第二章 90分突破

第二章 90分突破2.1三角函数1、三角函数值以及诱导公式诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

例1：已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( ) (A)25(B) -25 (C)25或 -25(D) 不确定2、关于三角函数的公式()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-公式中辅助角的确定：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(θ角的值由tan baθ=确定) 例2：已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . 求f (x)的最小正周期.例3：已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . 求f (x )的最小正周期;30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15°75°sin α 21 22 23 0 1 0 －1 624- 624+ cos α23 22 21 1 0 －1 0 624+ 624- tan α33 132-3 2+3例4：在ABC ∆中：232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.求cos A 的值;3、关于三角函数的图像 函数sin y x =cos y x = tan y x =图象奇偶性 奇函数 偶函数奇函数周期 2π2ππ2,222()32,222()k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∈⎡⎤++⎢⎥⎣⎦∈增区间减区间[][]2,2()2,2()k k k Z k k k Z ππππππ-∈+∈增区间减区间,22()k k k Z ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∈增区间 对称轴 ()2x k k Z ππ=+∈()x k k Z π=∈无对称轴对称 中心()(),0k k Z π∈(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ (),02k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例3（续）：2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R .求f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

并求出f (x )的对称中心与对称轴例2（续）：1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , ()·f x =a b . 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值和最小值。

并求出f (x) 的单调区间例5：函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）例6：既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( ) oπ 32π2π yo o2π π32π yx 2π2πxπ 32πxy2π单 调 区 间(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =4、函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的图象由sin y x =如下变换得到 1、先相位变换 周期变换 振幅变换sin y x = ()sin y x ϕ=+：把sin y x =图象上所有的点向左（0ϕ>） 或向右（0ϕ<）平移ϕ个单位。

()sin y x ωϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）或缩短（1ω>）到原来的1ω倍,纵坐标不变。

()sin y A x ωϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。

2、先周期变换 相位变换 振幅变换sin y x =sin y x ω=：把sin y x =图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）或缩短（1ω>）到原来的1ω倍,纵坐标不变。

()sin y x ωϕ=+：把sin y x ω=图象上所有的点向左（0ϕ>）或向右（0ϕ<）平移ϕω个单位. ()sin y A x ωϕ=+：把()sin y x ϕ=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。

例7：函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π例8：将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（ ）(A) 34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-5、正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为三角形外接圆的半径).()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2cR=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.6、余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.7、面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.特别提醒：注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==； 1、2、3、4、5、6、7的综合应用例9：在ABC ∆中，1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3πC.23πD.56π例10：设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定例11：在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于( ) A.12π B.6π C.4π D.3π例12：ABC ∆中,点D 在BC 边上,AD ⊥AC,22sin ,32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______例13：在△ABC 中,a =3,b =26,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.例14：:设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若31sin sin 4A C -=,求C .2.2数列1、通项与前N 项和的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．例1：若数列{n a }的前n 项和为S n =2133n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______. 2、等差通项与n 项和 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n d a d ）（2n 212-+= 1(1)n a a n d =+- 例2：在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.3、关于等差数列的性质NO.1:在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；NO.2:在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠NO.3:在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；NO.4:在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； NO.5:{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则n n a n S )12(12-=-NO.6:n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列例3：设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( ) A.3B.4C.5D.6例4：若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n 项和n =S __________. 例5：:在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.例6.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 例7：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=4、等比数列 m n m n n n n n qa a q a a a a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111q)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n例8：已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于（ ） (A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3- 5、关于等比数列的性质：NO.1:q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若； NO.2:)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， NO.3:S m+n =S n +q nS m =S m +q mS n ；NO.4:{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列.例9：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a （ ）(A)31 (B)31- (C)91(D)91-例10：等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于（ ） A.-24 B.0 C.12 D.24例11：已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42例12：已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =____________.例13：已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =.求数列{}n a 的通项公式;例14：设{}n a 是公比为q 的等比数列.(Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式; (Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.6、求通项A:已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用累加法； a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1 B:已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+， 可利用累乘法.1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----例15： 例16：7、求n SA:错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ B:裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。