种,所以从袋中任意摸出1个球,摸到白球的概率为52………………4分17.(本题满分14分)甲､乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为32,乙每次击中目标的概率为21｡记甲击中目标的次数为ξ ,乙每次击中目标的概率为η｡ (1)､求ξ的概率分布｡ (2)､求ξ和η的数学期望｡ 解､(1)(6分)(2)､E(ξ)=3×2/3=2 (10分) E(η)=3×1/2=3/2 (14分) 18. (本题满分16分)如图,四棱锥S A B C D -的底面是矩形,SA ⊥底面A B C D ,1AB SA ==,2AD =,且P 为BC 的中点.(1)求异面直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值;CDABSP(2)求二面角C SD P --的余弦值.解:因为SA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是矩形,所以,,AB AD AS 两两垂直, 以,,AB AD AS 所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系,则各点坐标如下:(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0)A B C D S P ……………2分(1)(1,1,0)AP = ,(1,1,0)PD =- ,(0,2,1)SD =-,设平面SPD 的一个法向量为1(1,,)n y z = ,由110,0n PD n SD ⋅=⋅=可得1,2y z ==, 平面SPD 的一个法向量为1(1,1,2)n =, ……………6分所以1cos ,n AP <>=, ……………8分则直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值等于1cos ,n AP <> ;……………10分(2)(1,0,0)DC = ,(0,2,1)SD =-,设平面SPD 的一个法向量为2(,,2)n x y = , 由220,0n DC n SD ⋅=⋅=可得0,1x y ==,平面SPD 的一个法向量为2(0,1,2)n = ,由(1)可知,平面SPD 的一个法向量为1(1,1,2)n =, ……………12分所以12cos ,n n <>==……………14分 由图可知,二面角C SD P --为锐二面角,因此二面角C SD P --…………………16分19. (本题满分16分)某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为x 亿元,其中用于风景区改造为y 亿元｡该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境总费用至少a 亿元,至多b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%｡(1)若2a =, 2.5b =,请你分析能否采用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案;(2)若a ､b 取正整数,且a <b ,并用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案,请你求出a ､b 的取值. 解:(1)∵21'(34)0100y x =+>, ∴函数y =31(416)100x x ++是增函数,满足条件①｡ ………………3分 设2116()(4)100y g x x x x==++, 则222116(2)(24)'()(2)10050x x x g x x x x-++=-=, 令'()0g x =,得2x =｡ ………………5分 当2x <时,'()0g x <,()g x 在(,2)-∞上是减函数; 当2x >时,'()0g x >,()g x 在(2,)+∞上是增函数,又2a =, 2.5b =,即[2,2.5]x ∈,()g x 在[2,2.5]上是增函数, ∴当2x =时,()g x 有最小值0.16=16%>15%, 当 2.5x =时,()g x 有最大值0.1665=16.65%<22%, ∴能采用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案｡…………8分 (2)由(1)知2116()(4)100y g x x x x==++, 依题意,当[,]x a b ∈,a ､*b N ∈时,15%()22%g x ≤≤恒成立;…………10分 下面求21615422x x≤++≤的正整数解｡令216()4h x x x=++, 由(1)知*x N ∈,()h x 在(,2)-∞上是减函数,在(2,)+∞上是增函数, 又由(1)知,在0x >时,min ()(2)g x g =,且(2)g =16%∈[15%,22%],2x ∴=合条件,经枚举(1)g ,(3)g ∈[15%,22%],而(4)g ∉[15%,22%],可得1x =或2x =或3x =, ……………………14分由()g x 单调性知1,2a b ==或1,3a b ==或2,3a b ==均合题意｡ …………16分(3)当1>a 时,求证:1)()(--=ax x f x F 在区间)ln 2,(ln a a 上有且仅有一个零点｡ 解:(1)∵x e x x f x g x -=-=)()( ∴1)(/-=x e x g 令01)(/=-=x e x g 得:0=x当0<x 时,01)(/<-=xe x g ,函数)(x g y =在)0,(∞－上为减函数; 当0>x 时,01)(/>-=xe x g ,函数)(x g y =在),0(+∞上为增函数;∴当0=x 时,函数)(x g y =有极小值,极小值为:1)0(=g ;无极大值………………3分 (2)方法一:由题意可得:1+≥ax e x恒成立;①当0=x 时,不等式1+≥ax e x显然成立,这时R a ∈; ……………4分②当0>x 时,不等式1+≥ax e x恒成立即:xe a x 1-≤恒成立;由(1)可得:当当0>x 时,1111>-⇒>-⇒>-xe x e x e x xx∴1≤a ………5分 ③当0<x 时,不等式1+≥ax e x恒成立即:xe a x 1-≥恒成立;由(1)可得:当当0<x 时,1111<-⇒>-⇒>-x e x e x e x xx ∴1≥a ………7分 综上可得:1=a ……………8分(2)方法二:由题意可得:1+≥ax e x 恒成立;即:01≥--ax e x 恒成立｡令1)(--=ax e x h x 由题意可得:0)(min ≥x h ……………4分 a e x h x -=)(/① 当0≤a 时,0)(/≥-=a e x h x ,)(x h 在),(+∞-∞上为增函数,注意到0)0(=h ,当0<x 时,0)x (<h ,不合题意; ……………5分 ②当0>a 时,令0)(/=-=a e x h x ,得a x ln =,当a x ln <时,0)(/<x h ,函数)(x h y =在)ln ,(a ∞－上为减函数;当a x ln >时,0)(/>x h ,函数)(x h y =在),(ln +∞a 上为增函数;∴当且仅当1=a 时,0ln =-a a a ,这时,1)(+≥ax x f 恒成立｡ ……………8分(3)11)()(--=--=ax e ax x f x F x ,a e x F x-=)(/,令0)(/=-=a e x F x ,得a x ln =,当a x ln <时,0)(/<x F ,函数)(x F y =在)ln ,(a ∞－上为减函数;当a x ln >时,0)(/>x F ,函数)(x F y =在),(ln +∞a 上为增函数; ∵0ln ,1>>a a ∴0)0()(ln =<F a F ……………11分下证:01ln 2)ln 2(2>--=a a a a F :令1ln 2)(P 2--=a a a a ,(1>a ))1ln (22ln 22)(/--=--=a a a a a P下面证明:当1>a 时,01ln >--a a方法一:由(1)可得:当0>x 时,1>-x e x 即:1+>x e x ,两边取对数得:)1ln(+>x x ,令11>+=x a 即得:a a ln 1>-,从而01ln >--a a ,0)1ln (22ln 22)(/>--=--=a a a a a P1ln 2)(P 2--=a a a a 在(1, ∞+)为增函数,0)1(1ln 2)(P 2=>--=P a a a a 即:01ln 2)ln 2(2>--=a a a a F ……………14分方法二:当1>a 时,令1ln )(Q --=a a a ,011)(Q />-=aa 1ln )(Q --=a a a 在(1, ∞+)为增函数,∴0)1(1ln )(Q =>--=Q a a a从而01ln >--a a ,0)1ln (22ln 22)(/>--=--=a a a a a P1ln 2)(P 2--=a a a a 在(1, ∞+)为增函数,0)1(1ln 2)(P 2=>--=P a a a a 即:01ln 2)ln 2(2>--=a a a a F ……………14分∵0)(ln <a F ,0)ln 2(>a F ,由零点存在定理,函数1)()(--=ax x f x F 在区间)ln 2,(ln a a 必存在一个零点 ……………15分 又∵函数)(x F y =在),(ln +∞a 上为增函数,∴1)()(--=ax x f x F 在区间)ln 2,(ln a a 上有且仅有一个零点｡ ……………16分 关于本题的几点说明:本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式､方程问题｡重点考查学生的代数推理论证能力,因此凡是用数形结合的方法解决第二问和第三问的,缺少严谨的推理证明,最多得分:第二问:2分､第三问:2分｡本题命题的出发点是利用导数研究曲线的切线问题:求xe y =在点(1,0)处的切线问题,第二问是换一个角度看切线,第三问的本质是将切线绕切点转动,很自然的产生了第三问的问题｡第三问还可改为:“当1>a 时,求证:函数1)()(--=ax xf x F 恒有两个不同的零点”,解题更具有探究的味道,解决问题的方法也更有多样性!如果将x e y =在点(1,0)处的切线1+=x y 关于直线y=x 对称,就得到x y ln =在点(0,1)处的切线本题,即为2013年江苏卷高考题的命题背景,也是解题过程中的子结论“01ln >--a a ”的背景｡。
2013-2014学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理乙)
2013—2014学年度第二学期南昌市高二年级期中考试理科数学（乙卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内） 1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则2．下面列举的图形一定是平面图形的是A ．有一个角是直角的四边形B ．有两个角是直角的四边形C ．有三个角是直角的四边形D ．有四个角是直角的四边形3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为A ．B ．12πC.9πD ．8π4．设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5．若直线l ∥平面α，直线l 的方向向量为s ，平面α的法向量为n ，则下列结论正确的是A ．s ＝(－1,0,2)，n ＝(1,0，－1)B ．s ＝(－1,0,1)，n ＝(1,2，－1)C ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(1,2，－1)D ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(－2,2,2)6．设m ，n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ；③若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是A ．①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④7．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为8．在正三棱柱ABC —A1B1C1中，AA1=AB ，则AC1与平面BB1C1C 所成的角的正弦值为A. 22B. 515C. 36D. 469．若{a ，b ，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是A ．a ，a ＋b ，a －bB ．b ，a ＋b ，a －bC ．a ＋b ，a －b ，a ＋2bD ．c ，a ＋b ，a －b 10．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B ．20π C ．24π D ．32πMPDCBA二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填空在答卷上） 11．设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a ⊥，则=xy .12．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）∠ABC=45°，AB=AD=1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为 ；13．已知PA 垂直矩形平面ABCD,AB=3,AD=4,PA=516,则P 到BD 的距离为______14．如图，在正三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为2，则异面直线BC1与A1C 所成的角是 .；15． αβ，是两个不同的平面，m n ，是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①α∥β；②m ∥α；③m ⊥n ；④n ⊥β．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ．（用序号及⇒表示）。
2013-2014学年第二学期高二期中考试数学(含答案)
2013-2014学年第二学期高二期中考试数 学 试 卷（理科）说明：本试卷满分120分，考试时间100分钟。
学生答题时不可使用计算器。
参考公式：柱体的体积公式 V Sh = (其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高) 锥体的体积公式 13V Sh = (其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高)台体的体积公式 ()1213V h S S =(其中12,S S 分别表示台体的上、 下底面积，h 表示台体的高)球的表面积公式 24S R π= 球的体积公式 343V R π=(其中R 表示球的半径) 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）．1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于 ( ）A ．DB B ．DAC ．ADD ．AC2.已知点P （-4，8，6），则点P 关于平面xoy 对称的点的坐标是（ ） A ．（-4，-8，6）B ．（-4，8，-6）C ．（4，-8，-6）D ．（4，-8，6）3.如图，一个水平放置的平面图的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均 为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )1.2.1.1.22A B C D +++4.已知m 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①,m αβα⊥⊂若则m β⊥； ②若,//,m ααβ⊂则//m β； ③若//,//,m m αβ则//αβ； ④若,m m αβ⊂⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题的序号是 （ ）A. ①③B. ②③C. ②④D.①④5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）6．下列正方体或正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )7.一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积比是3：2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为（ ）.1:1.1:.3:2A B C D8.已知在四面体ABC P -中，对棱相互垂直， 则点P 在ABC 平面上的射影为ABC ∆的（ ） A. 重心 B. 外心 C. 垂心 D.内心9．如图，三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）A ．4 B ．4 C ．4D ．3410.如图，设平面,,,ααβα⊥⊥=⋂CD AB EF 垂足分别是B 、D ，如果增加一个条件，就能推出EF BD ⊥，这个条件不可能．．．是下面四个选顶中的( ) A ．β⊥ACB ．EF AC ⊥C ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与,αβ所成的角都相等二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知空间两点(1,2,3),(2,1,1)A B -则,A B 两点间的距离为 ；12.已知一个边长为1的正方体的8个顶点都在同一球面上，则该球的直径为 ； 13．若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm 2；14．已知二面角α－l －β等于090，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，已知AB ＝5，AC ＝3，BD ＝4，则CD 与平面α所成角的正弦值为 ；15．如图是将边长为2，有一内角为60的菱形ABCD 沿较短．．对角线BD 折成四面体ABCD ，点E F 、 分别为AC BD 、的中点，则下列命题中正确的是 （将正确的命题序号全填上）． ①//EF AB ；②当二面角A BD C --的大小为060时，2AC =；③当四面体ABCD 的体积最大时，AC = ④AC 垂直于截面BDE数学试卷（理科）参考答案二、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）111213、2π1415、③④三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．16．(满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点D为AB的中点．(1)求证：11//AC CDB平面；(2)求证：111CDB ABB A⊥平面平面.证明：（1）连接11.C B CB O交于点1111111,,//,,//;6D O AB C BAC DOAC CDB DO CDBAC CDB∴⊄⊂∴----分别是的中点平面平面平面分.1111111(2),.12.AA ABCAA CDAC BC D ABCD ABCD ABB ACDB ABB A⊥∴⊥=∴⊥∴⊥∴⊥---底面为的中点平面平面平面分其它作法如面面平行到线面平行，面面垂直垂直到线面垂直，空间向量坐标法都可以。
甘肃省秦安县二中2013-2014学年高二下学期期末考试文科数学纯Word版含解析
第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合}12|{},31|{<<-=<<-=x x B x x M ，则=⋂B M ( ). A.(2,1)- B.(1,1)- C.(1,3) D.(2,3)- 【答案】B 【解析】 试题分析：因为}12|{},31|{<<-=<<-=x x B x x M ，所以{})1,1(11|-=<<-=x x B M .考点：集合间的运算.2．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 （ ）. A.不存在01,23≤+-∈x x R x B.存在01,23≥+-∈x x R x C.存在01,23>+-∈x x R x D.对任意的01,23>+-∈x x R x 【答案】C 【解析】试题分析：命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是“存在01,23>+-∈x x R x ”. 考点：全称命题的否定.3．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）.A.1-B.21C.2D.1 【答案】A 【解析】 试题分析：由程序框图得：⋅⋅⋅===-=-===-===;4,2;3,121;2,21211;1,2i a i a i a i a ，即输出的a 值具有周期性，最小正周期为3，且67132013⨯=,所以输出的值为1-. 考点：程序框图.4．如图在△ABC 中,MN ∥BC ,MC ,NB 交于点O ,则图中相似三角形的对数为( ).A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：BC MN // ,ACB ANM ABC AMN ∠=∠∠=∠,ABC AMN ∆∆∴~; 又COB MON OCB OMN ∠=∠∠=∠,,OCB OMN ∆∆∴~,故选B. 考点：相似三角形.5．经过点M (1,5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ).A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211B ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211【答案】D 【解析】试题分析：设动点),(y x P ，则t MP =；所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-3sin 53cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211.考点：直线的参数方程.6．圆的极坐标方程分别是θρcos 2=和θρsin 4=，两个圆的圆心距离是( ). A ．2 B． 5 D ． 5【答案】C 【解析】试题分析：圆θρcos 2=的普通方程为x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ；圆θρsin 4=的普通方程为y y x 422=+，即4)2(22=-+y x ；所以两圆的圆心距离为541=+=d .考点：圆的参数方程.7．函数46y x x =-+-的最小值为( )A ．2B ．4 D ．6 【答案】A 【解析】试题分析：2)6()4(64=---≥-+-x x x x ，2min =∴y . 考点：绝对值不等式. 8．下列四个不等式： ①12(0)x x x +≥≠；②(0)c c a b c a b <>>>；③(,,0)a m a a b m b m b+>>+， ④222()22a b a b ++≥恒成立的是( ). A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】试题分析：①当0>x 时，2121=⋅≥+xx x x ；当0<x 时，212)1(1-=-⋅--≤-+--=+xx x x x x ； ②0>>b a ，b a 11<∴，又0>c ，所以bca c <成立； ③)()(m b b a b m b a m b m a +-=-++，0,,>m b a ，0>+∴m b ，但a b -的符号不定，故③错误； ④24)(242)2(2222222b a b a ab b a b a +=+≤++=+；故选B. 考点：基本不等式、不等式的性质.9．若曲线02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)与曲线ρ=B ,C 两点，则||BC 的值为( ).A ．72 BC ．27D ．30 【答案】D【解析】试题分析：曲线02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩的普通方程为1=+y x，曲线ρ=的普通方程为822=+y x ；圆心到直线的距离2221=-=d ，则302182222=-=-=d r BC .考点：直线的参数、圆的极坐标方程.10．如图，过圆内接四边形ABCD 的顶点C 引圆的切线MN ，AB 为圆直径，若∠BCM =038，则∠ABC =( )A ．038 B ．052 C ．068 D ．042 【答案】B 【解析】试题分析：连接OC,则MN OC ⊥,038=∠BCM ,000523890=-=∠∴BCO ;在BOC ∆中，052,=∠=BCO OC OB ,052=∠=∠∴BCO ABC .考点:圆的切线.A第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11．已知直线112:2x tl y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）, 若12l l ⊥，则实数k = ．【答案】-1. 【解析】试题分析：直线112:2x t l y kt=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）的普通方程为042=--+k y kx ，即21kk -=；直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）的普通方程为012=-+y x ，即22-=k ；因为12l l ⊥，所以1)2(2-=-⋅-k，得1-=k . 考点：直线的参数方程、直线的垂直关系.12．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 . 【答案】31. 【解析】试题分析：事件“甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种”包含的基本事件有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）共9个；记“他们选择相同颜色运动服”为事件A,则事件A 包含的基本事件有（红，红），（白，白），（蓝，蓝）共3个；所以3193)(==A P . 考点：古典概型.13．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,)(311x x x e x f x ，则使得2)(≤x f 成立的x 的取值范围是 .【答案】(]8,∞-. 【解析】试题分析：2)(≤x f 811812ln 112121311≤≤<⇔⎩⎨⎧≤≥⎩⎨⎧+≤<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎩⎨⎧≤<⇔-x x x x x x x x e x x 或或或，即8≤x .考点：分段函数、解不等式.14．已知)3,1(,)2()(2-∈-=x x x f ，函数)1(+x f 的单调减区间为 . 【答案】)1,2(-. 【解析】试题分析：因为)3,1(,)2()(2-∈-=x x x f ，所以)3,1(1,)1()1(2-∈+-=+x x x f 且，即)2,2(,)1()1(2-∈-=+x x x f 且，则函数)1(+x f 的单调减区间为)1,2(-.考点：函数的单调区间. 15．函数1]3,0[142≠∈-+=x x x x y 且的值域为 . 【答案】(][)+∞-∞-,54, . 【解析】试题分析：因为21616)1(2142+-=-+-=-+=x x x x x y 在[)(]3,1,1,0上为减函数，当10<≤x ，则4-≤y ；当31≤<x 时，5≥y ；即函数1]3,0[142≠∈-+=x x x x y 且的值域为(][)+∞-∞-,54, .考点：函数的单调性、值域.三、解答题（题型注释）16．设函数()|21||3|f x x x =+--. （1）解不等式()0f x >；（2）已知关于x 的不等式3()a f x +<恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2(,4)(,)3-∞-⋃+∞；（2）132a <-． 【解析】试题分析：解题思路：(1)化简)(x f 的解析式，得到分段函数，再分段求解不等式；（2）将关于x 的不等式3()a f x +<恒成立转化为min )(3x f a <+即可. 规律总结：1.对于含两个绝对值的函数，往往根据⎩⎨⎧<-≥=0,0,x x x x x ，讨论x 的不同范围，将其绝对值符号脱去，转化为分段函数问题；2.对于不等式恒成立，一般思路将参数分离，转化为求函数的最值问题.试题解析：（1）312)(--+=x x x f 可化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=3,2321,2321,4)(x x x x x x x f ，则3332430232102321040)(≥<<-<⇔⎩⎨⎧≥>+⎪⎩⎪⎨⎧<≤>-⎪⎩⎪⎨⎧-<>--⇔>x x x x x x x x x x f 或或或或， 即0)(>x f 的解集为),32()4,(+∞--∞ ；当21-<x 时，27->y ；当321<≤-x 时，727<≤-y ；当3≥x 时，5≥y ；即)(x f 的最小值为27-；因为关于x 的不等式3()a f x +<恒成立，所以273-<+a ，即实数a 的取值范围213-<a .考点：1.绝对值不等式；2.不等式恒成立. 17．已知函数()3f x x =-.（1）若不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，求a 的范围； （2）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(abf a ab f >. 【答案】（1）1≤a ；（2）证明略． 【解析】 试题分析：解题思路：（1）利用b a b a +≥+求不等式左边的最小值，在得出a 的范围即可；（2）用分析法进行证明即可.规律总结：1.在求含两个绝对值的不等式的最值时，往往要利用b a b a b a +≤±≤-，并且要注意等号成立的条件；（2）证明不等式的基本.方法有：综合法、分析法，或两者结合使用.注意：由不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集得到的应是min )]()1([x f x f a +-≤，学生往往会出现错误.试题解析：（1）()()113434≤∴=-+-≥-+-a x x x x（2）要证)()(abf a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->- 而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ， 从而原不等式成立. .考点1.绝对值不等式；2.分析法.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24(4x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）交于,A B 两点，求线段AB 的长．【答案】28．【解析】 试题分析：解题思路：先将直线与抛物线的参数方程化为普通方程，再联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解即可. 规律总结：涉及以参数方程或极坐标方程为载体的直线与曲线的位置关系问题，往往先将参数方程或极坐标方程化成普通方程后再求解.试题解析：直线l ：3x y += 抛物线方程：24y x =直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB = 考点：1.参数方程与普通方程的转化；2.直线与抛物线的位置关系. 19．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x ，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ.(1) 求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2) 设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.【答案】（1）1322=+y x ，08=-+y x ；（2）23，)21,23(． 【解析】试题分析：解题思路：（1)利用平方关系，消去参数得到1C 的普通方程；利用极坐标方程与普通方程的互化公式得到2C 的普通方程；（2）利用三角代换设点，利用点到直线的距离公式求最值即可.规律总结：涉及以参数方程或极坐标方程为载体的直线与曲线的位置关系问题，往往先将参数方程或极坐标方程化成普通方程后再求解.试题解析：（1）由曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos 3y x即：曲线1C 的普通方程为：1322=+y x 由曲线2C ：24)4sin(=+πθρ得：24)cos (sin 22=+θθρ 即：曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x (2) 由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点， 椭圆上的点)s i n ,c o s 3(ααP 到直线08=-+y x 的距离为28)3sin(228sin cos 3-+=-+=παααd 所以当1)3sin(=+πα时，d 的最小值为23，此时点P 的坐标为)21,23(.考点：1.参数方程、极坐标方程与普通方程的互化；2.点到直线的距离.20．如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =⋅.（1）求证：CE EB EF EP ⋅=⋅；（2）若:3:2CE EB =，3DE =，2EF =，求PA 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）4315． 【解析】试题分析： 解题思路：（1）利用三角形相似进行证明；（2）利用圆的切割线定理进行求值.规律总结：平面几何证明或求值问题，往往是直线与圆结合，主要知识由相似三角形、全等三角形、圆的切割线定理等.试题解析：（1）∵EC EF DE ⋅=2，∴C EDF ∠=∠，又∵C P ∠=∠，∴P EDF ∠=∠，∴EDF ∆∽PAE ∆∴EP EF ED EA ⋅=⋅又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅ （2）3=BE ，29=CE ，415=BP PA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA . 考点：直线与圆的位置关系.。
秦安县第二中学学年高二数学下学期期中试题 理
甘肃省天水市秦安县第二中学2014—2015学年下学期期中考试高二数学（理科）试卷说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题纸上。
3．卷Ⅱ卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1、复数i ＋i 2在复平面内表示的点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 有4部车床需加工3个不同的零件,不同的安排方法有多少种 ? ( )A. 43 B. 34 C.13 D. 143． 若000(2)()lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．2B ．－2C ． 12D ．12-4． (x ＋a x)5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( )A ．－1B.12C ．1D ．25. 曲线313y x x =+在点（1,43）处的切线与坐标轴围成的三角面积为 ( )A ．91B ．92C ．31D ．326. 已知随机变量X 服从二项分布X ～B(6，13)，则P(X ＝2)等于 ( ) A.1316 B. 4243 C.13243 D.802437. 把13个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为 （ ） A ．36 B. 45 C. 66 D.78 8. 若函数a x x y +-=2323在上有最大值3，则该函数在上的最小值是 （ ）A. 12-B.0C. 12D.19. 对任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．2110．由0、1、3、5这四个数字组成的不重复数字且0与3不相邻的四位数的个数为 （ ）A ．6B ．8C ．12D ．1811.曲线1=+y x 与两坐标轴所围成图形的面积为 （ ）A ．21 B ．31 C ．61 D ．81 12.定义域为R 的函数)(x f 对任意的x 都有)2()2(x f x f -=+，且其导函数)(x f '满足：02)(>-'xx f ，则当42<<a 时，下列成立的是 （ ） A ．)2()2()(log 2a f f a f << B ．)2()(log )2(2f a f f a << C ．)(log )2()2(2a f f f a << D ．)2()2()(log 2f f a f a <<卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 将4名大学生分配到A 、B 、C 三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A 的概率为 （用数字作答）．高☆考♂资♀ 13．若7270127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则2a 的值是 14．对于函数2()(2)xf x x x e =-（1）(2,2)-是()f x 的单调递减区间；（2）(2)f -是()f x 的极小值，(2)f 是()f x 的极大值； （3）()f x 有最大值，没有最小值； （4）()f x 没有最大值，也没有最小值． 其中判断正确的是_______________.15. 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)． 16.设函数()f x 在上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在），∞+0(上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围是_____________.三．解答题：（本大题共６小题，共70分） 17．（本小题满分10 分）已知n m x x x f )31()1()(+++= (*∈N n m 、)的展开式中x 的系数为11. （1）求2x 的系数的最小值；（2）当2x 的系数取得最小值时，求)(x f 展开式中x 的奇次幂项的系数之和.18．(本小题共12分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（只列式，不需计算结果） (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？19. 已知2(1)n a +的展开式中各项系数之和等于25161()5x x+的展开式的常数项，并且2(1)n a +的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．20．(本小题共12分)已知⎰-11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎰t(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b的值．21. （本小题满分12 分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 和椭圆22143x y +=的右焦点重合. （1）求抛物线C 的方程；（2）若定长为5的线段AB 两个端点在抛物线C 上移动，线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时M 点坐标. 22．（本题满分12分）已知函数()e xf x kx x =-∈R ，.（1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，且对于任意R x ∈，(||)0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N .高二理科数学参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBCDADACBBCB二、填空题： 13. 84 14. (2)(3) 15. 1080 16、），∞+2[.三、解答题：17．解：（1）由题意得：11311=+n m C C ，即：m+3n=11.-----------------------2分x 2的系数为：19)2(9553692)1(92)310)(311(2)1(92)1(322222+-=+-=-+--=-+-=+n n n n n n n n n m m C C n m --------------------4分当n=2时，x 2的系数的最小值为19，此时m=5 --------------------- 6分（2）由（1）可知：m=5，n=2，则f （x ）=（1+x ）5+（1+3x ）2设f （x ）的展开式为f （x ）=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5----------------------8分 令x=1,则f(1)=a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5令x=-1,则f(-1)=a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5 -------------------------------------10分 则a 1+a 3+a 5=2)1()1(--f f =22,所求系数之和为22--------------------------------12分18．(本小题共12分) （只列式，不需计算结果） 解： (1) 4766A A 种．---------3分(2) 88181899A A A A + ---------6分 (3) 710A ( 或写成331010A A )---------9分(4)101021A ---------12分 19. (本小题共12分)解：25161()5x x +展开式的常数项为：4245161()()165C x x=---------3分 2(1)n a +展开式的系数之和216n =， n = 4---------6分∴ 2(1)n a +展开式的系数最大的项为222244()1654C a a ⨯==，---------10分∴ 3a =± ---------12分20．(本小题共12分)解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＝0， ∴ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＋ʃ1－1(3a －b )d x ＝0＋(3a －b )＝6a －2b . -----------------------5分 ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.①又f (t )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 44＋a 2x 2＋3a －b x | t 0＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数，∴3a －b ＝0② -----------------------10分 由①②得a ＝－3，b ＝－9. -----------------------12分 21.解：（1）∵椭圆的右焦点)0,1(F ,12=∴p，即2=p . ∴抛物线C 的方程为24y x =……………………………………………………………4分 （2）要求M 点到y 轴距离最小值，只要求出M 点到抛物线准线的距离最小值即可.过M B A M B A '''、、垂线，垂足分别为点分别作抛物线准线的、、，设焦点为F.25222=≥+='+'='AB BFAF B B A A M M ，当且仅当线段AB 过焦点F 时取等号.∴M 点到y 轴的最短距离为231252=-=-'p M M ；……………………8分 设此时中点M 的坐标为（00,y x ），则230=x ，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则1214x y =，2224x y =，两式相减得：4)(121212=+--y y x x y y ，即420=⋅y k AB ，∴4210000=⋅--y x y ，∴10±=y ，∴此时M 点坐标为)1,23(±……………………12分22． 解：（1）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，……………………2分由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，…………………4分 （2）由)()(x f x f =-可知：(||)f x 是偶函数．于是(||)0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立………5分 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，)0(01)(≥≥->-='x k k e x f x ． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f ≥=>，符合题意．…………………………………………6分②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：x(0ln )k ，ln k (ln )k +∞，()f x ' -+()f x单调递减极小值单调递增由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意得：ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是：)0(e ，．…………………………………8分 （3）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=2221212121212121)()(+>++≥+++++-++--+-+x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e………………………………………………………………………………………………9分1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得：21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ，．……………………………………12分。
甘肃省兰州一中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
甘肃省兰州一中2013-2014学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科） 有答案说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分,考试时间100分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 1.已知i 为虚数单位，复数1212,2z a i z i z z =+=-=，且，则实数a 的值为A .2B . 2-C .2或2-D .2±或02. 某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A .14B .24C .28D .483.函数x x y sin -=的零点个数是A .1B .2C .3D .44.在复平面内，复数31114i i -+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5. 将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有A .15种B .18种C .19种D .21种6.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = A .2 B .12 C . 2- D . 12- 7. 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为A .36B .48C .72D .1208.函数b bx x x f 33)(3+-=在)1,0(内有极小值，则A ．10<<bB ．1<bC ．0>bD ．21<b9.函数)(x f 的定义域为R ，,2)1(=-f 对任意,R x ∈,2)(>'x f 则42)(+>x x f 的解集为A ．(1,1)-B ．（∞-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（1-，+∞）10.如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于222C B A ∆三个内角的正弦值，则 A ．111C B A ∆和222C B A ∆都是锐角三角形B ．111C B A ∆和222C B A ∆都是钝角三角形C . 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形D ．111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）11.已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 .12.已知函数()cos ,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,则()22d f x x π-⎰的值等于 .13.二项式6的展开式的常数项是_________.14.已知数列{}12132143211121231234n a 为：，，，，，，，，，，，依它的前10项的规律，则50a = _.三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分8分）已知实数b a ,满足2,2<<b a ，证明：ab b a +<+42.16.（本小题满分8分）证明：)(1212151311*N n n n ∈-≤-++++ .17.(本小题满分8分)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+ (010x ≤≤，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求出最小值．18.(本小题满分8分)函数R b a b ax x x f ∈++=,,)(3的图象记为E .过点)83,21(-A 作曲线E 的切线，这样的切线有且仅有两条，求b a 2+的值. 19.（本小题满分12分）已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- （1）求函数)(x f 的最小值；（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xx ex e>-成立.参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上．） 11.14r h =12. 3 13. -20 14.56 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分8分）证明：证法一2,2<<b a ，∴42<a ，42<b ，∴042>-a ，042>-b . ……………………………………………2分 ∴()()04422>--b a，即044162222>+--b a b a， ……………4分∴22221644b a b a +<+，∴2222816484b a ab b ab a ++<++， ……………………………6分 即()()22422ab b a +<+，∴ab b a +<+42. ……………………………………………8分 证法二：要证ab b a +<+42，只需证,8168442222ab b a ab b a ++<++ ……………2分 只需证,16442222b a b a +<+只需证,044162222>--+b a b a ………………………4分即()()04422>--b a. ……………………………………6分2,2<<b a ，∴42<a ，42<b ，∴()()04422>--b a 成立.∴要证明的不等式成立. ………………………………………8分 16.（本小题满分8分）证明：①当1=n ，不等式显然成立. …………………………2分②假设),1(*N k k k n ∈≥=时不等式成立， 即,12121311-≤-+++k k ……………………………4分当1+=k n 时， 左边=12112121121311++-≤++-+++k k k k1212)12()12(1211212++++-≤+++-=k k k k k k.121212+=++=k k k 不等式成立. ……………………………7分由①②可知，对一切*N n ∈都有).(12121311*N n n n ∈-≤-+++……………………………………………………………………………8分17.(本小题满分8分)解：（1）当0=x 时，8=c ，40=∴k ，5340)(+=∴x x C ………………………2分)100(5380065340206)(≤≤++=+⨯+=∴x x x x x x f …………………4分（2）1053800)53(2)(-+++=x x x f ， ……………………………………5分设]35,5[,53∈=+t t x ，701080022108002=-⋅≥-+=∴tt t t y . 当且仅当时等号成立。
人教A版选修2-3下学期期中考试.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年下学期期中考试高二数学试题（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一． 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数c ax x f +=2)(，且(1)f '=2，则a 的值为 （ ） A.1B.2C.－1D. 02. 若复数z 满足i iz 42+=，i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点的坐标是 ( ) A ．（4，2） B ．（4，-2） C ．（2，4） D ．（2，-4）3. 用三段论推理：“指数函数xa y =是增函数，因为x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是指数函数，所以xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是增函数”，你认为这个推理 ( )A ．大前提错误 B. 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的4. 若直线的参数方程为()为参数t t y tx ⎩⎨⎧-=+=3221,则直线的斜率为 ( )A.32B.32-C.23D. 23- 5. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一lg x1x 1x x 组样本数据()()n i y x i i ,,2,1, =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0-=∧x y ，则下列结论中不正确的是 ( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(y x ,） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 6. 下列结论正确的是( ) A ．当x>0且x≠1时，lgx ＋≥2 B．当x≥2时，x ＋的最小值为2C ．当x>0时，＋≥2 D．当0<x≤2时，x －无最大值．7.在复平面内复数11i ＋，11i－对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A ．1B ． iC ．12 D ．12i 8．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-9. 若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为 ( ).2k π+π4(k ∈Z) .2k π— π4(k ∈Z) .2k π±π4(k ∈Z) .k 2π＋π4(k ∈Z)10. 直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）． A ．98 B ．1404C ．82D ．9343+ 11. 若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A 03≥-≤m m 或B 03≤≤-mC 3-≥mD 3-≤m12.已知关于x 的不等式012<++c bx x a )0(>b 的解集为R ，则1425+++=ab acab T 的最小值为（ ）A ．3B ． 4C ．32D ．2()z a bi a b R =+∈、i-+1i +-1⊆第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．13.若复数是虚数，则a 、b 应满足的条件是________ .14.不等式|x ＋1|＋|x －2|≥4a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是________． 15． 设f (n )=()n+()n,n ∈N,如果A{f (n )},则满足条件的集合A 有 个16．圆心为C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为_________． 17.若x 2 + y 2 + z 2 = 16，则x-2z 的最大值为 。
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秦安县西川中学2013——2014学年度第二学期期中考试试题
高二数学（理）《选修2-2、2-3部分》模块测试题
一、选择题：（每小题5分，共60分）．
1．设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z =
（ ）
A 、-1+i
B 、-1-i
C 、1+i
D 、1-i
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A 、10种
B 、20种
C 、25种
D 、32种
3．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有（ ） Ａ、
()2
142610
C A 个
Ｂ、
24
2610A A 个
Ｃ、
()2
14
2610C 个
Ｄ、24
2610A 个
4．函数x x x f 3)(3+-=的单调增区间为
A 、R
B 、),0(+∞
C 、)1,1(-
D 、)0,(-∞
5．已知（1+ɑx ）(1+x )5
的展开式中x 2
的系数为5，则ɑ=（ ）
A 、-4
B 、-3
C 、-2
D 、-1
7．由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为（ ） A 、100
B 、10
C 、9
D 、90
8．曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为( )
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D. 450x y --=
9．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于
（ ）
A ．
43
B ．2
C ．
83
D ．
3
10. 已知1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围为 A 、21<<-a B 、63<<-a C 、3-<a 或6>a D 、1-<a 或2>a 11．已知()n
x 21+的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中3x 项的系数是( )
A ．56
B ．160
C ．80
D ．180
12．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：每小题5分，共20分，将答案写在答题卡对应位置上．
13．已知函数()ln(2)f x x =+ 则(1)f '-=__________________
14．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______。
15．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a ++
+的值为 .
16、某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是3
0.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是4
10.1-.其中正确结论的序号是___________。
（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：（共70分，写出必要的步骤）
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
18．（本小题满分12分）已知22)()n
n N x
+∈的展开式中第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比为14:3 （1）求展开式中个项系数的和 (2）求展开式中含52
x 的项
19.（本小题满分12分）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？
20．（本小题满分12分）设函数
2 ()ln(23)
f x x x
=++
（Ⅰ）讨论
()
f x的单调性；
（Ⅱ）求
()
f x在区间
31
44
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，
的最大值和最小值．
21．（本小题满分12分）某商场推出二次开奖活动，凡购买一定数量的商品可以获得一张奖券。
奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。
如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中一下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码；
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码。
22．（本小题满分12分）已知数列{a n}满足S n＋a n＝2n＋1,
(1) 写出a1, a2, a3,并推测a n的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
秦安县西川中学2013——2014学年度第二学期期中考试
高二数学答题卡
一、选择题（第小题5分共60分）
二、填空题（每小题5分共20分）
13.14.15. 16.
三、解答题（共70分，写出必要的步骤）
17. （本小题满分10分）
18．（本小题满分12分）
19. （本小题满分12分）20．（本小题满分12分）
21．（本小题满分12分）22．（本小题满分12分）
秦安县西川中学2013——2014学年度第二学期期中考试试题
高二数学答案
一、 选择题（每小题5分共12×5=60分）
二、填空题（每小题5分共4×5=20分）
13． 1 ；14． 0.2 ； 15． -2 16． ① ③ 。
三、解答题（共70分，写出必要的步骤）
17．解：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有
P (ξ=7)＝0.09，P (ξ=8)＝0.28，P (ξ=9)＝0.29，P (ξ=10)＝0.22. 所求的概率为 P (ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88 18、解析：n=10 (1) 1 (2)-2052
x
19、解析：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+ '
2
'
10125240,0,1,3V x x V x x =-+===
令得或，103
x =（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值 20、解析：()f
x 的定义域为32⎛⎫
-+ ⎪
⎝⎭，∞．
（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==
+++．
当312x -<<-时，()0f x '>；当
1
12x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>． 从而，
()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，单调减少．……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
()
f x在区间
31
44
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，
的最小值为
11
ln2
24
f
⎛⎫
-=+
⎪
⎝⎭．
又
31397131149
ln ln ln1ln 442162167226
f f
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--=+--=+=-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭0
<．
所以
()
f x在区间
31
44
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，
的最大值为
117
ln
4162
f
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭．……12分。