2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——四边形
2019年北京市西城区初三一模数学试卷及答案
2019年北京市西城区初三一模数学试卷数 学 2019.4一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为A ．B ．C ．D ．2．实数a b c ，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a b ＞B ．+0a b ＞C ．0ac ＞D ． ||||a c ＞3．方程组20529x y x y ì-=ïí+=ïî的解为A ．17x y ì=-ïí=ïîB ．36x y ì=ïí=ïîC ．12x y ì=ïí=ïîD ．12x y ì=-ïí=ïî4．如图，点D 在BA 的延长线上，AE//BC .若10065DAC B ?靶=?，，则∠EAC 的度数为 A ．65° B ．35°C ．30°D ．40°5．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为A ．13410´千米B ．12410´千米C ．139.510´千米D ．129.510´千米6． 如果2310a a ++=，那么代数式2292(6)3a a a a ++?+的值为 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-27．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点123A A A ，，的横、纵左边分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点123B B B ，，的横、纵左边分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数. 有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲； ②下午派送快递件数最多的是丙； ③在这一天中派送快递总件数最多的是乙.上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①②B ．①③C ．②D ．②③8. 中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1），它是分别以等边三角的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图2是等宽的勒洛三角形和圆.图1 图2 下列说法中错误的是A ．勒洛三角形是轴对称图形B ．图1中，点A 到»BC上任意一点的距离都相等C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 中心1O 的距离都相等D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 如图，在线段AD AE AF ，，中，ABC V 的高是线段.10.若3x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是. 11.分解因式：225ab a -=.12. 如图，点O A B ，，都在正方形网格的格点上，将OAB V 绕点O 顺时针旋转后得到''OA B V ，点A B ，的对应点','A B 也在格点上，则旋转角0180a a 鞍（＜＜）的度数为o .13.用一组,a b 的值说明命题“对于非零实数,a b ，若a b ＜，则11a b ＞”是错误的，这组值可以是____,____a b ==.14. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将矩形ABCD 沿AE 所在直线折叠，点D 恰好落在边BC 上的点F 处.若54DE FC ==，，则AB 的长为.15.小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.）小芸选择在（填“甲”、“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是.三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
2019年北京市各区一模数学试题分类汇编—尺规作图
2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——尺规作图（西城）19．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．作法：如图，①作⊙O的直径AC；②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；③连接BO并延长交⊙O于点D；④连接AB，BC，CD，DA．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA= OC．同理OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（__________）（填推理的依据）．∴四边形ABCD是矩形．∵AB=______ =BO，∴∠AOB=60°．∴四边形ABCD是所求作的矩形．（顺义）19.下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线l 及直线l 外一点P .求作：直线PQ ,使得PQ ⊥l .作法：如图，① 在直线l 上取一点A ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，与直线l 交于另一点B ；② 分别以A ，B 为圆心，PA 长为半径在直线l 下方画弧，两弧交于点Q ； ③ 作直线PQ .所以直线PQ 为所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：连接PA ，PB ，QA ，QB . ∵PA =PB =QA =QB ，∴四边形APBQ 是菱形（ ）（填推理的依据）． ∴PQ ⊥AB （ ）（填推理的依据）． 即PQ ⊥l ．PlBAPl（海淀）19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使PQ ∥l ． 作法：如图，① 在直线l 上取一点O ，以点O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线l 于A ，B 两点； ② 连接P A ，以B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点Q ； ③ 作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：连接PB ，QB ，∵ P A =QB ， ∴ »PA=_____， ∴ ∠PBA =∠QPB （____________________）（填推理的依据）， ∴ PQ ∥l （____________________）（填推理的依据）．lPlab（房山）17. 下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.已知：△ABC ．求作：BC 边上的高线． 作法：如图，① 以点C 为圆心，CA 为半径画弧；② 以点B 为圆心，BA 为半径画弧，两弧相交于点D ； ③ 连接AD ，交BC 的延长线于点E ．所以线段AE 就是所求作的BC 边上的高线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明. 证明：∵CA =CD ，∴点C 在线段AD 的垂直平分线上（ ） （填推理的依据）． ∵ = ， ∴点B 在线段AD 的垂直平分线上． ∴ BC 是线段AD 的垂直平分线. ∴AD ⊥BC ．∴AE 就是BC 边上的高线．（延庆）17．下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a 及线段b （a b ）．BMD B求作：Rt △ABC ，使得a ，b 分别为它的直角边和斜边． 作法：如图，①作射线CM ，在CM 上顺次截取CB BD a ==；②分别以点C ，D 为圆心，以b 的长为半径画弧，两弧交于点A ； ③连接AB ，AC ．则△ABC 就是所求作的直角三角形． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）补全图形，保留作图痕迹；（2）完成下面的证明． 证明：连接AD∵ =AD ，CB = ，∴90ABC ∠=︒（ ）（填推理的依据）．（石景山）17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线AD，使得AD∥l．作法：如图2，①在直线l上任取一点B，连接AB；②以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；③分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CD．∵AD=CD=BC=AB，∴四边形ABCD是（）．∴AD∥l（）．（通州）19．已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°.l A图1图2l求作：射线CG，使得CG∥AB．图1 图2下面是小东设计的尺规作图过程．作法：如,2，①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点G；④作射线CG．所以射线CG就是所求作的射线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接FG、DE.∵△ADE ≌△_________，∴∠DAE = ∠_________．∴CG∥AB（__________________________）（填推理的依据）．（平谷）17．下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的角平分线OP．①在射线OA上任取点C；②作∠ACD=∠AOB；③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；④作射线OP；所以射线OP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：∵∠ACD=∠AOB，∴CD∥OB（____________）（填推理的依据）．∴∠BOP=∠CPO．又∵OC=CP，∴∠COP=∠CPO（____________）（填推理的依据）．∴∠COP=∠BOP．∴OP平分∠AOB．（丰台）17. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 上一点A ．求作：直线AB ，使得AB ⊥l ．作法：①以点A 为圆心，任意长为半径画弧，交直线l 于C ，D 两点；②分别以点C 和点D 为圆心，大于21CD 长为半径画弧， 两弧在直线l 一侧相交于点B ； ③作直线AB ．所以直线AB 就是所求作的垂线． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵AC = ，BC = ，∴AB ⊥l （ ）．（填推理的依据）．（东城）17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图，①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD=∠CAD．∵P A=PE，∴∠P AD=________．∴∠PEA=________．∴PE∥BC．（____________________________________________________）（填推理的依据）（门头沟）19．下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O ．求作：正方形ABCD ，使正方形ABCD 内接于⊙O ． 作法：如图2，① 过点O 作直线AC ，交⊙O 于点A 和C ；② 作线段AC 的垂直平分线MN ，交⊙O 于点B 和D ； ③ 顺次连接AB ，BC ，CD 和DA ； 则正方形ABCD 就是所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明： ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ABC =∠ADC = °， 又∵点B 在线段AC 的垂直平分线上， ∴ AB = BC ，∴ ∠BAC = ∠BCA = °． 同理 ∠DAC = 45°．∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°． ∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，∴ 四边形ABCD 是矩形（ ）（填依据）， 又∵ AB = BC ，∴ 四边形ABCD 是正方形．图2图1（密云）17.下面是小明设计的“已知底和底边上的高作等腰三角形”的尺规作图过程. 已知：如图1，已知线段a 和线段b.求作：等腰三角形ABC ，使得AC=BC ，AB=a ，CD ⊥AB 于D ，CD=b.图2图1ba作法：①如图2，作射线AM ，在AM 上截取AB=a ； ②分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧交于E 、F 两点； ③连结EF ，EF 交AB 与点D ；④以点D 为圆心，以b 为半径作弧交射线DE 于点C. ⑤连结AC ，BC.所以，ABC ∆为所求作三角形. 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）； （2）完成下面的证明. AE=BE=AF=BF ，∴四边形AEBF 为______________. AB 与EF 交于点D ， ∴EF ⊥AB ，AD=________. 点C 在EF 上，∴BC=AC （填写理由:______________________________________）BA(怀柔)19.下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程. 已知：线段AB.求作：一个直角三角形ABC,使线段AB 为斜边. 作法：如图，①过A 任意作一条射线l ； ②在射线l 上任取两点D ，E ；③分别以点D ，E 为圆心，DB ，EB 长为半径作弧,两弧相交于点P ； ④作射线BP 交射线l 于点C. 所以△ABC 就是所求作的直角三角形.思考：（1）按上述方法，以线段AB 为斜边还可以作 个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C 所形成的的图形是 ，理由是 .AB朝阳。
2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——几何压轴题
2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——几何综合题（房山）27． 已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ．（1）如图1，点D 是BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE ． 若∠BAD =α，求∠DBE 的大小 (用含α的式子表示) ；（2）如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE ． ①依题意补全图2；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明．图1 图2B AA（门头沟）27．如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE 交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ． （1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明； （3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．图1 图2（密云）27． 已知△ABC 为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）．将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ．连结DE 、BE ．（1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系．（2）过点A 作AF EB 交EB 延长线于点F ．用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明．PPEECCBBOOAA图2D CBA图1A B CD（平谷）27．在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，BD 交AC 于P ．（1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数 （用含α的代数式表示）； （2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系； （3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系．（石景山）27．如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC ，平移线段BC ， 使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．DB A（通州）27．如图，在等边△ABC 中，点D 是线段BC 上一点．作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ．连接CE 并延长，交射线AD 于点F ． （1）设∠BAF ＝α，用α表示∠BCF 的度数；（2）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明．（延庆）27．已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ． （1）求证：ADB ACB ∠=∠；（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．H O DBA（燕山）27．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．(1) ① 依题意补全图1； ② 求证：∠EDC ＝∠BAD ；(2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为： ；② 小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ．想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ．想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形． ……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．(一种方法即可) 备用图 AB CD 图1 D C B A（西城）27．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF.（1）求证：FB=FD；（2）点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.（顺义）27．已知：如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠B =45°， 点D 是BC 边上一点，且AD=AC ，过点C 作CF ⊥AD 于点E ，与AB 交于点F ．（1）若∠CAD =α，求∠BCF 的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：AC =FC ；（3）用等式直接表示线段BF 与DC 的数量关系．ABCDFE（丰台）27．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：BF= CE；（2）若CE=AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．（东城）27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ． （1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接ACACC ′的面积最大值．（海淀）27．如图，在等腰直角△ABC 中，90ABC ?°，D 是线段AC 上一点（2CA CD > ），连接BD ，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ． （1）依题意补全图形；（2）若ACE α?，求ABD Ð的大小（用含α的式子表示）； （3）若点G 在线段CF 上，CG BD =，连接DG ．①判断DG 与BC 的位置关系并证明；②用等式表示DG ，CG ，AB 之间的数量关系为 ．PBA（怀柔）27.如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M是AB 的中点，连接ME ，MD ． （1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明； （3）求证：MD =ME ．（朝阳）27.如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,将线段BC 绕点B 逆时针旋转a °(0＜a ＜180),得到线段BD ,且AD ∥BC .（1）依题意补全图形； （2）求满足条件的a 的值； （3）若AB =2，求AD 的长.C（大兴）27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA =CB．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE=DA．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF， DF.（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD=∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．。
2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----立体几何
2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----立体几何1.（2019海淀一模文科）某四棱锥的三视图如图所示，其中+=1a b ，且a b >.若四个侧面的 面积中最小的为19则以的值为 B (A) 12 (B) 23(C) 34 (D) 562. （2019海淀一模文科）如图，在三棱柱ABC 中，1CC ⊥平面111A B C A B C -,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．(Ⅱ)求证：AB ∥平面DEF (Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ; (Ⅲ)求三棱锥1E ACB -的体积.解：（I ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE 11A B于是DEABAB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF 所以AB平面DEF(II) 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥ 又AC BC ⊥1BCCC C =，1,BC CC ⊂平面11C BC B所以AC ⊥平面11C BC BEF ⊂平面11C BC B所以AC EF ⊥又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ 而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC 所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C =，1,AC CB ⊂平面1ACB所以EF ⊥平面1ACB又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF（Ⅲ） 1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅=3.（2019朝阳一模文科）某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为 D A ．4 B ．2C ．83 D ．434.（2019朝阳一模文科）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）若M 为线段BD 的中点，求证：CE //平面AMF ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．正（主）视图 俯视图侧（左）视图EDCBA FM解：（Ⅰ）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，AF ⊂平面ADEF ，所以AF ⊥平面ABCD ．又CD ⊂平面ABCD ，所以AF CD ⊥． ……………………….4分 （Ⅱ）延长AM 交BC 于点G ，因为//AD BC ，M 为BD 中点， 所以BGM ∆≌DAM ∆， 所以1BG AD ==． 因为2BC =，所以1GC =． 由已知1FE AD ==，且//FE AD ,又因为//AD GC ，所以//FE GC ，且FE GC =， 所以四边形GCEF 为平行四边形，所以//CE GF ． 因为CE ⊄平面AMF ，GF ⊂平面AMF ，所以//CE 平面AMF ． ……………………….9分 （Ⅲ）设G 为BC 中点，连接DG ，EG ．由已知//DG AB ，所以//DG 平面AFB ． 又因为//DE AF ，所以//DE 平面AFB ， 所以平面//DEG 平面AFB ．因为AD AB ⊥，AD AF ⊥，所以AD ⊥平面ABF ， 所以多面体AFB DEG -为直三棱柱． 因为1AB AF AD ===，且90BAF ∠=︒， 所以11111122AFB AFB DEG V V S AD ∆-==⋅=⨯⨯⨯=三棱柱． 由已知//DG AB ，且DG AB =， 所以DG GC ⊥，且1DG GC ==． 又因为//DE AF ，AF ⊥平面CDG ， 所以DE ⊥平面CDG ． 因为1DE AF ==， 所以211111113326CDG E CDG V V S DE ∆-==⋅=⨯⨯⨯⨯=三棱锥， EDCBA FMG所以12112263ABCDEF V V V =+=+=多面体． ……………………….14分 5.（2019西城一模文科）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____． 436.（2019西城一模文科）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥，DC DE =.（Ⅰ）求证：AD CE ⊥； （Ⅱ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面ADQ ⊥平面BCE ？并说明理由．侧(左)视图 正(主)视图俯视图DABCEF解：（Ⅰ）由底面ABCD 为矩形，知AD CD ⊥. ……………… 1分又因为DE AD ⊥，DE CD D =， (2)分所以AD ⊥平面CDE . (3)分又因为CE ⊂平面CDE ，所以AD CE ⊥. ……………… 4分（Ⅱ）由底面ABCD 为矩形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE . ……………… 6分 同理//AF 平面CDE ， 又因为ABAF A =，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 8分 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 9分（Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q （即BE 的中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE . … 10分证明如下：取CE 的中点P ，BE 的中点Q ，连接,,AQ DP PQ ，则//PQ BC . 由//AD BC ，得//PQ AD .DABCEF所以,,,A D P Q 四点共面. ……………… 11分由（Ⅰ），知AD ⊥平面CDE ， 所以AD DP ⊥，故BC DP ⊥.在△CDE 中，由DC DE =，可得DP CE ⊥. 又因为BCCE C =，所以DP ⊥平面BCE . ……………… 13分又因为DP ⊂平面ADPQ所以平面ADPQ ⊥平面BCE （即平面ADQ ⊥平面BCE ）.即线段BE 上存在点Q （即BE 中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE . ……… 14分7.（2019丰台一模文科）已知两条直线,l m 与两个平面,αβ，下列命题正确的是 B （A ）若,l l m α⊥∥， 则m α⊥ （B ）若,l l αβ⊥∥， 则αβ⊥ （C ）若,l m αα∥∥， 则l m ∥ （D ）若,m αβα∥∥，则m β∥8.(2019丰台一模文科)三棱柱111ABC A B C -被平面11A B C 截去一部分后得到如图所示几何体，1BB ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，1BC BB =，E 为棱1B C 上的动点（不包含端点），平面ABE 交1A C 于点F ．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面1B BC ； （Ⅱ）求证：EF ∥AB ；（Ⅲ）试问是否存在点E ，使得平面ABE ⊥平面11A B C ？并说明理由．解：（Ⅰ）因为 1BB ABC ⊥平面，AB ABC ⊂平面，所以 1BB AB ⊥.因为 90ABC ∠=︒，所以 BC AB ⊥.因为1BB BC B =，11B B B BC ⊂平面，1BC B BC ⊂平面， 所以 AB ⊥平面1B BC .（Ⅱ）在三棱柱111ABC A B C -中，11AB A B ∥.因为 11AB A B C ⊄平面，1111A B A B C ⊂平面， 所以11AB A B C ∥平面.因为 AB ABEF ⊂平面，11ABEF A B C EF =平面平面，所以 EF ∥AB ．（Ⅲ）存在点E ，当点E 为1B C 中点时，平面ABE ⊥平面11A B C ．因为 1BC BB =， 所以 1BE B C ⊥.因为 AB ⊥平面1B BC ，1BE B BC ⊂平面， 所以 AB BE ⊥. 因为 11AB A B ∥， 所以 11BE A B ⊥. 因为 1111A B B C B =，所以 BE ⊥平面11A B C . 因为 BE ABE ⊂平面，所以 平面ABE ⊥平面11A B C .9.（2019石景山一模文科）某几何体的三视图如右图所示，该几何 体的体积为 C A. 2 B. 4 C. 6 D. 121B A ABA B 1A10.（2019石景山一模文科）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形．90BAE =∠︒，4AE=，2AD=，F,G,H 分别为,BE AE,AD 的中点． （Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ； （Ⅱ）求证：平面FGH ⊥平面ADE ；（Ⅲ）在线段DE 求一点P ，使得AP ⊥FH ，并求出AP 的值．（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，CD ∥AB ，∵F G ，分别为BE AE ，的中点， ∴FG ∥AB ，且FG 12=AB ， ∴CD ∥FG ， ∵CD ⊄平面FGH ，FG ⊂平面FGH ，∴CD ∥平面FGH ． （Ⅱ）证明：在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又∵90BAE ∠=︒， ∴AB AE ⊥，又ADAE =A∴AB ⊥平面ADE ， 又//GF AB∴GF ⊥平面ADE ， ∵GF ⊂平面FGH ，∴平面FGH ⊥平面ADE ． （Ⅲ）解：作AP DE ⊥于P ，∵GF ⊥平面ADE ， 且AP ⊂平面ADE ，∴GF AP ⊥， ∵,G H 分别为AE,AD 的中点， ∴GH AP ⊥ ∵GFGH =G ，∴AP ⊥平面FGH ， ∵FH ⊂平面FGH ，∴AP FH ⊥， ∵矩形ABCD ⊥平面AEB ，且平面ABCD 平面AEB=AB ，∴AE ⊥平面ABCD ，∴AE ⊥平面AD ， 在直角三角形AED 中，4AE=，2AD=，可求得AP ．11.（2019延庆一模文科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面中最大面积是A （A ） 32（B（C（D ）112.（2019延庆一模文科）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，过EF 的平面与面PCD 交于,M N 两点. （Ⅰ）求证： //EF MN ；（Ⅱ）求证：平面EFMN ⊥平面PAC ； （Ⅲ）设=DMDPλ，当λ为何值时四棱锥M EFDC - 的体积等于1，求λ的值.证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD 中 ，由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//C EF D ……………1分因为 CD ⊂面PCD ，EF ⊄面PCD所以//EF 面PCD ……………3分 过EF 的平面EFMN 与面PCD 交于MN …4分所以EF ∥MN ………………5分（Ⅱ）证明：在平行四边形ABCD 中， 因为 AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥. 由（Ⅰ）得//EF AB ，主视图俯视图左视图B EPFCADMNB EPF CADMN所以EF AC ⊥. ………………6分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且PA AB ⊥，面PAB 面=ABCD AB且PA ⊂面PAB 所以PA ⊥底面ABCD . ………………8分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………9分 又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以EF ⊥平面PAC . ………………10分所以EF ⊂平面EFMN .平面EFMN ⊥平面PAC ………………11分 （Ⅲ）2EFMN S = ………………12分 11.2133M EFDC EFDC V S h h -==⨯⨯=32h = ………………13分34λ= ………………14分13.（2019怀柔一模文科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 CA ．B ．C ．D ．14.（2019怀柔一模文科）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ,PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，E 分别为PA ，AC 中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅲ）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点 D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出 点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．证明：（Ⅰ）因为点是中点，点为的中点，所以∥．又因为面，面，所以∥平面． -------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）因为平面面, 平面平面=,又平面，，所以面.所以． 又因为，且，所以面． --------------------------------------------------------------10分（Ⅲ）当点是线段中点时，过点,,的平面内的任一条直线都与平面平行．取中点，连，连. 由（Ⅰ）可知∥平面．因为点是中点，点为的中点， 所以∥．又因为平面，平面， 所以∥平面． 又因为，所以平面∥平面，所以平面内的任一条直线都与平面平行．故当点是线段中点时，过点,,所在平面内的任一条直线都与平面平行． ------------------------------------14分15.（2019东城一模文科）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图E AC D PA DE PC DE ⊄PBC PC ⊂PBC DE PBC PAC ⊥ABC PACABC AC PA ⊂PAC PA AC ⊥PA ⊥ABC PA BC ⊥AB BC ⊥PAAB=A BC ⊥PAB F AB D E F PBC AB F EF DF DE PBC E AC F AB EF BC EF ⊄PBC BC ⊂PBC EF PBC DEEF =E DEF PBC DEF PBC F AB D E F PBCEBAC F所示，则截面图形的形状为 A（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形16.（2019东城文科一模）南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的 B （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件17. （2019东城文科一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA = //AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（Ⅰ）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ；（Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ； （Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设ACBD G =， 连结EG .由已知//AB CD ，1DC =，2AB =,得2AG ABGC DC==. 由13PE PA =,得2AEEP=.在PAC ∆ 中，由AE AGEP GC=，得//EG PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， 所以PC //平面EBD . …………….5分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥.由已知得AC =，BC =2AB = ，所以222AC BC AB +=. 所以BC AC ⊥. 又PAAC A =，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC . …………….10分（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A =，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥. 又PD CD D =，所以AF ⊥平面PCD .由PA =1AD =，PA AD ⊥，得32PF =.………………………..14分 18.（2019昌平文科一模）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？ 已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）A ．21斛B ．34斛C ．55斛D ．63斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则r ＝8，解得r ＝，故米堆的体积为××π×（）2×5＝， ∵1斛米的体积约为1.62立方， ∴÷1.62≈21，故选：A．【点评】本题主要考查锥体的体积的计算，比较基础．19.（2019昌平文科一模）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：CD∥&平面ABFE；（Ⅱ）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD．由此能证明CD∥平面ABFE．（Ⅱ）推导出AE⊥DE，AB⊥AD，从而AB⊥平面ADE，进而AB⊥DE，由此能证明DE ⊥平面ABFE，从而平面ABFE⊥平面CDEF．（Ⅲ）取CD的中点N，连接FN，推导出四边形EDNF是平行四边形，从而FN∥DE，由DE⊥平面ABFE，能证明FN⊥平面ABFE．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD．因为CD⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，所以CD∥平面ABFE．……（4分）（Ⅱ）因为，AD＝2，所以AE2+DE2＝AD2，所以∠AED＝90°，即AE⊥DE．因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面ADE．因为DE⊂平面ADE，所以AB⊥DE．因为AB∩AE＝A，所以DE⊥平面ABFE．因为DE⊂平面CDEF，所以平面ABFE⊥平面CDEF．……（9分）（Ⅲ）在线段CD上存在点N，使得FN⊥平面ABFE．证明如下：取CD的中点N，连接FN．由（Ⅰ）知，CD∥&平面ABFE，又CD⊂平面CDEF，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF．因为，所以EF＝DN．所以四边形EDNF是平行四边形．所以FN∥DE．由（Ⅱ）知，DE⊥平面ABFE，所以FN⊥平面ABFE．………………………（14分）【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查满足线面垂直的点是不存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.（2019房山文科一模）某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为 C(A) 12(B)13(C)16(D)6侧（左）视正（主）视图俯视图21.（2019房山文科一模）如图1，在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为DC 的中点.以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面PAE ⊥平面ABCE (如图2)． （Ⅰ）求证：EC ∥平面PAB ； （Ⅱ）求证：BE PA ⊥；（Ⅲ）对于线段PB 上任意一点M ,是否都有PA EM ⊥成立？请证明你的结论.（Ⅰ）在矩形ABCD 中，E 是CD 中点，所以//CE AB ……………………………2分AB ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB所以//EC 平面PAB ……………………………4分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，=2AB CD ，E 是CD 中点， 可得222=AB AE BE +所以BE AE ⊥ ……………………………..6分 又 平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE ⋂平面ABCE AE =，BE ⊂平面ABCE图 2PE图 1CBAEDCBA所以BE ⊥平面PAE ………………………..8分PA ⊂平面PAE所以BE PA ⊥ ……………………………9分 （Ⅲ）对于线段PB 上任意一点M ,都有PA EM ⊥成立.证明如下………………..10分 因为矩形ABCD ，所以DA DE ⊥，即PA PE ⊥ ………………………..11分 由（Ⅱ）得BE PA ⊥而 BE ⊂平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，PE BE E ⋂=所以 PA ⊥平面PEB ………………………………13分 对于线段PB 上任意一点M ， EM ⊂平面PEB所以PA EM ⊥ …………………………………14分22.（2019通州文科一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A A.54 B. C.108D.23.（2019通州文科一模）如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A E D'∆，使A E BE '⊥，如图2． （Ⅰ）求证：A E '⊥平面BCDE ；（Ⅱ）求三棱锥C A BD '-的体积； （Ⅲ）在线段A D '上是否存在一点F ，使EF //平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由． 527554正（主）视图侧（左）视图俯视图D CB E A 'E D CB A 图1 图2（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥AE ．所以 ． ………………2分 因为 ， ， ⊂平面 ， ⊂平面 ，所以 平面 . ………………4分 （Ⅱ）解： ． ………………5分 由（Ⅰ）知 平面 ．因为在菱形ABCD 中， ，AB =4，所以△A BD ，△BCD 是边长为4等边三角形． 所以． 分因为DE ⊥AB 于E ，所以E 为AB 中点，AE =EB =2．所以三棱锥 中，高 ． ………………7分所以………………8分． ………………9分（Ⅲ）解：在A D '上存在一点F ，使EF //平面A BC '． …………………10分 分别取,A D A C ''的中点,F M ，连EF 、FM 、BM ．因为FM 为 的中位线， 所以 ，且．在菱形ABCD 中， ，且，所以 ，且 ．所以四边形EBMF 为平行四边形． ………………11分所以．………………12分因为⊄平面，⊂平面，所以平面. ………………13分因为F为中点．所以．………………14分24.（2019门头沟文科一模）一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为A. B. 8 C. D. 12【答案】A【解析】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为.故选A.考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.25.（2019门头沟文科一模）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．【详解】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为，则AB不垂直于平面MNQ．故选：D．【点睛】本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．26.（2019门头沟文科一模）在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，且，，是棱上的一动点，为的中点.（1）求此三棱锥的体积；（2）求证：平面（3）若，侧面内是否存在过点的一条直线，使得直线上任一点都有平面，若存在，给出证明，若不存在，请明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先确定高，再根据锥体体积公式求解，（2）先根据线线垂直得线面垂直，再根据线面垂直得面面垂直，（3）假设存在则得是的中点，再利用面面平行证结果.【详解】（1）由题意可知，，（2）由题意可知，，则，又底面是菱形，所以，为内两相交直线，所以，，为平面一直线，从而平面（3）设是的中点，连结，则所以直线上任一点都满足平面.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直以及面面平行的性质与判断，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。
2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----解析几何
2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----解析几何1.（2019海淀一模文科）抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线形上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为 B (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.（2019海淀一模文科）已知椭圆221:14x C y +=和双曲线2222:1(0)x C y m m-=>．经过1C 的左顶点A 和上顶点B 的直线与2C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且AB BP =，则椭圆1C 的离心率1e = ，双曲线2C 的离心率2e =,23.（2019海淀一模文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点(1,0)P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于,M N 不同的两点．(I)求椭圆P 的方程；(Ⅱ)当AM 与MN 垂直时，求AM 的长；(Ⅲ)若过点P 且平行于AM 的直线交直线52x =于点Q ，求证：直线NQ 恒过定点． 解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c = 又222b c a +=所以b c = ，所以椭圆方程为22142x y +=（Ⅱ）方法一： 设(,)m m M x y 1m MP m y k x =-，=2m AM m yk x + 1AM MP k k ⋅=-22112142m m m mm m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m mx y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法二： 设(,)m m M x y ， 因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上， 又以AP 为直径的圆的圆心为1(,0)2-，半径为32，方程为2219()24x y ++=222219()24142m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m mx y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法三：设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+ ，其中 0k ≠22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得2222(12)8840k x k x k +++-=当0∆>时，228412A M k x x k -⋅=+得222412M k x k -=+ ，2421M k y k =+ 显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.因为AM 与MN 垂直，所以222421=24112MPk k k k k +=--+1k=- 得212k =，k =， 0M x =所以2M AM + （Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，由 221,240x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，显然，0∆>，则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，因为直线PQ 与AM 平行，所以112PQ AM y k k x ==+， 则PQ 的直线方程为11(1)2y y x x =-+， 令52x =，则111133222(3)y y y x my ==++，即1135(,)22(3)y Q my + 121122112232(3)2635(3)(23)2NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--， 直线NQ 的方程为12212221221263()2639my y y y y y x x m y y my my +--=-+-- 12211221222212211221263(263)(1)26392639my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=-++--+--122112212212211221263215326392639my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=-+--+--令0y =，得122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为121223()my y y y =+，故221829y x y ==， 所以直线NQ 恒过定点(2,0).4.（2019朝阳一模文科）已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:2l y kx =-. 若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条的切线12,l l ，使得12l l ⊥，则实数k 的取值范围是 DA. [0,2-)2+∞（）UB. 22[C. ∞(-,0)D. )∞[0,+ 5.（2019朝阳一模文科）双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 .1 6.（2019朝阳一模文科）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．（Ⅰ）由题意a ，1b =，1c ==所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -． …………4分 （Ⅱ）由题知，220012x y +=，即220022x y +=. 当00y =时直线l方程为x =x =l 与椭圆C 相切． 当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 即22002220x x x y -+-= 所以 2200(2)4(22)x y ∆=---22004+880x y =-= 故直线l 与椭圆C 相切． …………8分（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =，2211(1)FA FB x y ⋅=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=，所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．当00y ≠时，由220(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，2012202101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++200254422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+ 1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 220025(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．故AFB ∠为定值90． …………14分7.（2019西城一模文科）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线2||2y x =-围成的平面区域的直径为 B （A ）2 （B ）4 （C）（D）8.（2019西城一模文科）设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．39.（2019西城一模文科）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(1,0)P 的动直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）. （Ⅰ）求椭圆W 的方程及离心率； （Ⅱ）求四边形ACBD 面积的最大值；（Ⅲ）若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）解：（Ⅰ）由题意，得244a m == , 解得1m =. ……………… 1分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ………………2分故2a =，1b =，c =所以椭圆W的离心率2c e a ==. ……………… 4分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 又因为||24AB a ==，AB CD ⊥， 所以四边形ACBD的面积1||||2S AB CD =⨯= ……………… 6分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. …… 7分由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. (8)分四边形ACBD 的面积ABC ABD S S S ∆∆=+1211||||||||22AB y AB y =⨯+⨯ ……… 9分121||||2AB y y =⨯-122|()|k x x =-==设241k t +=，则四边形ACBD的面积S =1(0,1)t∈，所以S = 综上，四边形ACBD面积的最大值为. ……………… 11分（Ⅲ）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =. (14)分10. （2019丰台一模文科）双曲线221169x y -=的渐近线方程为____．34y x =± 11.（2019丰台一模文科）直线2y kx =+与圆224x y +=相交于,M N 两点，若||MN =，则k =____．1±12.（2019丰台一模文科）已知椭圆22:22W x y +=，直线1:(0)l y kx m km =+≠与椭圆W 交于,A B 两点，直线2:l y kx m =-与椭圆W 交于,C D 两点． （Ⅰ）求椭圆W 的离心率；（Ⅱ）证明：四边形ABCD 不可能为矩形．解：（Ⅰ）由题知2222221a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩则2c e a ==， 所以椭圆W的离心率为2. （Ⅱ）由于两直线关于原点成中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形.不妨设()()()()()1122112212,,,,,,,A x y B x y C x y D x y x x ----≠±.则221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩L L ①②②−①得()()222221212y y x x -=--，()()()()2221212122212121112AB AD y y y y y y k k x x x x x x ----⋅=⋅==-≠-----. 所以 AB 不垂直于AD .所以 四边形ABCD 不可能为矩形.13（2019石景山一模文科）已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，l 与双曲线2214x y -=的渐近线分别交于 ,A B 两点．若||4AB =，则p =______ ．814.（2019石景山一模文科）在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y 是单位圆221x y +=上两点，=1AB ，则AOB ∠=______；12|2||2|y y +++的最大值为 _ ．π34．15.（2019石景山一模文科）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．解：（Ⅰ）依题可知(0)B a ，，2a = 因为12c e a == ， 所以1c =b故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．PF证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)(0)y k x k =+≠． 则点D 坐标为24)k （，，BD 中点E 的坐标为22)k （，，由得 ．设点的坐标为，则．所以，． 因为点坐标为， ①当时，点的坐标为，直线PF 的方程为1x =， 点的坐标 为．此时以为直径的圆与直线相切． ② 当时，直线的斜率． 所以直线的方程为,即214104k x y k ---=． 故点到直线的距离221414|221||2|k k k d k -+-⨯-===（或直线的方程为224401414k kx y k k --=--,故点到直线的距离） 又因为k R BD 42== ，故以为直径的圆与直线相切． 综上得，当点P 运动时，以为直径的圆与直线相切．解法二:（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)1616120k x k x k +++-=P 00(,)x y 2021612234k x k --=+2026834k x k-=+00212(2)34k y k x k =+=+F (1, 0)12k =±P 3(1, )2±D (2, 2)±BD 22(2)(1)1x y -+=PF 12k ≠±PF 0204114PF y k k x k ==--PF 24(1)14k y x k=--E PF PF EPF d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-BD PF BD PF BD PF证明如下: 设点00(,)P x y ,则220001(0)43x y y +=≠① 当01x =时,点的坐标为，直线PF 的方程为1x =， 点的坐标为， 此时以为直径的圆与直线相切， ② 当1x ≠时直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++， 点D 的坐标为004(2,)2y x +,中点的坐标为002(2,)2y x +,故002||||2y BE x =+ 直线的斜率为001PF y k x =-, 故直线PF 的方程为00(1)1y y x x =--,即00110x x y y ---=, 所以点到直线的距离00012|21|2||||2x y y d BE x --⨯-===+ 故以为直径的圆与直线相切．综上得，当点P 运动时，以为直径的圆与直线相切．16.（2019延庆一模文科）圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为 C（A ）22(1)1x y -+= （B ）22(1)1x y ++= （C ）22(1)1x y +-=（D ）22(1)1x y ++=17.（2019延庆一模文科）“01k <<”是“方程22112x y k k +=-+表示双曲线”的 A （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件18.（2019延庆一模文科）已知椭圆G :22212x y a +=，左、右焦点分别为(,0)c -、(,0)c ，若点(,1)M c 在椭圆上， （Ⅰ）椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆G 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，P 3(1, )2±D (2, 2)±BD 22(2)(1)1x y -+=PF BD E PF E PF BD PF BD PFMB 与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =解：（Ⅰ）(,1)M c 在椭圆22212x y a +=上 2212c a ∴= , 由22b =解得 24a ∴= ………………3分所以，椭圆的标准方程为22142x y +=………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y-+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=．………………5分 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点M ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<．……………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x m +=-，21284m x x -=,……………8分112my +=，222m y +=．……………10分显然直线MA 与MB 的斜率存在，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ， 由（Ⅰ）可知M则12k k +=……………11分211)(1)(x x -+===28)(m m ----+=2=220==．因为120k k +=，所以MPQ MQP ∠=∠．……………13分所以PM QM =． ………………14分19.（2019怀柔一模文科）已知抛物线22=y px 的准线方程为1x =-，则=p __________．220.（2019怀柔一模文科）以原点(0,0)O 为圆心，以1为半径的圆C 的方程为__________；若点P 在圆C 上，点A 的坐标为(2,0)-，则AO A P ⋅的最大值为__________．221+=x y ，6.21.（2019怀柔一模文科）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作直线l 交椭圆E 于M N 、两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程．解 （Ⅰ） 椭圆的右焦点为，点满足，，解得.由公式，得所以所以椭圆的方程为22143+=x y ------------------------------------------------5分 （Ⅱ）直线l 的斜率不存在时，,,不符合题意；设直线l 的方程为y=k(x-1),由得，（3+4）2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1,0)F (0,)B b ||2FB =2=0)b b =>222c a b =-2134,2(0)a a a =+==>2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩E FM FM=BFN BFM S S ∆∆={134)1(22=+-=y x x k y 2k 01248222=-+-k x k x设M(①②由，得， 即. 可得， 即 ③由① ③ 得， 代入② 得， 解得， 所以，所求直线的方程为. ------------------------------------13分 22.（2019东城一模文科） 已知圆22:20C x x y ++=，则圆心C 到直线3x =的距离等于 D（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）423.（2019东城文科一模）抛物线C :22y px =上一点0(1,)y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为_______.28y x =24.（2019东城文科一模）已知3(2,0),(1,)2A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：上两点，过点P 且斜率为,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为,B C . （Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值．解：（I ）由题意得222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ (),11N y x ),,22y x 2221438恒成立。
2019年北京市各区中考数学一模试题卷分类汇编：几何压轴题(无答案)
2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——几何综合题（房山）27． 已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ．（1）如图1，点D 是BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE ． 若∠BAD =α，求∠DBE 的大小 (用含α的式子表示) ；（2）如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE ． ①依题意补全图2；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明．图1 图2B AA（门头沟）27．如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE 交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ． （1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明； （3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．图1 图2（密云）27． 已知△ABC 为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）．将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ．连结DE 、BE ．（1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系．（2）过点A 作AF EB 交EB 延长线于点F ．用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明．PPEECCBBOOAA图2D CBA图1A B CD（平谷）27．在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，BD 交AC 于P ．（1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数 （用含α的代数式表示）； （2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系； （3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系．（石景山）27．如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC ，平移线段BC ， 使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．DB A。
2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——几何压轴题;
2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——几何综合题（海淀）27．如图，在等腰直角△ABC 中，90ABC ?°，D 是线段AC 上一点（2CA CD > ），连接BD ，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ． （1）依题意补全图形；（2）若ACE α?，求ABD Ð的大小（用含α的式子表示）； （3）若点G 在线段CF 上，CG BD =，连接DG ．①判断DG 与BC 的位置关系并证明；②用等式表示DG ，CG ，AB 之间的数量关系为 ．（西城）27．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF.（1）求证：FB=FD；（2）点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.（东城）27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ． （1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接AC△ACC ′的面积最大值．PBA(朝阳）27.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,将线段BC绕点B逆时针旋转a°(0<a<180)，得到线段BD,且AD∥BC.(1)依题意补全图形;(2)求满足条件的a的值;(3)若AB=2,求AD的长.（石景山）27．如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点()，平移线段BC，CD AC使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG = CD；（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．BD（丰台）27．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：BF= CE；（2）若CE=AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．（房山）27． 已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ．（1）如图1，点D 是BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE ． 若∠BAD =α，求∠DBE 的大小 (用含α的式子表示) ；（2）如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE ． ①依题意补全图2；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明．图1 图2B AA（门头沟）27．如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE 交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ． （1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明； （3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．图1 图2PPEECCBBOOAA（密云）27． 已知△ABC 为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）．将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ．连结DE 、BE ． （1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系．（2）过点A 作AF EB 交EB 延长线于点F ．用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明．图2DCBA图1ABCD（平谷）27．在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．（1）若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．（通州）27．如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD 的对称点为E．连接CE并延长，交射线AD于点F．（1）设∠BAF＝α，用α表示∠BCF的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．（延庆）27．已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ． （1）求证：ADB ACB ∠=∠；（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．H O DBA（燕山）27．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．(1) ① 依题意补全图1；② 求证：∠EDC ＝∠BAD ；(2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为： ；② 小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ． 想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ． 想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形． ……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．(一种方法即可)备用图AB CD 图1D C B A（顺义）27．已知：如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠B =45°， 点D 是BC 边上一点，且AD=AC ，过点C 作CF ⊥AD 于点E ，与AB 交于点F ． （1）若∠CAD =α，求∠BCF 的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：AC =FC ；（3）用等式直接表示线段BF 与DC 的数量关系．ABCDFE（怀柔）27.如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，AD与AB的数量关系，并加以证明；（3）求证：MD=ME．C。
2019北京中考数学一模——21四边形专题
2019北京中考数学一模—————————————————————————————————四边形专题【2019东城一模】21．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，CD 的垂直平分线分别交AC ，DC ，BC 于点E ，F ，G ，连接DE ，DG ．（1）求证：四边形DGCE 是菱形；（2）若∠ACB =30°，∠B =45°，ED =6，求BG 的长．【2019西城一模】21.如图，在△ABC 中，AC=BC，点D， E， F 分别是AB，AC， BC 的中点，连接DE，DF. (1)求证:四边形DFCE 是菱形；(2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE 的面积.【2019海淀一模】21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=2CD ，E 为对角线AC 的中点，F 为边BC 的中点，连接DE ，EF ．（1）求证：四边形CDEF 为菱形；（2）连接DF 交于，若，，求的长．EC G 2DF =53CD =ADA【2019朝阳一模】21．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接ED 并延长到点F ，使DF =ED ，连接BE ，BF ，CF ，AD ． （1）求证：四边形BFCE 是菱形； （2）若BC =4，EF =2，求AD 的长．【2019丰台一模】【2019石景山一模】21、在△ABC 中，，D 为AB 边上一点，连接CD ，E 为CD 中点，连接BE 并延长至点F ，使得EF ＝EB ，连接DF 交AC 于点G ，连接CF ． （1）求证：四边形DBCF 是平行四边形； （2）若，，，求CD 的长.90ACB Ð=°30A Ð=°4BC =6CF =CFDG EBA2019北京中考数学一模—————————————————————————————————四边形专题【2019门头沟一模】21．如图，在△ABD 中，∠ABD = ∠ADB ，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，连接BC ，DC 和AC ，AC 与BD 交于点O ． （1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD 为菱形； （2）如果AB = 5，，求BD 的长．【2019房山一模】21. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O ，以 AD，OD 为邻边作平行四边形ADOE ，连接BE .（1）求证：四边形AOBE 是菱形；（2）若∠EAO +∠DCO =180°，DC =2，求四边形ADOE 的面积.【2019大兴一模】21. 如图，矩形ABCD ，延长CD 到点E ，使得DE =CD ，连接AE ，BD ． （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）若，CD ＝6，求□ABDE 的面积．3cos 5ABD Ð=DBAE34tan DBC Ð=【2019通州一模】21. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 边上的一点，分别过点A 、B 作BD 、AD 的平行线交于点E ，且 AB 平分∠EAD . （1）求证：四边形EADB 是菱形；（2）连接EC ，当∠BAC ＝60°，BC =ECB 的面积．【2019顺义一模】21.已知：如图，四边形是矩形，，，于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若 ，，求的长 .【2019密云一模】20.如图，菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O.DE//AC，. （1）求证:四边形OCED 是矩形；（2）连结AE，交OD 于点F，连结CF.若CF=CE=1，求AE 长.ABCD Ð=ÐECD DBA 90Ð=°CED ^AF BD F BCEF =4AB =3AD EC EFDABC12DE AC =OEDCBA2019北京中考数学一模—————————————————————————————————四边形专题【2019延庆一模】20．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且AC ⊥BC ，点E 是BC 延长线上一点，，连接DE ．（1）求证：四边形ACED 为矩形；（2）连接OE ，如果BD=10，求OE 的长．【2019平谷一模】22．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边的中点，连接AD ，分别过点A ，C 作AE ∥BC ，CE ∥AD 交于点E ，连接DE ，交AC 于点O ． （1）求证：四边形ADCE 是矩形； （2）若AB =10，sin∠COE =，求CE 的长．【2019燕山一模】21．如图，中，E ，F 分别是边BC ，AD的中点，∠BAC ＝90°．(1) 求证：四边形AECF 是菱形；(2) 若BC ＝4，∠B ＝60°，求四边形AECF 的面积．AD BE =12E ODCBA 45ABCD !F E A BCD【2019怀柔一模】21. 在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C作CE∥DB 交AB 的延长线于点E ，连接OE . （1）求证:四边形ABCD 是菱形；（2）若∠DAB=60°，且AB =4，求OE 的长．OEDCBA。
北京市2019年中考数学一模分类汇编 解四边形
解四边形2018西城一模19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．EDCBA2018石景山一模21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，BC CD ==CE AD ⊥于点E ． （1）求证：AE CE =； （2）若tan 3D =，求AB 的长．2018平谷一模22．如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°， AB= 4，AF =2DF，求CF的长．2018怀柔一模21.直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是斜边BC上一点，且AB=AD，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB延长线于点F.(1)求证：∠ACB=∠DCE；(2)若∠BAD=45°，AF B作BG⊥FC于点G，连接DG．依题意补全图形，并求四边形ABGD的面积2018海淀一模21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE∥BD ，B E∥AC ，OE = CD . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是_______________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_________________.2018朝阳一模21. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意一点，E 是BC 边中点，过点C 作AB 的平行线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形； （2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC =，求DF 的长．C B E O A D2018东城一模21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC . （1）求证：四边形ACDE 为平行四边形; （2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B，求线段CE 的长.2018丰台一模21．已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，FC ，CA ．（1）求证：四边形AEFC 为矩形；（2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，AB = 4，求DE 的长．ABCEDFFAB2018房山一模21. 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，点,D E 分别是,BC AB 上的中点，连接DE 并延长至点F ，使2EF DE =，连接,CE AF . （1）证明：AF CE =；（2）若30B ∠=，AC =2，连接BF ，求BF 的长2018门头沟一模21.在矩形ABCD 中，连接AC ,AC 的垂直平分线交AC 于点O ,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE 和AF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB =4，BC =8，求菱形AECF 的周长．AB2018大兴一模21. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE=O C，CE=O D．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积．Array2018顺义一模21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．DFAEB C2018通州一模21. 如图，在平行四边形ABCD中，DB⊥AB，点E是BC边中点，过点E 作EF⊥CD，垂足为F，交AB的延长线于点G.（1）求证：四边形BDFG是矩形；（2）若AE平分∠BAD，求tan∠BAE的值.2018燕山一模23．如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若∠BCF=120°，CE=4，求菱形BCFE的面积．AD E FB C。
2019北京市12区高三一模(3、4月)数学理分类汇编--立体几何
2019北京市12区高三一模（3、4月）数学理分类汇编--立体几何一、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为A ．4B ．2C ．83D ．432、（东城区2019届高三一模）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形3、（丰台区2019届高三一模）已知α和β是两个不同平面，l αβ=，12l l ,是与l 不同的两条直线，且1l α⊂，2l β⊂，12l l ∥，那么下列命题正确的是（A ）l 与12,l l 都不相交 （B ）l 与12,l l 都相交（C ）l 恰与12,l l 中的一条相交 （D ）l 至少与12,l l 中的一条相交4、（怀柔区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A ．B ．C ．D ．正（主）视图 俯视图 侧（左）视图5、（门头沟区2019届高三一模）一个体积为为 A.36 B ．8 C ．38 D ．126、（门头沟区2019届高三一模）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是7、（石景山区2019届高三一模）某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为A. 2B. 6C. 10D. 248、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是A ．12 B. 2 C.9、（西城区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．10、（延庆区2019届高三一模）已知一个正四面体的底面积为（A ）（B ） （C ）（D ）11、（房山区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) 12 (B) 2(C) 2 (D)112、（平谷区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4侧（左）视图正（主）视图俯视图数学试题答案1、D 2、A 3、A 4、C 5、A6、D7、B8、D9、4310、D11、C 12、D二、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．2、（东城区2019届高三一模）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 没有公共点，求1AD DB 的值.3、（丰台区2019届高三一模）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1=2=22AB AA BC CD ==．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AA B --的余弦值；（Ⅲ）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ？若存在，求1DM DB 的值；若不存在，请说明理由．4、（海淀区2019届高三一模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．(Ⅱ)求证：1AC ∥平面DEF(Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;(Ⅲ)在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．5、（怀柔区2019届高三一模）已知三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC ，AB⊥AC，PA=AC=AB=2，N 为AB 上一点，AB=4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角--B NC M 大小的余弦值.6、（门头沟区2019届高三一模）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为6的菱形，且060ABC ∠=，PA ABCD ⊥平面，6PA =，F 是棱PA 上的一个动点，E 为PD 的中点.1112（Ⅰ）求证：BD CF ⊥（Ⅱ）若2AF =,（i ）求PC 与平面BDF 所成角的正弦值；（ii ）侧面PAD 内是否存在过点E 的一条直线，使得该直线上任一点M 与C 的连线,都满足//CM 平面BDF ，若存在,求出此直线被直线,PA PD 所截线段的长度，若不存在，请明理由.7、（石景山区2019届高三一模）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE=∠︒，4AE=AB=，2AD=，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上（不包括端点）． （Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ；（Ⅱ）求证：平面DAF ⊥平面CEB ；（Ⅲ）是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6？若存在，求BH BC； 若不存在，说明理由．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））如图，在四棱锥ABCD P -中，等边三角形PCD 所在的平面垂直于底面ABCD ，112AB AD CD ===， 90=∠=∠ADC BAD ，M 是棱PD 的中点． （Ⅰ）求证：AD PCD ⊥平面； （Ⅱ）求二面角D BC M --的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM 与平面PAB 的是否平行，并说明理由．9、（西城区2019届高三一模）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，AB （Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQ BE 的值，若不存在，说明理由．10、（延庆区2019届高三一模） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面MEF 与平面PBC所成锐二面角的余弦值； （Ⅲ）设=PM PD λ，当λ为何值时，直线ME 与平面PBCλ的值.PA B CD M·11、（房山区2019届高三一模）如图1，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，,,E F O 分别为,,DC AE BC 的中点.以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面PAE ⊥平面ABCE (如图2)．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面POF ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PE 上是否存在点M ,使得AM ∥平面PBC ? 若存在，求PM PE的值；若不存在，说明理由.图 2P O F E 图 1C BA OE数学试题答案1、解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ， 所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==． 设平面CDE 的一个法向量为(,x =n 则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20. x y z +=⎧⎨=⎩令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ则sin |cos ,|5BF θ=〈〉==n （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， 设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-， 所以()1,,0AM λλ=-．1设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m因为()0,0,1AF =，所以000(1)0,0. x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=m ． 因为()1,2,1CE =--，由0CE ⋅=m ， 所以2(1)0λλ---=， 解得2[0,1]3λ=∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分 2、解：（Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等，所以AC BC =，且11A ABB 为菱形.由勾股定理得OA OB =，即11AB A B =. 所以四边形11A ABB 为正方形. .....................5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OAOA ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得11(0,0,0),(O A A BC C ，(E F ．Bxx所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=-设平面11A ACC 的法向量为(,,),x y z =m则10,0.AA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1,x=则1, 1.y z == 于是(1,1,1)=m ．又因为3(22EF =-， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |15EF ,EF EFθ⋅=〈〉==m m m ． 所以直线EF 与平面1A AC 所成角的正弦值为15. ............................10分 （Ⅲ）直线EF 与平面1A CD 没有公共点，即EF ∥平面1A CD．设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y≠．因为10(,0)A D y =，1(AC =． 设111(,,)x y z =n 为平面1A CD 的法向量，则110,0.A DA C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即101110,0.yy ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则10y y =，11z =. 于是0(1,,1)y =n . 若EF ∥平面1A CD ，0EF ⋅=n .又3(22EF =-，所以022y -=，解得03y =． 此时EF ⊄平面1A CD ，所以3AD =，13DB =. 所以112AD DB =． ......................14分 3、解：（Ⅰ）因为 平面ABCD ⊥平面11ABB A ，平面ABCD平面11ABB A AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以 BC ⊥平面11ABB A . 因为 1AA ⊂平面11ABB A ， 所以 1BC AA ⊥.（Ⅱ）取11A B 的中点N ，连结BN .平行四边形11ABB A 中1AB AA =，160BAA ∠=︒.易证BN ⊥11A B . 由（Ⅰ）知BC ⊥平面11ABB A .故以为B 原点，BABN BC ，，所在直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系B xyz -.依题意，1(2,0,0),(1,0,1)A A D ，设平面1DAA 的一个法向量为(,,)x y z =n则1(1AA =-，(1,0,1)AD =- 则100AA AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ， 即00x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令=1y ，得=n ．易知平面11ABB A 的一个法向量为=(0,0,1)m ， 设二面角1D AA B --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,7α⋅=<>===⋅n m n m n m ，yx即二面角1D AA B --的余弦值为7． （Ⅲ）解：设1DM DB λ=，[0,1]λ∈，(,)M x y z ,．因为(1,0,1)D，1(1B -，(0,0,1)C ， 所以1(2,3,1),(1,,1)DB DM x y z =--=-- 所以12,,1x y z λλ=-==-.(12,1)M λλ-- (12,)CM λλ=--因为CM ∥平面1DAA所以0CM =⋅n2)0λ-+-=，所以1=2λ． 所以存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ，此时112DM DB =． 4、解：(Ⅰ)方法一：连结1BC因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点, 所以11//DE A B 又因为11//AB A B ，所以//DE AB因为,E F 分别为11B C ,1B B 中点，所以1//EF BC 又因为DEEF E =DE ⊂平面DEF ，EF ⊂平面DEF AB ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC所以平面1ABC 平面DEF又1AC ⊂平面1ABC ，所以1AC 平面DEF方法二：取1AA 中点为G ,连结FG 由11AA BB 且11AA BB =又点F 为1BB 中点，所以11FGA B又因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点,所以11DE A B所以DEFG所以,,,D E F G 共面于平面DEF 因为D ,G 分别为111,AC AA 中点, 所以1AC DG1AC ⊄平面DEFDG ⊂平面DEF所以1AC 平面DEF方法三：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC 又因为AC BC ⊥以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz - 由题意得1(2,0,0),(0,0,2),(1,0,2)A C D ,(0,1,2),(0,2,1)E F . 所以(1,1,0)DE =-,(0,1,1)EF =- 设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0DE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 令11x =，得111,1y z ==于是(1,1,1)=n 又因为1(2,0,2)AC =-所以12020AC ⋅=-++=n 又因为1AC ⊄平面DEF ， 所以1AC 平面DEF（Ⅱ）方法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC因为AC ⊂ABC ，所以1CC AC ⊥又因为AC BC ⊥， 且1CC BC C =所以AC ⊥平面11BB C CEF ⊂平面11BB C C ，所以AC EF ⊥又1BC CC =，四边形11BB C C 为正方形所以11BC B C ⊥ 又1BC EF ，所以1B C EF ⊥又AC EF ⊥， 且1ACB C C =所以EF ⊥平面1ACB 又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF方法二：设平面1ACB 的法向量为222(,,)x y z =m ，1(2,0,0),(0,2,2)CA CB ==100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即22220220x y z =⎧⎨+=⎩ 令21y =，得220,1x z ==-于是(0,1,1)=-m(1,1,1)(0,1,1)0⋅=⋅-=n m即⊥n m ，所以平面1ACB ⊥平面DEF （Ⅲ）设直线DP 与平面1ACB 所成角为θ，则30θ=︒设1(01)AP AA λλ=≤≤，则(0,0,2)AP λ=(1,0,22)DP λ=-所以1cos sin302DP DP θ⋅===︒=m m解得12λ=或32λ=（舍） 所以点P 存在，即1AA 的中点，1AP =5、证明：以A 为原点，AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P （0,0,2），C （0,2,0），B （4,0,0），M （2,0,1），N （1,0,0），S （2,1,0）--------------2分 （Ⅰ）(2,2,1)=-CM ,(1,1,0)=--SN2(1)(2)(1)100⋅=⨯-+-⨯-+⨯=CM SN ，∴CM⊥SN ------------------------------------------------5分 （Ⅱ）(1,2,0)=-CN设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量， 则20220-=⎧⎨-+=⎩x y x y z ，令1=y ，则2=x ，2=-z ，∴a=（2，1，-2）2cos ,<>==a SN ∴SN 与片面CMN 所成角为45°。
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2019年北京市各区初三一模数学试题分类汇编(2019.5)——四边形
（房山）2．如图，矩形ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE.
(1) 求证：四边形AOBE是菱形；
(2) 若∠EAO+∠DCO=180°，DC=2，求四边形ADOE的面积．
（门头沟）21．如图，在△ABD中，∠ABD = ∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右
侧作弧，两弧交于点C，连接BC，DC和AC，AC与BD交于点O．
（1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；
（2）如果AB = 5，
3
cos
5
ABD
∠=，求BD的长．
E
D
B
A
（密云）20．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O.DE//AC，
1
2
DE AC
.
（1）求证:四边形OCED是矩形；
（2）连结AE，交OD于点F，连结CF.若CF=CE=1，求AE长．
（平谷）22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若AB=10，sin∠COE=4
5
，求CE的长．
O
E
D
C
B
A
（石景山）21．如图，在△ABC中，90
ACB
∠=︒，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，
连接BE并延长至点F，使得EF＝EB，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若30
A
∠=︒，4
BC=，6
CF=，求CD的长．
（通州）21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分∠EAD.
（1）求证：四边形EADB是菱形；
（2）连接EC，当∠BAC＝60°，BC
=△ECB的面积．
C
F
D
G E
B A
（延庆）20．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且AC ⊥BC ，点E 是BC 延长线
上一点， 1
2
AD BE ，连接DE ．
（1）求证：四边形ACED 为矩形；
（2）连接OE ，如果BD=10，求OE 的长．
（燕山）21．如图，ABCD X 中，E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，∠BAC ＝90°．
(1) 求证：四边形AECF 是菱形； (2) 若BC ＝4，∠B ＝60°，求四边形AECF 的面积．
（西城）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D ，E ，F 分别时AB ，AC ，BC 的中点，连接DE ，DF ．
（1）求证：四边形DFCE 是菱形；
（2）若∠A ＝75°，AC ＝4，求菱形DFCE 的面积．
E O
D
C
B
A F
E A
B C
D
（顺义）21．已知：如图，四边形ABCD 是矩形，∠=∠ECD DBA ，90∠=︒CED ，⊥AF BD 于点F ． （1）求证：四边形BCEF 是平行四边形； （2）若=4AB ，=3AD ，求EC 的长．
（丰台）21.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点O 关于直线CD 的对称点为E ，连接DE ，CE .
（1）求证：四边形ODEC 为菱形； （2）连接OE ，若BC =22，求OE 的长.
（东城）21．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，CD 的垂直平分线分别交AC ，DC ，BC 于点E ，F ，G ，连接DE ，DG ．
（1）求证：四边形DGCE 是菱形； （2）若∠ACB =30°，∠B =45°，ED =6，求BG 的长．
E
F
D
A
B
C
（海淀）21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=2CD ，E 为对角线AC 的中点，F 为边BC 的中点，连接DE ，EF ．
（1）求证：四边形CDEF 为菱形；
（2）连接DF 交EC 于G ，若2DF =，5
3
CD =，求AD 的长．
（怀柔）21．在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若∠DAB=60°，且AB =4，求OE 的长．
（朝阳）21．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接ED 并延长到
点F ，使DF =ED ，连接BE ，BF ，CF ，AD ． （1）求证：四边形BFCE 是菱形； （2）若BC =4，EF =2，求AD 的长．
O
E
D
C
B
A
A
（大兴）21. 如图，矩形ABCD，延长CD到点E，使得DE=CD，连接AE，BD．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若tan∠DBC＝3
4
，CD＝6，求□ABDE的面积．。